Atividade 2 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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Podemos calcular a integral de uma função por meio de somas parciais, assim como em algumas figuras ou curvas, considerando-as compostas e realizar os cálculos parcialmente. Considere a seguinte figura:
Fonte: Elaborado pela autora, 2021.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine a integral , sendo C composto por um arco  de uma parábola  de (0,0) e (1,1), e pelo segmento de uma reta vertical  de (1,1) e (1,2).
Analise a figura a seguir:
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, calcule
 
 
em que C é a metade superior do círculo unitário e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto.
Os elementos e conceitos do cálculo avançado são muito empregados em situações reais, seu estudo é evidente nas engenharias, na solução tanto de problemas de dimensões microscópicas quanto macroscópicas. Dito isso, considere a situação a seguir: Uma peça móvel de um maquinário percorre um caminho de formato elíptico dado por  no sentido anti-horário, sobre uma força  
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, responda: qual é o trabalho realizado?
“Em vez de pensar em uma curva como um gráfico de uma função ou equação, consideramos uma forma mais geral de pensar em uma curva como a trajetória de uma partícula em movimento, cuja posição está mudando ao longo do tempo. Então, cada uma das coordenadas de x e y da posição da partícula se torna uma função de uma terceira variável t. Podemos ainda alterar a forma na qual os pontos no plano são descritos utilizando coordenadas polares em vez das retangulares ou cartesianas. Essas duas novas ferramentas são úteis para a descrição de movimentos, como os dos planetas e satélites, ou projéteis se deslocando no plano ou espaço.”
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo,vol 2. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 77
 
Considerando a praticidade da resolução de situações-problema, por meio da parametrização de uma curva, determine a integral  , sendo
 
 
e C um caminho de , sendo um segmento sobre 
Quando temos uma dada função f, e essa função é analítica, o valor de sua integral  dependerá somente do ponto inicial e final do caminho de integração e poderá ser determinado por meio da diferença entre F(b) e F(a), sendo F primitiva de f.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine a integral de
 
A integral de uma função de duas variáveis no plano também pode ser chamada de integral múltipla. O cálculo de uma integral pode ser dado por meio de função de variáveis reais, assim como de variáveis complexas. Neste último caso, abordaremos uma integração complexa.
 
Considere um dado círculo , cujo centro esteja na origem e seu raio seja 3. A partir da função , definida para todo  Assim, e considerando o conteúdo estudado, determine f(2i).
Uma função é uma operação que transformará pontos de um plano complexo em outros pontos. As funções de variáveis complexas, assim como os números complexos, também podem ser compostas por uma parte real e uma parte imaginária.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine uma função f, em que a parte real seja dada por:
O cálculo de uma integral nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até consumo de energia e forças que atuam contra as comportas de uma represa. O estudo de seus conceitos e propriedades é de suma importância para que se determine corretamente uma integral.
 
Vamos considerar o valor da integral  uma curva fechada no plano complexo e z uma variável complexa. Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  ) Quando n for igual a -1, será nulo e  for uma circunferência dada por  
II. (  ) Será nulo para todo  e quaisquer curvas fechadas  que passar por a.
III. (  ) Nulo para  e qualquer curva fechada , sendo que  é derivada de .
IV. (  ) Será nulo para todo  e quaisquer curvas abertas  que passar por a.
A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser calculadas se forem quebradas em pedaços pequenos e, depois, soma-se a contribuição que cada parte dá, nos permitindo calcular desde quantidades pequenas até valores volumétricos.
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo, vol 1. 11 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, determine a integral de.
Os números complexos surgiram a partir da necessidade de resultados em casos em que não havia solução no campo dos números reais, e sua aplicação se estendeu às funções de variáveis complexas. O estudo de uma função de variável complexa nos permite determinar a parte real e a parte imaginária de uma função.
Denominando a parte real por u e a parte imaginária v, determine da função