Velocidade de Ondas em Cordas

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Se~ao16-5 A Velocidade de uma Onda Progressiva
-1 Vma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda. 0 tempo
para urn ponto particular se mover do deslocamento maximo ate zero
e 0,170 s. Quais sao (a) 0 penodo e (b) a freqtiencia?'(c) 0 compri-
mento de onda e 1,40 m; qual e a velocidade da onda?
-2 Vma onda possui uma freqtiencia angular de 110 rad/s e urn com-
primento de onda de 1,80 m. Calcule (a) 0 numero de onda e (b) a
velocidade da onda.
-3 Se y(x, t) = (6,0 mm) sen(lex+ (600 rad/s)t + 4;) descreve uma
onda se propagando ao longo de uma corda, quanta tempo qualquer
ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y = +2,0
mm ey = -2,0 mm?
-'.4 A Fig. 16-31 mostra a velocidade transversal u versus 0 tempo t
do ponto da corda em x = 0, quando uma onda passa atraves dele. A
onda tern a forma y(x, t) = Ym sen (lex
- wt + 4;).Quanto vale 4;?(Aten9t2o:
Vma calculadora nem sempre fome- ---~-ce a fun~ao trigonometric a inversa
corretamente; assim, verifique sua
resposta substituindo-a em y(x, t),
supondo urn valor para we entao fa-
zendo 0 grafico da fun~ao.)
\
"5 Vma onda senoidal de freqtien-
cia 500 Hz possui uma velocidade de
350 mls. (a) Qual a distancia entre
dois pontos que tern uma diferen~a de fase de '7T/3 rad? (b) Qual e
diferen~a de fase entre dois deslocamentos em certo ponto separa-
dos no tempo por 1,00 ms?
'-
"6 A equa~ao de uma onda transversal se propagando ao longo de
uma corda muito long a e y = 6,0 sen(0,020'7TX+ 4,Om), onde x e ~
estao expressos em centfmetros e t em segundos. Determine (a)
amplitude, (b) 0 comprimento de onda, (c) a freqtiencia, (d) a ve-
Ismael
Oval
Ismael
Oval
~ idade, (e) 0 sentido de propaga9ao da onda e (t) a maxima velo-
:idade transversal de uma partfcula na corda. (g) Qual e 0 desloca-
ento transversal em x = 3,5 cm quando t = 0,26 s?
\
'7 Vma onda senoidal transversal se propaga ao longo de uma cor-
2.ano sentido positive de um eixo x com uma velocidade de 80 rn/
50 Em t = 0, uma partfcula da corda em x = 0 possui um desloca-
ento transversal de 4,0 cm a partir de sua posi9ao de equilfbrio e
ao esta se movendo. A velocidade transversal maxima da partfcu-
. da corda em x = 0 e 16 rn/s. (a) Qual e a freqtiencia da onda? (b)
al e 0 seu comprimento de onda? Se a equa9ao de onda e da for-
:na y(x, t) = Ymsen(kx ± wt + 1», quais sac (c) Ym' (d) k, (e) w, (t) 1>
~(g) 0 sinal correto na frente de w?
"8 A fun9ao y(x, t) = (15,0 cm)cos( TTX - 15171),com x em metros
~ t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual e
_-velocidade transversal de um ponto na corda no instante em que
~ te ponto possui 0 deslocamento Y = + 12,0 cm?
"9 Vma onda senoidal se propagando ao longo de uma corda e
:nostrada duas vezes na Fig. 16-32, quando a crista A se desloca no
- ntido positivo de uma eixo x por uma distancia d = 6,0 cm em 4,0
.. As marca90es ao longo do eixo estao separadas por 10 cm. Se a
;:qua9aoda onda e da forma y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), quais sac (a)
.• ' (b) k, (c) we (d) a escolha correta para 0 sinal em frente de w?
T
6,Omm
1
"'0 Vma onda senoidal se prop a-
."aao longo de uma corda sob ten-
sao. A Fig. 16-33 fomece a incli-
a9ao ao longo da corda no tempo
-= O.Qual e a amplitude da onda?
Inclina<;;aoO':~_..- -ix(m)
, ~~8
-0,2 I
••" Vma onda transversal senoidal
e comprimento de onda 20 cm se
_ropaga ao longo de uma corda no
- ntido positivo de um eixo x. 0
jeslocamento Y da partfcula na cor-
da em x = 0 e dado na Fig. 16-34
-omo fun9ao do tempo t. A equa-
~o da onda deve ser da forma y(x,
.) = Ymsen(kx ± wt + w). (a) Em t
= 0, 0 grafico de Y versus x tem a
:orma de uma fun9ao seno positi-
'a ou de uma fun9ao seno negativa? Quais sac (b) Ym, (c) k, (d) w,
e) 1>, (t) 0 sinal em frente de we (g) a velocidade da onda? (h) Qual
~a velocidade transversal da partfcula em x = 0 quando t = 5,0 s?
Se~ao16·6 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
"2 As cordas mais pesadas e mais leves de certo violino tem densi-
ades lineares de 3,0 e 0,29 g/m. Qual e a razao entre 0 diametro da
orda mais leve e 0 da corda mais pesada, supondo que as cordas
sao feitas do mesmo material?
" 3 Qual e a velocidade de uma onda transversal em uma corda de com-
primento 2,00 m e massa de 60,0 g sujeita a uma tensao de 500 N?
\
·14 A tensao em um fio preso em ambas as extrernidades e dobrada
sem que seja aparentemente variado 0 comprimento do fio entre os
prendedores. Qual e a razao entre a nova e a antiga velocidade de
onda para ondas transversais que se propagam ao longo deste fio?
·~sA densidade linear de uma corda e 1,6 X 10-4 kg/m. Vma onda
transversal na corda e descrita pela equa9ao
Y = (0,021 m) sen[(2,0 m-1)x + (30 S-l)t].
Quais 'sao (a) a velocidade da onda e (b) a tensao na corda?
