Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
MATEMÁTICA I – BAC019 LISTA 1 (Derivadas) 1.- Derive a função. a) ( ) 2 xG x x e= − b) 2 4 3x xy x + + = c) ( ) ( ) ( )2 2 3f x x x= − + d) ( ) 1f t t t = − e) ( ) ( )31H x x x−= + f) ( ) 2 3g u u u= + g) 2 3 1 v x x = + h) 10 y A z Be y = + 2.- Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado. a) 4 2 , (0,2)xy x e= + b) ( )21 2 , (1,9)y x= + 3.- Ache os pontos sobre a curva 3 22 3 12 1y x x x= + − + onde a tangente é horizontal. 4.- Em qual ponto sobre a curva 1 2 3xy e x= + − a reta tangente é paralela à reta 3 5?y y− = 5.- A equação 22y y y x′′ ′+ − = é chamada de equação diferencial, pois envolve uma função desconhecida y e suas derivadas ey y′ ′′ . Encontre constantes , eA B C tais que a função 2y Ax Bx C= + + satisfaça a equação. 6.-Onde a função ( ) 1 2h x x x= − + + é derivável? Dê uma formula para h′ e esboce os gráficos de h e h′ . 7.- Derive. a) ( ) 224 tf t t = + b) ( ) ( )( )2 3 5 22Y u u u u u− −= + − c) ( ) ( )32 41 3 5F y y yy y = − + d) ( )2 2 ry r r e= − e) 3 2v v vy v − = f) ( ) 1 x x xef x x e − = + g) ( ) xf x c x x = + 8.- Encontre ( ) ( )ef x f x′ ′′ . a) ( ) 3 x xf x e = + b) ( ) 5/2 xf x x e= 9.- Encontre equações da reta tangente e da reta normal à curva dada no ponto especificado. a) 2 , (0,0)xy xe= b) , (4,0.4) 1 xy x = + 10.- Suponha que ( ) ( ) ( ) ( )2 3, 2 4, 2 2 e 2 7f g f g′ ′= − = = − = . Encontre ( )2 .h′ a) ( ) ( ) ( )5 4h x f x g x= − b) ( ) ( ) ( )h x f x g x= c) ( ) ( )( ) f x h x g x = d) ( ) ( )( )1 g x h x f x= + 11.- Se ( ) ( )2 4 e 2 -3h h′= = , encontre ( ) 2x h xd dx x = . 12.- Derive. a) ( ) ( )3 cosg t t t= b) ( )costy e t ct= + c) 1 cos senxy x x + = + d) ( ) cosecxf x xe x= e) 2y x senx tgx= 13.- Demonstre que. a) ( )cosec cosec cotgd x x x dx = − b) ( )sec secd x x tg x dx = c) ( ) 2cotg cosecd x x dx = − 14.- a) Use a regra do quociente para derivar a função ( ) 1 sec tg xf x x − = b) Simplifique a expressão para ( )f x , escrevendo-a em termos de , cossen x x , e então encontre ( )f x′ . (c) Mostre que suas respostas para a) e b) são equivalentes. 15.- Suponha que ( ) ( )/ 3 4 e / 3 2f fpi pi′= = − , e faça ( ) ( ) ( ) ( ) cos e xg x f x sen x h x f x= = . Encontre. a) ( )/ 3g pi′ b) ( )/ 3h pi′ 16.- Encontre a derivada da função. a) 5 cos3xy e x−= b) ( ) 1 1 zF z z − = + c) 2 1 ry r = + d) 2sen xy pi= e) 2 2 1 cos 1 x x ey e − = + f) k tg xy e= g) ( ) ( )t tg tf t tg e e= + h) ( ) ( )22 sen tf t sen e= i) y x x x= + + j) ( )( )cosy sen tg xpi= k) ( ) 432y x x sen x = + + 17.- Encontre a primeira e segunda derivada da função. a) a xy e senbx= b) xey e= 18.- Encontre as coordenadas x de todos os pontos sobre a curva 2 2y sen x sen x= − nos quais a reta tangente é horizontal. 19.- Se ( ) ( )4 3 ,h x f x= + onde ( ) ( )1 7 e 1 4f f ′= = , encontre ( )1h′ . 20.- Seja ( ) ( )( )( )r x f g h x= , onde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, 2 3, 1 4, 2 5 e 3 6h g h g f′ ′ ′= = = = = . Encontre ( )1r′ . 21.- Mostre que a função x xy Ae Bxe− −= + satisfaz a equação diferencial 2 0y y y′′ ′+ + = . 22.- O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado pela equação ( ) ( )110 10 4 s t sen tpi= + , onde s é medido em centímetros e t , em segundos. Encontre a velocidade da partícula após t segundos. 23.- Se a equação de movimento de uma partícula for dada por ( )coss A tω δ= + , dizemos que a partícula está em movimento harmônico simples. a) Encontre a velocidade da partícula no instante t . b) Quando a velocidade é zero? 24.- Encontre dy dx derivando implicitamente. a) /x ye x y= − b) ( ) ( )2 2ysen x xsen y= c) 2 21x y x y+ = + d) ( )cotgxy xy= e) cos cossen x y sen x y+ = 25.- Se ( ) ( )( ) 2g x xsen g x x+ = , ache ( )0g′ . 26.- Use a derivada implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. a) ( )22 2 2 22 2 , (0,1/ 2)x y x y x+ = + − b) ( ) ( )22 2 2 22 25 , (3,1)x y x y+ = − 27.- Mostre, que a soma de coordenadas das interseções com os eixos x e y de qualquer reta tangente à curva x y c+ = é igual a .c 28.- a) Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua função inversa 1f − seja também derivável. Use a derivação implícita para mostrar que ( ) ( )( ) 1 1 1f f f x − − ′ = ′ . b) Se ( )4 5f = e ( )4 2 / 3f ′ = , encontre ( ) ( )1 5 .f − ′ 29.- Derive a função. a) ( ) ( )5log xf x xe= b) ( )4 2lny x sen x= c) ( )ln x xy e xe− −= + d) ( ) 2ln 1 xy e = + e) ( )2log cosxy e xpi−= 30.- Use a derivada logarítmica para achar a derivada da função. a) ( ) 2 4 22 1 sen x tg xy x = + b) sen xy x= c) ( )ln xy sen x= d) ( )1/ xy tg x= e) ( )cosln xy x= .
Compartilhar