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Parafusos
©Jaime Tupiassú Pinho de Castro
Departamento de Engenharia Mecânica PUC-Rio
27/04/2012
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Parafusos
os parafusos são elementos (quase sempre) cilíndricos ou cônicos que têm em torno de seu perímetro um ou mais filetes formando roscas helicoidais
os parafusos são usados em inúmeros tipos de aplicações para aplicar forças, fixar juntas desmontáveis, transmitir potência e/ou acionar movimentos lineares
os filetes (em geral enroladas segundo a regra da mão direita) são planos inclinados que convertem os torques aplicados nos parafusos em forças axiais
em algumas poucas aplicações especiais (redutores tipo sem fim e coroa envolvente, e.g.) o corpo do parafuso pode não ser cilíndrico nem cônico
rosca em em inglês é thread, e parafuso é screw (ou bolt, quando usado para fixar componentes estruturais usando porcas, nuts, e arruelas, washers)
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em geral, as roscas dos parafusos são usinadas nos de menor e laminadas nos de maior resistência, sendo que estes normalmente têm o pé da rosca arredondado, para diminuir a concentração de tensões
parafusos auto-atarrachantes para madeira e para metal não requerem furos roscados já que cortam sua própria rosca e, para facilitar sua penetração, são usinados em torno de cones em vez de cilindros 
as roscas de dutos e tubulações também são cônicas, para facilitar a vedação das conexões
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os parafusos podem ter mais de um filete (ou entrada), cujas hélices podem envolver cilindros ou cones
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tipos de parafusos comerciais (no slide anterior) e de porcas e arruelas, com a sua denominação em inglês
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além de serem usados para fixar componentes, os parafusos também podem ser uma opção interessante para transmitir potência (como nos fusos dos tornos mecânicos) ou para aplicar grandes forças axiais (como no macaco mecânico ilustrado ao lado)
note que é a porca (cuja coroa externa é acionada por um parafuso sem-fim de quatro entradas) e não o parafuso vertical que gira neste macaco, e que por isso ela é apoiada em rolamentos
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para gerar forças ou movimentos lineares em aplicações onde a precisão e a suavidade do posicionamento axial sejam requisitos de importância fundamental, pode-se usar motores rotativos acoplados a parafusos (ou fusos) que acionam suas porcas através de esferas recirculantes
esta é uma solução cara mas muito eficaz que (como num rolamento) transmite as forças entre o parafuso e a porca através de esferas que rolam, diminuindo assim o atrito e aumentando o rendimento da potência transmitida
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parafusos ou fusos roscados de esferas recirculantes são usados para aplicar forças em algumas máquinas universais de testes mecânicos, como na ilustrada no esquema ao lado
estas máquinas de teste são rígidas (quando comparadas com as máquinas hidráulicas), têm controle simples e seguro (os dois parafusos impõe um deslocamento e não uma força no cabeçote) e podem trocar a facilmente a célula de carga, mas em geral são bem lentas e só servem para testes quase-estáticos
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Tipos de Roscas
a grande maioria dos parafusos de fixação, e isto inclui tanto os métricos quanto os em polegadas, usa a rosca cilíndrica padronizada de dentes triangulares de ângulo 60o e avanço pela regra da mão direita
a denominação dos parafusos métricos é MdP, onde d é o diâmetro e P o passo da rosca, em mm (e.g. M242), e a dos parafusos UN (de united national) é d-f, onde d é o diâmetro em polegadas (ou um no de 0 a 10 se d < 1/4”) e f é o no de fios (ou filetes de rosca) por polegada
