1 Exercícios CÁLCULO INTEGRAL - Assunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 2023 - ENIAC

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Engenharia Civil – CÁLCULO INTEGRAL – 2023 
 
Assunto 1 - Noções de integral, cálculo e função integral 
Questão 1) 
Dada a função f(x) = 3x + 1, qual é a sua integral? 
A. 3x2 + x + C 
B. 3/2 x2 + C 
C. 3/2 x2 + x + C 
D. x + C 
E. 3x 
 
Questão 2) 
A solução para a integral 
∫22(20+4x5∕3x)dx é: 
A.0. 
B. 23. 
C. 55. 
D. 62. 
E. 124. 
 
Questão 3) 
A integral da função f(x) = 10x + 2 no intervalo [1,2] é: 
A. 0. 
B. 10. 
C. 17. 
D. 192. 
E. 197. 
 
Questão 4) 
Qual das opções abaixo representa uma integral indefinida? 
A. f(x) = 4x + C. 
B. f' (x) = 30x2 
C. ∫ab f(x)dx. 
D. ∫4dx. 
E. ∫0102x3 dx. 
 
Questão 5) 
Resumo da tentativa: 1 
Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu deslocamento depois de 10 segundos? 
A. 0m. 
B. 1m. 
C. 15m. 
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D. 150m. 
E. 300m. 
 
 
Assunto 02 - Conceito e propriedades da integral indefinida 
 
Questão 1 
Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua responsabilidade. Em uma dessa visitas, percebeu 
uma lavoura de trigo queimando e ele definiu a velocidade do fogo com v(t) = 3t2 + 30t + 36, com t medido em segundos. 
Qual o espaço percorrido s(t) pelo fogo, sabendo que t = 5s? 
A. 500 m. 
B. 680 m. 
V(t) =∫(3t2 + 30t +36) 
S(t) = t3 + 15t2 + 36t + C 
Em t = 0, temos s(0) = 0 
S(t) = t3 + 15t2 + 36t + C 
0 = 03 +15. (0)2 + 36.0 + C 
C = 0 
S(t) = t3 + 15t2 + 36t 
S(5) = 53 + 15.52 + 36.5 
S(5) = 125 + 375 + 180 
S(t) = 680 m. 
C. 460 m. 
D. 641 m. 
E. 700 m. 
 
Questão 2 
Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para observar o movimento da produção. Sabendo 
que o ponto (1,5) pertence à curva da equação f(x) e a sua declividade é dada por f’(x) = 3x – 4, qual a função que o agricultor 
utiliza em seus cálculos? 
A. y = x2 - 2x + C. 
B. y = 4x - 3x + C. 
C. y = 3x2/2 – 4x + 7,5. 
D. y = 3 x2/2 – 4x + 8,5. 
E. y = 3 x2/2 – 3x + 7,5. 
 
Questão 3 
Uma das formas de se calcular a integral é a partir da ideia de antiderivada, ou seja, encontrar uma função F(x) que ao ser 
derivada resulta em f(x). Nessas condições, a função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) com x em um intervalo dado. 
Assim, marque a alternativa correta. 
Resposta incorreta. 
A. A função é a única antiderivada de f(x) = x5 no intrevalo [-∞,∞] 
B. A função não é a única antiderivada de 3x5, pois podemos somar uma constante C e obter outra 
antiderivada. 
Ao derivarmos a função , obtemos F'(x) = x5, logo F(x) uma antiderivada de f(x), no intervalo [-∞,∞]. Existe mais de 
uma antiderivada e elas podem ser obtidas ao somar uma constante C à antiderivada já calculada. Logo, depois de conhecida 
a antiderivada, pode-se obter outras antiderivadas. Em uma integraçã, f(x) é o integrando, dx é o diferencial e C a constante 
de integração. 
C. Uma vez que a antiderivada é conhecida, não podemos obter outras derivadas. 
D. Na integração, C é o integrando, x é o diferencial e dx é o sinal da integração. 
E. A expressão ∫f (x) dx é uma integral indefinida e para resolvê-la para basta derivar f(x). 
 
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Questão 4 
No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s e o motorista visualiza uma árvore caída em 
seu caminho para chegar até o armazém. Dessa forma, o motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma 
desaceleração constante a = -9 m/s. Em que instante a velocidade do caminhão chegou a zero? 
A. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 10 s. 
B. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9,1 s. 
C. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9 s. 
V(t) = ꭍ(- 9)dt 
y = - 9t + C 
Para t = 0, tem-se v(0) = 81m/s, assim, C = 81 
V(t) = - 9t + 81 
V(t) = 0 
-9t + 81 =0 
t = 9 s 
D. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 8 s. 
E. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 11 s. 
 