·16 A velocidade de uma onda transversal numa corda e igual a 170
rn/s quando a tensao na corda vale 120 N. Ate que valor a tensao na
corda deve ser alterada para se aumentar a velocidade da onda para
180 rn/s?
·17 Vma corda esticada possui uma massa por unidade de compri-
mento de 5,00 g/cm e esta sujeita a uma tensao de 10,0 N. Vma onda
senoidal na corda tem uma amplitude de 0,12 rom, uma freqtiencia
de 100 Hz e esta se propagando no sentido negativo de um eixo x.
Se a equa9ao da onda e da forma y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), quais sao
(a) Ym' (b) k, (c) w, e (d) 0 sinal em frente de w?
·18 A equa9ao de uma onda transversal em uma corda e
Y = (2,0 mm) sen[(20 m-1)x - (600 S-l)t] .
A tensao na corda e 15 N. (a) Qual e a velocidade da onda? (b) En-
contre a densidade linear desta corda em gramas por metro.
"'9 Vma onda transversal senoidal se
propaga ao longo de uma corda no senti- y (em)
do negativo de um eixo x. A Fig. 16-35 4
mostra um grafico do deslocamento em
fun9ao da posi9ao no tempo t = 0; a
intercepta9ao com 0 eixo Y vale 4,0 em.
A tensao na corda e igual a 3,6 N e sua
densidade linear vale 25 g/m. Encontre -2
(a) a amplitude, (b) 0 comprirnento de --4
onda, (c) a velocidade da onda e (d) 0 pe-
rfodo da onda. (e) Encontre a velocidade
transversal maxima de uma partfcula na Fig. 16-35 Problema 19.
corda. Se a onda for da forma y(x, t) =
Ymsen(kx ± wt + 1», quais sao (t) k, (g) w, (h) 1>e (i) a escolha cor-
reta para 0 sinal em frente de w?
"20 Vma onda senoidal se propaga numa corda com velocidade de
40 crn/s. 0 deslocamento das partfculas da corda em x = 10cm varia
com 0 tempo de acordo com a equa9ao Y = (5,0 cm)sen[I,O - (4,0
s-1 )t]. A densidade linear da corda e igual a 4,0 g/cm. Quais sao (a)
a freqtiencia e (b) 0 comprimento de onda da onda? Se a equa9ao da
onda for da forma y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), quais sao (c) Ym' (d) k,
(e) w, e (t) a escolha correta do sinal em frente de w? (g) Qual e a
tensao na corda?
"21 Vm fio de 100 g e mantido sob uma tensao de 250 N com uma
extrernidade em x = 0 e a outra em x = 10,0 m. No tempo t = 0,0
pulso 1 e enviado ao longo do fio a partir da extrernidade em x =
10,0 m. No tempo t = 30,0 ms, 0 pulso 2 e enviado ao longo do fio
a partir da extrernidade em x = O.Em que posi9ao x os pulsos co-
me9am a se encontrar?
···22 Na Fig. 16-36a, a corda 1 possui uma densidade linear de 3,00
glm e a corda 2 possui uma densidade linear de 5,00 glm. Elas estao
sob uma tensao devida ao bloco pendurado de massa M = 500 g.
Calcule a velocidade da onda na (a) corda 1 e (b) na corda 2. (Suges-
t{to: Quando a corda passa por uma polia, ela puxa a polia com uma
for9a resultante que e igual a duas vezes a tensao na corda.) A seguir,
o bloco e dividido em dois blocos (com M1 + M2 = M) e 0 aparato e
rearranjado como mostrado na Fig. 16-36b. Encontre (c) M1 e (d) M2
de modo que as velocidades das ondas nas duas cordas sejam iguais.
Ismael
Oval
Ismael
Oval
Ismael
Oval
Ismael
Oval
00023 Uma corda uniforme de massa m e comprimento L esta pen-
durada em urn teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda
transversal na corda e uma fun«ao de y, a distancia a partir da
extremidade inferior, e e dada por v = fiY. (b) Mostre que 0
tempo que uma onda transversal leva para percorrer 0 comprimen-
to da corda e dado por t = ~Ug.
Se~ao16-7Energia e Potencia de uma Onda Progressiva em
uma Corda
024 Uma corda ao longo da qual ondas podem se propagar tern 2,70
m de comprimento e 260 g de massa. A tensao na corda e 36,0 N.
Qual deve ser a freqtiencia de ondas progressivas com amplitude de
7,70 mm para que a potencia media seja 85,0 W?
00\5 Uma onda senoidal e enviada ao longo de uma corda com uma
densidade linear de 2,0 g/m. Enquanto ela se propaga, a energia
cinetica dos elementos de massa ao longo da corda varia. A Fig. 16-
37a fomece a taxa dKldt com que a energia cinetica passa atraves
dos elementos da corda em urn instante particular, em fun«ao da
distancia x ao longo da corda. A Fig. 16-37b e semelhante, exceto
que ela fomece a taxa com que a energia cinetica passa atraves de
urn elemento de massa particular (em uma localiza«ao particular),
em fun«ao do tempo t. Qual e a amplitude da onda?
10 10
~
c-
C
~ ~
~ ~
""':e ""':e
0 1 2
t (ms)
(11)
Se~ao16-8 A Equac;:aode Onda
026 Use a equa«ao de onda para encontrar a velocidade de uma onda
dada por
y(x, t) = (3,00 mm) sen[(4,00 m-1)x - (7,00 S-l)t].
0027 Use a equa«ao de onda para encontrar a velocidade de uma onda
dadapor
y(x, t) = (2,00 mm)[(20 m-1)x - (4,0 S-1)t]O,5.
00028 Use a equa«ao de onda para encontrar a velocidade de uma onda
dada em termos da fun«ao generica hex, t):
y(x, t) = (4,00 mm) h[(30 m-1)x + (6,0 S-l)t].
