SIMULADOS E EXERCICIOS CALCULO NUMERICO

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1a 
 Questão 
Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 
pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a 
expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x 
comprada incluindo a taxa de entrega. 
 
 V(x) = 55 
 V(x) = 50x + 5 
 V(x) = 50x +5 
 V(x) = 50(x+5) 
 V(x) = x50 + 5 
Respondido em 23/03/2023 18:35:19 
 
Explicação: 
Aplicação da função de 1º grau : y = ax + b. Parte proporcional à quantidade vendida = 
preço unitário x quantidade = 50 x . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é V(x) = 50x +5. 
 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que 
 existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0. 
 
 [0,1] 
 [2,3] 
 [1,2] 
 [-2,-1] 
 [-1,0] 
Respondido em 23/03/2023 19:05:02 
 
Explicação: 
f(-2) = -18 f(-1) = -11 f(0) = -10 f(1) = -9 f(2) = -2 f(3) = 17 
Então apenas o intervalo [2,3] atende à condição f(2) .f(3) < 0 para que tenha ao menos 
uma raiz nesse intervalo. 
 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, 
a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando 
como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta. 
 
 O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da 
equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01 
 Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada 
da equação f(x) = 0. 
 É verdade que f(0) = 1,254 
 O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) 
= 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
Respondido em 23/03/2023 18:54:58 
 
Explicação: 
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução 
aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 
1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 
1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0. 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz 
estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
Respondido em 23/03/2023 18:50:11 
 
Explicação: 
A quarta opção , identificada como correta, é a única matriz cujos termos aij correspondem 
exatamente aos coeficientes numéricos de cada equação dada . 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído 
sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é 
dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas 
extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 
kN/m. Encontre a função para W(x) 
 
 W(x) = -2.x2 + 4x 
 W(x) = 2.x2 + 4x 
 
 W(x) = x2 + 4x 
 W(x) = -2.x2 + 2x 
 W(x) = - x2 + 4x 
Respondido em 23/03/2023 18:51:16 
 
Explicação: 
W(x) = a.x2 + bx 
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b 
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b 
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x 
 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes 
devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método 
numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste 
método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com 
mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o 
valor da integral definida: 
 
 Varia, diminuindo a precisão 
 Nada pode ser afirmado. 
 Nunca se altera 
 Varia, aumentando a precisão 
 Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 
Respondido em 23/03/2023 18:52:07 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua 
representação por um valor aproximado" apresenta a definição de: 
 
 Erro absoluto 
 Erro derivado 
 Erro relativo 
 Erro fundamental 
 Erro conceitual 
Respondido em 23/03/2023 18:52:29 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo 
conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se 
x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x)) 
 
 1,0 
 0,4 
 0,6 
 1,2 
 0,8 
Respondido em 23/03/2023 18:59:09 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de 
uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, 
geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o 
passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da 
curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 -2 
 3 
 -3 
 0 
 1 
Respondido em 23/03/2023 18:58:50 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o 
conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas 
outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a 
obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. 
Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, 
com EXCEÇÃO de: 
 
 Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo 
determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado 
problema. 
 A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a 
seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema. 
 Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por 
métodos não analíticos de obtenção do resultado. 
 Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os 
métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. 
 Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos 
com que se pretende obter a solução numérica desejada. 
 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sendo f e g funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4 e g(x) = 4x -3 calcule f(3) 
+g(2) . 
 
 14 
 7 
 9 
 6 
 10 
Respondido em 23/03/2023 19:17:07 
 
Explicação: 
f(3) = 3.3 -4 = 5 e g(2) = 4.2 -3 = 5 , então f(3) +g(2) = 5 + 5 = 10 . 
 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Deseja-se buscar a raiz de uma equação f(x) =0 no intervalo [1,5] . Pelo método da 
bisseção o intervalo a ser testado para a raiz na 1ª iteração deve ser escolhido 
 como: 
 
 [3,5] se f(3). f(5) > 0 
 [1,2 ] se f(1). f(2) < 0 
 [1,3] se f(1). f(3) < 0 
 [1,3] se f(1). f(3) > 0 
 [2,5] se f(2).f(5) >0 . 
Respondido em 23/03/2023 19:07:16 
 
Explicação: 
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo x= (1+5)/2 , donde x=3. . 
Então os intervalos a serem testados podem ser [1,3] ou [3,5] .. 
Entretanto o produto f(1).f(3) ou f(3) .f(5) tem que ser < 0 pelo teorema de Bolzano, para 
que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando intervalo [1,3] com f(1).f(3) < 0 . 
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê usar o ponto médio x =3.. 
 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Qual método procuraa aproximação para o valor da raiz usando a derivada da 
função? 
 
