GRA0992 - Resistencia dos materiais (Apostila 3)

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
RESISTÊNCIA DOSRESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS:MATERIAIS:
CISALHAMENTOCISALHAMENTO
TRANSVERSAL, CARGASTRANSVERSAL, CARGAS
COMBINADAS ECOMBINADAS E
TRANSFORMAÇÃO DETRANSFORMAÇÃO DE
TENSÕES ETENSÕES E
DEFORMAÇÕESDEFORMAÇÕES
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Revisor : Luc iano Gald ino
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Dando continuidade aos carregamentos aplicados no cotidiano de projetistas
ou engenheiros, nesta unidade, veremos diversas situações nas quais a
resistência dos materiais é utilizada. O cisalhamento transversal, caso em que
a principal tensão provém de forças cortantes em seções transversais de
elementos estruturais, será o primeiro desses casos particulares. Em seguida,
estudaremos a combinação de cargas, a qual exige que você, caro(a)
estudante, relembre conceitos previamente estudados dentro da mecânica
dos sólidos, para então avaliar estruturas e componentes sob uma
combinação de carregamentos. Indo além, uma ferramenta muito importante
é introduzida aqui: as transformações de tensões e de deformações, nas
quais podemos analisar elementos em planos inclinados e rotacionados em
ângulos diferentes de 0°.
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O cisalhamento transversal é o cisalhamento que ocorre devido a esforços
�etores em uma viga. Tal como a tensão normal, há um per�l de tensões
baseado no eixo neutro de uma seção transversal particular. Diferente das
tensões normais, o maior valor de tensões ocorre no eixo neutro. A seguir,
veremos os casos de cisalhamento transversal mais importantes nas
aplicações de resistência dos materiais.
Cisalhamento em Elementos Retos
Consideremos uma viga, longa, reta e com área da seção transversal
constante. Se carregamentos forem aplicados nessa viga, como resposta,
serão desenvolvidas forças de momento �etor e também forças de
cisalhamento internas.
A força de cisalhamento , que será identi�cada por V , é o resultado de uma
distribuição de tensão de cisalhamento transversal agindo na seção
transversal da viga.
CisalhamentoCisalhamento
TransversalTransversal
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Associadas às tensões transversais de cisalhamento, teremos também
tensões de cisalhamento longitudinais agindo ao longo dos planos
longitudinais da viga.
Isso ocorre devido à propriedade complementar do cisalhamento , ou seja,
se analisarmos um elemento de volume in�nitesimal de um corpo sofrendo
cisalhamento, para manter o equilíbrio desse elemento, surgirão quatro
tensões de cisalhamento, que terão intensidades iguais e sentidos iguais ou
opostos umas das outras nas bordas opostas do elemento.
Figura 3.1 - Tensão de cisalhamento transversal na seção transversal da viga
e à direita, propriedade complementar do cisalhamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 283).
O surgimento de tensões de cisalhamento longitudinais pode ser
exempli�cado em um caso simples: imagine 4 réguas �exíveis empilhadas,
engastadas em uma de suas extremidades e uma força P sendo aplicada na
outra extremidade. Se nada estiver unindo as réguas, notamos um
deslocamento longitudinal entre elas durante a aplicação da força. Porém, se
unirmos as réguas como um bloco único e a mesma força for aplicada, o
deslocamento longitudinal deixará de ocorrer, mas, como consequência,
surgirá uma tensão longitudinal entre elas.
Com as tensões de cisalhamento transversais e longitudinais, a seção
transversal da viga será distorcida de maneira complexa. Entretanto, para
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estudo com vigas de largura pequena em relação ao seu comprimento, essa
deformação da seção transversal pode ser considerada pequena o su�ciente
para ser desprezada.
A fórmula do cisalhamento é deduzida utilizando a fórmula de �exão,
anteriormente apresentada, e a relação entre o momento �etor (M) e a força
de cisalhamento (V), na equação 3.1:
V =
dM
dx 
(eq. 3.1)
Considerando uma viga carregada, conforme a �gura 3.2:
Figura 3.2 - Exemplo de surgimento de tensão de cisalhamento longitudinal
Fonte: Hibbeler (2010, p. 285).
Ao analisarmos um elemento in�nitesimal de comprimento dx da viga, com
um diagrama de corpo livre (DCL), e buscando o equilíbrio das forças
horizontais (ΣFx=0), nota-se o surgimento de uma tensão de cisalhamento
longitudinal τ na face inferior do elemento para equilibrar as tensões
normais causadas pelos momentos �etores, como pode ser visto na Figura
3.3:
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Figura 3.3 - Vista tridimensional e lateral do DCL do elemento in�nitesimal
Fonte: Hibbeler (2010, p. 285).