Questão 5 
Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal definido pela função c’(x) = x3 + 2x2 + 4x. 
Nessas condições, qual função define o custo total, sendo que o custo fixo é R$ 2.000,00? 
A.c(x)=x4/4+2x3/3+2x2+2000. 
B. c(x)=x33/3=2x2/3+2x2+2000. 
C.c(x)=x5/4=2x3/3+2x2+2000.. 
D.c(x)=3x2+4x+2000. 
E.c(x)=x4/4=4x3/3+2x2+2000. 
 
 
Assunto 03 - Conceito e propriedades da integral definida 
Questão 1 
Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b] e f(x) ≥ g(x) em [a,b], então: 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 
Questão 2 
Expresse a equação a seguir como uma integral no intervalo [0, π]: 
 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 
 
 
 
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Questão 3 
Para a resolução de um cálculo, um engenheiro agrônomo se deparou com a situação em que um intervalo de [-1, 3] foi 
subdividido em “n” subintervalos com o mesmo comprimento: 
∆x=4/n 
Desse modo, considerando mk ponto médio do k-ésimo subintervalo, o profissional necessita expressar o limite a seguir 
como integral. 
 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 
Questão 4 
Considere que “f” é contínua, e, posteriormente, calcule: . 
A. 3 
B. -2 
C. 1 
D. 5 
E. 4 
 
Questão 5 
A integral de 
Assim, considerando a soma de Riemann à esquerda com 10 intervalos, onde h = 0,1 e xi = (i-1), tem-se: 
A. 2,29433 x 10-1 
B. 6,39433 x 10-1 
C. 1,29433 x 10-1 
D. 2,4545837 x 10-1 
E. 4,29433 x 10-1 
 
 
 
Assunto 04 - Integral definida e cálculo de áreas 
 
Questão 1 
As integrais são utilizadas, entre outras aplicações, para determinar a área entre uma curva em um intervalo do eixo x. 
Ache a área total entre a curva y=1-x2 e o intervalo [0, 1]. Assinale a alternativa correta. 
A. 2/3. 
B. -2. 
C. -2/3. 
D. 2. 
E. 1/3. 
 
Questão 2 
As integrais foram utilizadas historicamente em seu desenvolvimento primeiro para a determinação de áreas, as quais, uma 
vez determinados os limites de integração, eram estabelecidas utilizando-se fórmulas conhecidas para a área da figura 
formada pela curva. 
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Assim: 
a) Calcule a á rea sob a curva y=cos(x) e o eixo ‘x’ no intervalo de x = 0 a x = π/2. 
b) Calcule também a área sob a curva y=cos(x) e o eixo ‘x’ no intervalo de x = 0 a x = π, e observe o resultado. 
Assinale a alternativa correta. 
A. 1, a área é 0. 
B. 0, a área é 1. 
C. -1, a área é 0. 
D. 2, a área é -1. 
E. -2, a área é 1. 
 
Questão 3 
Sabe-se que a área sob a curva de uma função em um intervalo pode ser aproximada por retângulos, em particular por um 
retângulo de altura média, definido pelo teorema do valor médio. 
Ache o valor médio da função f(x)=√x no intervalo [1,4] e todos os pontos do intervalo nos quais o valor de f é igual ao valor 
médio. Assinale a alternativa correta. 
A. 1 e 2. 
B. 1,5556 e 196/81. 
C. -1 e 2. 
D. -1,556 e 196/81. 
E. 0 e 1. 
 
Questão 4 
Ao apresentar, inicialmente, o conceito de integral definida, é feita a aproximação dessa integral utilizando retângulos. 
É possível fazer aproximações acima da curva, superestimando, ou abaixo da curva, subestimando. Essa técnica é chamada 
de soma de Riemann. 
Utilizando 8 retângulos, aproxime a área sob a curva f(x)=-x2+4 usando a média aritmética entre a superestimação e a 
subestimação do intervalo [-2, 2]. Assinale a alternativa correta. 
A. 12,5.B. 10,5. 
C. 8,5. 
D. 4,5. 
E. 6,5. 
 
Questão 5 
Uma função só é integrável em um intervalo se ela for contínua e limitada no intervalo considerado. 
Assim, calcule: 
 
Assinale a alternativa correta. 
A. 192/3. 
B. 0. 
C. 8/3. 
D. 128. 
E. 128/3. 
 
