Lista_Limite_e_Continuidade

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2a Lista de Exerćıcios - Limites e Continuidade
1- Calcule os limites abaixo:
a) lim
x→−7
(2x+ 5) b) lim
x→12
(10− 3x) c) lim
x→2
(−x2 + 5x− 2)
d) lim
x→−2
(x3 − 2x2 + 4x+ 8) e) lim
t→6
8(t− 5)(t− 7) f) lim
s→2/3
3s(2s− 1)
g) lim
x→2
x+ 3
x+ 6
h) lim
x→5
4
x− 7
i) lim
y→−5
y2
5− y
j) lim
y→2
y + 2
y2 + 5y + 6
l) lim
x→−1
3(2x− 1)2 m) lim
x→−4
(x+ 3)1984
n) lim
y→−3
(5− y)4/3 o) lim
z→0
(2z − 8)1/3 p) lim
h→0
3√
3h+ 1 + 1
q) lim
h→0
5h√
5h+ 4 + 2
r) lim
h→0
√
3h+ 1− 1
h
s) lim
h→0
√
5h+ 4− 2
h
2- Calcule os limites abaixo:
a) lim
x→5
x− 5
x2 − 25
b) lim
x→−3
x+ 3
x2 + 4x+ 3
c) lim
x→−5
x2 + 3x− 10
x+ 5
d) lim
x→2
x2 − 7x+ 10
x− 2
e) lim
t→1
t2 + t− 2
t2 − 1
f) lim
t→−1
t2 + 3t+ 2
t2 − t− 2
g) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
h) lim
y→0
5y3 + 8y2
3y4 − 16y2
i) lim
u→1
u4 − 1
u3 − 1
j) lim
v→2
v3 − 8
v4 − 16
l) lim
x→9
√
x− 3
x− 9
m) lim
x→4
4x− x2
2−
√
x
n) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2
o) lim
x→−1
√
x2 + 8− 3
x+ 1
o) lim
x→2
√
x2 + 12− 4
x− 2
q) lim
x→−2
x+ 2√
x2 + 5− 3
r) lim
x→−3
2−
√
x2 − 5
x+ 3
s) lim
x→4
4− x
5−
√
x2 + 9
t) lim
x→−1
x3 + 2x2 − 5x− 6
x+ 1
u) lim
x→4
x− 4
2x3 − 6x2 − 12x+ 16
3- Suponha lim
x→c
f(x) = 5 e lim
x→c
g(x) = −2. Determine:
a) lim
x→c
f(x)g(x)
b) lim
x→c
2f(x)g(x)
c) lim
x→c
(f(x) + 3g(x))
d) lim
x→c
f(x)
f(x)− g(x)
4- Se lim
x→4
f(x)− 5
x− 2
= 1, determine lim
x→4
f(x).
1
05- Se
1− x
2
6
<
xsenx
2− 2cosx
< 1,
determine lim
x→0
xsenx
2− 2cosx
.
6- Seja
f(x) =
 3− x, x < 2x
2
+ 1, x > 2
a) Determine lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x).
b) Existe lim
x→2
f(x)? Se existe, qual? Se não, por quê?
c) Determine lim
x→4−
f(x) e lim
x→4+
f(x).
d) Existe lim
x→4
f(x)? Se existe, qual? Se não, por quê?
7- Seja
f(x) =
 0, x ≤ 0sen(x), x > 0
a) Existe lim
x→0+
f(x)? Se existe, qual? Se não, por quê?
b) Existe lim
x→0−
f(x)? Se existe, qual? Se não, por quê?
c) Existe lim
x→0
f(x)? Se existe, qual? Se não, por quê?
