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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO” UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012. Aula 07 (14/03) Existeˆncia e Unicidade. Consideremos o problema de Valor Inicial (se y(t0) = y0 fazemos uma translac¸a˜o) y ′ = f(t, y) , y(0) = 0. . (1) Teorema Se f(t, y) e fy(t, y) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas num retaˆngulo R = {(t, y) : |t| ≤ a , |y| ≤ b} , enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o y = φ(t) do problema (1). A demonstrac¸a˜o deste teorema se baseia em dois resultados poderosos da Ana´lise Matema´tica: O Princ´ıpio da Contrac¸a˜o (de S. Banach) e o Me´todo das Aproximac¸o˜es Sucessivas (de C.E. Picard) Observac¸a˜o Note que para que φ(t) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ preciso que φ(t) = ∫ t 0 f(s, φ(s)) ds Consideremos o funcional [L(φ)](t) = ∫ t 0 f(s, φ(s)) ds (2) Dizer que φ e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (2) e´ o mesmo que dizer que L(φ) = φ , ou seja, que φ e´ um ponto fixo de L. 1 Lembramos que uma contrac¸a˜o num espac¸o normado X e´ um operador T : X → X com a seguinte propriedade: existe uma constante M , 0 ≤M < 1, tal que ‖T (x)− T (y)‖ ≤M ‖x− y‖ , ∀x, y ∈ X . O Princ´ıpio ((ou Lema) da Contrac¸ao afirma que toda contrac¸a˜o tem um u´nico ponto fixo. O Me´todo de Iterac¸a˜o de Picard e´ uma consequeˆncia disto. Esboc¸o da demonstrac¸a˜o do Teorema Escolhemos uma func¸a˜o φ0 arbitra´ria, como primeira aproximac¸a˜o de φ. A escolha mais simples e´ φ0(t) = 0, t ∈ [−a, a]. Definimos a sequeˆncia φn+1(t) = ∫ t 0 f(s, φn(s)) ds = [L(φn)](t) (3) e mostramos que, para todo t ∈ [−a, a], ‖[L(φm)](t)− [L(φn)](t)‖ ≤M ‖φm(t)− φn(t)‖ , o que mostra que ‖L(φm)− L(φn)‖ ≤M ‖φm − φn‖ , com 0 ≤M < 1. Portanto L e´ uma contrac¸a˜o e tem um u´nico ponto fixo φ. Tal elemento e´ a u´nica soluc¸a˜o do PVI (1), ja´ que para todo t ∈ [−a, a], [L(φ)](t) = ∫ t 0 f(s, φ(s)) ds = φ(t) 2 Vamos considerar agora duas equac¸o˜es cla´ssicas cuja resoluc¸a˜o pode ser feita usando-se os me´todos ja´ estudados. Equac¸a˜o de Bernoulli Considere a equac¸a˜o diferencial de primeira ordem d y d x + P (x) y = Q(x) yn (4) Quando n = 0 ou n = 1 a equac¸a˜o e´ linear. Se n 6= 0 podemos escrever esta equac¸a˜o na forma y−n d y d x + P (x) y1−n = Q(x) . (5) Fazendo w = y1−n, para n 6= 0 e n 6= 1, teremos d w d x = (1− n) y−n d y d x e a equac¸a˜o (5) fica d w d x + (1− n) P (x)︸ ︷︷ ︸ p(x) w = (1− n) Q(x)︸ ︷︷ ︸ q(x) , (6) que e´ uma equac¸a˜o linear. Para encontrar as soluc¸o˜es de (4) resolvemos (6), e depois fazemos novamente w = y1−n. Exemplo Consideremos a equac¸a˜o d y d x + 1 x y = x y2 ou seja, (4) com P (x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2. Fazendo a mudanc¸a de varia´veis w = y−1 teremos d w d x = (−1) y−2 d y d x e portanto d w d x + −1 x︸︷︷︸ p(x) w = −x︸︷︷︸ q((x) Esta e´ uma equac¸a˜o linear de primeira ordem, e um fator integrante e´ 3 µ(x) = exp [∫ p(x) dx ] = exp [∫ −1 x dx ] = exp [ − ∫ 1 x dx ] = e−ln|x| = x−1 e as soluc¸o˜es sa˜o dadas por w(x) = 1 µ(x) [∫ µ(x) q(x) dx+K ] = 1 x−1 [∫ x−1 [−x] dx+K ] = −x2 +K x . Finalmente, como w = y−1, y(x) = 1 −x2 +K x . Equac¸a˜o de Ricatti A equac¸a˜o diferencial d y d x = P (x) +Q(x) y +R(x) y2 (7) e´ cohecida como equac¸a˜o de Ricatti. Suponhamos que y1 e´ uma soluc¸a˜o particular de (7). Fazendo as mudanc¸as de varia´veis y = y1 + u e d y d x = d y1 d x + d u d x a equac¸a˜o fica d u d x − (Q+ 2 y1 R) u = R u2 que e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli com n = 2. 4
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