são cônicas as roscas de canos, dutos e tubulações (e.g. tipo NPT, national pipe thread, para vedação); as dos parafusos auto-atarrachantes para madeira (cuja rosca às vezes é chamada de soberba); e as dos parafusos para chapas metálicas finas (com saída para cavacos quando usadas para abrir roscas nas chapas menos finas) 
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dP = d - 0.650P, dmin = d - 1.227P e dr = d - 0.938P são os 
	diâmetros do passo, da raiz e resistente (à tração) dos filetes padronizados métricos e UN, que têm ângulo de 60o
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as roscas NPT cônicas para tubos devem ser usadas com vedantes (fitas de teflon ou veda-juntas, por exemplo)
a rosca NPTF (National Pipe Taper Fuel, ANSI B1.20.3) é similar e não requer vedantes, pois provê interferência entre filetes e vedação metal-metal (mas é mais cara, já que requer tolerâncias mais apertadas)
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os filetes usados em parafusos para movimentar cargas (em tornos, fresadoras, macacos mecânicos, grampos, etc.) têm ângulos em geral menores do que os usados em parafusos de fixação, para aumentar sua eficiência
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a notação dos filetes trapezoidais métricos é Tr dP, onde d é o diâmetro e P o passo do parafuso 
quando o parafuso tem mais de uma entrada ou hélice, sua notação é Tr a(P)P, onde a = nP é o avanço e n o número de entradas
a notação dos parafusos de rosca esquerda deve incluir as letras RE ou LH após o diâmetro 
r1 = r2/2, onde r2 = 0.15mm se P = 1.5mm, r2 = 0.25mm se P = 2-5mm, r2 = 0.5mm se P = 6-12mm, ou r2 = 1mm se P > 14-44mm
o filete quadrado é o mais eficiente, mas como é difícil de fabricar em geral não é usado na prática
os filetes tipo mísula só devem ser usados para cargas unidirecionais, e a sua notação métrica é S dP 
os fusos de esferas recirculantes também usados para movimentar cargas em geral são comprados prontos
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nos parafusos cilíndricos métricos e UN de diâmetro d, o diâmetro do passo é dP = d - 33/8P = d - 0.650P , o diâmetro mínimo no pé da rosca é dmin = d - 1.227P e o diâmetro resistente é dr = (dP + dmin)/2 = d - 0.938P 
dr = 4FR/pSR, onde FR é a força que rompe o parafuso por tração e SR é a resistência do seu material à ruptura 
e.g., a força nominal de ruptura de parafusos M243 com SR = 800MPa é FR = 800p(24 - 0.9383)2/4 = 282kN
os parafusos de rosca fina têm maior resistência à tração do que os de rosca grossa (parafusos M242 do mesmo material têm FR = 800p(24 - 0.9382)2/4 = 308kN, e.g.)
mas a rosca pode cisalhar antes que o parafuso rompa sob uma força Fc < FR quando seu passo é pequeno demais, e como a área que resiste ao corte no pé da rosca pode ser estimada por Ac  ap(d - 1.227P)P, onde a é o no de filetes ativos, a tensão de corte por Mises é sc = 3Fc/Ac 
2
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logo, para que um parafuso sob F rompa por tração e não por corte das roscas deve-se ter st = F/Ar < sc = 3F/Ac, 
	ou um número de filetes ativos
na tabela de parafusos métricos a seguir, o parafuso de passo fino M421.5 tem a menor razão P/d = 0.036, e o de passo grosso M40.7 tem a maior P/d = 0.175
logo, para romper por tração os parafusos M421.5 antes de cortar suas roscas eles precisam ter mais que 12 filetes ativos e dividindo igualmente a carga, e como este é um número muito alto, pode-se esperar que estes parafusos tendam a espanar a rosca quando a sua profundidade de aparafusamento for pequena (< ~d/2)
já o M40.7 só precisa de mais que 2.2 filetes ativos para romper por tração antes de cortar suas roscas, logo não é provável que elas espanem em serviço
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as contas acima são razoáveis mas simplistas, pois não consideraram nem a concentração de tensões nas roscas (importante em fadiga e nos parafusos de alta resistência, menos tenazes), nem o carregamento não-uniforme dos filetes (testes indicam que são os 3 primeiros filetes que absorvem a maior parte da cargano parafuso)
