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EDO Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica - DMA
MAT 147 - CA´LCULO II 2013/I
Aula: EDO Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
1 EDOs de Segunda Ordem
Uma equac¸a˜o da forma
F (t, y, y′, y′′) = 0
e´ dita uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria de Segunda Ordem.
De modo geral,
P (t)y′′ +Q(t)y′ +R(t)y = G(t) (1)
e´ uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria Linear de Segunda Ordem.
Se, para todo t ∈ R, tivermos G(t) = 0 na Equac¸a˜o 1, enta˜o ela e´ chamada E.D.O homogeˆnea, caso
contra´rio, dizemos que e´ uma E.D.O na˜o-homogeˆnea.
Estudar Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de Segunda Ordem na˜o e´ algo ta˜o elementar. Neste trabalho,
apresentaremos um estudo mais simples que pode ser feito destas equac¸o˜es. Comec¸aremos tratando das
EDOs com coeficientes constantes.
1.1 EDO Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
Definic¸a˜o 1.1 Uma equac¸a˜o do tipo
ay′′ + by′ + cy = 0, (2)
onde a, b, c sa˜o constantes reais e´ chamada Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria Linear de Segunda Ordem
Homogeˆnea com Coeficientes Constantes
Podemos resolver equac¸o˜es do tipo 2 utilizando func¸o˜es simples do Ca´lculo I.
Exemplo 1.2
Considere a seguinte EDO de segunda ordem linear, homogeˆnea com coeficientes constantes
y′′ − y = 0.
Procurarmos uma func¸a˜o y tal que y′′ = y. Observe que y1(t) = et e y2(t) = e−t satisfazem esta
equac¸a˜o. Na verdade, qualquer mu´ltiplo de y1 e y2 satisfaz a E.D.O dada e qualquer combinac¸a˜o
linear de y1 e y2 e´ soluc¸a˜o da mesma. De fato, considere a combinac¸a˜o linear
y(t) = c1e
t + c2e
−t.
Derivando a equac¸a˜o acima em relac¸a˜o a t, teremos
y′(t) = c1et − c2e−t
e
y′′(t) = c1et + c2e−t
e da´ı y′′(t) = y(t).
1
Voltemos ao caso geral da equac¸a˜o com coeficientes constantes
ay′′ + by′ + cy = 0. (3)
A ideia e´ supor que y = ert e´ soluc¸a˜o desta EDO, onde r e´ a constante a ser determinada. Substituindo na
Equac¸a˜o 3, obtemos
r2aert + rbert + cert = 0 ⇔
⇔ ert(ar2 + br + c) = 0.
Como ert 6= 0, para qualquer valor real de t, segue que
ar2 + br + c = 0. (4)
A Equac¸a˜o 4 e´ chamada Equac¸a˜o Caracter´ıstica. Note que resolver a equac¸a˜o caracter´ıstica e´ resolver
uma equac¸a˜o do segundo grau. Neste sentido, podem ocorrer
(i) ∆ > 0: neste caso existem 2 ra´ızes distintas;
(ii) ∆ = 0: as ra´ızes sa˜o reais e iguis;
(iii) ∆ < 0: as ra´ızes sa˜o complexas;
onde ∆ = b2 − 4ac.
1.2 Equac¸a˜o caracter´ıstica com ra´ızes reais
Comec¸aremos a estudar a equac¸a˜o caracter´ıstica pelo caso (i): a equac¸a˜o possui duas ra´ızes reais e distintas,
a saber
r1 =
−b+√b2 − 4ac
2a
e r2 =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Para este caso, a soluc¸a˜o da EDO sera´
y(t) = c1e
r1t + c2e
r2t,
onde c1 e c2 sa˜o constantes.
Exemplo 1.3
Considere a equac¸a˜o de segunda ordem homogeˆnea com coeficientes constantes y′′ + 3y′ + 2y = 0.
Supondo y = ert soluc¸a˜o desta equac¸a˜o, teremos a equac¸a˜o caracter´ıstica
r2 + 3r + 2 = 0
cujas ra´ızes sa˜o r1 = −1 e r2 = −2. Assim,
y(t) = c1e
−t + c2e−2t
e´ a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o.