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Assunto 05 - Aplicações da integral 
 
Questão 1 
Uma das principais aplicações da integral é o cálculo entre curvas a partir das regiões delimitadas pelas duas funções. A ideia 
por trás desse cálculo é aproximar, por retângulos cada vez menores, sendo a diferença das funções a base desse retângulo. 
Diante disso, determine a área da região sombreada a seguir e assinale a alternativa correta. 
 
 
A. 32/9 
B. 32/3 
C. 3/32 
D. 23/3 
E.32/5 
 
Questão 2 
A partir de secções transversais e o cálculo integral, é possível determinar o volume de sólidos por rotação. Esse cálculo se 
configura como uma aplicação da integral. 
Dessa forma, identifique o volume do sólido, a partir da rotação da região delimitada pelas curvas em torno das retas 
especificadas e assinale a alternativa correta. 
 
 
em torno do eixo y. 
A. 94/3 π 
B. 94/5 π 
C. 94/7 π 
D. 94/11 π 
E. 94/13 π 
 
Questão 3 
Nem sempre o método de secções transversais gera rotações simples de avaliar. Nesses casos, o método das cascas 
cilíndricas serve como alternativa. 
Utilizando esse método, encontre o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y, com y 
= x², y = 6x – 2x², e assinale a alternativa correta. 
A. 6π. 
B. 7π. 
C. 9π. 
D. 5π. 
E. 8π. 
 
Questão 4 
O método das cascas cilíndricas torna mais fácil o cálculo de volumes. 
Utilizando tal método, encontre o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x, com y = 
x³, y = 8, x = 0, e assinale a alternativa correta. 
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A. 768/3 π 
B. 768/5 π 
C. 768/7 π 
D. 768/11 π 
E. D. 768/13 π 
 
Questão 5 
A densidade linear de uma barra de 8 metros de comprimento é dada pela expressão: 
 
 
 
Em que c é medido em metros a partir da ponta da barra. 
Determine a densidade média da barra e assinale a alternativa correta. 
A. 8kg/m. 
B. 6kg/m. 
C. 10kg/m. 
D. 4kg/m. 
E. 12kg/m. 
 
 
Assunto 06 - Método da substituição 
 
Questão 1 
A regra da substituição consiste em mudar uma integral mais complexa por uma mais simples e, assim, resolver a integral. 
Qual o valor da integral , utilizando a substituição u =y3+ 1 ? 
 
A. 2/3(y3+1)3/2+C 
B. 2/9(y3+1)3/2+C 
C. 2/5(y3+1)3/2+C 
D. 2/9(y3+1) 2/3+C 
E. 2/3(y3+1) 3/2+C 
 
Questão 2 
 
O método da substituição para integrais é utilizado quando identificamos uma composição de funções em que as fórmulas de 
integração não fornecem a antiderivada de forma direta. 
Usando o método da substituição, qual o valor da integral indefinida ∫t∙sen(t2)dt? 
A. −1/2cos(t2)+ C 
B. −1/2cos(t4)+C 
C. 1/4cos(t2)+ C 
D. 1/2cos(t2)+ C 
E. −1/8cos(t2)+ C 
 
Questão 3 
Dada a integral definida , quais são seu valor literal, assumindo a > 0, e seu valor numérico, para a = 3 ? 
A. a2/3 e 27 
B. a3/2 e 3 
C. a3/6 e 9 
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D. a3/3 e 6 
 E. a3/3 e 9 
 
Questão 4 
A Oceano Companhia, de instrumentos, elaborou uma linha de montagem para produzir a calculadora SR-32. A taxa de 
produção desse modelo, após t semanas, é dx/dt=5000∙[1−100/(t+10)2] calculadoras/semana. 
Qual a quantidade aproximada de calculadoras produzidas do início da segunda semana até o término da quarta semana? 
Adote 17/21 = 0,8095. 
A. 4.043,5 unidades. 
B. 4.044,5 unidades. 
C. 4.047,5 unidades. 
D. 4.046,5 unidades. 
E. 4.048,5 unidades. 
 
Questão 5 
O desafio na utilização do método de substituição é obter uma substituição adequada para resolver o problema. 
Se w for contínua e ∫04w (x) dx=10, qual o valor da integral 
∫02w (2x)dx? 
A. 6. 
B. 5. 
C. 4. 
D. 3. 
E. 2. 
 