logo, só se deve usar roscas muito finas e que dependam de muitos filetes para suportar as cargas axiais de serviço após comprovar experimentalmente o seu desempenho
os parafusos também podem falhar por corte transversal ou da sua haste não roscada ou da rosca (mas em geral se usa pré-cargas altas o suficiente para absorver por atrito o cisalhamento que atua nas juntas aparafusadas)
as dimensões e as cargas de ruptura, de prova (que causa uma deformação residual de 100mm/m no parafuso) e de corte da haste e da rosca de alguns parafusos métricos e UN comerciais de alta resistência são listadas a seguir
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dimensões e tolerâncias típicas de parafusos Allen (cujas cabeças têm um furo sextavado) métricos de alta resistência, com SRmin > 1240MPa e SE > 1100MPa (SRmin > 1300MPa se d < 16mm) e SRcis > 760MPa 
estes parafusos são comercializados com roscas grossas ou finas 
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dimensões dos parafusos Allen (em polegadas) UN padronizados mais comuns
UNRF e UNRC (unified national round fine ou coarse) são siglas para as roscas finas ou grossas com um perfil arredondado e dimensões em polegadas (padrão unificado de 60o, como discutido acima)
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resistências e códigos (riscos na cabeça) SAE
a resistência de prova SP gera no parafuso uma deformação plástica residual ep = 100mm/m, enquanto SE, a resistência ao escoamento gera ep = 2000mm/m
a gama lista os diâmetros dos parafusos em geral disponíveis no comércio 
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as várias classes de resistência padrão nos parafusos métricos dependem de SR e da razão SE /SR 
e.g., 12.9 significa SR > 1200 MPa, com SE  0.9SR
parafusos classe 14.9 existem mas são raros 
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ex.1: estude o efeito da resistência do aço na escolha dos 18 parafusos que fixam a tampa (que deve ser desmontada com freqüência) de um vaso cilíndrico de diâmetro Dv = 250mm que trabalha numa pressão p = 70MPa (ambos internos) 
os parafusos devem ser escolhidos para resistir elasticamente a forças F > (apDv2p/4)/18, onde a é um fator que garante a vedação na pressão p (e.g. a = 1.2  Fmin = 229kN)
os parafusos resistem elasticamente a cargas F < SP Ar, onde Ar = (d - 0.938P)2p/4 é a sua área resistente, P o seu passo e d o seu diâmetro, logo d > (4Fmin /pSP)1/2 + 0.938P
os parafusos classe 12.9 têm SPmin = 970MPa, logo deve-se escolher d > (17.34 + 0.938P)  18 parafusos M202.5 (ou maiores) para fechar o vaso (os parafusos allen M202.5 da tabela comercial acima têm uma carga de prova de 245kN)
caso se opte por parafusos classe 4.6 com SPmin = 225MPa, deve-se usar d > (36 + 0.938P)  18 parafusos M424.5 
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Pré-Carga e Torque nos Parafusos
medir a força aplicada por um parafuso não é uma tarefa trivial, mas medir o torque nele aplicado é muito fácil
e como é o torque de aperto T que induz a pré-carga que atua no parafuso, é comum assumir que a força axial F nas juntas aparafusadas é totalmente controlada por T
assim, se d é o diâmetro do parafuso, é usual estimar F a partir de T pela relação empírica
e.g., apertar os 4 parafusos M16 de uma roda de um carro usando uma chave em cruz de 500mm de braço e (duas) forças de 20kg (que induzem o torque T  100Nm) gera uma força F  4(5100/(0.016)) = 125kN  12.5t na roda
mas F também depende do atrito na rosca e na cabeça do parafuso (que pode variar muito), logo a relação entre T e F não deve ser suposta determinística na prática
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Rudimentos de Estatística
os fenômenos previsíveis com exatidão são chamados de determinísticos
