Exercícios sobre MS - EEN-601 Sistema Elétrico de Potência

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ - UNIFEI 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MÁQUINAS SÍNCRONAS – EEN-601 – Prof. Rossi. 
 
 
1ª. QUESTÃO: 
 
Considere a máquina síncrona geradora representada pelo esquema abaixo: 
 
 1. Análise de potências para a carga C: 
 Fator de potência da carga = fp = cos = 0,8 >>>> então:  = 36º,8 
 
 Potência aparente total trifásica da carga: Sc = 80% x Sn = 0,8 x 12 = 9,6 MVA 
 
 Potência ativa total trifásica da carga: Pc = Sc x cos = 9,6 x 0,8 = 7,68 MW 
 
 Potência reativa total trifásica da carga: Qc = Sc x sen = 9,6 x 0,6= 5,75 MVAR 
 
 Corrente absorvida pela carga: Ic = Sc / (3. Vc ) = 9600/3.13,8 = 401,65 [A] 
 
 Corrente absorvida pela carga em valores pu: Ic(pu) = Sc(pu) = 0,8- 36º,8 pu; 
 
2. Velocidade do rotor do gerador: 
Sabe-se que a velocidade síncrona da máquina em Rotações Por Minuto (Nr), em função da 
freqüência da rede (F) e do número de pares de pólos da máquina (Pp) é dada pela expressão 
geral abaixo: 
 
 
 Pg = Pc 
 
 
 
 Qg = Qc 
 
 
Excitatriz Turbo-gerador Reatâncias Barra Terminal Carga 
 
 Sn = 12 MVA Xs = j120% Vn = 13,8 kV Sc = 80% Sn 
 2 pares polos X”s = j10% fp = 0,8 ind. 
TG CARGA 
F = Pp x Nr / 60 
 
60 = Pp x Nr / 60 
 
3600 = Pp x Nr 
No exemplo dado, foi informado que a máquina é construída com 2 pares de pólos, logo a 
velocidade de seu rotor é de: 
Pp = 2 pares de pólos ( 04 sapatas polares) 
3600 = Pp x Nr ............ donde: 
Nr = 1800 RPM 
 
3. Análise Vetorial para a determinação de δ e E: 
 
 Do diagrama fasorial pode-se escrever que: 
 Substituindo os valores correspondentes e simplificando vem: 
 
 E = 1,00 + 1,290º x 0,8- 36,8 = 1,753  26º (pu) 
 
Portanto, dessa equação tira-se os valores de E e delta solicitados, isto é: 
 
 E = 1,753 pu ou E = 1,753 x 13,8/3 = 13,97 [ kV/fase]. 
 
 E o ângulo delta: δ = 26o 
 
4. Balanço de potências: Potência gerada = Potência consumida (ativa e reativa) 
 
 Potência gerada = potência consumida pela carga = Pg = 7,68 MW 
 
 
 
 
 
 E 
 δ j X.I  V 
 
 
 I 
 
 
 
 
E = V + j X.I (pu) 
 
 
 Verificações com base nos valores determinados acima: 
 
 Cálculo do ângulo δ (delta): ângulo de potência ou de carga da máquina. 
 
 Pg = (E.V / Xs) x sen δ ( Eq. geral de potência fornecida pelo gerador). 
 
 (7,68 / 12 ) = ( 1,753 x 1,0 / 1,2 ) sen δ 
 
 Onde, resolvendo a equação acima, tem-se: δ = 26º cqv !!! 
 
 Verificação da potência reativa gerada: 
 
 Qg = (V E / Xs ) cos δ - V2 / Xs = (1,0 x 1,753/1,2 ) cos(26) - 12 / 1,2 = 0,4794 pu 
 
 Ou em valores reais: Qg = Qg(pu) x Sn = 0,4794 x 12 = 5,75 [ MVAR] cqv !!! 
 
5. Corrente de curto-circuito trifásica nos terminais do gerador: 
 
Sabe-se que, para a máquina síncrona operando como gerador, a equação de tensões 
resultante do diagrama vetorial mostrado no item 3 acima, é tal que: 
 
E = V + j Xs. I ( equação válida em regime normal de operação !!! ) 
 
Nas condições de curto-circuito trifásico, a corrente é determinada através da seguinte 
expressão: 
 
E= V + jX”s . Icc ... para V=0 então: Icc = E/X”s .....Icc = 1,753/0,1 = 17,53 pu 
 
Corrente nominal do TG: Inom = Sn/3 x Vn = 12.000/1,732 x 13,8 = 502,1 [A] 
 
E portanto, a Icc = 17,53 x 502,1 ........... Icc = 8.801,1 [A]. 
 
 
2ª. QUESTÃO: 
 
Considere uma máquina síncrona geradora com os dados apresentados abaixo. Analisar os 
seus valores de potência ativa, reativa e aparente, em valores unitários. 
V=1,0 pu, E=1,5 pu, Xs = j 1 pu, X”s = j 0,1pu , Ts = 0,95. 
 
