Aula_teoria de erros

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Teoria de Erros
● Introdução às Medidas Físicas
● A Física como Ciência Experimental
● Medidas diretas e indiretas
● Erro e Incerteza – Definições e Diferenças
● Erros estatísticos e aleatórios
● Algarismos significativos 
● Tipos de Incerteza e Arredondamento
● Determinação de incertezas e Propagação de erros
● Incertezas em equipamentos analógicos e digitais
● Estimativa e Erro
Introdução às Medidas Físicas
Grandezas físicas : Determinadas experimentalmente por medidas ou 
combinações de medidas.
Toda medida tem uma incerteza intrínseca associada.
Equipamentos e Operadores
Aceleração da gravidade ( g) : 9,8 m/s2
Velocidade da luz no vácuo (c) : 299 792 458 m/s – 2,99 x 108 m/s
Como foram medidos ? 
Qual a incerteza associada a tais valores?
Física como Ciência Experimental
“Estou cansado de teorias, um Físico de verdade 
tem de ser experimental... “
Enrico Fermi – Físico Nuclear
Projeto Manhatan
Prêmio Nobel – 1938
Demonstrações da existência de novos elementos radioativos produzidos por 
irradiação com nêutrons e pela descoberta de reações nucleares 
provocadas por nêutrons lentos.
Galileu Galilei: O Provocador
● Fim da “Física “ Aristotélica;
● Demonstrações de cunho científico;
● Lei da Inércia ou 1a Lei de Newton ?
Nascimento da Física Experimental – Séc XVII
(R. Feyman)
Descobriu a lei dos corpos e enunciou
o princípio da inércia e o conceito de
referencial inercial.
Medidas Diretas e Indiretas
Medida direta – Utilizando o instrumento 
adequado obtém-se o valor da grandeza física 
mensurada. Exemplos:
● Corrente elétrica – Amperímetro
● Comprimento da mesa – Trena
● Massa de um saco de Farinha - Balança
Medida indireta – Além do instrumento adequado, 
é necessário usar uma equação a fim de se obter 
o valor da grandeza física de interesse. Exemplos:
● Grandeza de interesse: Potência elétrica 
● Grandezas mensuradas: Corrente elétrica (I) e tensão 
(V)
● Instrumentos: Amperímetro e Voltímetro.
I= 1,5 A ; V=110 V
P = V.I = 110.(1,5) = 165 W (J/s)
O que está faltando ????
Este resultado está certo ou errado?
Precisão e Exatidão
● A dispersão de dados em torno de um valor central pode referir-se a 
uma medida precisa ou exata
● A precisão refere-se a uma aproximação de um grupo de medidas de um 
valor que não é, necessariamente, o valor verdadeiro.
● Exatidão refere-se a uma aproximação de um grupo de medidas do valor 
verdadeiro.
Erros experimentais
● Medidas experimentais : Sempre sujeitas à imperfeições
● Limitações dos instrumentos
● Influências do meio ambiente
● Cuidados do experimentador
Imperfeições → erros
● O valor verdadeiro da grandeza é sempre 
desconhecido
– Erro é a diferença entre o valor verdadeiro e o valor 
medido
● O erro também é sempre desconhecido
● Incerteza experimental
– É a melhor estimativa possível do erro da medida 
Tipos de erros
● Estatísticos
– Caráter aleatório
– Pode-se minimizar repetindo-se a medida várias vezes
● Sistemáticos (ou tendenciosos)
– Calibração de instrumentos
– Ambiental
– Observacional (paralaxe)
– Usuário
– Precisão dos instrumentos
● Grosseiros
– Mau uso do instrumento
Representação de resultados
experimentais
● Representação padrão
– X + X
● X = valor experimental da grandeza
● X = incerteza experimental
– X possui apenas 1 algarismo significativo
– X possui tantos algarismos quanto necessários par ser compatível com 
X
● Exemplos
– 42,61 + 0,03
– (1.84 + 0.08) x 10-4
● Algarismos significativos
– Todos os algarismos corretos mais o primeiro duvidoso
● Algarismos corretos – todos aqueles que estão certos na medida
● Algarismos duvidosos – aqueles que podem variar na medido
Algarismos Significativos
Considere um objeto AB e desejamos medi-lo com uma régua:
Qual a unidade em que a régua está graduada?
É o instrumento adequado para medir o comprimento de um lápis ou estádio de futebol?
Qual o comprimento do objeto AB?
Sabemos que é maior do que 8 e menor do 9 cm ( Intervalo de confiança)
Podemos estimar que seja maior que 8,5 e menor que 9cm, de forma que para um observador 
mais provável foi: 8,7 cm.
LAB = 8,7 cm 
8 é o algarismo correto, de confiança;