e.g., a queda de potencial V causada por uma corrente I fluindo num circuito de resistência (linear e constante) R pode ser precisamente prevista pela lei de Ohm V = RI
já os fenômenos que variam ao acaso, mesmo quando sucessivamente medidos sob condições idênticas, são chamados de aleatórios ou randômicos
e.g., o resultado de uma jogada de 2 dados não pode ser previsto a priori, só se pode estimar a probabilidade de cada um dos 11 resultados possíveis {2, 3, . . . , 12}
estes fenômenos são descritos por variáveis aleatórias, que podem ser discretas (como nas cartas) ou contínuas (como a resistência ou a vida de uma peça em serviço)
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probabilidade: é o número 0  pr(x)  1 que quantifica a expectativa de ocorrência do evento aleatório x onde, sendo O o número de ocorrências 			 de x em T testes ou tentativas, a 		 probabilidade de x é definida por
se x nunca ocorre (i.e., quando se pode garantir que a falha é certa) então pr(x) = 0, e se x ocorre sempre (i.e., se o sucesso é certo) então pr(x) = 1 
ex.2: num jogo honesto (não tendencioso) de 2 dados: pr(2) = pr(12) = 1/36, pr(3) = pr(11) = 1/18, pr(7) = 1/6, pr(2) + pr(3) + . . . + pr(12) = 1, e pr(1) = pr(13) = 0 
quando x e y forem eventos independentes (i.e., quando a ocorrência de x não afetar a probabilidade de y e vice-versa): pr(x ou y) = pr(x) + pr(y) e pr(x e y) = pr(x)pr(y)
ex.3: nos 2 dados pr(2 ou 3) = pr(2) + pr(3) = 3/36 e pr(7 em 2 jogadas seguidas) = pr(7)  pr(7) = 1/36 
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no entanto, quando os eventos x e y forem dependentes, pr(xy) = pr(x)  pr(yx), onde pr(yx) é a probabilidade de y ocorrer tendo x já ocorrido
ex.4: pr(tirar 4 ases seguidos num baralho de 52 cartas) =
		 = (4/52)(3/51)(2/50)(1/49)  3.710-6 
espaço amostral: é o conjunto das respostas possíveis
ex.5: o espaço amostral de uma jogada de 2 dados é dado por {2, 3, . . . , 12}, e o da resistência à ruptura de todos os materiais estruturais é {0 < SR < ~E/10} 
histograma: gráfico onde se representa o número Oi de ocorrências (ou as razões Oi/T das ocorrências) de cada um dos eventos xi de uma dada amostra de tamanho T retirada de uma dada população
antes de construir histogramas de variáveis contínuas deve-se primeiro discretizá-las (e.g., pode-se separar o peso dos alunos da Universidade em intervalos de 5kg)
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função de densidade de probabilidade (fdp) ou função de freqüência p(x): descreve como a probabilidade da variável aleatória x varia ao longo do espaço amostral
quando x é discreta p(xi) = pr(xi), mas se x é contínua a probabilidade de qualquer valor exato (e.g., de um aluno pesar exatamente 80.00000...kg) tende a zero, apesar da pr(a < x < b) (e.g., 79 < x < 81kg) ser bem definida 
logo, não se pode confundir a probabilidade pr(x) com a função de freqüência ou a fdp p(x)
pode-se pensar em p(x) como a função que ajustaria o histograma que seria obtido quando o intervalo de discretização dx  0 e o número de testes T   
 e
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há muitos tipos de funções de densidade de probabilidade (fdp), para descrever os vários tipos de fenômenos aleatórios
os fenômenos simétricos em relação à media são em geral bem descritos por fdps como a normal ou gaussiana, que têm a forma de um sino
mas os fenômenos com cauda distorcida em relação à média (e.g., vida dos adultos sadios) têm que ser descritos por outros tipos de fdps
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amostragens de uma população aleatória são em geral feitas para identificar e quantificar a fdp que descreve o seu comportamento, mas a fdp da população não deve ser confundida com o histograma de uma amostra 
e.g., abaixo compara-se a fdp das jogadas possíveis com 2 dados com o histograma obtido numa única amostra onde foram feitas T = 36 jogadas seguidas
o histograma só iguala a fdp quando T  
a fdp de uma população pode ser muito diferente do histograma de umaamostra pequena!