A tensão de cisalhamento longitudinal utilizada para equilibrar as forças
horizontais tem o mesmo valor da tensão de cisalhamento transversal na área
da seção transversal da viga, devido à propriedade complementar do
cisalhamento.
Sendo assim, a fórmula da tensão de cisalhamento para uma seção
transversal da viga é dada pela equação 3.2:
τ =
VQ
It ,
onde
Q = y− ′A′
(eq. 3.2)
É importante utilizar como auxílio a Figura 3.4, que representa uma seção
transversal qualquer de uma viga, para localização dos termos.
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τ → tensão de cisalhamento em um ponto localizado à distância y’ da
linha neutra NA que passa pelo centroide da seção, dada em Pa
(N/m²). Obs.: a tensão é constante em toda a largura t da seção, na
altura y’;
V → força de cisalhamento interna, determinada pelo método das
seções, dada em N;
I →  momento de inércia de área da seção transversal, dado em m4;
t →   largura da área da seção no ponto onde τ deve ser
determinada, dada em m;
Q → momento de primeira ordem da área A’ em torno do eixo
neutro, dado em m³;
(y− ′) → distância do eixo neutro até o centroide da área A’, dada em
m;
A’ → Porção superior ou inferior de área da seção transversal em
relação à linha t, que está a uma distância y’ do eixo neutro, dada em
m².
Tensão de Cisalhamento em Vigas
de Seção Retangular
Figura 3.4 - Elemento seccionado em seu eixo neutro
Fonte: Hibbeler (2010, p. 285).
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Comumente, encontramos aplicações onde a seção transversal da viga será
retangular. Sendo assim, é interessante analisar a distribuição da tensão de
cisalhamento nessa geometria considerando uma viga retangular, como visto
na Figura 3.5:
Figura 3.5 - Viga com seção transversal de largura b e altura h.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 287).
Identi�cando os parâmetros de linha neutra NA, y’, y− ′, A’:
Figura 3.6 - Altura arbitrária y a partir do eixo neutro
Fonte: Hibbeler (2010, p. 286).
Ao analisar a fórmula do cisalhamento apresentada anteriormente, nota-se
que a força de cisalhamento ( V ), o momento de inércia da seção ( I ) e a
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largura da área da seção ( t ) são constantes, a única variável é o Q.
E o valor de Q será máximo quando:A’ = bh/2 (metade de área, superior ou inferior)
y− ′= h/4
Ou seja, a tensão de cisalhamento máxima na seção retangular ocorre
sobre o eixo neutro NA e pode ser calculada pela equação 3.3:
τmáx = 1, 5
V
A
(eq. 3.3)
Onde A representa a área da seção inteira: A = b.h
Figura 3.7 - Distribuição da tensão de cisalhamento em uma seção transversal
retangular
Fonte: Hibbeler (2010, p. 287).
Devemos ter em mente que a tensão de cisalhamento transversal tem uma
tensão de cisalhamento longitudinal análoga, cuja máxima ocorre no plano
neutro.
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Figura 3.8 - Tensões máximas mostradas no plano neutro.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 287).
Agora que temos noções de cisalhamento em vigas ou elementos de seções
relativamente simples, precisamos compreender como vigas mais complexas
são submetidas a carregamentos do tipo.
Tensão de Cisalhamento em Vigas
de Abas Largas
A viga com seção transversal de abas largas também é amplamente utilizada
na engenharia e merece uma abordagem individual sobre a distribuição da
tensão de cisalhamento nessa geometria, considerando uma viga de abas
largas, como a Figura 3.9:
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Figura 3.9 - Um exemplo de viga de abas largas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 288).
A distribuição de tensão de cisalhamento é apresentada, conforme a Figura
3.10:
Nesse caso, a tensão máxima de cisalhamento também ocorrerá na linha
neutra e pela distribuição de tensão. Nota-se que é a alma da viga que
suportará a maior parte da tensão, sendo, então, o elemento de maior
importância em um projeto desse tipo, por exemplo.
Figura 3.10 - Intensidade de distribuição de tensão de cisalhamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 288).
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Tensão de Cisalhamento em Vigas
Circulares Maciças
A tensão máxima de cisalhamento será na linha neutra para uma seção
circular maciça também, conforme Figura 3.11:
Figura 3.11 - Exemplo de elemento com seção circular
Fonte: Hibbeler (2010, p. 296).
O valor de Q será máximo quando A’= π r² /2 e (y− ′) = 4r/3π.
