2012_1_prova3_gabarito

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3a Prova de A´lgebra Linear — Turma A — 10/10/2012
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
Prova A
1. Para que 〈(x, y), (u, v)〉 = xu+ 2xv + Ayu+ 6yv seja um produto interno devemos ter
(a) A = 0 (b) A = 1 (c) A = 2 (d) A = 3 (e) A = 4
2. Seja 〈, 〉 um produto interno em R2 tal que
〈(1, 0), (1, 0)〉 = 1, 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 e 〈(0, 1), (0, 1)〉 = 2.
Enta˜o, 〈(3, 4), (2, 1)〉 e´ igual a:
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 20 (e) 25
3. Seja B = {v1, v2, . . . , v8} uma base de R8 com
v1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1),
v3 = (1, 1,−1,−1, 0, 0, 0, 0), v4 = (0, 0, 0, 0, 1, 1,−1,−1),
v5 = (1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), v6 = (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0),
v7 = (0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0), v8 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1).
Se (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = a1v1 + a2v2 + . . .+ a8v8, enta˜o a3 e´ igual a:
(a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
4. Seja S = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; x+y+z = 0, w = 0} com o produto interno usual. O complemento
ortogonal de S e´ dado por
(a) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y} (b) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = z}
(c) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z = 0} (d) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z, w = 0}
(e) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z}
5. Seja T : R3 → R3 um operador linear dado por
T (x, y, z) =
(
− x√
2
+
y√
6
+
z√
3
,− 2y√
6
+
z√
3
,
x√
2
+
y√
6
+
z√
3
)
.
Se T−1(1, 2, 3) = (a, b, c), enta˜o c e´ igual a
(a) 0 (b) 1 (c)
√
2 (d) 2
√
3 (e)
2√
6
+
√
3 +
1√
2
6. Seja T : R4 → R4 um operador linear dado por
T (x, y, z, w) = (x+ y + z − w, ax+ 3y + bz + w, x+ 2y + 3z − w,−x+ y + cz + w) .
Para que T seja um operador sime´trico e´ necessa´rio que a+ b+ c seja igual a
(a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
7. Determine uma base ortogonal do subespac¸o
S = {(x, y, z, w, v) ∈ R5 ; x+ z + v = 0, 2x+ z − v = 0, x+ y − w = 0}.
8. Determine uma matriz P que diagonaliza
A =
 0 0 20 −1 0
2 0 0

ortogonalmente e exiba P−1AP .
Gabarito
1. (a) Primeira soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter
〈(x, y), (u, v)〉 = 〈(u, v), (x, y)〉
para todos (x, y), (u, v) ∈ R2. Isto e´,
xu+ 2xv + Ayu+ 6yv = ux+ 2uy + Avx+ 6vy
para todos x, y, u, v reais. Isto acontece se, e so´ se, A = 2.
(b) Segunda soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 〈(0, 1), (1, 0)〉 ,
isto e´, A = 2.
Resposta: (c)
2.
〈(3, 4), (2, 1)〉 = 〈3(1, 0) + 4(0, 1), 2(1, 0) + 1(0, 1)〉
= 〈3(1, 0), 2(1, 0)〉+ 〈3(1, 0), 1(0, 1)〉+ 〈4(0, 1), 2(1, 0)〉+ 〈4(0, 1), 1(0, 1)〉
= 6 〈(1, 0), (1, 0)〉+ 3 〈(1, 0), (0, 1)〉+ 8 〈(0, 1), (1, 0)〉+ 4 〈(0, 1), (0, 1)〉
= 25.
Resposta: (e)
3. B e´ uma base ortogonal de R8. Enta˜o, se v = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), temos
a3 =
〈v, v3〉
〈v3, v3〉 = −1.
Resposta: (b)
4. Uma base de S e´ B = {v1, v2}, onde v1 = (1,−1, 0, 0) e v2 = (1, 0,−1, 0).
Sabemos que v = (x, y, z, w) ∈ S⊥ ⇔ 〈v, v1〉 = 0 e 〈v, v2〉 = 0, isto e´, se, e somente se,
(x, y, z, w) e´ soluc¸a˜o do sistema {
x− y = 0
x− z = 0 .
Logo, S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z}.
Resposta: (e)
5. A matriz de T na base canoˆnica de R3 e´
[T ] =
 −
1√
2
1√
6
1√
3
0 − 2√
6
1√
3
1√
2
1√
6
1√
3