 Solução adotando apenas valores em pu: 
 
Para V=1,0 pu, E=1,5 pu, Xs = j 1 pu portanto, tem-se: Pg = 1,5. sen δ (pu) 
 
Potência ativa gerada pela máquina: Pg = ( E x V / Xs ). sen δ (valores em pu ); 
 
Como o coeficiente de torque sincronizante dado (Ts=0,95) corresponde ao valor dado pela 
derivada da potência ativa em relação a delta, isto é: Ts = dP / dδ, então: 
 
dP / dδ = d/dδ (1,5. sen δ) = 1,5 cos δ = 0,95 
 
donde: cos δ = 0,95 / 1,5 = 0,633 
 
e portanto, o ângulo δ (delta) será igual a: δ = 50o,7 
 
Substituindo esses valores nas expressões de potências geradas, vem: 
 
Potência Ativa: 
 
Pg = 1,5. sen δ (pu) = 1,5 x sen (50,7) = 1,16 (pu) 
 
Potência Reativa: 
 
Qg = (VE/Xs).cos δ - V2 / Xs = 1,5. sen δ - 12/1 = 1,5 x sen (50,7) -1 = (-) 0,05 (pu) 
 
Observe que nessas condições a máquina está recebendo reativo do sistema, isto é, a 
máquina está operando capacitivamente. 
 
Potência aparente ou total: 
 
Sg = Pg + j Qg = 1,16 + j 0,05 = 1,161 pu. 
 
Nessas condições, o triângulo de potências para essa condição operativa da MS geradora, é 
tal que: 
 
Observando a figura, conclui-se que o fator de potência é: fp= cos 2º,5 = 0,99 cap 
 
 
 
 
 Potência ativa Pg = 1,16 pu 
 
 )  = 2º,5 
 Pot. Reativa Qg = 0,05 pu 
 
Pot. Aparente Sg = 1,161pu 
Valor máximo da potência ativa: 
Para uma máquina síncrona operando como gerador, o valor da potência ativa máxima que 
ela pode produzir é dado pela condição de máximo da função Pg = f(delta), isto é: 
 
Pg = ( E x V / Xs ). sen δ 
 
Condição de máximo da função: dP / dδ = 0 , donde: dP / dδ = (EV/Xs). cosδ = 0 
 
Para que a função seja nula, o valor do ângulo delta deve ser δ = 90º. e portanto 
 
O valor máximo da função será: Pmax = ( E.V/Xs) sen90º. >>>> Pmax = E.V / Xs. 
 
 
3ª. QUESTÃO (Proposto) 
 
Considere um turbo-gerador de pólos lisos (TG), de potência nominal Sn = 40 MVA, tensão 
nominal Vn = 13,8 kV, ligação Yn, F= 60 Hz. Essa MS está operando no atendimento a uma 
determinada carga com tensão terminal V =1,0 pu e tensão interna E = 1,6 pu. 
Essa MS possui a reatância síncrona igual a Xs= j 140% e foi construída com 04 pólos. Em condições 
normais de trabalho, essa máquina possui o coeficiente de torque sincronizante no ponto de 
trabalho, definido pelo valor Ts = 0,9. (obs. Entende-se por coeficiente de torque sincronizante o 
valor obtido pela derivada da equação da potência ativa da máquina em relação ao seu ângulo delta 
(δ), isto é: Ts = dP/dδ ). 
Nessas condições, pede-se determinar: 
 
a) as potências geradas pela máquina ( Pg – Qg - Sg ); 
 
b) o valor da velocidade dessa máquina em RPM. 
 
 
P [W/f] 
 
 
 
P max 
 
 
 
 
 
 
 90º. delta (δ ) 
4ª. QUESTÃO: 
 
Considere um turbo-gerador de pólos lisos (TG), construída com 02 pólos e de potência 
nominal Pn = 48 MW, tensão nominal Vn = 13,8 kV, ligação Yn, F= 60 Hz e fator de potência nominal 
FPn = 0,8 ind. Essa MS possui as reatâncias síncronas de regime permanente e subtransitória iguais 
a Xs= j 160% e X”s = j 14%. Ela está operando com tensão terminal V =1,0 pu e tensão interna E (a 
ser determinada) e com um ângulo de potência  (ou de carga) de valor =30º, para prover ao 
atendimento a uma determinada carga de tensão Vc = Vn e fator de potência FPc = 0,9 ind. 
Nessas condições, pede-se determinar: 
a) as potências geradas pela máquina ( Pg – Qg - Sg ); 
b) o valor da velocidade dessa máquina em RPM. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Obs.: Potência nominal desse TG: Snom = Pn / FPn = 48 / 0,8 = 60 [MVA] 
 
1) Potência Ativa: 
 
 Pg = (V.E/Xs) x sen ..................... Pg = Pc = (E/1,6) x sen 30 [pu] 
donde: Pg = Pc = E/3,2 [pu] (Eq.1) 
 
2) Potência Reativa: 
 
 Qg = (VE/Xs) x cos  - V2/Xs .......... Qg = Qc = (E/1,6) x cos 30 - 1/1,6 [pu] 
donde: Qg = Qc = 3/2 x E/1,6– 1/1,6 
Qg = Qc = 0,541 x E – 0,625 (Eq.2) 
 