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
fdp
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
7/36
histograma de uma amostra de 36 jogadas de 2 dados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
O/T
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função de probabilidade acumulada (ou função de distribuição) P(x): a fpa descreve a probabilidade da variável x ser menor que um valor x0: P(x0) = pr(x < x0)
P(x) é a integral de p(x):
 
pr(a  x  b) = P(b) - P(a)
P(x) cresce monotonicamente de 0 até 1
P(- ) = 0, P() = 1
na ausência de um bom programa que automatize os cálculos estatísticos, é em geral mais fácil ajustar a fpa de uma população aos dados ordenados obtidos numa amostra (usando um papel de gráfico próprio), do que ajustar a fdp correspondente ao histograma da amostra
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a média m ou valor esperado E(x) 			 é a ordenada sobre a qual a fdp se 	 equilibraria como numa balança:
média m de uma população discreta:
média de uma amostra de T testes:
E(x  y) = E(x)  E(y), E(kx) = kE(x), k é uma constante
E(xy) = E(x)E(y), se x e y são variáveis independentes
se f(x) é uma função de x, então E[f(x)], a média da fdp p(x) ponderada por f(x) (e.g., 				 a média quadrática E(x2)) é 			 definida por:
Medidas de Tendência Central 
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moda: localiza a(s) ordenada(s) xm do(s) pico(s) de uma fdp p(x), ou seja:
a moda de uma amostra é o seu valor mais freqüente
mediana: é o ponto x50 com P(x50) = 0.5 		 que divide ao meio a fdp (i.e., a metade 		 da área da fdp fica abaixo da mediana):
quando todos os T testes de uma amostra são ordenados em ordem crescente, x50 = (xT/2 + x1+T/2)/2 se T par, e x50 = x(T+1)/2 se T ímpar
a média, a moda e a mediana medem a tendência central dos fenômenos aleatórios, mas também são necessárias medidas de dispersão para descrevê-los
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fdp e fpa de uma distribuição assimétrica, e a média m, a mediana x50 e a moda xm correspondentes
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raiz da média quadrática:				 (rms) quantifica a energia 			 contida num sinal aleatório
variância: ( ) quantifica a dispersão quadrática em torno da média 						 m da população
 é igual à média quadrática rms menos o quadrado da
 	média m:
logo a variância é igual ao valor rms2 quando m = 0 
 e , 
 onde x e y são variáveis independentes e k é constante 
Medidas de Dispersão 
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desvio padrão: ( ) a raiz quadrada da variância, é a medida mais usada para			 quantificar a dispersão de 					 p(x) em torno da média m
só se usa o símbolo para o desvio padrão da população 
o desvio padrão s de uma amostra de T testes é:
notar o denominador (T - 1) usado na definição de s
se a constante k for somada a todos os eventos de uma amostra então a média aumenta de k e a dispersão fica constante (	 e ), mas quando k multiplica os eventos também multiplica e s ( 	 e )
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Distribuição Normal (ou Gaussiana)
a distribuição normal ou gaussiana é definida para todos os reais -  < x < , e					 sua fdp é simétrica com 				 média m e variância : 
a normal (também associada a de Moivre e a Laplace) pode descrever bem a estatística de muitos fenômenos contínuos e simétricos em relação à média, e.g.:
medições repetidas em metrologia
resistências (SE, SR, dureza, etc.) de um mesmo lote
velocidade das moléculas de gases numa q fixa
dimensão das peças de um lote de produção
propriedades físicas como altura ou peso 
desgaste de peças sob condições similares
gama de ruído eletromagnético, etc.
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gaussianas com mesma média e desvios padrão diferentes
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a normal tem uma álgebra muito simpática (tipo a soma ou a subtração de duas normais N1(m1, s1) e N2(m2, s2) é 
	também normal, com m = m1  m2 e 		 ), só que o seu sino simétrico depende da média m (= x50 = xm) e do desvio padrão , e não é integrável analiticamente 
mas via um truque simples pode-se transformar a fdp de qualquer normal p(x) = N(m, ) na normal normalizada p(z) = N(0, 1) com m = 0 e : basta fazer
	para obter	
e usando suas simetrias p(- z) = p(z), P(- z) = 1 - P(z) e
	P(z > 0) = P(-z< 0), pode-se tabelar 
	ou , como mostrado abaixo
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regras básicas das principais operações álgébricas com duas variáveis normais indepen-dentes
 
 é o coeficiente de variação da variável
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Operação
Média
 (()
Desvio padrão
(
)
Coeficiente de Variação
(
) 
x
(x
x + a
(x + a
a (x
a ( (x
x + y
(x + (y
x  y
(x (y
x (y
(x ( (y
Vxy ( (xy
x / y
(x / (y
Vxy ( (xy
1 / x
1 / (x
Vx / (x
Vx
x2
(x2
2Vx ( (x
2Vx
x3
(x3
3Vx ( (x
3Vx
x4
(x4
4Vx ( (x
4Vx
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_992623513.unknown
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
a transformação z = (x - m)/ padroniza qualquer normal
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
valores de
1-P(z) 
 da curva 
gaussiana padrão 
notação:
03 = 000, etc.