Se~ao16-10 Interferencia de Ondas
029 Duas ondas progressivas identicas, se propagando no mesmo
sentido, estao fora de fase por 7T/2 rad. Qual e a amplitude da onda
resultante em termos da amplitude comum Ym das duas ondas que
interferem?
030 Que diferen«a de fase entre duas ondas, identicas exceto por suas
constantes de fase, propagando-se no mesmo sentido ao longo de
uma corda esticada, produzira uma onda resultante com amplitude
1,5 vezes a amplitude comum das duas ondas que interferem? Ex-
presse sua resposta em (a) graus, (b) radianos e (c) comprimentos
de onda.
0031 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 9,00 mm e 0
mesmo comprimento de onda se propagamjuntamente numa corda
que esta esticada ao longo de urn eixo x. A onda resultante e mos-
trada duas vezes na Fig. 16-38, a medida que 0 vale A se move no
sentido negativo do eixo x por uma distancia d = 56,0 cm em 8,0
ms. As marca«oes ao longo do eixo estao separadas por 10 cm. Su-
ponha que a equa«ao para uma das ondas seja da forma y(x, t) = Ym
sen(kx :'::wt + cPl)' onde cPJ = 0 e voce precisa escolher 0 sinal na
frente de w. Para a equa«ao da outra onda, quais sao (a) Ym' (b) k, (c)
w, (d) cP2 e (e) 0 sinal em frente de w?
T
8,Omm
1
00032 Uma onda senoidal de freqtiencia angular 1200 rad/s e ampli-
tude 3,00 mm e enviada ao longo de uma corda com densidade line-
ar 2,00 g/m, sob tensao de 1200 N. (a) Qual e a taxa media com que
a energia e transportada pela onda para a extremidade oposta da
corda? (b) Se, simultaneamente, uma onda identica se propaga ao
longo de uma corda adjacente identica, qual e a taxa media total com
que a energia e transportada para as extrernidades opostas das dua
cordas pelas ondas? Se, em vez disso, essas duas ondas sao envia-
das simultaneamente ao longo da mesma corda, qual e a taxa media
total com que elas transportam a energia quando a diferen«a de fase
entre elas e (c) 0, (d) O,47Trade (e) '1Trad?
Se~ao16-11 Fasores
033 Duas ondas senoidais de mesma freqtiencia se propagam no
mesmo sentido ao longo de uma corda. Se Yml = 3,0 cm, Ym2 = 4,0
cm, cPl = 0 e cP2 = 7T/2 rad, qual e a amplitude da onda resultante?
0034 Duas ondas senoidais de mesmo periodo, com amplitudes de
5,0 e 7,0 mm, se propagam no mesmo sentido ao longo de uma cor-
da esticada; elas produzem uma onda resultante com uma amplitu-
de de 9,0 mm. A constante de fase da onda de 5,0 mm e O.Qual e a
constante de fase da onda de 7,0 mm?
0035 Duas ondas senoidais de mesma freqtiencia devem ser envia-
das no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada. Uma das
ondas possui uma amplitude de 5,0 mm e a outra 8,0 mm. (a) Que
diferen«a de fase cPl entre as duas ondas resultara na menor ampli-
tude para a onda resultante? (b) Qual sera essa amplitude illinima?
(c) Que diferen«a de fase cP2 entre as duas ondas resultara na maior
amplitude para a onda resultante? (d) Qual sera essa amplitude ma-
Ismael
Oval
xima? -(e)Qual e a amplitude resultante se 0 angulo de fase for (4)1
- 4>2)/2?
36 Quatro ondas devem ser enviadas ao longo de uma mesma cor-
ia, no mesmo sentido:
Yl (x, t) = (4,00 mm) sen(2m: - 400m)
Y2(X, t) = (4,00 mm) sen(2m: - 400m + 0,7n)
Y3(X, t) = (4,00 mm) sen(2nx - 400m + 7T)
Y4(X, t) = (4,00 mm) sen(27Tx - 4007Tt + 1,77T).
al e a amplitude da onda resultante?
37 Estas duas ondas se propagam ao longo da mesma corda:
Yl(X, t) = (4,60 mm) sen(2m: - 400m)
Y2(X, t) = (5,60 mm) sen(2m: - 400m + 0,807Trad).
ais saD(a) a amplitude e (b) 0 angulo de fase (relativo a onda 1)
~ onda resultante? (c) Se uma terceira onda de amplitude 5,00 mm
:ambem deve ser enviada ao longo da corda no mesmo sentido das
.?fimeiras duas ondas, qual deveria ser seu angulo de fase para que
_ amplitude da nova onda resultante fosse maximizada?
s.e~ao16-13 Ondas Estacionarias e Ressonancia
'38 A corda A esta esticada entre dois prendedores separados por
a distancia L. A corda B, com a mesma densidade linear e su-
oeita a me sma tensao da corda A, esta esticada entre dois prende-
~ores separados por uma distancia 4L. Considere os primeiros oito
armonicos da corda B. Para quais destes oito harmonicos de B
e houver) a frequencia coincide com a frequencia do (a) primei-
:0harmonico deA, (b) segundo harmonica deA e (c) terceiro har-
;nonico de A?
';9 Quais saD(a) a frequencia mais baixa, (b) a segunda frequencia
;nais baixa e (c) a terceira frequencia mais baixa para ondas estaci-
ouanas em urn fio que tern 10,0 m de comprimento, possui uma
;nassa de 100 g e esta esticado sob uma tensao de 250 N?
'40 Uma corda com 125 cm de comprimento possui uma massa de
_ 00 g. Ela esta esticada entre suportes rigidos sob uma tensao de
- 00 N. (a) Qual e a velocidade da onda nesta corda? (b) Qual e a
frequencia de ressonancia mais baixa para esta corda?