A tensão de cisalhamento máxima na seção será dada pela equação 3.4:
τmáx = 1, 33
V
A
(eq. 3.4)
Onde A representa a área da seção inteira: A= π r²
Limitações da Fórmula da Tensão de
Cisalhamento
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A fórmula da tensão de cisalhamento apresentada, da forma que foi
deduzida, possui algumas limitações que devem ser levadas em conta nos
projetos nos quais se desejam seções transversais de viga menos
convencionais.
Deve-se sempre ter em mente que o valor da tensão de cisalhamento
obtido pela fórmula, dita constante em toda a largura t da seção, é,
na verdade, uma tensão média. O erro é pequeno para seções
alongadas, porém a fórmula não deve ser utilizada para vigas com
seções transversais achatadas.
Os resultados obtidos pela fórmula também sofrem alterações em
regiões onde a seção transversal sofre mudança de espessura
abrupta, como no caso da viga de abas largas, na junção entre a alma
e a aba. Nesse local, teremos também a ação de concentradores de
tensão.
Não é recomendado usar a fórmula em vigas onde a seção
transversal possui um contorno irregular, curvilíneo, não retangular.
Para contornos mais complexos de seção, devem ser utilizados
métodos mais avançados de cálculo baseados na teoria da
elasticidade.
Mesmo com essas limitações, a fórmula é de grande importância durante um
projeto, pois, na maioria das vezes, o interesse será em obter a tensão
máxima de cisalhamento, e a geometria da seção transversal usualmente será
com contornos retangulares.
praticar
Vamos Praticar
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Considere que a viga de abas largas abaixo está sujeita a uma força cortante V = 20
kN. Determine a tensão de cisalhamento no ponto A. Faça uso da equação 3.2, vista
anteriormente, e não se esqueça das unidades (lembrando que 20 kN = 20 x 10³ N).
a) 2,56 MPa
b) 3,00 MPa
c) 2,44 MPa
d) 7,10 MPa
e) 4,55 MPa
Viga sob uma força cortante V
Fonte: Hibbeler (2016, p. 382).
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Anteriormente, analisamos membros estruturais sujeitos a um único tipo de
carregamento, como cargas axiais em barras, eixos sob torção e �exão em
vigas. Porém, em diversas estruturas e componentes, mais de um tipo de
carregamento se faz presente. Por exemplo, uma viga pode estar sujeita a
momentos �etores e forças axiais, um vaso de pressão pode servir como
apoio e um eixo sob torção pode ter um momento �etor.
Vasos de Pressão de Parede Fina
Vasos de pressão podem ser cilíndricos e esféricos, e são geralmente
utilizados como caldeiras ou reservatórios. As tensões nas paredes de vasos
podem ser analisadas pelos métodos aqui apresentados se a razão
raio/espessura r / t ≥ 10.
Em vasos de pressão cilíndricos , consideramos que há duas tensões
principais, uma tensão na direção circunferencial (eq. 3.5) e outra na direção
longitudinal (eq. 3.6), respectivamente, dadas pelas equações:
CargasCargas
CombinadasCombinadas
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σ1 =
pr
t
(eq. 3.5)
σ2 =
pr
2t
(eq.3.6)
nas quais, p = pressão interna no vaso, r = raio do vaso esférico e t =
espessura da parede.
Em vasos de pressão esféricos , temos apenas uma tensão, válida para todas
as direções, dada pela equação 3.7:
σ2 =
pr
2t
(eq. 3.7)
Devemos lembrar que, por mais simples que as equações para
dimensionamento de vasos de pressão sejam, deve-se sempre ser
conservador em projetos do tipo. Para tal, fatores de segurança são sempre
utilizados, tornando os projetos mais con�áveis.
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reflita
Re�ita
Pense em vasos de pressão. Eles estão
no cotidiano de muitas pessoas e têm
diversas aplicações, sendo algumas já
citadas aqui no texto. Por que você
considera importante que o seu
dimensionamento seja feito por
alguém capacitado, que considera um
fator de segurança adequado em seu
projeto? Já ouviu falar de acidentes
envolvendo vasos de pressão?
O projetista também deve atentar-se a outras questões estruturais em vasos
de pressão, especialmente no que diz respeito à união de chapas calandradas
e calotas. As soldas e uniões parafusadas são regiões críticas e concentram
tensões, por isso é sensato que se tenha muito cuidado ao selecionar o tipo
de união e as cargas críticas aos quais o vaso está sujeito.
Componentes Estruturais Sujeitos a
Cargas Combinadas
Quando um componente está sujeito a mais de um tipo de carregamento, por
exemplo, carga axial e �exão, segue-se uma metodologia para analisá-lo. O
método de análise de componentes estruturais sujeitos a cargas combinadas
normalmente seguido é:
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1. Seleção do ponto na estrutura onde a tensão e deformações devem
ser determinadas.
