Sentenças abertas e Conjunto-verdade

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CM046 – INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA 
 
NOTAS DE AULA 4 
 
1. Sentenças abertas com uma variável e conjunto-verdade 
2. Sentenças abertas com duas variáveis e conjunto-verdade 
 
SENTENÇAS ABERTAS 
 
Def: chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A ou apenas sentença aberta em A, uma 
expressão p(x) tal que p(a) é Verdadeira ou Falsa para todo x ∈ A. 
 
O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo (ou apenas domínio) da variável x e qualquer elemento 
de a ∈ A diz-se um valor da variável x. 
 
Exemplo 1: São sentenças abertas em N as seguintes expressões (a) x + 1 > 8; (b) x+5=9 (c) x é múltiplo 
de 3. 
 
Definição chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o conjunto de 
todos os elementos a ∈A tais que p(a) é uma proposição verdadeira. 
 
Podem ocorrer 3 situações: 
(1) p(x) sempre verdade; 
(2) p(x) verdade para alguns casos e 
(3) p(x) sempre falsa. 
 
No (1) temos uma condição universal; no (2) uma condição possível e no (3) uma condição impossível. 
 
Def. chama-se sentença aberta com duas variáveis em AxB ou apenas sentença aberta em AxB, uma 
expressão p(x,y) tal que p(a,b) é Verdadeira ou Falsa para todo x ∈ AxB. 
 
O conjunto AxB recebe o nome de conjunto-universo (ou apenas domínio) das variáveis x e y e quaisquer 
elementos (a,b) ∈ AxB diz-se um valor das variáveis (x,y). 
 
Exemplo 1: Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={5,6} são sentenças abertas em AxB as seguintes 
expressões (a) x + 1 < y ; (b) x é menor do que y (c) y é o dobro de x. 
 
Definição chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x,y) em um conjunto AxB, o conjunto de 
todos os elementos (a,b) ∈ AxB tais que p(a,b) é uma proposição verdadeira. 
 
Operações lógicas sobre sentenças abertas 
 
Podemos combinar duas (ou mais) sentenças abertas utilizando os conectivos. De modo geral considere o 
conjunto universo A. 
 
 
 
 
 
 
Conjunção 
 Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(a) ∧ q(a) seja verdadeira 
devemos ter p(a) e q(a) verdadeiras, portanto o conjunto-verdade de Vp∧q= Vp ∩ Vq . 
 
Disjunção 
Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(a) ∨ q(a) seja verdadeira basta 
que p(a) ou q(a) seja verdadeira, portanto o conjunto-verdade de Vp∨q= Vp ∪ Vq . 
 
Negação 
 Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto A, claro que se um elemento a ∈ A satisfaz a 
sentença aberta p(x), vale que ~p(a) é falso. Portanto, o conjunto-verdade V~p é o complementar em 
relação a A do conjunto-verdade Vp. Podemos escrever então V~p = A – Vp 
 
Condicional 
 Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(x) → q(x) seja verdadeira 
utilizaremos o equivalente de p→q , ou seja, ~p∨q. Portanto o conjunto-verdade de Vp→q= V~p ∪ Vq . 
Ou reescrevendo em termos do complementar Vp→q= (A-Vp) ∪ Vq . 
 
Bicondicional 
Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(x) ↔q(x) seja verdadeira 
utilizaremos o equivalente de p↔ q , ou seja, (~p∨q) ∧ (~q∨p). 
Portanto o conjunto-verdade de Vp↔q= V~p∨q ∩V~q∨p =((A-Vp) ∪ Vq ) ∩ ((A-Vq) ∪ Vp ). 
 
Exercícios 
 
Considere o conjunto A={0,1,2,3,4,5} encontre o conjunto verdade das seguintes sentenças abertas: 
 
(a) x2 ≥16 ∨ x2-5x+6=0; 
(b) x2 ≥ 12 → x2-6x+5=0; 
(c) ~(x ≤ 3 ) ∨ x é primo.