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Aula 07 EDO 2012

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012.
Aula 07 (14/03) Existeˆncia e Unicidade.
Consideremos o problema de Valor Inicial (se y(t0) = y0 fazemos uma translac¸a˜o)
 y
′
= f(t, y) ,
y(0) = 0.
. (1)
Teorema Se f(t, y) e fy(t, y) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas num retaˆngulo
R = {(t, y) : |t| ≤ a , |y| ≤ b} ,
enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o y = φ(t) do problema (1).
A demonstrac¸a˜o deste teorema se baseia em dois resultados poderosos da Ana´lise Matema´tica:
O Princ´ıpio da Contrac¸a˜o (de S. Banach) e o
Me´todo das Aproximac¸o˜es Sucessivas (de C.E. Picard)
Observac¸a˜o Note que para que φ(t) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ preciso que
φ(t) =
∫ t
0
f(s, φ(s)) ds
Consideremos o funcional
[L(φ)](t) =
∫ t
0
f(s, φ(s)) ds (2)
Dizer que φ e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (2) e´ o mesmo que dizer que
L(φ) = φ ,
ou seja, que φ e´ um ponto fixo de L.
1
Lembramos que uma contrac¸a˜o num espac¸o normado X e´ um operador T : X → X com a seguinte
propriedade: existe uma constante M , 0 ≤M < 1, tal que
‖T (x)− T (y)‖ ≤M ‖x− y‖ , ∀x, y ∈ X .
O Princ´ıpio ((ou Lema) da Contrac¸ao afirma
que toda contrac¸a˜o tem um u´nico ponto fixo.
O Me´todo de Iterac¸a˜o de Picard e´ uma consequeˆncia disto.
Esboc¸o da demonstrac¸a˜o do Teorema
Escolhemos uma func¸a˜o φ0 arbitra´ria, como primeira aproximac¸a˜o de φ. A escolha mais simples
e´ φ0(t) = 0, t ∈ [−a, a]. Definimos a sequeˆncia
φn+1(t) =
∫ t
0
f(s, φn(s)) ds = [L(φn)](t) (3)
e mostramos que, para todo t ∈ [−a, a],
‖[L(φm)](t)− [L(φn)](t)‖ ≤M ‖φm(t)− φn(t)‖ ,
o que mostra que
‖L(φm)− L(φn)‖ ≤M ‖φm − φn‖ ,
com 0 ≤M < 1. Portanto L e´ uma contrac¸a˜o e tem um u´nico ponto fixo φ. Tal elemento e´ a u´nica
soluc¸a˜o do PVI (1), ja´ que para todo t ∈ [−a, a],
[L(φ)](t) =
∫ t
0
f(s, φ(s)) ds = φ(t)
2
Vamos considerar agora duas equac¸o˜es cla´ssicas cuja resoluc¸a˜o pode ser feita usando-se os me´todos
ja´ estudados.
Equac¸a˜o de Bernoulli
Considere a equac¸a˜o diferencial de primeira ordem
d y
d x
+ P (x) y = Q(x) yn (4)
Quando n = 0 ou n = 1 a equac¸a˜o e´ linear. Se n 6= 0 podemos escrever esta equac¸a˜o na forma
y−n
d y
d x
+ P (x) y1−n = Q(x) . (5)
Fazendo w = y1−n, para n 6= 0 e n 6= 1, teremos
d w
d x
= (1− n) y−n d y
d x
e a equac¸a˜o (5) fica
d w
d x
+ (1− n) P (x)︸ ︷︷ ︸
p(x)
w = (1− n) Q(x)︸ ︷︷ ︸
q(x)
, (6)
que e´ uma equac¸a˜o linear. Para encontrar as soluc¸o˜es de (4) resolvemos (6), e depois fazemos
novamente w = y1−n.
Exemplo Consideremos a equac¸a˜o
d y
d x
+
1
x
y = x y2
ou seja, (4) com P (x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2. Fazendo a mudanc¸a de varia´veis w = y−1 teremos
d w
d x
= (−1) y−2 d y
d x
e portanto
d w
d x
+ −1
x︸︷︷︸
p(x)
w = −x︸︷︷︸
q((x)
Esta e´ uma equac¸a˜o linear de primeira ordem, e um fator integrante e´
3
µ(x) = exp
[∫
p(x) dx
]
= exp
[∫ −1
x
dx
]
= exp
[
−
∫
1
x
dx
]
= e−ln|x| = x−1
e as soluc¸o˜es sa˜o dadas por
w(x) =
1
µ(x)
[∫
µ(x) q(x) dx+K
]
=
1
x−1
[∫
x−1 [−x] dx+K
]
= −x2 +K x .
Finalmente, como w = y−1,
y(x) =
1
−x2 +K x .
Equac¸a˜o de Ricatti
A equac¸a˜o diferencial
d y
d x
= P (x) +Q(x) y +R(x) y2 (7)
e´ cohecida como equac¸a˜o de Ricatti. Suponhamos que y1 e´ uma soluc¸a˜o particular de (7). Fazendo
as mudanc¸as de varia´veis
y = y1 + u e
d y
d x
=
d y1
d x
+
d u
d x
a equac¸a˜o fica
d u
d x
− (Q+ 2 y1 R) u = R u2
que e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli com n = 2.
4

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