lista1-algebralinear

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Universidade Federal do Ceara´ - UFC
Departamento de Matema´tica
A´lgebra Linear
Lista 1
Definic¸o˜es:
(a) A transposta de uma matriz Am×n e´ a matriz Bn×m que se obte´m escrevendo as linhas como
colunas, nesse caso denotamos B = At;
(b) Dizemos que uma matriz A e´ sime´trica se A = At;
(c) Dizemos que uma matriz A e´ anti-sime´trica se A = −At;
(d) Dizemos que uma matriz A e´ triangular superior se todas as entradas abaixo da diagonal
principal sa˜o nulas;
(e) Dizemos que uma matriz A e´ triangular inferior se todas as entradas acima da diagonal
principal sa˜o nulas.
Exerc´ıcios:
1. Determine o valor de x sabendo que a matriz
(
1 2x2 − 2
2x− 1 2
)
e´ anti-sime´trica.
2. Determine os valores de x sabendo que a matriz A =
(
1 −x2 + x
2x− 1 2
)
satisfaz At =
A.
3. Sejam A =
(
3 2 1
−1 −1 −2
)
e B =
 −4 01 2
5 −2
. Seja X uma matriz 2× 3. Determine
X sabendo que (X +A)t = B.
4. Encontre a matriz (aij) de tamanho 4× 4 cujas entradas satisfazem a condic¸a˜o dada.
(a) aij = i+ j;
(b) aij = i
j−1;
(c) aij =
{
1 se |i− j| > 1
−1 se |i− j| ≤ 1 .
5. Decida se a afirmac¸a˜o dada e´ sempre verdadeira ou a`s vezes falsa. Justifique sua resposta
dando um argumento lo´gico ou um contra-exemplo.
(a) Se a primeira coluna de A for toda constitu´ıda de zeros, o mesmo ocorre com a primeira
coluna de qualquer produto AB;
(b) Se a primeira linha de A for toda constitu´ıda de zeros, o mesmo ocorre com a primeira
linha de qualquer produto AB.
6. Sejam A =
 3 2 1−1 −1 −2
1 1 2
 e B =
 −4 0 3b21 2 1
b31 b32 2
 triangular superior. Seja X uma
matriz 2× 3. Determine X sabendo que X +A = B.
7. Seja A =
 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1
. Encontre uma matriz na forma escada linha-equivalente a
A.
8. Seja A =
 1 2 1 01 0 3 5
1 2 1 1
. Encontre uma matriz na forma escada linha-equivalente a A.
9. Decida se sa˜o, ou na˜o, invers´ıveis as matrizes abaixo; calculando a inversa em caso afirma-
tivo.
(a) A =
 −1 4 −50 8 2
−3 0 1
;
(b) A =
 1 4 50 8 2
3 0 1
;
(c) A =
 1 0 −11 0 1
0
√
2 0
;
(d) A =
 −1 1 02 1 1
1 −1 0
;
(e) A =
 1 0 1−1 0 1
0
√
2 1
;
(f) A =
 1 −1 02 1 1
−1 1 0
.
10. Encontre, justificando cada passo, o determinante de:
(a) A =

0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
a 0 0 0 0
;
(b) A =

1 3 1 5 1019
−2 7 0 −4 2
0 0 1 0 1
0 0 3 1 1
0 0 0 1 1
;
(c) A =

0 0 0 0 a
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
.
11. (a) Encontre uma equac¸a˜o linear nas varia´veis x e y que tem x = 5 + 2t, y = t como
soluc¸a˜o geral;
(b) Mostre que x = t, y = 12 t− 52 tambe´m e´ soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o da parte (a).
12. Para que valor(es) de λ o sistema de equac¸o˜es S :
{
(λ− 3)x+ y = 0
x+ (λ− 3)y = 0 tem soluc¸o˜es na˜o
triviais (na˜o nulas)?
13. Resolva o sistema S :

7x+ 2y − 4 = 0
−x+ 3y + 1 = 0
8y + 4z −√2 = 0
pelo me´todo do escalonamento.
14. Resolva o sistema S :

x+ 2y − 2 = 0
−x+ 3y + 1 = 0
−2y + 4z − 3 = 0
pelo me´todo do escalonamento.
15. Discuta o conjunto soluc¸a˜o de S :

−4x+ 3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k
segundo os valores do paraˆmetro k.
16. Discuta o conjunto soluc¸a˜o de S :
{
ax+ y − 1 = 0
2x+ ay − 2 = 0 segundo os valores do paraˆmetro a.
17. (a) Mostre que se ad − bc 6= 0, enta˜o a forma escada reduzida por linhas de
(
a b
c d
)
e(
1 0
0 1
)
.
(b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema S :
{
ax+ by = k
cx+ dy = 1
tem exatamente uma
soluc¸a˜o quando ad− bc 6= 0.
18. Continua...
”Feliz e´ o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire
entendimento.” Pv. 3.13.