 
 Bisseção 
 Gauss Jacobi 
 Newton Raphson 
 Ponto fixo 
 Gauss Jordan 
Respondido em 23/03/2023 19:15:54 
 
Explicação: 
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após 
isso calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a 
interseção dela com o eixo das abcissas, buscando encontrar uma aproximação para a raiz. 
Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função . 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Os valores de x1,x2 e x3 são: 
 
 
 2,-1,3 
 1,-2,3 
 -1,2, 3 
 1,2,-3 
 -1, 3, 2 
Respondido em 23/03/2023 19:16:14 
 
Explicação: 
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 23/03/2023 19:12:40 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 (6,10,14) 
 (8,9,10) 
 (10,8,6) 
 (11,14,17) 
 (13,13,13) 
Respondido em 23/03/2023 19:13:24 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto 
era 114 cm. Qual o erro relativo desta medição? 
 
 
 0,81 % 
 8,8 % 
 8,1 % 
 0,88 % 
 10% 
Respondido em 23/03/2023 19:18:55 
 
Explicação: 
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm 
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 % 
 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método 
é correto afirmar que: 
 
 É um método de pouca precisão 
 Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método 
dos retângulos 
 Só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método 
do trapézio 
 É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração 
Respondido em 23/03/2023 19:14:08 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique 
o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 23/03/2023 19:10:04 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO 
pode ser enquadrada como fator de geração de erros: 
 
 Uso de dados de tabelas 
 Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos 
números 
 Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou 
regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão) 
 Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. 
 Uso de rotinas inadequadas de cálculo 
 
 
1 
 Questão 
 
 
 
3 
 
-11 
 -5 
 
2 
 
-3 
Respondido em 23/03/2023 18:18:19 
 
 
Explicação: 
f(2) = 3.2 - 5 = 1 
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11 
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5 
 
 
 
2 
 Questão 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2). 
 
 
- 4/3 
 - 3/4 
 
- 0,4 
 
4/3 
 
3/4 
Respondido em 23/03/2023 18:18:28 
 
 
Explicação: 
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4 
 
 
 
3 
 Questão 
 
O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a: 
 
 
1086 
 
1084 
 
10860 
 1085 
 
10085 
Respondido em 23/03/2023 18:18:40 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
 
 -7 
 
2 
 
-11 
 
3 
 
-3 
Respondido em 23/03/2023 18:18:45 
 
 
 
5 
 Questão 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o 
comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da 
velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em 
Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, 
entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, 
com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação 
sobre a angulação da reta. 
 
O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação 
sobre a angulação da reta. 
 
O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre 
o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação 
sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
Respondido em 23/03/2023 18:19:09 
 
 
 
6 
 Questão 
 
Usando o arredondamento de 3 casa decimais o valor do número 1,42563267 fica? 
 
 
1,436 
 
1,425 
 1,426 
 
1,526 
 
1,427 
Respondido em 23/03/2023 18:19:14 
 
 
Explicação: 
Como foi pedido o arredondamneto com 3 casa decimais observa-se a quarta casa, se está for 
maior ou igual a 5 sobe um número na terceira casa decimal, se ela for menor matém-se a 
terceira casa decimal 
1 
 Questão 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em 
torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 Bisseção 
 Ponto fixo 
 Gauss Jacobi 
 Gauss Jordan 
 Newton Raphson 
Respondido em 23/03/2023 18:21:35 
 
 
Explicação: 
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . 
Então divide-se esse novo intervalo e refaz-seo teste repetindo divisões sucessivas até um 
valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
 
 
 
2 
 Questão 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 
0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: 
 
 
Absoluto 
 De truncamento 
 
Relativo 
 
De modelo 
 
Percentual 
Respondido em 23/03/2023 18:22:09 
 
 
Explicação: 
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à 
direita da vírgula decimal 
 
 
 
3 
 Questão 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos 
matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um 
determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada 
em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas 
estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações 
sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra. 
 
As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os 
"pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas. 
 
Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou 
não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela 
palavra inglesa "if". 
 