que e´ ortogonal. Logo,
[T−1(1, 2, 3)] = [T ]−1
 12
3
 = [T ]t
 12
3
 =
 √20
2
√
3
 .
Portanto, c = 2
√
3.
Resposta: (d)
6. A matriz de T na base canoˆnica de R4 e´
[T ] =

1 1 1 −1
a 3 b 1
1 2 3 −1
−1 1 c 1
 .
T e´ sime´trico se, e so´ se, [T ] e´ sime´trica, isto e´, se, e so´ se, a = 1, b = 2 e c = −1. Assim, se T
e´ sime´trico, enta˜o a+ b+ c = 2.
Resposta: (e)
7. Atenc¸a˜o: esta questa˜o possui infinitas respostas, dependendo da base B escolhida. Um exemplo
de resposta e´ dado a seguir.
S e´ o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
x + z + v = 0
2x + z − v = 0
x + y − w = 0
.
Isto e´, S = {(2v, w − 2v,−3v, w, v) ; w, v ∈ R}.
Uma base de S e´ B = {(0, 1, 0, 1, 0), (2,−2,−3, 0, 1)}. Aplicando o processo de ortogonalizac¸a˜o
de Gram-Schmidt obtemos a base ortogonal B′ = {(0, 1, 0, 1, 0), (2,−1,−3, 1, 1)}.
8. Atenc¸a˜o: Esta questa˜o possui mais de uma soluc¸a˜o. Um exemplo de resposta e´ dado a seguir.
A equac¸a˜o caracter´ıstica de A e´
p(λ) = −(λ− 2)(λ+ 1)(λ+ 2) = 0,
com ra´ızes λ1 = −2, λ2 = −1 e λ3 = 2. B1 = {(1, 0,−1)}, B2 = {(0, 1, 0)} e B3 = {(1, 0, 1)}
sa˜o bases dos autoespac¸os associados a λ1, λ2 e λ3, respectivamente. Como cada vetor de
B = {(1, 0,−1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} e´ associado a um autovalor distinto e A e´ sime´trica, segue
que B e´ ortogonal. Normalizando os vetores de B, obtemos uma base
B′ =
{(
1√
2
, 0,− 1√
2
)
, (0, 1, 0) ,
(
1√
2
, 0,
1√
2
)}
que e´ ortonormal.
Tomamos, enta˜o,
P =
 1√2 0 1√20 1 0
− 1√
2
0 1√
2
 .
Como P e´ ortogonal, P−1 = P t. Logo,
D = P tAP =
 −2 0 00 −1 0
0 0 2
 .
3a Prova de A´lgebra Linear — Turma A — 10/10/2012
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
Prova B
1. Para que 〈(x, y), (u, v)〉 = 2xu+ 3xv + Ayu+ 6yv seja um produto interno devemos ter
(a) A = 0 (b) A = 1 (c) A = 2 (d) A = 3 (e) A = 4
2. Seja 〈, 〉 um produto interno em R2 tal que
〈(1, 0), (1, 0)〉 = 1, 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 e 〈(0, 1), (0, 1)〉 = 2.
Enta˜o, 〈(4, 2), (−1, 2)〉 e´ igual a:
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 20 (e) 25
3. Seja B = {v1, v2, . . . , v8} uma base de R8 com
v1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1),
v3 = (1, 1,−1,−1, 0, 0, 0, 0), v4 = (0, 0, 0, 0, 1, 1,−1,−1),
v5 = (1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), v6 = (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0),
v7 = (0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0), v8 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1).
Se (1, 2, 6, 7, 2, 4, 6, 8) = a1v1 + a2v2 + . . .+ a8v8, enta˜o a4 e´ igual a:
(a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
4. Seja S = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; x + y + z = 0} com o produto interno usual. O complemento
ortogonal de S e´ dado por
(a) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y} (b) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = z}
(c) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z = 0} (d) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z, w = 0}
(e) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z}
5. Seja T : R3 → R3 um operador linear dado por
T (x, y, z) =
(
− x√
2
+
y√
6
+
z√
3
,− 2y√
6
+
z√
3
,
x√
2
+
y√
6
+
z√
3
)
.
Se T−1(1, 2, 3) = (a, b, c), enta˜o a e´ igual a
(a) 0 (b) 1 (c)
√
2 (d) 2
√
3 (e)
2√
6
+
√
3− 1√
2
6. Seja T : R4 → R4 um operador linear dado por
T (x, y, z, w) = (x− y + z − w, ax+ 3y + bz + w, x+ 2y + 3z − w,−x+ y + cz + w) .
Para que T seja um operador sime´trico e´ necessa´rio que a+ b+ c seja igual a
(a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
7. Determine uma base ortogonal do subespac¸o
S = {(x, y, z, w, v) ∈ R5 ; x+ z + v = 0, 2x+ z − v = 0, x+ y − w = 0}.
8. Determine uma matriz P que diagonaliza
A =
 0 0 20 −1 0
2 0 0