'41 Uma corda fixada em ambas as extremidades tern 8,40 m de
"'omprimento e uma massa de 0,120 kg. Ela esta oscilando sob uma
:ensao de 96,0 N. (a) Qual e a velocidade da onda na corda? (b) Qual
e 0 comprimento de onda mais longo possfvel para uma onda esta-
;;ionana nesta corda? (c) Determine a frequencia dessa onda.
'42 Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e amplitudes
:denticos se propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda
om velocidade de 10 cm/s. Se 0 intervalo de tempo entre os ins-
laIltes nos quais a corda fica reta e igual a 0,50 s, qual e 0 compri-
mento de onda comum?
'43 Uma corda de nailon de urn vi-
olao possui uma densidade linear de
,20 g/m e esta sujeita a uma tensao
de 150 N. Os suportes prendedores
tao separados por D = 90,0 cm.
A corda esta oscilando no padrao de
onda estacionana mostrado na Fig.
16-39. Calcule (a) a velocidade, (b) 0 comprimento de onda e (c) a
frequencia das ondas progressivas cuja superposiyao origina esta
onda estacionana.
'44 Uma corda submetida a uma tensao T; oscila no terceiro harmo-
nico com uma frequenciah, e as ondas na corda tern comprimento
de onda "-3. Se a tensao for aumentada para tf = 4T; e a corda for
novamente posta a oscilar no terceiro harmonico, quais saDentao
(a) a frequencia de oscilayao em termos def3 e (b) 0 comprimento
de onda das ondas em termos de "-3 ?
04; Uma corda que esta esticada entre suportes fixos separados por
75,0 cm possui frequencias de ressonancia de 420 e 315 Hz, com
nenhuma outra frequencia intermediana. Quais saD(a) a frequencia
de ressonancia mais baixa e (b) a velocidade da onda?
'46 Uma das frequencias harmonicas para uma corda particular sob
tensao e 325 Hz. A proxima frequencia mais alta e 390 Hz. Qual a
frequencia harmonica seguinte aquela de 195 Hz?
.047 Uma corda oscila de acordo com a equayao
Y' = (0,50 cm) sen [ (~cm-l)x ] cOS[(407TS-l)t].
Quais saD(a) a amplitudee (b) a velocidade das duas ondas (identi-
cas exceto pelo sentido de propagayao) cuja superposiyao produz esta
oscilayao? (c) Qual e a distancia entre os nos? (d) Qual e a velocida-
de transversal de uma partfcula da corda na posiyao x = 1,5 cm quan-
do t = is?
"41Uma corda, sujeita a uma tensao de 200 N e fixa nas duas extre-
midades, oscila no segundo harmonico em urn padrao de onda esta-
cionaria. 0 deslocamento da corda e dado por
onde x = 0 em uma das extremidades da corda, x esta em metros e
testa em segundos. Quais saD(a) 0 comprimento da corda, (b) a ve-
locidade das ondas na corda e (c) a massa da corda? (d) Se a corda
oscilar em urn padrao de onda estacionana no terceiro harmonica,
qual sera 0 periodo de oscilayao?
0'49 Duas ondas saDgeradas em uma corda com 3,0 m de compri-
mento para produzirem uma onda estacionana de tres ventres com
uma amplitude de 1,0 cm. A velocidade da onda e 100 m/s. Su-
ponha que a equayao para uma das ondas seja da forma y(x, t) =
Ym sen(kx + wt). Na equayao para a outra onda, quais saD (a) Ym'
(b) k, (c) we (d) 0 sinal na frente de w?
y(x, t) = 0,040 (sen 57TX)(COS 407Tt),
onde x e Y estao em metros e t em segundos. Para x 2': 0, qual e a
localizayao do no com (a) 0 menor, (b) 0 segundo menor e (c) 0 ter-
ceiro menor valor de x? (d) Qual e 0 perfodo do movimento
oscilatorio de qualquer ponto (que nao seja urn no)? Quais saD(e) a
velocidade e (f) as amplitudes das duas ondas progressivas que in-
terferem para produzir esta onda? Para t 2': 0, quais saD(g) 0 primei-
ro, (h) 0 segundo e (i) 0 terceiro instante em que todos os pontos da
corda possuem velocidade transversal nula?
"51 Para certa onda estacionaria 4,0
transversal ao Iongo de uma corda,
urn anti no esta em x = 0 e urn no
esta em x = 0,10 m. 0 deslocamen- E
to y(t) da partfcula da corda em x ~ 0
= 0 e mostrado na Fig. 16-40.
Quando t = 0,50 s, qual e 0 deslo-
camento da partfcula da corda em
(a) x = 0,20 m e (b) x = 0,30 m? Fig. 16-40 Problema 5l.
Qual e a velocidade transversal da
partfcula em x = 0,20 em (c) t =
0,50 s e (d) t = 1,0 s? (e) Esboce a onda estacionaria em t = 0,50
s para 0 intervalo de x = 0 ate x = 0,40 m.
Ismael
Oval
Ismael
Oval
Ismael
Oval
Ismael
Oval
··52 As duas ondas seguintes sao enviadas em sentidos opostos ao
longo de uma corda horizontal de modo a criar uma onda estaciona-
ria em urn plano vertical:
heX, t) = (6,00 mm) sen(4,007TX- 400771)
Y2(X, t) = (6,00 mm) sen(4,007TX+ 400771),
com x em metros e t em segundos. Urn antino esta localizado no
ponto A. No intervalo de tempo em que este ponto se move da posi-
s;ao de deslocamento maximo para cima ate a posis;ao de desloca-
mento maximo para baixo, 0 quanta cada onda se move ao longo da
corda?
··53 Urn gerador em uma extremidade de uma corda muito longa
excita uma onda dada por
7T
Y = (6,0 em) cos"2 [(2,00 m-1)x + (8,00 S-l)t],
e urn gerador na outra extremidade excita a onda
7T
Y = (6,0 em) cos"2 [(2,00 m-1)x - (8,00 S-l)t].