Para estudarmos os demais casos da equac¸a˜o caracter´ıstica, precisamos de alguns resultados e definic¸o˜es.
2
Teorema 1 (Teorema da Existeˆncia e Unicidade para EDO de 2a Ordem)
Seja o PVI 
y′′ + p(t)y′ + q(t)y = g(t)
y(t0) = y0
y′(t0) = y′0
onde, p(t), q(t), g(t) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas no ponto t0 ∈ I, com I intervalo. Enta˜o existe u´nica soluc¸a˜o
y = φ(t) para o P.V.I.
Exemplo 1.4
Vamos determinar o maior intervalo no qual existe a soluc¸a˜o do PVI
t(t− 4)y′′ + 3ty′ + 4y = 2
y(3) = 0
y′(3) = −1
Soluc¸a˜o
Observe que
p(t) =
3
t− 4; q(t) =
4
t(t− 4) ; e g(t) =
2
t(t− 4) .
Assim, o intervalo no qual as treˆs func¸o˜es sa˜o cont´ınuas e que contenha o ponto 3 e´ (0, 4).
Observac¸a˜o 1.5 Se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0, (5)
enta˜o c1y1 + c2y2 tambe´m e´ soluc¸a˜o.
Observe que se colocarmos as condic¸o˜es iniciais{
c1y1(t0) + c2y2(t0) = y0
c1y
′
1(t0) + c2y
′
2(t0) = y
′
0
na Equac¸a˜o 5, enta˜o podemos encontrar a soluc¸a˜o particular da mesma, ou seja, podemos determinar c1 e
c2:
c1 =
y′2(t0)y0 − y2(t0)y′0
y′2(t0)y1(t0)− y2(t0)y′1(t0)
=
∣∣∣∣ y0(t0) y2(t0)y′0(t0) y′2(t0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ y1(t0) y2(t0)y′1(t0) y′2(t0)
∣∣∣∣
Observando a equac¸a˜o anterior, para encontrarmos c1 e c2 devemos ter
W (y1(t0), y2(t0)) =
∣∣∣∣ y1(t0) y2(t0)y′1(t0) y′2(t0)
∣∣∣∣ 6= 0
O determinante acima e´ chamado Wronskiano de y1 e y2 em t0.
Teorema 2 Se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferncial
y′′ + p(t)y′ + q(t) = 0
e W (y1, y2)(t0) 6= 0, onde y(t0) e y′t0 = y′0, enta˜o existem c1 e c2 tais que
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t).
3
A soluc¸a˜o geral de uma EDO dada pelo Teorema 2 e´ chamada famı´lia de soluc¸o˜es da EDO ou conjunto
fundamental de soluc¸o˜es e inclui todas as soluc¸o˜es desta.
Exemplo 1.6
No Exemplo 1.3 mostramos que y1 = e
−t e y2 = e−2t sa˜o soluc¸o˜es da Equac¸a˜o y′′ + 3y′ + 2y = 0. Na
verdade, estas soluc¸o˜es constituem o conjunto fundamental de soluc¸o˜es, pois
W (e−t, e−2t) =
∣∣∣∣ e−t e−2t−e−t −2e−2t
∣∣∣∣ = −e−3t 6= 0, ∀t ∈ R.
Definic¸a˜o 1.7 Dizemos que duas func¸o˜es f, g sa˜o Linearmente Independentes, L.I., em um intervalo
I (ou seja, uma func¸a˜o na˜o depende da outra) se
W (f, g)(t) 6= 0,∀t ∈ I.
Exemplo 1.8
As func¸o˜es f(t) = t2 + 5t e g(t) = t2 − 5t sa˜o Linearmente Independentes em (−∞, 0) ∪ (0,+∞),
pois
W (f(t), g(t)) =
∣∣∣∣ t2 + 5t t2 − 5t2t+ 5 2t− 5
∣∣∣∣ = 10t2 = 0⇔ t = 0.