7 é aquele que não temos tanta certeza, o duvidoso.
Nossa leitura apresenta 2 algarismos significativos
um correto e o outro duvidoso. 
Em medições, é costume fazer estimativas com aproximações até 
décimos da menor divisão da escala do instrumento.
Exemplos:
15,4 cm: temos 3 algarismos significativos (1 e 5 são exatos e 
4 é o duvidoso)
21,31 m/s: temos 4 algarismos significativos (2,1 e 3 são 
exatos e 1 é o duvidoso)
8,0 m/s2: temos 2 algarismos significativos ( 8 é o exato e 0 é o 
duvidoso)
6 N: temos 1 algarismo significativo e ele próprio é o duvidoso
1,6 x 10-19: temos 2 algarismos significativos
Qual a incerteza associada a nossa medição?
Incertezas
É a fração avaliada da menor divisão da escala, isto é, no dígito duvidoso é que 
reside a incerteza da medida.
LAB = 8,7 cm 
7 é o algarismo duvidoso, medida AB poderia ser 
● 8,6 ou 8,8 cm;  = 0.1 cm LAB = 8,7 cm  0.1 cm
● 8,5 ou 8,9 cm;  = 0.2 cm LAB = 8,7 cm  0.2 cm
Significa:
O experimentador nos revela que a medida é confiável dentro dos limites de a até b
cm, mas que o valor mais provável da medida, na sua opinião, é AB = 8,7 cm.
Incertezas Absoluta e Relativa
● Incerteza Absoluta
Amplitude de incertezas fixada pelo experimentador. Depende de :
● perícia do experimentador, 
● sua segurança, 
● instrumento utilizado na medição,
● facilidade de leitura da escala do instrumento.
Apesar de não ser norma, costuma-se adotar como incerteza absoluta, o valor 
da metade da menor divisão da escala tomado em módulo.
LAB = 8,7 cm  0.5 cm
Incerteza Relativa
A incerteza relativa é igual a razão entre a incerteza absoluta e a medida da
grandeza e é, frequentemente expressa em termos percentuais. Por exemplo, 
para a medida 
LAB = (8,7 ± 0,5) cm, 
Incerteza absoluta = ±0,5 cm
Incerteza relativa = (±0,5/8,7) = ±0,057 ou 5,7%
Quanto menor a incerteza relativa, maior a “qualidade” 
da medida.
Arredondamento
Um número é arredondado para outro, com o número de algarismos significativos 
desejados, pelo cancelamento de um ou mais algarismos da direita para a esquerda.
1. “Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anterior 
permanece igual.”
2. “Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é 
acrescido de uma unidade.”
L = 3,141 m ⇒ L = 3,14 m, depois de arredondado
L = 0,0606 m ⇒ L = 0,061 m, depois de arredondado
L = 0,0604 m ⇒ L = 0,060 m, depois de arredondado
Conjunto de medidas experimentais
Medidas realizadas várias vezes (n).
Valor médio da grandeza – Representado pela média aritmética, a qual é obtida 
através da razão entre a soma dos valores e o número total n de todos os dados de 
uma amostra, isto é:
Sempre que o número de dados da amostra tiver um tamanho relativamente
grande, a utilização da média aritmética será mais indicada para obtenção de
médias representativas.
Desvio Padrão
O grau de confiabilidade, ou precisão, de uma amostra, pode ser estimado 
utilizando-se a definição de dispersão. 
A dispersão é uma medida das flutuações de todos os dados 
de uma amostra em torno do valor médio.
Aqui , a dispersão é representada pelo Desvio padrão.
O desvio padrão x* , é a raiz média quadrática, ou RMS das flutuações de cada dado 
da amostra em relação ao valor médio, isto é,
Por ter uma melhor representatividade das verdadeiras flutuações, é o mais 
frequentemente utilizado em cálculos estatísticos.
Sejam as medidas de certas grandezas físicas a, b e c e seus 
respectivos desvios padrões sa, sb e sc.
Propagação de erros
● Como obter o erro de uma medida que é resultado de 
várias outras medidas com seus respectivos erros?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
21
...
),...,,(
n
n
F
n
x
F
x
F
x
F
xxxFF
 
























Exemplo
 
2
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)/ (isolando 
1
RVI
IRV
R
V
R
R
I
V
I
R
V
I
RVI
RV
RVI





























Outras soluções para propagação 
de Incertezas
● Adição e Subtração
m = a ± b
m  a  b
● Quociente e Produto
m = a/b m = ?
m= a.b m = ?
Estimativa e Erro
● Quantas bolinhas de gude existem num pote de 
maionese?
● Quantas bolinhas cabem no maracanã?
● Quantos Km tem da sua casa ao Itec?
● Quanto tempo você passa no banho?