ortogonalmente e exiba P−1AP .
Gabarito
1. (a) Primeira soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter
〈(x, y), (u, v)〉 = 〈(u, v), (x, y)〉
para todos (x, y), (u, v) ∈ R2. Isto e´,
2xu+ 3xv + Ayu+ 6yv = 2ux+ 3uy + Avx+ 6vy
para todos x, y, u, v reais. Isto acontece se, e so´ se, A = 3.
(b) Segunda soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 〈(0, 1), (1, 0)〉 ,
isto e´, A = 3.
Resposta: (d)
2.
〈(4, 2), (−1, 2)〉 = 〈4(1, 0) + 2(0, 1),−1(1, 0) + 2(0, 1)〉
= 〈4(1, 0),−1(1, 0)〉+ 〈4(1, 0), 2(0, 1)〉+ 〈2(0, 1),−1(1, 0)〉+ 〈2(0, 1), 2(0, 1)〉
= −4 〈(1, 0), (1, 0)〉+ 8 〈(1, 0), (0, 1)〉 − 2 〈(0, 1), (1, 0)〉+ 4 〈(0, 1), (0, 1)〉
= 10.
Resposta: (b)
3. B e´ uma base ortogonal de R8. Enta˜o, se v = (1, 2, 6, 7, 2, 4, 6, 8), temos
a4 =
〈v, v4〉
〈v4, v4〉 = −2.
Resposta: (a)
4. Uma base de S e´ B = {v1, v2, v3}, onde v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (1, 0,−1, 0) e v3 = (0, 0, 0, 1).
Sabemos que v = (x, y, z, w) ∈ S⊥ ⇔ 〈v, v1〉 = 0, 〈v, v2〉 = 0 e 〈v, v3〉 = 0, isto e´, se, e somente
se, (x, y, z, w) e´ soluc¸a˜o do sistema 
x− y = 0
x− z = 0
w = 0
.
Logo, S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z, w = 0}.
Resposta: (d)
5. A matriz de T na base canoˆnica de R3 e´
[T ] =
 −
1√
2
1√
6
1√
3
0 − 2√
6
1√
3
1√
2
1√
6
1√
3

que e´ ortogonal. Logo,
[T−1(1, 2, 3)] = [T ]−1
 12
3
 = [T ]t
 12
3
 =
 √20
2
√
3
 .
Portanto, a =
√
2.
Resposta: (c)
6. A matriz de T na base canoˆnica de R4 e´
[T ] =

1 −1 1 −1
a 3 b 1
1 2 3 −1
−1 1 c 1
 .
T e´ sime´trico se, e so´ se, [T ] e´ sime´trica,isto e´, se, e so´ se, a = −1, b = 2 e c = −1. Assim, se
T e´ sime´trico, enta˜o a+ b+ c = 0.
Resposta: (c)
7. Veja a resposta da Prova A.
8. Veja a resposta da Prova A.