Calcule (a) a freqiiencia, (b) 0 comprimento de onda e (c) a veloci-
dade de cada onda. Para x 2: 0, qual e a posis;ao do no que tern (d) 0
menor, (e) 0 segundo menor, e (f) 0 terceiro menor valor de x? Para
x 2: 0, qual e a posis;ao do antino que tern (g) 0 menor, (h) 0 segun-
do menor e (i) 0 terceiro menor valor de x?
··54 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude e 0 mesmo com-
primento de onda viajam conjuntamente ao longo de uma corda que
esta esticada ao longo de urn eixo x. A onda resultante e mostrada
duas vezes na Fig. 16-41, quando 0 ventre A viaja de urn desloca-
mento maximo para cima para urn deslocamento maximo para bai-
xo em 6,0 ms. As marc as sobre 0 eixo estao separadas por 10 em.
Seja a equas;ao para uma das duas ondas da forma y(x, t) = Ym sen
(kx + wt). Na equas;ao para a outra onda, quais sao (a) Ym' (b) k, (c)
w, e (d) 0 sinal antes de w?
r
1,80 em
1
"·55 Na Fig. 16-42, urn fio de aluminio, de comprimento Lj = 60,0
em, area de ses;ao transversal 1,00 X 10-2 cm2, e densidade 2,60 g/
cm3, esta unido a urn fio de as;o, de densidade 7,80 g/cm3 e mesma
area de ses;aotransversal. 0 fio composto, tensionado por urn bloco
de massa m = 10,0 kg, esta disposto de modo que a distancia Lz da
juns;ao ate a polia e 86,6 em. Ondas transversais sao excitadas no
fio por uma fonte extern a, de freqiiencia variavel; urn no esta loca-
lizado na polia. (a) Encontre a menor freqiiencia que gera uma onda
estacionaria tendo a juns;ao como urn dos nos. (b) Quantos nos SaG
observados nesta freqiiencia?
···56 Ondas estacionanas SaGexcitadas com 0 equipamento descri-
to no Problema Resolvido 16-8 (Fig. 16-25), exceto pelo fato de que
uma outra corda e usada. Uma onda estacionaria surge quando a
massa do bloco pendurado e 286,1 g ou 447,0 g, mas nao para outra
massa intermediaria qualquer. Qual e a densidade linear da corda')
57 A Fig. 16-43 mostra 0 desloea-
men to Y versus 0 tempo t de urn
ponto sobre uma corda em x = 0,
quando uma onda passa por este
ponto. A onda tern a forma y(x, t) =
Ym sen (kx - wt + ¢). Quanto vale
¢? (Aten~iio: Uma calculadora nem
sempre fomece a funS;aotrigonome-
trica inversa adequada, portanto
verifique sua resposta substituindo-a em y(x, t), assim como urn valor
suposto para w, e a seguir esbos;ando 0 grafico da funS;ao.)
58 A Fig. 16-44 mostra a aceleras;ao
transversal ay versus 0 tempo t para
o ponto sobre uma corda em x = 0,
quando uma onda escrita na forma
geraly(x, t) = Ym sen (kx - wt + ¢)
passa por ele. Quanto vale ¢? (Aten- ---------~~O()
~iio: Uma calculadora nem sempre -----·----=4e·
fornece a funs;ao trigonometric a in-
versa adequada, portanto verifique
sua resposta substituindo-a em y(x, t), assim como urn valor supos-
to para w, e a seguir esbos;ando 0 grafico da funS;ao.)
59 Urn unico pulso, cuja forma de onda e dada pela funS;aohex -
5,Ot), e mostrado naFig. 16-45 para
t = O. Aqui, x esta em centimetros
e testa em segundos. Quais SaG(a)
a velocidade e (b) 0 sentido de pro-
pagas;aodopulso? (c) Esboce h(x-
5,Ot) como uma funS;aode x para t
= 2 s. (d) Esboce hex - 5,Ot) como
uma funS;aode t para x = 10 em. Fig. 16-45 Problema 59.
60 Duas ondas senoidais, identic as exceto pela fase, se propagam
no mesmo senti do ao Iongo de uma corda, produzindo uma onda
resultante y'(x, t) = (3,0 mm) sen (20x - 4,Ot + 0,820 rad), com
x em metros e tern segundos. Quais SaG(a) 0 comprimento de onda
A das duas ondas, (b) a diferens;a de fase entre elas, e (c) suas am-
plitudes Ym?
61 Tres ondas senoidais de mesma freqiiencia se propagam ao lon-
go de uma corda no sentido positivo de urn eixo x. Suas amplitude
SaGYl' yJ2, e yJ3, e suas constantes de fase sao 0, 7T/2e 7T,respec-
tivamente. Quais SaG(a) a amplitude e (b) a constante de fase da onda
resultante? (c) Esboce a forma da onda resultante em t = 0 e discuta
seu comportamento quando t cresce.
62 Duas ondas senoidais com a
mesma freqiiencia de 120 Hz e a
mesma amplitude devem ser envi- 8"
adas no sentido positivo de urn eixo E 0
x que esta dirigido ao longo de uma
corda tensionada. As ondas podem
ser enviadas em fase ou podem ser
defasadas. A Fig. 16-46 mostra a
amplitude y' da onda resultante em
ar (m/s
2)
;;::----40 .
funl<aoda defasagem espacial (0 quanta uma onda esta deslocada
em rela<;aoa outra). Se as equa<;oespara as duas ondas saDda forma
.l(x, t) = Ym sen(kx ± wt), quais saD(a) Ym' (b) k, (c) we (d) aescolha
orreta para 0 sinal antes de w?
63 No instante t = 0 e na posi<;aox = 0 ao longo de uma corda, uma
onda senoidal se propagando com uma frequencia angular de 440
rad/s tern urn deslocamento Y = +4,5 mm e velocidade transversal
u = -0,75 mls. Se a onda tern a forma geral y(x, t) = Ym sen(kx -
wt + ¢), qual e a constante de fase ¢?