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às 
vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado 
de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until". 
Respondido em 23/03/2023 18:22:58 
 
 
Explicação: 
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída 
 
 
 
4 
 Questão 
 
Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y 
igual a: 
 
 9 
 
2 
 
18 
 
10 
 
5 
Respondidoem 23/03/2023 18:24:07 
 
 
Explicação: 
xu = 3.0 - 2 = -2 
yu = 3.2 + 5 = 11 
 
 
 
5 
 Questão 
 
Determine o x6 da equção f(x)=(x+1)2e(x2-2)-1=0 usando o método da bissecção sabendo-se 
que a raiz procurada está em [0,1] 
 
 0,859375 
 
0,869375 
 
0,859275 
 
0,859374 
 
0,858375 
Respondido em 23/03/2023 18:24:49 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar o método da bissecção por 6 vezes 
 
 
 
6 
 Questão 
 
Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este 
segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a 
execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar: 
 
 
A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica 
que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem 
executados. 
 A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema 
melhorar a confiabilidade do mesmo. 
 A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas 
contenham rotinas repetitivas. 
 
A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em 
etapas ou estruturas hierárquicas. 
 
A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o 
objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos. 
Respondido em 23/03/2023 18:25:10 
 
 
Explicação: 
Programação estruturada admite estruturas de repetição 
 
 
 
7 
 Questão 
 
Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, 
qual o valor da raiz após a primeira iteração. 
 
 1,56 
 
0,55 
 
1,85 
 1,14 
 
1,00 
Respondido em 23/03/2023 18:25:12 
 
 
Explicação: 
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da 
falsa posição. 1,14 
Confirmando a existência de raiz : f(1) = 1-2 = -1 .. f(3) = 27 - 6 = +21 , então como f(1) 
. f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo . 
x = [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ] , 
Cálculo de x0 : a=1 , b= 3, f(b) = f(3) = 21 , f(a)= f(1) = - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 = [1. 21 - 3(-1)] / [ 21 - (-1)] = 24 / 22 = 1,0909 
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835 ,sinal 
diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3] 
Então na fórmula de x : a = x0 = 1,0909 , b = 3 , f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21 
substituindo na expressão de x , 
resulta x1 = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)] / [ 21 - (-0,8835)] = (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 
21,8835 = 1.1679 
 
 
 
8 
 Questão 
 
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num 
par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é 
correto afirmar que: 
 
 
É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
É o valor de f(x) quando x = 0 
 É a raiz real da função f(x) 
 
Nada pode ser afirmado 
Respondido em 23/03/2023 18:25:47 
 
 
Explicação: 
 No ponto em que a função cruza o eixo x , o valor da abcissa x é denomindado raiz da função 
. 
 
1 
 Questão 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os 
métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos. 
 
 
o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
 não há diferença em relação às respostas encontradas. 
 
no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não 
conseguir. 
 
Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para 
o problema 
Respondido em 23/03/2023 18:27:08 
 
 
Explicação: 
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a 
partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos 
valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de 
parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o 
valor da solução. 
 
 
 
2 
 Questão 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) 
através de: 
 
 
Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 
Uma reta tangente à expressão f(x). 
 Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 
Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
Respondido em 23/03/2023 18:27:11 
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos 
resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 
 
 
 
3 
 Questão 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 
3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz 
encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 
1.0746 
 1.0800 
 
1.0245 
 
1.0909 
 
1.9876 
Respondido em 23/03/2023 18:27:59 
 
 
Explicação: 
f(x) = 3x4-x-3 , utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações para a raiz . 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 = -1 ... f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11 
daí : x1 = 1 - (-1) / 11 = 12/11 = 1,0909 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
 f(x1) = 3. 1,09094 - 1,0909 - 3 = 0,1578 ... f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 = 14,578 
daí x2 = 1,0909 - ( 0,1578 ) / 14,578 = 1,0909 - 0,0108 = 1,0801 
 
 
 
4 
 Questão 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de 
Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a 
realização da iteração diga o valor encontrado para x1. 
 
 
1 
 
1.75 
 
-2 
 
-1 
 2 
Respondido em 23/03/2023 18:28:32 
 
 
Explicação: 
Como f'(x)= 2x. e x0 =1 , temos após a realização dessa iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 . 
 
 
 
 
5 
 Questão 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de 
um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo 
ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." 
Esse método é conhecido como: 
 
 
Método de Pégasus 
 
Método da bisseção 
 
Método do ponto fixo 
 
Método das secantes 
 Método de Newton-Raphson 
Respondido em 23/03/2023 18:29:16 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da 
função . Devido à interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido 
como Método das Tangentes . 
 