x = variável 
 aleatória
m = média
s = desvio
 padrão
^
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
a expressão da força axial média F causada pelo torque de aperto T não depende muito do diâmetro do parafuso d nem do atrito: F = kT/d  5T/d, mas k = 5 corresponde a uma confiabilidade R = 50% na força de aperto F(T))
como F(T) é bem dispersa (V = s(F)/F  0.09 nas roscas lubrificadas e V  0.15 nas não-lubrificadas), para garantir uma pré-carga FPC(R) = kRT/d no parafuso com R  0.5, assumindo que sua distribuição seja gaussiana, basta calcular o valor kR = k(1 + zRV) correspondente (note que zR é 						 negativo para 					 confiabilidades 							 R > 0.5)
toda a dispersão da força F(T) é quantificada por kR, pois o torque T e o diâmetro d são determinísticos nos testes
^
Castro,J.T.P.
		R
		‘
		kR, lub
		kR, ñ-lub
		0.9
		-1.282
		4.4
		4
		0.99
		-2.326
		4
		3.3
		0.999
		-3.090
		3.6
		2.7
*
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
ex.6: especifique um parafuso de classe 12.9 e ache o torque mínimo necessário para garantir com confiabilidade de 99% que ele gere uma pré-carga mínima de 100kN
dos parafusos allen comerciais listados acima, o M142 com FP = 120kN é o menor que resiste à pré-carga de 100kN sem escoar, e se eles forem apertados sem lubrificar a cabeça e a rosca kR = 3.3 para R = 99%, logo T = 105d/3.3 = 424Nm
este T gera FPC > 100kN em 99% dos parafusos, mas devido à grande dispersão da relação F(T) também gera pré-cargas FPC > FP nos parafusos se kRP = FPd/T = 12014/424 = 3.96 = k(1 + zRPV)  zRP = (3.96 - 5)/(50.15) = -1.38  RP = 0.916, logo o torque T que gera FPC > 100kN com R = 0.99 tambémescoa 91.6% dos parafusos M142 não lubrificados!
parafusos lubrificados têm FPC menos dispersa (k0.99 = 4) e requerem um T = 105d/4 = 350Nm menor, mas ainda assim kRP = 12014/350 = 4.80  zRP = (4.8 - 5)/(50.09) = -0.44  RP = 67% dos parafusos M14 escoariam ao serem apertados
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
não é tolerável que a maioria dos parafusos apertados escoe para obter com R = 99% uma FPC > 0.83FP, a carga de prova dos parafusos M14, e a única solução para este problema é aumentar o diâmetro dos parafusos, já que a classe 12.9 é a melhor que existe comercialmente
assim, especificando parafusos allen M161.5 lubrificados, cuja carga de prova FP = 174kN, deve-se apertá-los com um torque T = 10016/4 = 400Nm (pois kRF = 4 para garantir uma força F  100kN em 99% das juntas lubrificadas)
especificou-se um parafuso M16 de rosca fina pois sua FP é 6.75% maior que a FP do parafuso de rosca grossa
para estimar quantos destes parafusos escoam na pré-carga, calcula-se kRP = FPd/T = 17416/400 = 6.96 = k(1 + zRPV)  zRP = (6.96 - 5)/(50.09) = 4.36, variável normal normalizada que corresponde a R = 7.410-6, logo a probabilidade de um M161.5 escoar sob o torque T = 400Nm é desprezível
z e R obtidos usando a tabela da gaussiana dada acima
Castro,J.T.P.