64 Quatro ondas senoidais se propagam no sentido positivo de urn
eixo x alinhado ao longo de uma corda. Suas frequencias estao na
razao 1 : 2 : 3 : 4 e suas amplitudes estao na razao 1 :!:!::t Quan-
do t = 0, em x = 0, a primeira e a terceira ondas estao defasadas
de 1800 em rela<;ao as segunda e quarta ondas. Fa<;a0 gr:ifico da
onda resultante quando t = 0 e discutaseu comportamento quan-
do t aumenta.
65 Em uma demonstra<;ao, uma corda horizontal de 1,2 kg e fixada
em suas extremidades (x = 0 e x = 2,0 m), e posta em oscila<;ao
para cima e para baixo em seu modo fundamental na frequencia de
-,0 Hz. Em t = 0, 0 ponto em x = 1,0 m tern deslocamento nulo e se
move para cima no sentido positivo de urn eixo Y com uma veloci-
dade transversal de 5,0 mls. Quais saD(a) a amplitude do movimen-
[0 naquele ponto e (b) a tensao na corda? (c) Escreva a equa<;aoda
onda estacion:iria para 0 modo fundamental.
66 Uma onda transversal senoidal e gerada em uma extremidade de
uma longa corda horizontal por uma barra que se move para cima e
para baixo ao longo de uma distancia de 1,00 em. 0 movimento e
continuo e repetido regularmente 120 vezes por segundo. A corda
rem densidade linear de 120 g/m e e mantida sob uma tensao T =
90,0 N. Encontre 0 valor maximo (a) da velocidade transversal u e
(b) da componente transversal da tensao T.
(c) Mostre que os dois valores maximos calculados acima ocor-
rem nos mesmos valores da fase da onda. Qual e 0 deslocamento
rransversal Y da corda nestas fases? (d) Qual e a taxa maxima de
rransferencia de energia ao longo da corda? (e) Qual e 0 desloca-
mento transversal Y quando esta transferencia maxima ocorre? (f)
Qual e a taxa minima de transferencia de energia ao longo da cor-
da? (g) Qual e 0 deslocamento transversal Y quando esta transfe-
rencia minima ocorre?
67 Uma onda transversal senoidal de amplitude Ym e comprimento
de onda A se propaga em uma corda esticada. (a) Encontre a razao
entre a velocidade maxima de uma particula (a velocidade com a qual
uma partfcula da corda se move na dire<;aotransversal a corda) e a
velocidade da onda. (b) Esta razao depende do material do qual e
feita a corda?
68 Qual e a onda transversal mais rapid a que pode ser enviada em
urn fio de a<;o?Por razoes de seguran<;a, a tensao maxima a qual
fios de a<;opodem estar sujeitos e 7,00 X 108 N/m2. A densidade
do a<;oe 7800 kg/m3• Mostre que sua resposta nao depende do di-
ametro do fio.
69 Uma onda senoidal transversal se propagando no sentido negati-
vo de urn eixo x tern uma amplitude de 1,00 em, uma frequencia de
550 Hz e uma velocidade de 330 mls. Se a equa<;aode onda e da
forma y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), quais saD(a) Ym, (b) w, (c) k e (d) a
escolha correta do sinal antes de w?
70 Uma onda senoidal transversal se propagando no sentido positivo
de urn eixo x tern uma amplitude de 2,0 em, urn comprimento de
onda de 10 em e uma frequencia de 400 Hz. Se a equa<;aode onda
e da forma y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), quais saD (a) Ym' (b) k, (c) w
e (d) a escolha correta do sinal antes de w? Quais saG(e) a veloci-
dade transversal maxima de urn ponto da corda e (f) a velocidade
da onda?
71 Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda se propa-
gam no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada. Para a onda
I,Ym = 3,Omme ¢ = 0; para a onda2,Ym= 5,Omme ¢ = 700.Quais
saD(a) a amplitude e (b) a constante de fase da onda resultante?
72 Uma onda numa corda e descrita por
y(x, t) = 15,0 sene7fx/8 - 47ft),
onde x e Y estao em centimetros e testa em segundos. (a) Qual e a
velocidade transversal para urn ponto na corda emx = 6,00 em quan-
do t = 0,250 s? (b) Qual e a maxima velocidade transversal de qual-
quer ponto na corda? (c) Qual e 0 modulo da acelera<;aotransversal
para urn ponto na corda emx = 6,00 em quando t = 0,250s? (d) Qual
e 0 modulo da acelera<;aotransversal maxima para qualquer ponto
na corda?
73 Uma onda tern uma velocidade de 240 mls e urn comprimento de
onda de 3,2 ill. Quais saD(a) a frequencia e (b) 0 perfodo da onda?
74 Quando tocada de certa maneira, a frequencia de ressonancia mais
baixa de certa corda de violino e 0 da nota la (440 Hz). Quais saDas
frequencias do (a) segundo e (b) terceiro harmonic os da corda?
75 Uma corda de 120 em de comprimento esta esticada entre supor-
tes fixos. Quais saD(a) 0 maior, (b) 0 segundo maior e (c) 0 terceiro
maior comprimento de onda para ondas em propaga<;aona corda se
ondas estacion:irias devem ser excitadas? (d) Esboce essas ondas
estacion:irias.
76 A equa<;aode uma onda transversal se propagando ao longo de
uma corda e
Y = 0,15 sen(0,79x - 13t),
na qual x e Y estao em metros e testa em segundos. (a) Qual e 0
deslocamento em x = 2,3 m, t = 0,16 s? Uma segunda onda deve
ser adicionada a primeira para produzir ondas estacion:irias na cor-
da. Se a equa<;aode onda para a segunda onda for y(x, t) = Ym sen(kx
± wt), quais saD(b) Ym, (c) k, (d) we (e) a escolha correta do sinal
antes de w para esta segunda onda? (f) Qual e 0 deslocamento da
onda estacionaria resultante em x = 2,3 m, t = 0,16 s?