 
 
6 
 Questão 
 
Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se 
determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. 
Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será: 
 
 
3,243 
 1,143 
 
2,143 
 
1,243 
 
2,443 
Respondido em 23/03/2023 18:32:18 
 
 
Explicação: 
Newton_Raphson: 
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) 
x0 = 1 
f(x) = 4x3 - 5x 
f'´(x) = 12x2 - 5 
Para x0 = 1 
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1 
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7 
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143 
 
 
 
7 
 Questão 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 23/03/2023 18:32:31 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . 
Devido à interpretação gráfica da derivada da funçãocomo a tangente , é também conhecido como 
Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura. 
 
 
 
8 
 Questão 
 
Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, 
com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no 
intervalo considerado. 
Dados: x0 = 2 / e2 = 7,3875 
 
 3,104 
 
2.154 
 2,354 
 
3,254 
 
2,854 
Respondido em 23/03/2023 18:32:39 
 
 
Explicação: 
f(x) = ex - 10 / f '(x) = ex 
f(2) = e2 - 10 = -2,6124 / f '(2) = e2 = 7,3875 
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0) 
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354 
 
 
1. 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
x = -2 ; y = 3 
 
x = 5 ; y = -7 
 
x = 2 ; y = -3 
 
x = 9 ; y = 3 
 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , 
donde x = -2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de 
Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos 
operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: 
Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um 
valor qualquer. 
 
 
1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 
 
 
Explicação: 
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal e o restante 
zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha, o valor solução para cada variável lido na 
última coluna. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 
É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
 
 
Explicação: 
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações 
lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não é usado para cálculo de raiz de 
função. nem para fazer interpolação de dados .Então só a opção correspondente está correta. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou 
iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Sempre são convergentes. 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes." 
Nem sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma 
matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 
 
Explicação: 
A quarta opção , identificada como correta, é a única matriz cujos termos aij correspondem 
exatamente aos coeficientes numéricos de cada equação dada . 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Os valores de x1,x2 e x3 são: 
 
 
 
-1,2, 3 
 
2,-1,3 
 
1,-2,3 
 
-1, 3, 2 
 
1,2,-3 
 
 
 
Explicação: 
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. 
Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas 
concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que: 
 
 
nada pode ser afirmado. 
 
apresenta infinitas soluções 
 
não apresenta solução 
 
apresenta ao menos uma solução 
 
apresenta uma única solução 
 
 
 
Explicação: 
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas 
concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o 
sistema é possível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de 
Gauss. Este método pode ser resumido como: 
 
 
Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'. 
 
Encontrar uma matriz equivalente escalonada 
 
Determinar uma matriz equivalente não inversível 
 
Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo 
 
Determinar uma matriz equivalente singular 
 
 
 
Explicação: 
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por 
exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y na terceira linha linha e de z na 
segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na 
segunda linha, encontramos y e, por fim, x. 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções 
quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, 
determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
y=x2+x+1 
 
y=2x+1 
 
y=2x 
 
y=x3+1 
 
y=2x-1 
 
 
 
Explicação: 
Substituindo nas funções questionadas os valores de x e de y dos pontos (x,y) dados , observamos 
que apenas a função y=2x+1 atende a todos os valores dos pares x e y . 
Por exemplo, para (1,3) temos x=1 , y =3 e substitundo nessa função , confirma-se a igualdade : 
3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos (x=4, y =9 ) , ( x=3 , y =7) e (x=2, y =5) .. 
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os 
valores (x, y). 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. 
Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas 
concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que: 
 
 
apresenta infinitas soluções 
 
apresenta uma única solução 
 
nada pode ser afirmado. 
 
apresenta ao menos uma solução 
 
não apresenta solução 
 
 
 
Explicação: 
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas 
concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o 
sistema é possível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de 
Gauss. Este método pode ser resumido como: 
 
 
Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo 
 
Determinar uma matriz equivalente não inversível 
 
Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'. 
 
Determinar uma matriz equivalente singular 
 
Encontrar uma matriz equivalente escalonada 
 
 
 
Explicação: 
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por 
exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y na terceira linha linha e de z na 
segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na 
segunda linha, encontramos y e, por fim, x. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Os valores de x1,x2 e x3 são: 
 
 
 
1,-2,3 
 
-1, 3, 2 
 
-1,2, 3 
 
1,2,-3 
 
2,-1,3 
 
 
 
Explicação: 
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
Resolva o sistema deequações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
x = 5 ; y = -7 
 
x = -2 ; y = 3 
 
x = 9 ; y = 3 
 
x = 2 ; y = -3 
 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , 
donde x = -2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de 
Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos 
operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: 
Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um 
valor qualquer. 
 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 
 
 
Explicação: 
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal e o restante 
zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha, o valor solução para cada variável lido na 
última coluna. 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou 
iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
Sempre são convergentes. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes." 
Nem sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma 
matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
 
 
Explicação: 
A quarta opção , identificada como correta, é a única matriz cujos termos aij correspondem exatamente 
aos coeficientes numéricos de cada equação dada . 
 
