Aula 4 EDO 2012

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012.
Aula 04 (07/03).
Equac¸o˜es Separa´veis.
Considere a equac¸a˜o geral de primeira ordem
d y
d x
= f(x, y) (1)
Quando f e´ na˜o-linear na˜o existe um me´todo geral para determinar as soluc¸o˜es.
Alguns casos especiais podem ser resolvidos especificamente.
Estrate´gia mais simples: usar integrac¸a˜o direta.
Sempre podemos escrever (??) na forma
M(x, y) +N(x, y)
d y
d x
= 0 (2)
Quando M(x, y) = M(x) e N(x, y) = N(y) dizemos que a
equac¸a˜o (??) e´ de varia´veis separa´veis, ou separa´vel
Neste caso (??) fica escrita como
M(x) +N(y)
d y
d x
= 0 (3)
e na forma diferencial
M(x) d x+N(y) d y = 0 (4)
Para simplificar o estudo vamos denotar por H1 e H2 primitivas de M e N ,
respectivamente, i. e´,
1
H
′
1(x) = M(x) e H
′
2(y) = N(y)
Assim
H
′
1(x) +H
′
2(y)
d y
d x
= 0
Mas
d
d x
H2(y(x)) =
d
d y
H2(y)
d y
d x
= H
′
2(y)
d y
d x
e portanto
H
′
1(x)︸ ︷︷ ︸
d H1
d x
+H
′
2(y)
d y
d x︸ ︷︷ ︸
d
d x H2(y(x))
= 0 ,
isto e´,
d
d x
[H1(x) +H2(y(x))] = 0
Integrando obtemos que, sendo C uma constante real,
H1(x) +H2(y(x)) = C, (5)
Uma func¸a˜o y = φ(x) que satisfaz (??) tambe´m satisfaz (??). Dizemos que (??)
define implicitamente a soluc¸a˜o de (??).
Para resolver o Problema de Valor Inicial
M(x) d x+N(y) d y = 0
y(x0) = y0.
,
basta determinar a constante C, o que pode ser feito calculando
C = H1(x0) +H2( y0︸︷︷︸
y(x0)
). (6)
2
Observac¸a˜o Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo,
H1(x)−H1(x0) =
∫ x
x0
H
′
1(s) ds =
∫ x
x0
M(s) ds
e
H2(y)−H2(y0) =
∫ y
y0
H
′
2(s) ds =
∫ y
y0
N(s) ds
Voltando a equac¸a˜o (??),
H1(x) +H2(y(x)) = H1(x0) +H2(y0)︸ ︷︷ ︸
C
,
e assim,
H1(x)−H1(x0) +H2(y(x))−H2(y0) =
∫ x
x0
M(s) ds+
∫ y
y0
N(s) ds,
Para determinar y = φ(x) devemos resolver esta
u´ltima equac¸a˜o e explicitar y como func¸a˜o de x.
(o que nem sempre e´ poss´ıvel !)
Exerc´ıcio Resolva
y
′
=
3 x2 − 1
3 + 2 y
3