2. Para cada carregamento na estrutura, as tensões resultantes na
seção transversal que contém o ponto devem ser determinadas. As
resultantes podem ser umaforça axial, um momento torsor, um
momento �etor e uma força cortante.
3. Calcular as tensões normal e de cisalhamento no ponto selecionado,
que se dá devido às resultantes de tensão. Se falamos de um vaso de
pressão, calcular também a pressão interna.
4. Combinar as tensões individuais para saber a resultante, que são σx,
σye τxy. Note que lidamos com estado plano de tensões.
5. Determinar as tensões principais e tensões máximas de
cisalhamento no ponto, usando o equacionamento referido, ou o
círculo de Mohr. Se necessário, veri�car um plano inclinado.
6. Determinar as deformações no ponto, com a lei de Hooke para
estado plano.
7. Selecionar outros pontos e repetir o procedimento. Continuar até
que tensões e deformações su�cientes satisfaçam o propósito da
análise.
Exemplo
A haste maciça tem um raio de 7,5 mm e está sujeita à carga mostrada,
determine o estado de tensões no ponto A, conforme mostra a Figura 3.12.
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Figura 3.12 - Haste sob carregamento combinado
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010, p. 329).
Inicialmente, montamos o DCL do membro AB, conforme pode ser visto a
seguir:
Uma força normal de 500 N, uma força cortante de 800 N, momentos �etores
de 80.000 N.mm e 70.000 N.mm, além de um momento torsor de 112.000
N.mm são obtidos na seção.
Com isso, devemos calcular os componentes de tensão.
Figura 3.13 - DCL do segmento AB
Fonte: Hibbeler (2010, p. 329).
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Tensão normal
A distribuição de tensão, vista na Figura 3.14, é calculada para o ponto A por:
σA =
P
A =
500
π(7, 5)2
= 2, 83 MPa
Força cortante
Inicialmente, calculamos Q , que determina a área semicircular sombreada.
Q = y− ′A′ =
4 × 7, 5
3π (12π(7, 5)2) = 281, 3 mm3
De modo que encontramos a tensão de cisalhamento:
τA =
VQ
It =
800 × 281, 3
(14π(7, 5)4) × 2 × 7, 5
= 6, 04 MPa
Figura 3.14 - Distribuição de tensão normal na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
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Figura 3.15 - Distribuição de tensão de cisalhamento na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Momentos �etores
Para o componente de 80.000 N.mm, o ponto A encontra-se no eixo neutro,
sendo que a tensão será nula. σA1 = 0
Figura 3.16 - Tensão nula na linha neutra
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Para o momento de 70.000 N .mm, c = 7,5mm, de modo que:
σA2 =
Mc
I =
70.000 × 7, 5
1
4π(7, 5)
4
= 211, 26 MPa
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Figura 3.17 - Distribuição de momento �etor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Momento torsor
No ponto A, temos que c=7,5 mm, de modo que o cisalhamento é:
τA =
Tc
J =
112.000 × 7, 5
1
2π(7, 5)
4
= 169, 01 MPa
Figura 3.18 - Distribuição de momento torsor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
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praticar
Vamos Praticar
A superposição de cargas combinadas se faz necessária para compreender um
elemento sujeito a estados dessa natureza. O exemplo acima mostra um exemplo
de cargas combinadas, porém não de forma completa, uma vez que, para entender
a ação de carregamentos diferentes que agem em um corpo ou elemento, a
superposição é obrigatória. Conforme estudamos, observe a �gura a seguir e
termine o exemplo, aplicando a superposição dos estados de tensões encontrados.
Superposição
Distribuição de momento torsor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
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a) σA = 208, 43 MPa e =τA = 175, 05 MPa
b) σA = 214, 09 MPa e τA = 175, 05 MPa
c) σA = 208, 43 MPa e τA = 162, 97 MPa
d) )σA = 211, 26 MPa e τA = 169, 01 MPa
e) σA = − 214, 09 MPa e τA = − 175, 05 MPa
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Quando analisamos uma seção transversal inclinada em um elemento, isto é,
a um ângulo não perpendicular à tensão aplicada, os valores de tensão
normal e de cisalhamento podem aumentar. Para isso, existe o método de
transformação de tensões , pelo qual se encontram as tensões nas seções
inclinadas. Para tal, precisamos de equações de transformação de tensão.
Podemos analisar elementos sob tensão axial e estado plano de seções a
partir dessas.
Tensão Axial
O tema de tensão axial, anteriormente estudado, será o nosso primeiro caso
para a transformação de tensões.