77 Urn fio de 1,50 m tern uma massa de 8,70 g e esta sob uma ten-
saDde 120 N. 0 fio e fixado rigidamente nas duas extremidades e
posto para oscilar. (a) Qual e a velocidade das ondas no fio? Qual
e 0 comprimento de onda das ondas que produzem ondas estacio-
narias com (b) urn ventre e (c) dois ventres? Qual e a frequencia
das ondas que produzem ondas estacionarias com (d) urn ventre e
(e) dois ventres?
78 Energia e transmitida a uma taxa PI por uma onda de frequencia
}; em uma corda sob tensao TI• Qual e a nova taxa de transmissao de
energia P2 em termos de PI (a) se a tensao for aumentada para T2 =
4T[ e (b) se, em vez disso, a frequencia for decrescida para}; =1/2?
79 A equa<;aode uma onda transversal se propagando ao longo de
uma corda e
Encontre (a) sua amplitude, (b) sua frequencia, (c) sua velocidade
(incluindo 0 sinal) e (d) seu comprimento de onda. (e) Encontre a
velocidade transversal maxima de uma partfcula na corda.
80 Certa onda transversal senoidal com comprimento de onda de
20 em propaga-se no sentido positivo de urn eixo x. A velocida-
de transversal da particula em x =
o como fun<;ao do tempo e mos-
trada na Fig. 16-47. Quais saD (a)
a velocidade, (b) a amplitude e (c)
a frequencia da onda? (d) Esboce
a onda entre x = Oex = 20cmem
t = 2,0 s.
Yl = 0,30 sen[7T(5x - 200)t]
Y2 = 0,30 sen[7T(5x - 200t) + 7T/3],
onde Yl, Y2 ex estao em metros e testa em segundos. Quando essas
duas ondas sao combinadas, uma onda progressiva e produzida.
Quais sao (a) a amplitude, (b) a velocidade e (c) 0 comprimento de
onda dessa onda progressiva?
82 A oscila~ao de urn diapasao de 600 Hz excita ondas estacionari-
as em uma corda presa nas duas extremidades. A velocidade de onda
para a corda e 400 mls. A onda estacionaria tern quatro ventres e
uma amplitude de 2,0 mm. (a) Qual e 0 comprimento da corda? (b)
Escreva uma expressao para 0 deslocamento da corda como uma
fun~ao da posi~ao e do tempo.
83 Em urn experimento com ondas estacionarias, uma corda de
90 cm de comprimento esta presa a urn dos dentes de urn diapasao
excitado eletricamente, 0 qual oscila perpendicularmente ao com-
primento da corda na freqiH~ncia de 60 Hz. A massa da corda e
0,044 kg. A que tensao a corda deve ser submetida (M pesos
amarrados na outra extremidade) se ela deve oscilar com quatro
ventres?
84 Uma onda estacionaria resulta da soma de duas ondas transver-
sais progressivas dadas por
Yl = 0,050 cos( TTX - 47Tt)
e Y2 = 0,050 cos( TTX + 47Tt),
onde x, Yl' e Y2 estao em metros e testa em segundos. (a) Qual e 0
menor valor positivo de x correspondente a urn no? Come~ando em
t = 0, qual e 0 valor do (b) primeiro, (c) segundo e (d) terceiro ins-
tante em que a partfcula em x = 0 tern velocidade nula?
85 Colete a prova de balas. Quando urn projetil de alta velocidade,
tal como urna bala ou urn fragmento de bomba, atinge urn colete a
prova de balas modemo, 0 tecido do colete para 0 projetil e evita
sua penetra~ao espalhando rapidamente a energia do projetil sobre
uma grande area. Este espalhamento e realizado atraves de pulsos
longitudinais e transversais que se movem radialmente a partir do
ponto de irnpacto, onde 0 projetil produz uma mossa de forma c6nica
no tecido. 0 pulso longitudinal, propagando-se ao longo das fibras
do tecido com velocidade VI' faz com que as fibras estiquem e afi-
nem, com 0 material se deformando radialmente no sentidoda mossa.
Uma dessas fibras radiais e mostrada na Fig. 16-48a. Parte da ener-
gia do projetil vai para este movimento e para 0 estiramento da fi-
bra. 0 pulso transversal, movendo-se com uma velocidade V, me-
nor, e devido it forma~ao da mossa. Quando 0 projetil aumenta a pro-
fundidade da mossa, 0 raio desta aumenta, fazendo com que mate-
rial se desloque no mesmo sentido do projetil (perpendicular ao sen-
tido de propaga~ao do pulso transversal). A parte restante da ener-
gia do projetil vai para este movirnento. Toda energia que ao final
nao contribui para deformar permanentemente a fibra terrnina se
transformando em energia terrnica.
A Fig. l6-48b e urn grafico da velocidade V em fun~ao do tempo
t para uma bala com massa de 10,2 g disparada de urn revolver ca-
libre 38 diretamente no colete. Tome VI = 2000 mls e suponha que
o semi-angulo e da mossa c6nica e 60°. Ao final da colisao, quais
sao os raios (a) da regiao afinada e (b) da mossa (supondo que a
pessoa que esta usando 0 colete permanece em repouso)?
86 (a) Escreva uma equa~ao que descreva uma onda transversal
senoidal se propagando em uma corda no sentido positivo de urn eixo
Y com urn numero de onda de 60 cm-{, urn periodo de 0,20 s e uma
amplitude de 3,0 mm. Tome a dire~ao transversal como a dire~ao z.
(b) Qual e a velocidade transversal maxima de urn ponto sobre a
corda?
Raio alcan<;ado
pdo pulso
longitudinal?
~ 200
"E
;.100
20
t (IJ-s)
(b)
Fig. 16-48 Problerna 85.