 
Assunto 07 - Técnicas de integração: substituição e partes 
 
Questão 1 
Reconhecendo que (x³/3) - x² +5x é uma primitiva de x² - 2x +5, se pode calcular a integral. Caso não seja possível reconhecer 
a primitiva de imediato, como ela pode ser gerada? 
A. Termo a termo, utilizando a regra da soma e da diferença. 
B. Termo a termo, utilizando a regra da subtração e da diferença. 
C. Utilizando a regra da potência. 
D. Termo a termo, utilizando a regra da potência. 
E. Reescrevendo a constante de integração. 
 
Questão 2 
Calcule a seguinte integral a partir dos conhecimentos do método de integração por partes: 
∫(x2+2x)cos xdx 
A. (x2+2x)+(2x+2)cos x−2+C 
B. (x2+2x)sen x+(2x+2)cos x−2sen x+ C 
C. (x2+2x)cos x+(2x+2)cos x−2cos x+C 
D. (x2+2x)senx+(2x+2)sem x−2sen x+C 
E. (x2+2x)cosx+(2x+2)senx−2cosx+C 
 
Questão 3 
A integração por substituição se apresenta como um importante instrumento que busca descomplicar a complexidade de 
algumas integrais. Realize o cálculo da seguinte integral aplicando o método de substituição. 
∫(3x−3)10dx 
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A. 
 
 
 
 
B. 
 
 
 
 
C. 
 
 
 
 
D. 
 
 
 
 
E. 
 
 
 
 
 
Questão 4 
Considere a integral: 
∫cos(7θ+5)dθ 
Calcule utilizando o método de substituição: 
A.1/7cos(7θ+5)+C 
B. cos(7θ+5)+C 
C. 1/7sen(7θ+5)+C 
D. cos(7θ+5)+C ∫−cosx 
E. 1/7sen7θ+5/7(senx)+C 
 
Questão 5 
Considerando a praticidade e objetividade na aplicação de métodos que pretendem otimizar a resolução de algumas 
questões, calcule a integral utilizando a integração por partes: 
∫xcos5xdx 
A. 1/5xsen5x+1/25cos5x+C 
B. 1/5xsen+1/25cos+C 
C. 1/5xsen5x+1/25sen5x+C 
D. xsenx+1/25cosx+C 
E. xsen5x+cos5x+C 
 
 
Assunto 08 - Técnicas de integração – integração por partes 
 
Questão 1 
A técnica de integração por partes é uma estratégia para calcular integrais que estão em forma de produto. Dessa forma, 
qual o valor da integral ∫y2lnydyutilizando a integração por partes com as escolhas de u = lny, dv =y2dy? 
A. 2/3y3(ln y−1/3)+C 
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B. 1/3 y3 (ln y−1/3)+C 
C. 1/3 y3 (ln y+1/3)+C 
D. 1/6 y3 (ln y−1/3)+C 
E. 1/9 y3 (ln y+1/3)+C 
 
Questão 2 
Integrais de funções compostas em formas de produto podem ser resolvidas realizando-se uma substituição combinada com 
a técnica de integração por partes. Dessa forma, qual o valor da integral abaixo? 
∫(√(x/2))(√x) θ3cos(θ)2dθ 
A. 1/2− π/4 
B. −1/2+ π/4 
C. −1/2− π/4 
D. −1/2− π/2 
E. −1/2+ π/6 
 
Questão 3 
Os conhecimentos de integral auxiliam na determinação de áreas sobre curvas. Dessa forma, dadas as curvas w =y 2 ln y, w = 
4 ln y, qual a área delimitada por essas curvas? 
A. 16/3ln2−29/9 
B. 16/6ln2−29/9 
C. 16/3ln2−29/3 
D. 16/3ln2+29/9 
E. 16/9 ln2−29/9 
 
Questão 4 
A fórmula de redução da função: 
∫0(x/2)sennada=(n−1)/n ∫0(x/2)sen(n−2)ada 
Onde n ≥ 2 é um número inteiro. Utilizando essa fórmula de redução, calcule o valor da integral abaixo: 
∫0(x/2)sen3ada 
A. 2/5 
B. 2/7 
C. 5/3 
D. 3/2 
E.2/3 
 
Questão 5 
As aplicações de integrais são inúmeras para o Cálculo como campo de estudo e pesquisa da Matemática. A ideia de 
encontrar as antiderivadas é um dos princípios básicos. Dessa forma, sabendo que w(1)= 2, w(4)= 7, w'(1)= 5, w'(4)= 
3 e w sendo uma função contínua, calcule o valor de∫14xw″(x)dx 
A. 5 
B. 2. 
C. 4. 
D.3. 
E. 1. 
 
 
 
TABELA DE CÁLCULO PRANDIANO