Inicialmente, vamos imaginar uma barra prismática sob carregamento axial
arbitrário.
Transformação deTransformação de
TensõesTensões
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Figura 3.19 - Diferenças entre uma seção transversal plana e inclinada
Fonte: Esfuerzos … (2017, on-line).
De acordo com a Figura 3.19, temos uma barra prismática sob tração de força
P, com tensões agindo na seção transversal. A mesma barra prismática pode
ser analisada em uma seção inclinada a um ângulo \theta. Nessa seção
inclinada, vamos ter algumas componentes em P, a constar F (força normal) e
V (força cortante), ambas resultantes de simples trigonometria aplicada,
respectivamente F = Pcosθ eV = Psenθ.
As tensões resultantes são calculadas em função da nova área da seção
transversal. Portanto, vamos ter as seguintes equações, tensão normal na
equação 3.8, tensão de cisalhamento na equação 3.9 e área da seção
inclinada na equação 3.10
σ =
F
Aθ
(Eq. 3.8)
τ =
V
Aθ
(Eq. 3.9)
Aθ =
A
cosθ
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(eq. 3.10)
Substituindo as resultantes trigonométricas de força normal e força cortante,
teremos, respectivamente, tensão normal (eq. 3.11) e tensão de cisalhamento
(eq. 3.12):
σ =
P
Acos
2θ 
(eq. 3.11)
τ =
P
A
senθcosθ
(eq. 3.12)
Exemplo 1
Uma barra prismática de seção quadrada tem dimensões 40x40 mm. Se uma
carga axial de 800 N ao longo de seu eixo de simetria for aplicada, determine,
através de DCL e da representação de um elemento, a tensão normal média e
a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o material na seção a-a e
seção b-b, conforme visto na Figura 3.20.
Figura 3.20 -  Barra prismática sob carga axial
Fonte: Rodrigues (2020, p. 15).
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Aplicando as tensões mencionadas no exemplo, vamos chegar ao seguinte
resultado:
Sem inclinação
Tensão normal
σ =
F
A =
800 N
1600 mm2
= 500 kPa
Tensão de cisalhamento
τ = 0
Plano inclinado
Pelo DLC, que pode ser visto na Figura 3.21, resolvemos a carga aplicada, que
possui duas componentes, em x (F, força normal) e em y (V, força cortante).
A = 40 × 40 = 1600 mm2 = 0, 0016 m2
Aθ =
0, 0016mm2
cos30o
= 0, 00185 m2
Tensão normal
σ =
F
Aθ
=
692, 8 N
1850 mm2
= 375 kPa
Tensão de cisalhamento
τ =
V
Aθ
=
400 N
1850 mm2
= 217 kPa
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Figura 3.21- DCL e representação dos elementos sob as tensões em seção
planal (acima) e em plano inclinado (abaixo)
Fonte: Rodrigues (2020,p. 16-19).
Alguns ângulos indicam quando a tensão normal ou a tensão de cisalhamento
é máxima. Esse comportamento é visto na Tabela 3.1, que nos mostra os
picos para ambos os casos. A tensão normal é máxima em ângulo 0º e a de
cisalhamento é máxima em 45º.
θ σθ τθ
0º σmáx = σx 0
± 45º
σmáx
2 =
σx
2 ± τmáx = ±
σx
2
± 90º 0 0
Tabela 3.1 - Variação das tensões conforme ângulo de inclinação
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
A análise de tensões em seções inclinadas também pode ser aplicada quando
um elemento está sujeito a um estado plano de seções.
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Quando analisamos seções inclinadas nesses casos, faremos algumas
considerações:
o novo elemento possui faces que são paralelas à inclinação;
novos eixos x’, y’ e z’ são associados ao novo elemento;
o eixo z’ e z são coincidentes;
os eixos são rotacionados na direção anti-horária por um ângulo em
relação aos eixos x e y originais.
Figura 3.22 - Elemento sob um estado plano de tensões à esquerda e o
mesmo elemento inclinado a um ângulo θ
Fonte: Adaptada de Gere (2014, p. 376).
Dadas essas informações, necessitamos, a partir disso, determinar
componentes e tensão σx
′, σy
′ e τx′y′ que estão associados ao ângulo de
rotação θ.
σx′ =
σx + σy
2
+
σx − σy
2
cos2θ + τxysen2θ
(eq. 3.13)
σy′ =
σx + σy
2
−
σx − σy
2
cos2θ − τxysen2θ
(eq. 3.14)
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τx′y′ = −
(σx + σy)
2
sen2θ + τxycos2θ
 (eq. 3.15)
A convenção de sinais para as tensões normais e o cisalhamento são dados,
como mostrado na Figura 3.23:
Figura 3.23 - Convenção de sinais para estado plano de tensões.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 350).