Observac¸a˜o 1.9 (a) Se f e g sa˜o Linearmente Independentes em um intervalo aberto e se W (f, g)(t0) 6=
0, para algum t0 ∈ I, enta˜o W (f, g)(t) 6= 0, para todo t ∈ I.
(b) Se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es de uma EDO y
′′+ p(t)y′+ q(t)y = 0, onde p, q sa˜o cont´ınuas em um intervalo
I, enta˜o
W (y1, y2)(t) = c · e
∫ −p(t)dt.
De fato, sendo y1, y2 soluc¸o˜es da E.D.O, temos que
y′′1 + p(t)y
′
1 − q(t)y1 = 0 (6)
y′′2 + p(t)y
′
2 − q(t)y2 = 0 (7)
Mulplicando a Equac¸a˜o 6 por y2, a Equac¸a˜o 7 por y1 e subtraindo 6 de 7 teremos
y1y
′′
2 − y2y′′1 = p(t)(y1y′2 − y2y′1) = 0. (8)
Sabemos que
W (y1, y2)(t) =
∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣ = y1y′2 − y2y′1
e da´ı
W ′(y1, y2)(t) = y1y′′2 − y′′1y2.
Substituindo estes resultados na Equac¸a˜o 8, segue que
W ′(y1, y2) + p(t)W (y1, y2) = 0
e´ uma equac¸a˜o de primeira ordem cuja soluc¸a˜o e´ dada por
W (y1, y2)(t) = c · e
∫ −p(t)dt.
4
1.3 Equac¸a˜o Caracter´ıstica com ra´ızes complexas
Voltaremos agora a discussa˜o da equac¸a˜o caracter´ıstica de uma EDO homogeˆnea de segunda ordem com
coeficientes constantes. Passaremos ao caso em que a equac¸a˜o caracter´ıstica possui ra´ızes complexas.
Suponha ∆ = b2 − 4ac < 0. Assim, as ra´ızes sa˜o complexas conjugadas
r1 = λ+ iµ e r2 = λ− iµ.
Da´ı,
y1(t) = e
(λ+iµ)t e y2(t) = e
(λ−iµ)t.
Utilizando Se´rie de Taylor, segue que
eit =
∞∑
n=0
(it)n
n!
=
∞∑
n=0
(−1)nt2n
(2n)!
+ i ·
∞∑
n=0
(−1)n−1tn−1
(2n− 1)! = cos (t) + i · sen(t)
de onde obtemos
y1(t) = e
(λ+iµ)t = eλt · (cos (µt) + isen(µt))
e
y2(t) = e
(λ−iµ)t = eλt · (cos (µt)− isen(µt)).
Vamos procurar soluc¸o˜es reais e na˜o complexas. Note que
y1(t) + y2(t) = 2e
λt · cos (µt) e y1(t)− y2(t) = 2ieλt · sen(µt)
e da´ı
Y1(t) = e
λt · cos (µt) e Y2(t) = eλt · sen(µt)
sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O ay′′ + by′ + cy = 0 e W (Y1, Y2) = µe2λ 6= 0, pois µ 6= 0.
Deste modo, Y1(t) e Y2(t) sa˜o soluc¸o˜es fundamentais da EDO e a soluc¸a˜o geral sera´
y(t) = c1e
λt · cos (µt) + c2eλt · sen(µt).
Exemplo 1.10
A equac¸a˜o caracter´ıstica da Equac¸a˜o Diferencial y′′ + 2y′ + 2y = 0 e´ r2 + 2r + 2 = 0, cujas ra´ızes sa˜o
−1 + i e −1− i. A parte real (λ) deste nu´mero complexo e´ −1 enquanto que a parte imagina´ria (µ) e´
1. Portanto, a soluc¸a˜o geral da EDO em questa˜o e´
y(t) = c1e
−tcos (t) + c2e−tsen(t)
2 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem (Me´todo de D’Alembert)
Este me´todo permite reduzir uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria de ordem n em uma equac¸a˜o de ordem
n− 1 a partir de uma soluc¸a˜o previamente conhecida. No caso das equac¸o˜es homogeˆneas de segunda ordem
este me´todopermite encontrar a soluc¸a˜o geral a partir de uma soluc¸a˜o particular.