87 0 tipo de liga de borracha utilizada no interior de algumas bolas
de beisebol e de golfe obedece it lei de Hooke sobre urn amplo in-
tervalo de estiramento da liga. Urn segmento deste material tern urn
comprimento nao esticado f e uma massa m. Quando uma for~a F e
aplicada, a liga e esticada de urn comprimento adicionalilf. (a) Qual
e a velocidade (em termos de m, Ilf e da constante elastica k) da
ondas transversais nesta liga de borracha esticada? (b) Usando sua
resposta para (a), mostre que 0 tempo necessario para que urn pulso
transversal viaje 0 comprimento da liga de borracha e proporcional
a 111M se Ilf.:g;f e e constante se Ilf'iJ>f.
88 Duas ondas,
Y1 = (2,50 mm) sen[(25,1 rad/m)x - (440 rad/s)t]
e Y2 = (1,50 mm) sen[(25,1 rad/m)x + (440 rad/s)t],
se propagam ao longo de uma corda esticada. (a) Esboce a onda re-
sultante como uma func;:aode tparax = 0, M8, M4, 3M8 e 11./2, onde
A e 0 comprimento de onda. Os graficos devem se estender de t =
o ate urn pouco alem de urn perfodo. (b) A onda resultante e a su-
perposic;:aode uma onda estacionaria e uma onda progressiva. Em
que sentido a onda progressiva se desloca? (c) Como voce pode
mudar as ondas originais para que a onda resultante seja a super-
posic;:aode uma onda estacionaria e uma onda progressiva de mes-
ma amplitude que a anterior, mas com a onda progressiva viajan-
do deslocando-se em sentido contrario? A seguir, use seus grafi-
cos para encontrar a posic;:aona qual a amplitude de oscilac;:aoe
(d) maxima e (e) minima. (f) Como a amplitude maxima esta rela-
cion ada com as amplitudes das duas ondas originais? (g) Como a
amplitude minima esta relacionada com as amplitudes das duas
ondas originais?
89 A velocidade de ondas eletromagneticas (que incluem luz visi-
vel, ondas de radio e raios x) no vacuo e 3,0 x 108 mls. (a) Os com-
primentos de onda de ondas de luz visivel vao de aproximadamente
400 nm no violeta ate cerca de 700 nm no vermelho. Qual e 0 inter-
valo de freqiiencias dessas ondas? (b)0 intervalo de freqiiencias para
ondas curtas de radio (por exemplo, radio PM e sinais deVHF de
televisao) e 1,5 a 300 MHz. Qual e 0 intervalo de comprimentos de
onda correspondente? (c) Os comprimentos de onda de raios x vao
de aproximadamente 5,0 nm a cerca de 1,0 X 10-2 nm. Qual e 0
mtervalo de freqiHlncias dos raios x?
90 Duas ondas em uma corda sao descritas pelas seguintes equat;;oes:
Yl = (0,10 m) sen 27T[(0,50 m-1)x + (20 S-l)t],
Y2 = (0,20 m) sen 27T[(0,50 m-1)x - (20 S-l)t].
E.sboce0 gnifico de Y versus t para 0 ponto na corda em x = 3,0 m.
91 Uma onda se propagando em uma corda e descrita por
Y = 2,0 senl27T (O,~O+ :0) J,
onde x e Y estao em centfmetros e tern segundos. (a) Para t = 0,
esboce 0 gnifico de Y como uma funt;;aode x para 0 ~ x ~ 160 em.
0) Repita (a) para t = 0,05 set = 0,10 s. A partir de seus gnificos,
determine (c) a velocidade da onda e (d) 0 sentido no qual a onda se
?ropaga.
92 Mostre que a energia cinetica maxima em cada ventre de uma
onda estacionaria produzida por duas ondas progressivas de ampli-
;ndes identicas e 27T2J.LY,~fv.
93 Na Fig. 16-49, dois pulsos se propagam ao longo de uma corda
~m sentidos opostos. 0 m6dulo v das velocidades das ondas e 2,0
m1se os pulsos estao separados por D = 6,0 em em t = O. (a) Esbo-
ce as formas das ondas quando t e igual a 5,0, 10, 15, 20 e 25 ms.
b) Em que forma (ou tipo) esta a
energia dos pulsos em t = 15 ms?
S4 A ponte Le Pont de Normandie
-obre 0 rio Sena na Frant;;a tern 0
mais longo suporte a cabo no mun-
do (Fig. l6-50a). Logo ap6s sua
construt;;ao,ondas estacionanas fo-
ram produzidas em alguns dos ca-
bas mesmo por ventos suaves. Tais
oscilat;;oessao preocupantes porque elas podem provocar fadiga pre-
matura nos elementos metalicos dos cabos. Para resolver este pro-
, lema, montanhistas escalaram a ponte para amarrar cordas entre
cabos adjacentes.
Considere 0 arranjo simples de dois cabos verticais na Fig. 16-
-Ob. 0 cabo A de comprimento Leo cabo B de comprimento 2L
rem a mesma densidade linear, estao sob a mesma tensao, e estao
onectados por uma corda horizontal no ponto medio do cabo mais
urto. Inicialmente a corda nao esta nem frouxa nem tensionada.
I+--- D------,.j
~i_-:~
I -v I
I I
Suponha que no instante t = 0 uma lufada de vento desloca os ca-
bos para a direita fazendo-os oscilar em seus modos fundamentais.
Seja TA 0 perfodo de oscilat;;aodo cabo A e suponha que os cabos
oscilariam com a mesma amplitude se nao estivessem conectados.
Para quais dos seguintes instantes a corda esta (a) sob tensao, (b) de
volta em seu estado inicial, e (c) frouxa: 0,25TA, 0,5TA, 0,75TA, TA,
1,25TA> 1,5TA> 1,75TA, 2TA? A Fig. l6-50c mostra uma segunda es-
colha de posicionamento da corda. (d) Os dois projetos amortecem
as oscilat;;oes dos cabos se apenas as oscilat;;oes fundamentais po-
dem ocorrer?