A convenção de sinais vista na Figura 3.23 nos diz que a tensão normal é
positiva no eixo x quando a �echa aponta para a direita, a tensão normal no
eixo y é positiva quando a �echa aponta para cima, e a tensão de
cisalhamento positiva tem �echas opostas, ao lado direito do elemento para
cima e ao lado esquerdo do elemento para baixo.
Tensões Principais e Tensão Máxima
de Cisalhamento
As tensões normal e de cisalhamento, quando em seções inclinadas,
encontram ponto de valores máximos e mínimos entre intervalos de 90º. São
chamadas de tensões principais as tensões normais máximas e mínimas.
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Ao derivar-se as equações de σx
′ e σy
′ em relação a θ e igualando a 0 , é
possível obter os valores de θ, em que σx
′ e σy
′ são máximos.
As tensões principais possuem duas raízes ou ângulos principais que são
chamados de θp1e θp2 , afastados 90º.
tan2θp =
τxy
σx− σy
2
(eq. 3.16)
As tensões principais podem ser obtidas aos substituir θp1e θp2 nas equações
de transformação de tensão. Dessa forma, teremos a equação para as
tensões principais:
σ1 , 2 =
σx + σy
2
±√(σx − σy2 )2 + τ2xy
(eq. 3.17)
Nos planos principais, as tensões de cisalhamento são nulas. As tensões de
cisalhamento máximas ocorrem em planos orientados a 45º em relação à
posição de um elemento que de�ne os planos da tensão principal, de�nidos
pela substituição de θs1e θs2nas equações de transformação de tensão.
tan2θs = −
σx − σy
2τxy
 
(eq. 3.18)
A tensão máxima de cisalhamento é dada pela equação 3.19:
τmax =√(σx − σy2 )2 + τ2xy
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(eq. 3.19)
Também na tensão máxima de cisalhamento, a tensão normal é média,
podendo ser obtida por:
σméd =
σx + σy
2
(eq. 3.20)
Todos os conceitos aqui apresentados, de tensão média, tensão máxima de
cisalhamento, ângulos principais e tensões principais serão muito úteis na
análise de   critérios de seleção de materiais e serão utilizados a seguir na
construção grá�ca do círculo de Mohr, uma ferramenta que transforma as
equações em grá�co.
Círculo de Mohr
O Círculo de Mohr é uma representação grá�ca das equações de
transformações de tensões. Com ele, é possível observar como as tensões
normais e de cisalhamento se relacionam e agem em planos inclinados em
um corpo submetido à tensão. Nele, é fácil de observar as tensões principais,
as tensões de cisalhamento máximas e as tensões em planos inclinados.
Também pode se aplicar o Círculo de Mohr às deformações.
O círculo é construído seguindo algumas regras:
tensão normal positiva à direita no eixo x;
tensão de cisalhamento é positiva para baixo, no eixo y;
considerar σx, σye τxy conhecidas agindo nos planos x e y de um
elemento sujeito a estado plano de tensões;
com o círculo, é possível determinar as tensões de um elemento
inclinado σx
′, σy
′ e τx′y′, bem como as tensões principais e máxima de
cisalhamento.
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O centro do círculo é dado pelas coordenadas C (σmédia; 0). O raio do círculo R
= τmax, conforme visto na equação 3.12. Outro ponto importante é o ponto A,
que se dá pelas coordenadas A (σx,τxy).
Figura 3.24 - Esquematização do Círculo de Mohr
Fonte: Hibbeler (2010, p. 361).
Uma rotação de ângulo θ do eixo x’ no elemento corresponde uma rotação2θ
no círculo, com mesma direção.
praticar
Vamos Praticar
Se temos um estado plano de tensão, representado pelo elemento na �gura a
seguir, determine suas tensões em um outro elemento orientado a 30º no sentido
horário em relação à posição mostrada. Preste atenção ao sinal das tensões,
conforme convenção adotada.
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Solução
a) σx
′ = 25, 8 MPa, σy
′ = 4, 15 MPa e τx′y′ = 68, 8 MPa
b) σx
′ = − 25, 8 MPa, σy
′ = − 4, 15 MPa e τx′y′ = − 68, 8 MPa
c) σx
′ = − 80 MPa, σy
′ = 50 MPa e τx′y′ = − 25 MPa
d) σx
′ = − 52, 5 MPa, σy
′ = 3, 6 MPa e τx′y′ = − 44, 6 MPa
e) σx
′ = − 32, 7 MPa, σy
′ = − 7, 54 MPa e τx′y′ = − 62, 2 MPa
Estado plano da atividade
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010, p. 354).