Se y1 e´ soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o
y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0,
enta˜o suponha que a outra soluc¸a˜o seja y(t) = v(t)y1(t), onde v(t) e´ uma func¸a˜o a ser determinada.
Derivando esta soluc¸a˜o e substituindo na E.D.O, obtemos
5
v′′y1 + 2v′y′1 + vy′′1 + p(t) · (v′y1 + vy′1) + q(t) · vy1 = 0⇔
v′′y1 + v · (y′′1 + p(t)y′1 + q(t)y1︸ ︷︷ ︸
=0
) + v′ · (p(t)y1 + 2y1) = 0⇒
y1v
′′ + v′ · (p(t)y1 + 2y1) = 0,
que e´ uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem em v′.
Resolvendo esta equac¸a˜o encontramos a func¸a˜o v(t) e, com isso, a segunda soluc¸a˜o da EDO
2.1 Equac¸a˜o Caracter´ıstica possui ra´ızes repetidas
Considere a E.D.O Homogeˆnea com coeficientes constantes
ay′′ + by′ + cy = 0 (9)
com equac¸a˜o caracter´ıstica
ar2 + br + c = 0.
Suponha que as ra´ızes desta equac¸a˜o sejam repetidas, ou seja,
r1 = r2 =
−b
2a
.
Assim,
y1(t) = e
−bt
2a
e´ soluc¸a˜o da Equac¸a˜o 9.
Para encontrarmos a segunda soluc¸a˜o desta equac¸a˜o utilizaremos o Me´todo de D’Alembert: se y1(t) e´ soluc¸a˜o
da EDO 9, a substituic¸a˜o y = vy1 nos leva a
a · (v′′y1 + 2v′y′1 + vy′′1) + b · (v′y1 + vy′1) + c · vy1 = 0
que, por ca´lculos simples, obtemos
v′′ +
(
2y′1 + by1
ay1
)
· v′ = 0⇔ (v′)′ +
(
2y′1 + by1
ay1
)
· v′ = 0.
Exemplo 2.1
Resolver a EDO
y′′ + 4y′ + 4y = 0. (10)
Soluc¸a˜o
A equac¸a˜o caracter´ıstica associada a esta EDO e´
r2 + 4r + 4 = 0⇔ (r + 2)2 = 0,
cuja raiz e´ r = −2. Assim, y1(t) = e−2t e´ soluc¸a˜o da EDO 10. A fim de encontrarmos a segunda soluc¸a˜o
6
desta equac¸a˜o, utilizaremos o Me´todo de D’Alembert, supondo que y(t) = v(t)e−2t seja tambe´m soluc¸a˜o
da E.D.O 10. Temos
y′(t) = v′e−2t − 2ve−2t e y′′(t) = v′′e−2t − 4v′e−2t + 4ve−2t,
que, substituindo na E.D.O nos da´
v′′e−2t − 8ve−2t = 0,
com soluc¸a˜o v(t) = c1t+ c2. Portanto,
y(t) = (c1t+ c2)e
−2t
e´ soluc¸a˜o geral da Equac¸a˜o 10, uma vez que W (y1, y2) 6= 0, onde y1(t) = e−2t e y2(t) = te−2t.
Observac¸a˜o 2.2 O Me´todo de D’Alembert, quando usado em uma equac¸a˜o de segunda ordem linear
homogeˆnea
y′′ + p(t)y′ + q(t) = 0 (11)
conduz a uma E.D.O de primeira ordem em v′, ou seja, se y1(t) e´ soluc¸a˜o da Equac¸a˜o 11, enta˜o, se supomos
y(t) = v(t)y1(t) chegamos a
v′′ =
2y′1
y1
· v′ + p(t) · v′ ⇔ V ′ =
(
2y′1
y1
· v′ + p(t)
)
· V,
onde V = v′.
7

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