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Rigidez das Juntas Aparafusadas
uma característica interessante das juntas aparafusadas é terem uma alta rigidez, muito maior que a do parafuso enquanto estão fechadas pela sua pré-carga
assim, as cargas alternadas DF = Fmax - Fmin que atuam numa junta aparafusada apertada com uma pré-carga FPC > Fmax não são todas absorvidas pelo parafuso 
como a rigidez do conjunto de membros da junta Kcm em geral é bem maior que a rigidez Kp do parafuso, que com eles atua como molas em paralelo nas quais a carga DF é repartida em proporção às rigidezes, o parafuso só recebe DFp = DFKp/(Kp + Kcm) enquanto os membros da junta absorvem DFcm = DFKcm/(Kp + Kcm) (se Fmax < FPC) 
logo, a maior parte da carga alternada que atua na junta é usada para descarregar a pré-carga, como enfatizado pelo caso limite estudado no exemplo abaixo
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
se uma balança, feita com uma mola de rigidez Km presa entre duas placas rígidas, é tracionada por uma pré-carga FPC, e se um tubo grosso de rigidez Kt >> Km é colocado entre as placas para manter a deflexão da mola após retirar a pré-carga, para qualquer carga F posterior ela indicará FPC se F < FPC (mantendo a mola sob carga fixa mesmo se F for alternada), só lendo F se F  FPC 
Castro,J.T.P.
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a rigidez de uma barra de área A, comprimento L e módulo E sob tração é K = EA/L, logo a rigidez do parafuso é dada por
	onde os índices h e r referem-se à haste e à rosca do parafuso
a espessura total dos membros aparafusados, incluindo as arruelas, é L = Lh + Lr, e o comprimento do parafuso deve ser Lp  L + tporca (tipicamente 0.75d  tporca  d)
a rigidez dos membros é estimada supondo que a tensão compressiva gerada pelo parafuso penetra nos membros seguindo troncos de cone de semi-ângulo a = 30o, logo a rigidez Km de um membro da junta com espessura t, diâmetro da cabeça (base menor) do tronco de cone dc, diâmetro do furo df e módulo E é obtida por
Castro,J.T.P.
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resolvendo a integral e fazendo a = 30o obtém-se
como os membros de uma junta aparafusada trabalham em série, a rigidez do conjunto de membros é dada por Kcm = [S(1/Kmi)]-1 a qual, quando todos os membros são do mesmo material, as cabeças do parafuso e da porca têm dc = 1.5d  1.5df, e a espessura total da junta (ou de todas as peças aparafusadas, inclusive arruelas) é L, vira
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
o parafuso pode ser fixado no membro externo da junta (que deve ter o furo roscado para funcionar como a porca) 
imaginando as linhas de força que ligam a rosca à cabeça do parafuso, parece bem razoável supor que a carga transmitida através do parafuso seja toda
	ela absorvida pelos filetes do membro roscado até uma profundidade ad, como esquematizado na figura
é usual supor que a = d/2, e assim o tronco de cone de semi-ângulo 30o usado para estimar a rigidez da junta partiria do membro roscado de uma profundidade d/2 (ou da espessura t daquele membro se esta for menor que d/2), onde d é o diâmetro do parafuso
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
logo, a rigidez total de uma junta aparafusada KJ é dada pela soma das rigidezes do parafuso e do conjunto dos membros aparafusados (pois enquanto estes estiverem sob compressão a junta funcionará como duas molas em paralelo), KJ = Kp + Kcm (se Fmi < 0)
assim, quando uma força F < FPC, onde FPC é a carga de aperto ou a pré-carga no parafuso, é aplicada na junta de forma a tentar (mas sem conseguir) separar os membros aparafusados, ela (a força F) se reparte entre o parafuso e os membros da junta em proporção às rigidezes Kp e Kcm de cada um deles (como na balança de mola)