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Quando um elemento é sujeito a deformações em um único plano, estamos
falando de estado plano de deformações. Conhecendo os componentes de
deformação para um elemento, podemos encontrar também as deformações
em uma certa orientação do elemento, tal como visto anteriormente para
tensões. Fazemos uso de equações de transformação de deformações:
εx′ =
εx + εy
2 +
εx − εy
2 cos2θ +
γxy
2 sen2θ
(eq. 3.21)
εy′ =
εx + εy
2 −
εx − εy
2 cos2θ −
γxy
2 sen2θ
(eq. 3.22)
γx′y′
2
= −(εx − εy2 )sen2θ + γxy2 cos2θ
Transformação deTransformação de
DeformaçõesDeformações
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(eq. 3.23)
ε1 , 2 =
εx + εy
2 ±√(εx − εy2 )2 +(γxy2)2
(eq. 3.24)
γmáx no plano
2 =√(εx − εy2 )2 +(γxy2)2
(eq. 3.25)
εméd =
εx + εy
2
(eq. 3.26)
tan2θp =
γxy
εx − εy
(eq. 3.27)
De forma análoga ao método de análise do estado plano de tensões, o estado
plano de deformações possui equações para deformações principais, média e
em planos inclinados. Elas serão posteriormente utilizadas na construção do
Círculo de Mohr do estado plano de deformações.
Círculo de Mohr para Deformações
O Círculo de Mohr também é válido para deformações. Sua construção é
bastante similar ao Círculo de Mohr para tensões. O centro do círculo é dado
pelas coordenadas C (εmédia; 0). O raio do círculo R =γmáx no plano
2 $ é dado na
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equação 3.25. Outro ponto importante é o ponto A, que se dá pelas
coordenadas A (εx′,
γxy
2 ).
Podemos observar que o Círculo de Mohr de deformações é bastante similar
ao Círculo de Mohr de tensões, bem como as equações. Um dos cuidados,
porém, é em relação à deformação de cisalhamento, que é apresentada
dividida por 2.
Extensômetros de Resistência
Elétrica tipo Roseta
As deformações normais em um corpo podem ser medidas em direções
particulares através de extensômetros de resistência elétrica do tipo roseta.
Quando um corpo é submetido a diversas cargas, resulta em diversas
deformações, inclusive uma deformação de cisalhamento. Para compreendê-
las, um arranjo de três extensômetros precisa ser feito, chamado de roseta ,
uma vez que extensômetros diretamente não retornam à deformação de
cisalhamento. Nesse arranjo, as deformações normais podem ser medidas e
transformadas para especi�car o estado de deformações no ponto do corpo.
Figura 3.25 - Círculo de Mohr para deformações
Fonte: Hibbeler (2010, p. 391).
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Figura 3.26 - Representação de um extensômetro tipo roseta
Fonte: Hibbeler (2010, p. 400).
Dada a Figura 3.26, temos os três extensômetros, a, b e c. Para ângulos
arbitrários, as deformações resultantes serão dadas por:
εa = εxcos
2θa + εysen
2θa + γxysenθacosθa 
(eq. 3.28)
εb = εxcos
2θb + εysen
2θb + γxysenθbcosθb
(eq. 3.29)
εc = εxcos
2θc + εysen
2θc + γxysenθccosθc
(eq. 3.30)
Normalmente, as rosetas são arranjadas em ângulos de 45º e 60º.
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Figura 3.27 - Extensômetro do tipo roseta de 45º e 60º, da esquerda para a
direita
Fonte: Hibbeler (2010, p. 400).
Para uma roseta de 45º, teremos as seguintes equações:
εx = εa
(eq. 3.31)
εy = εc
(eq. 3.32)
γxy = 2εb − (εa + εc)
(eq. 3.33)
Para extensômetros do tipo roseta de 60º, teremos:
εx = εa
(eq. 3.34)
εy =
1
3(2εb + 2εc − εa)
(eq. 3.35)
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γxy =
2
√3
(εb − εc)
(eq. 3.36)
É válido salientar que as rosetas não vão retornar valores diretos de
deformação sofrida por um corpo no plano e, por isso, a conversão que é
feita, por meio das equações aqui apresentadas, é muito importante e
retorna ao analista ou ao técnico o estado plano de deformações.
saibamais
Saiba mais
A deformação é um importante mecanismo
estudado por engenheiros mecânicos e
 metalúrgicos que, em muitos casos, melhora
certas propriedades mecânicas dos
materiais. A constar, o conceito de
encruamento é amplamente estudado. O
encruamento endurece os materiais que
passam por esse processo, devido aos
mecanismos de discordâncias. Procure ver
ou revisar o conceito de discordâncias,
abordado em livros-textos de ciência dos
materiais ou metalurgia física. Agora, leia o
artigo disponível, que traz o estudo de
encruamento de um aço inoxidável,
aplicando os conceitos de deformação e
metalurgia.