3) Carga: 
 Fator de potência = FPc = 0,9 ind .......então: cos = 0,9 .... donde:  = 26o 
 Portanto, no triângulo Pc – Qc - Sc da carga, tem-se: Qc = Pc x tg  ou seja: 
Qc = tg(26) x Pc = 0,488 x Pc e portanto, Pc/Qc = Pg/Qg = 1/0,488 = 2,05 (Eq.3) 
 
4) Dividindo membro a membro as equações (1) / (2), resulta: 
 
 Pg/Qg = 2,05 = [ E/3,2 ] / [0,541 x E – 0,625] ..... resolvendo resulta: E=1,61 [pu] 
 
5) Substituindo esses valores nas equações (1) e (2), obtem-se: 
 Pg = Pc = E/3,2 = 1,61/3,2 = 0,503 [pu] ou seja, em valores absolutos: 
 
Pg = Pg(pu) x Snom-TG = 0,503 x 60 ............. Pg = Pc = 30,15 [MW]. 
 
Analogamente, para a potência reativa, tem-se: 
Qg = Qc = 0,541 x E – 0,625 = 0,541 x 1,61 – 0,625 = 0,246 [pu] 
E em valores absolutos, tem-se: 
Qg = Qc = Qg(pu) x Snom-TG = 0,246 x 60 = 14,76 [MVar]. 
 
Potência aparente do gerador: Sg = Sc 
 
Sg = Pg + j.Qg = 30,15 + j14,76 = (30,152 + 14,762)1/2 ........... Sg = 33,57 [MVA] 
 
Fator de potência do gerador: FPg = Pg / Sg = 0,898 
 
Fpg = cos g = 0,898 .... g = 26o. e evidentemente, FPg = FPc .... g = g = 26 cqv !!! 
 
 
5ª. QUESTÃO: 
 Considere um turbogerador industrial (TGI) de potência nominal igual a Sn= 80 [MVA], 
tensão nominal de Vn = 13,8 [kV], ligação estrela aterrada, frequência F= 60 [Hz], fator de potência 
nominal FP = 0,8 ind., e de reatâncias síncronas iguais a: valor subtransitório X”s = j 14%, valor 
transitório: X´s = j 40% e valor de regime permanente Xs = j 160%. 
Esse TG está operando com tensão terminal nominal (Vn = 1,0 pu) para atender a uma carga 
de potência ativa definida por Pcg = 54 [MW] e fator de potência FPcg = 0,9 ind. 
Considere as proposições abaixo. Analise cada uma delas e justifique se ela está certa ou 
errada e porquê. 
 
A) A potência reativa dessa carga conectada ao TGI é aproximadamente igual à 
Qcg = 0,327 [pu] da capacidade total de geração desse TG, e o ângulo delta () de trabalho desse 
gerador é  = 35o,3 e portanto, essa máquina deve se motorizar (função No. 32) para uma potência 
reversa a partir do valor igual a Prev = 6400 [kW]; 
 
B) O ângulo delta () de trabalho desse TG é igual a  = 36o,8, a tensão interna 
desenvolvida na máquina é aproximadamente igual a E=1,97 [pu] e a potência reativa da carga é 
aproximadamente igual à Qcg = 26,15 [MVAR]; portanto o TG está fornecendo reativo à carga, isto 
é, a sua operação está sobre-excitada; portanto, a proteção Volts/Hz (Função No. 24) deverá 
bloquear a operação dessa máquina se essa sobre-excitação exceder a 5% de seu valor nominal. 
 
 
6ª. QUESTÃO: 
 
Considere um hidro-gerador (HG) de pólos salientes (PS), de potência nominal Sn= 100 
[MVA], construído com 20 pares de pólos, frequência F= 60 [Hz], operando no atendimento a uma 
determinada carga com tensão terminal nominal Vn =13,8 [kV], ou seja, 1,0 [pu] e ainda, com uma 
tensão interna E = 1,7 [pu]. Essa MS possui as seguintes reatâncias síncronas de eixo direto e 
quadratura: Xd = j 180%, Xq=150%. 
Admita que esse HG opere em paralelo com outras três unidades, que possuem os mesmos 
dados nominais e demais condições operativas. Esses HGs operam em uma usina hidrelétrica (UHE) 
que se encontra interligada a um sistema de transmissão, que opera na tensão de Vn = 345 [kV]. 
 Em condições normais de trabalho, o volume de carga assumido por cada um desses HGs, 
define um coeficiente de torque sincronizante apresentado por cada uma dessas máquinas igual a 
Ts = 0,85. (obs. Entende-se por coeficiente de torque sincronizante ao valor obtido pela derivada 
da equação da potência ativa da máquina em relação ao seu ângulo de potência delta (δ), isto é: 
CTS = Ts = dP/dδ ). 
Nessas condições, pede-se determinar: 
a) o valor do ângulo de potência delta (δ); 
b) as potências geradas pela máquina e consumidas pela carga ( Pcg – Qcg - Scg ); 
c) o ângulo delta (δ) da MS para o qual ela opera com a sua máxima potência. 
 
 
Itajubá, 20 de agosto de 2018. 
Ronaldo Rossi.