Aula 10 EDO 2012

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012.
Aula 10 (21/03)
Voltando a` equac¸a˜o
a y
′′
+ b y
′
+ c y = 0 , (1)
com a, b, c ∈ R.
Lembrete:
Para que as soluc¸o˜es de (1) sejam da forma y = er t, r
deve ser raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica a r2 + b r + c = 0
Ale´m disso, quando r1 e r2 forem ra´ızes distintas da equac¸a˜o caracter´ıstica, isto e´ b
2 − 4 a c > 0,
enta˜o a soluc¸a˜o geral de (1) e´
y(t) = c1 e
r1 t + c2 e
r2 t , a, b, c ∈ R . (2)
Suponhamos agora que b2−4 a c < 0. Enta˜o as ra´ızes de a r2+b r+c = 0 sa˜o nu´meros complexos
conjugados, que denotaremos por
r1 = λ+ i µ e r2 = λ− i µ ,
sendo λ, µ ∈ R. A cada uma delas fica associada uma soluc¸a˜o de (1),
y1(t) = e
(λ+i µ)t e y2(t) = e
(λ−i µ)t (3)
O que significa ez, para z ∈ C ?
1
A se´rie de Taylor para a func¸a˜o et, em torno de t = 0, e´
et =
∞∑
n=0
tn
n!
, −∞ < t <∞ .
Trocando t por i t, temos que
ei t =
∞∑
n=0
(i t)n
n!
=
(i t)0
0!
+
(i t)1
1!
+
(i t)2
2!
+
(i t)3
3!
+
(i t)4
4!
+
(i t)5
5!
+
(i t)6
6!
+ ...
=
(i t)0
0!
+
(i t)2
2!
+
(i t)4
4!
+
(i t)6
6!
+ ...+
(i t)1
1!
+
(i t)3
3!
+
(i t)5
5!
+ ...
= 1 +
(−1)t2
2!
+
(−1)2t4
4!
+
(−1)3t6
6!
+ ...+
i t
1!
+
(−1) i t2
3!
+
(−1)2 i t5
5!
+ ...
=
∞∑
n=0
(−1)nt2 n
(2 n)!︸ ︷︷ ︸
cos(t) , em torno de t=0
+ i
∞∑
n=1
(−1)n−1t2 n−1
(2 n− 1)!︸ ︷︷ ︸
sen(t) , em torno de t=0
ja´ que
4 = 2× 2 , 6 = 2× 3 , 8 = 2× 4 , ..., 3 = 2× 2− 1 , 5 = 2× 3− 1 , 7 = 2× 4− 1 , ...
Logo
ei t = cos(t) + i sen(t) .
que e´ a famosa fo´rmula de Euler. Para t = pi temos ei pi = cos(pi) + i sen(pi) = −1, ou seja,
ei pi + 1 = 0
Note tambe´m que como cos(−t) = cos(t) e sen(−t) = −sen(t),
e−i t = cos(t)− i sen(t) .
2
e se trocarmos t por µ t,
ei µ t = cos(µ t) + i sen(µ t) .
Assim
e(λ+i µ) t = eλ ei µ t = eλ t [cos(µ t) + i sen(µ t)] .
Observac¸a˜o Note que continua a valer
d
dt
[ez t] = z ez t , z ∈ C .
Exemplo Determine as soluc¸o˜es do pvi

y
′′
+ y
′
+ 1.25y = 0 ,
y(0) = 3 , y
′
(0) = 1 .
Neste caso a equac¸a˜o caracter´ıstica e´ r2 + r+ 1.25 = 0, cujas ra´ızes sa˜o r1 = −1 + 2 ir2 = −1− 2.
Assim
y1(t) = e
(−1+2 i) t = e−t [cos(2t) + i sen(2t)]
y2(t) = e
(−1−2 i) t = e−t [cos(2t)− i sen(2t)]
sa˜o duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o. Ale´m disso, na˜o e´ dif´ıcil mostrar que
W [y1, y2](t) 6= 0 , ∀t ∈ R+ .
Vamos procurar um conjunto fundamental de soluc¸o˜es reais para (1). Temos que

y1(t) + y2(t) = 2 e
−tcos(2t) ,
y1(t)− y2(t) = 2 i e−tsen(2t) .
Fazendo enta˜o
u(t) =
y1(t) + y2(t)
2
= e−tcos(2t) e v(t) =
y1(t)− y2(t)
2 i
= e−tsen(2t)
3
Novamente, e´ fa´cil mostrar que
W [u, v](t) 6= 0 , ∀t ∈ R+ ,
e portanto {u(t), v(t)} e´ um conjunto fundamental de soluc¸o˜es reais para (1), e enta˜o sua soluc¸a˜o
geral e´ dada por
y(t) = c1 u(t) + c2 v(t) = e
−t [c1 cos(2t) + c2 sen(2t)]
Agora
3 = y(0) = c1
y
′
(t) = −e−t [c1 cos(2t) + c2 sen(2t)] + e−t [−2 c1 sen(2t) + 2 c2 cos(2t)]
y
′
(0) = −[c1 + 0] + [0 + 2 c2] = 1
−c1 + 2 c2 = 1c2 = 2
Logo a soluc¸a˜o do PVI e´
y(t) = e−t [3 cos(2t) + 2 sen(2t)]
Caso geral:
Nas hipo´teses anteriores, consideremos as soluc¸o˜es complexas da equac¸a˜o (1) ,
y1(t) = e
(λ+i µ)t e y2(t) = e
(λ−i µ)t ,
ou seja, pela fo´rmula de Euler,

y1(t) = e
λ t [cos(µ t) + i sen(µ t)] ,
y2(t) = e
λ t [cos(µ t)− i sen(µ t)] .
Procurando soluc¸o˜es reais:
Outro conjunto fundamental de soluc¸o˜es nasce das contas

y1(t) + y2(t) ,
y1(t)− y2(t) ,
4
isto e´,
u(t) =
y1(t) + y2(t)
2
= eλ tcos(µ t) e v(t) =
y1(t)− y2(t)
2 i
= eλ tsen(µ t)
Note que
W [u, v](t) =
∣∣∣∣∣∣
u(t) v(t)
u
′
(t) v
′
(t)
∣∣∣∣∣∣ = 2 µ eλ t 6= 0 , ∀t .
Portanto quando as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o nu´meros complexos conjugados λ ± µ i
a soluc¸a˜o geral pode ser escrita como
y(t) = c1 e
λ t cos(µ t) + c2 e
λ t sen(µ t) , c1, c2 ∈ R
Exemplo Vamos determinar a soluc¸a˜o do pvi
5 y
′′
+ 2 y
′
+ 2 y = 0, y(0) = 2, y
′
(0) = 1.
A equac¸a˜o caracter´ıstica e´ 5 r2 + 2 r + 2 = 0 cujas ra´ızes sa˜o
r = −1
5
± i 3
5
Logo
y(t) = c1 e
−t/5 cos(
3t
5
) + c2 e
−t/5 sen(
3t
5
) , c1, c2 ∈ R
e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o. Temos que
y
′
(t) = c1 e
−t/5 [−1
5
cos(
3t
5
)− 3
5
sen(
3t
5
)] + c2 e
−t/5 [−1
5
sen(
3t
5
) +
3
5
cos(
3t
5
)] , c1, c2 ∈ R
5