ACESSAR
http://www.scielo.br/pdf/rem/v60n1/v60n1a22.pdf
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Bem como as tensões, as deformações precisam ser compreendidas, pois elas
explicam fenômenos dos materiais que são de grande importância na
engenharia. Compreendê-las é entender sobre a prevenção de falha e a
durabilidade de mecanismos e sistemas. Ao �m dos estudos desta unidade,
temos base para discernir sobre materiais deformáveis em aplicações não
somente da engenharia mecânica e civil, mas também temos uma
compreensão dos materiais como um todo, quando sujeitos a carregamentos
ou passando por fenômenos físicos.
praticar
Vamos Praticar
O estado plano de deformação no ponto A sobre o suporte é medido por meio do
extensômetro tipo roseta, conforme �gura a seguir. As leituras obtidas para as
deformações foram: εa = 60 × 10
− 6,εb = 135 × 10
− 6e εc = 264 × 10
− 6. Determine as
deformações principais no plano no ponto e suas direções.
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a) ε1 = 60 × 10
− 6$ e ε2 = 246 × 10
− 6 a um ângulo θp2 = − 27, 4o
b) ε1 = 272 × 10
− 6 e ε2 = 33, 9 × 10
− 6 a um ângulo θp2 = 19, 3o
c) ε1 = 60 × 10
− 6 e ε2 = 135 × 10
− 6 a um ângulo θp2 = − 37, 1o
d) ε1 = 272 e ε2 = 33, 9 a um ângulo θp2 = 19, 3o
e) )ε1 = 144 × 10
− 6 e ε2 = 247 × 10
− 6 a um ângulo θp2 = 28, 7o
Extensômetro do tipo roseta para atividade
Fonte: Hibbeler (2010, p. 401).
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
Resistência dos Materiais (capítulos 7, 8 e 9)
Russell Hibbeler
Editora: Pearson
ISBN: 9788576053736
Comentário: Novamente, recomenda-se leitura do
livro-texto Resistência dos Materiais, de Hibbeler. O
conteúdo está apresentado de forma sucinta e
dinâmica. Recomenda-se a resolução de exercícios que
possam aumentar seu conhecimento por meio da
prática e da leitura de exemplos que o livro traz.
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FILME
O Challenger
Ano: 2013
Comentário: Este é um interessante �lme que mostra,
de forma dramatizada, o acidente com o ônibus
espacial Challenger, em 1986. O principal motivo do
acidente, que deixou 7 mortos, foi a falha de um anel
de vedação, o que ocasionou falhas estruturais no
ônibus e culminou em sua explosão.
TRA ILER
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conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), esta unidade pode parecer, a uma primeira vista, bastante
condensada e cheia de fórmulas, porém não �que intimidado(a) por isso, pelo
contrário, veja o quanto você já adquiriu de conhecimento su�ciente para
resolver problemas complexos dentro da mecânica dos sólidos, como o
projeto de vasos de pressão de parede �na. Aqui, estruturas que suportam
carregamentos diversos foram analisadas, bem como tensões e deformações
passaram a ser compreendidas de forma mais íntegra, e não apenas como o
resultado de um equacionamento, graças ao Círculo de Mohr, que demonstra
visualmente como a inclinação de um elemento tensionado pode alterar seu
per�l de tensões ou deformações.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ESFUERZOS en un plano oblicuo bajo carga axial. Resistencia de los
Materiales, 2017. Disponível em: <
https://profejnresistenciademateriales.blogspot.com/2017/10/esfuerzos-en-
un-plano-oblicuo-bajo.html >. Acesso em: 07 jan. 2020.
https://profejnresistenciademateriales.blogspot.com/2017/10/esfuerzos-en-un-plano-oblicuo-bajo.html
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GERE, James B. Mechanics of Materials. Stamford: Cengage Learning, 2014.
HIBBELER, Russell. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 2010.
MEYERS, Marc. Mechanical Behavior of Materials. Cambridge: Cambridge
University Press, 2009.
RODRIGUES, Luiz E. M. Aula 2 - Resistência dos Materiais. EngBrasil , 2020.
Disponível em: < http://www.engbrasil.eng.br/pp/res/aula2.pdf >. Acesso em:
07 jan. 2020.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/res/aula2.pdf16/04/2023, 22:02 Ead.br
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