 
 
1. 
 
 
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número 
exato" expressa a definição de: 
 
 
Erro conceitual 
 
Erro absoluto 
 
Erro fundamental 
 
Erro derivado 
 
Erro relativo 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes 
de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a 
equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função 
equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação 
há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA. 
 
 
Há convergência para o valor -3. 
 
Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz. 
 
Há convergência para o valor -59,00. 
 
Há convergência para o valor 2. 
 
Há convergência para o valor - 3475,46. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), 
(1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de 
interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a 
mais adequada? 
 
 
Função cúbica. 
 
Função exponencial. 
 
Função linear. 
 
Função quadrática. 
 
Função logarítmica. 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual 
ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias 
maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar: 
 
 
o método de Lagrange 
 
o método de Euller 
 
o método de Pégasus 
 
o método de Raphson 
 
o método de Runge Kutta 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se 
ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por 
interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-
1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x) 
 
 
Um polinômio do terceiro grau 
 
Um polinômio do quinto grau 
 
Um polinômio do quarto grau 
 
Um polinômio do sexto grau 
 
Um polinômio do décimo grau 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Os valores de x1,x2 e x3 são: 
 
 
 
1,2,-3 
 
1,-2,3 
 
-1, 3, 2 
 
2,-1,3 
 
-1,2, 3 
 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47 
Multiplicando a primeira equação por -2 e somando-se à terceira: 0 10 -3 24 
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70 
 
Rearrumando: 
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13 
0 + 5x2 + 16x3 = 47 
0 + 0 + 35x3 = 70 
 
Assim, x3 = 2 
Substituindo na segunda equação: x2 = 3 
Substituindo na primeira equação: x1 = -1 
(-1, 3, 2) 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere o gráfico de dispersão abaixo. 
 
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor 
se ajustam? 
 
 
Y = ax + 2 
 
Y = b + x. ln(2) 
 
 Y = a.log(bx) 
 
Y = a.2-bx 
 
Y = ax2 + bx + 2 
 
 
 
Explicação: 
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser 
do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos 
das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a 
obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" 
representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos 
representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo 
Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
Interpolação polinomial. 
 
Integração. 
 
Determinação de raízes. 
 
Derivação. 
 
Verificação de erros. 
 
 
 
1. 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. 
Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. 
Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos 
trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de 
integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando 
se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida: 
 
 
Nunca se altera 
 
Nada pode ser afirmado. 
 
Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 
 
Varia, aumentando a precisão 
 
Varia, diminuindo a precisão 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que 
representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto. 
 
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados 
apresentados acima é do tipo 
 
 
Y = abx+c 
 
 Y = b + x. log(a) 
 
Y = ax2 + bx + c 
 
 Y = b + x. ln(a) 
 
Y = ax + b 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma 
situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o 
polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio 
são feitas as seguintes afirmativas: 
 
 I - Pode ser de grau 21 
II - Existe apenas um polinômio P(x) 
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x). 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 
Apenas II e III são verdadeiras. 
 
 
 Apenas I e II são verdadeiras 
 
 Todas as afirmativas estão erradas 
 
 Apenas I e III são verdadeiras 
 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa 
através dos dados (n + 1) pontos.menor ou igual a n + 1 
 
n + 1 
 
menor ou igual a n - 1 
 
n 
 
menor ou igual a n 
 
 
 
Explicação: 
Na interpolação polinomial, quando temo "n +1 " pontos, o polinômio interpolador tem grau máximo 
"n". 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e 
posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. 
Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), 
(0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos 
métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a 
seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
Função exponencial. 
 
Função cúbica. 
 
Função logarítmica. 
 
Função quadrática. 
 
Função linear. 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, 
aproximadamente, o valor 
de usando o método dos 
trapézios com 3 casas decimais. 
 
 
 
 
 13,017 
 
 13,000 
 
 13,500 
 
 13,857 
 
 13,900