8- Resolva os limites abaixo.
a) lim
x→−0,5−
√
x+ 2
x+ 1
b) lim
x→−2+
(
x
x+ 1
)(
2x+ 5
x2 + x
)
c) lim
h→0+
√
h2 + 4h+ 5−
√
5
h
d) lim
h→0−
√
6−
√
5h2 + 11h+ 6
h
2
9- Usando lim
θ→0
sen(θ)
θ
= 1, resolva:
a) lim
θ→0
sen(
√
2θ)√
2θ
b) lim
t→0
sen(kt)
t
, k constante
c) lim
y→0
sen(3y)
4y
d) lim
h→0−
h
sen(3h)
e) lim
x→0
tg(2x)
x
f) lim
t→0
2t
tg(t)
g) lim
x→0
sen(5x)
cos(4x)
h) lim
h→0
sen(sen(h))
sen(h)
i) lim
x→0
x+ xcos(x)
sen(x)cos(x)
10- Encontre o limite de cada função quando (a) x→ +∞ e (b) x→ −∞.
1. f(x) =
2
x
− 3 2. f(x) = π − 2
x2
3. g(x) =
1
2 + (1/x)
4. g(x) =
1
8− (5/x2)
5. h(x) =
−5 + (7/x)
3− (1/x2)
6. h(x) =
3− (2/x)
4 +
√
2/x2
7. f(x) =
sen(2x)
x
8. g(x) =
cos(x)
3x
11- Limites Infinitos
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→0+
1
3x
b) lim
x→0−
5
2x
c) lim
x→2−
3
x− 2
d) lim
x→3+
1
x− 3
e) lim
x→−8+
2x
x+ 8
f) lim
x→−5−
3x
2x+ 10
12- Limites de funções racionais.
3
Nos exerćıcios abaixo, determine o limite de cada função quando (a) x→ +∞ e (b) x→ −∞.
1. f(x) =
2x+ 3
5x+ 7
2. g(x) =
2x3 + 7
x3 − x2 + x+ 7
3. h(x) =
x+ 1
x2 + 3
4. f(x) =
7x3
x3 − 3x2 + 6x
5. g(x) =
1
x3 − 4x+ 1
6. h(x) =
10x5 + x4 + 31
x6
7. f(x) =
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x+ 6
8. f(x) =
−2x3 − 2x+ 3
3x3 + 3x2 − 5x
13- Calcule caso exista se não existir justifique.
a) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
b) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1
c) lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1
sendo f(x) =
 x+ 1, x ≥ 12x, x < 1
d) lim
x→0
√
x
e) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
f) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
sendo f(x) =
 x+ 1, x ≥ 12x, x < 1
14- Determine as asśıntotas das funções abaixo:
4
a) y =
1
x− 1
b) y =
1
x+ 1
c) y =
1
2x+ 4
d) y =
−3
x− 3
e) y =
x+ 3
x+ 2
f) y =
2x
x+ 1
g) y =
x2
x− 1
h) y =
x2 + 1
x− 1
i) y =
x2 − 4
x− 1
j) y =
x2 − 1
2x+ 4
k) y =
x2 − 1
x
l) y =
x3 + 1
x2
15- A função f dada por
f(x) =

|x− 3|
x− 3
, x 6= 3
1, x = 3
é cont́ınua em x = 3? Justifique.
16- É cont́ınua a função f(x) =
 6 + x, x 6= 15, x = 1 ? Justifique.
17- É cont́ınua a função f(x) =
 x2, x 6= 07, x = 0 ? Justifique.
18- Dada a função
f(x) =
 10− 2x, x 6= 1k, x = 1
a) Determine lim
x→1
f(x);
b) Determine o valor de k para que f(x) seja cont́ınua em x = 1.
5
19- Em cada alternativa abaixo é dado uma função f(x) e os números L, x0 e � > 0. Em
cada caso, encontre um intervalo aberto em torno de x0 no qual a desigualdade |f(x)− L| < � valha. Dê
então um valor para δ > 0 tal que para todo x satisfazendo 0 < |x− x0| < δ a desigualdade |f(x)−L| < �
seja verdadeira.
a) f(x) = x+ 1, L = 5, x0 = 4, � = 0, 01
b) f(x) = 2x− 2, L = −6, x0 = −2, � = 0, 02
c) f(x) =
√
x+ 1, L = 1, x0 = 0, � = 0, 1
d) f(x) =
√
x, L = 1/2, x0 = 1/4, � = 0, 1
e) f(x) = mx, m > 0, L = 2m, x0 = 2, � = 0, 03
f) f(x) = mx, m > 0, L = 3m, x0 = 3, � = c > 0
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