portanto, se F < FPC é a força atua numa junta de rigidez KJ, Fp = FPC + FKp/KJ é a força que atua no parafuso e Fcm = FPC - FKcm/KJ é a força que atua nos membros da junta (que são parcialmente descarregados)
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
ex.7: um vaso de pressão de aço tem tensão admissível na parede cilíndrica sadm = 120MPa, tampas toroidais fixadas por 8 parafusos passantes com 2 arruelas e porcas sextavadas através de flanges de espessura tf = 30mm, diâmetro interno di = 300mm e deve ser projetado para trabalhar sob pressões internas pulsantes entre 0 e pmax = 10MPa
a) ache por Tresca a menor espessura da parede cilíndrica tc, considerando o efeito da pressão interna em sr
calculando sq por paredes finas e usando o raio externo, é sempre seguro obter a espessura por sq + sr = sadm 
b) ache o menor parafuso métrico de rosca grossa e classe 12.9 que resiste elasticamente à sobrecarga pSC = 3pmax
FSC = pSCpr2 = 30p1502 = 2.12MN e Fp = FSC /8 = 265kN são as forças que pSC gera na tampa e em cada parafuso  escolhe-se o M222.5, cuja carga de prova é FP = 303kN
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
c) se para evitar vazamentos a soma das pré-cargas SFPC deve ser  1.2pAtampa, calcule o menor torque T nos parafusos que mantém, com 99% de confiabilidade, o vaso estanque sob pteste = 1.5pmax  FPC = p 1502  1.2  1.5  10 / 8 = 159kN
assumindo que ao apertar parafusos lubrificados na média FPC = 5T/d e V = 9%, para ter FPC(R = 0.99) = kR = 0.99T/d supõe-se kR gaussiana e (usando a tabela anexa) k0.99 = 4  T = 22  159000 /4 = 875Nm
mas este T pode gerar pré cargas FPC >> 159kN, só que a probabilidade de gerar FPC > FP é desprezível neste caso: FP = 303000 = 5  (1 + zR  0.09)  875/0.022  zR = 5.818 , logo R  3  10 -9 (valor obtido na tabela da gaussiana)
d) ache as tensões alternada e média que atuam sobre cada parafuso durante a operação normal do vaso
a espessura de cada flange é tfl = 30mm, a das arruelas é 0.2d < tar < 0.25d e a das porcas é 0.75d  tpo  d (valores típicos), onde d = 22mm é o diâmetro do parafuso
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
sendo Lp > 2(tfl + tar) + tpo = 70 + 22 = 92mm, o parafuso M22 comercial de menor comprimento tem Lp = 100mm e Lrosca = 56mm  Lh = Lp - Lrosca = 100 - 56 = 44mm e Lr = L - Lh = 70 - 44 = 26mm (Lrosca é o comprimento total da rosca, Lr é o da rosca entre a cabeça do parafuso e a face da porca e Lh é o da haste), diâmetro resistente dr = d - 0.938P = 19.7mm, área resistente Ar = 303mm2 e da haste Ah = 380mm2, logo a rigidez do parafuso Kp é
já a rigidez de todos os membros da junta é estimada por
df = 23mm é o furo requerido para a passagem do M22
deve-se notar que a rigidez dos membros Kcm  4.3Kp
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
para obter as tensões normais (nominais) nos parafusos usa-se sua área resistente (baseada em dr = d - 0.938P), logo s = F/Ar = 4F/pdr2
a tensão mínima que atua nos parafusos depende de FPC, a pré-carga de aperto: se FPC= 159kN, a menor pré-carga que garante a vedação do vaso na pressão de teste pteste, smin = 159000/303 = 524MPa; quando FPC = FPC = 5T/d, a carga média gerada pelo torque de aperto, FPC = 199kN e smin = 657MPa, etc.
supondo que a carga variável que atua sobre a tampa DFt é dividida igualmente pelas 8 juntas aparafusadas durante o serviço do vaso, cada uma delas deve suportar a carga DF = DFt/8 = 10  p  3002/4  8 = 88.4kN, da qual o parafuso só absorve DFp = DFKp/(Kp + Kcm) = 16.6kN, o que gera as tensões alternada sa = Ds/2 = DFp/2Ar = 27.4MPa e média sm = sa + smin 
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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Fadiga em Parafusos de Fixação
cargas alternadas significativas podem causar fadiga em parafusos, um tipo de falha que deve ser evitado
em juntas que trabalham sob gamas de carga DF trativas com tensão nominal mínima no parafuso smin = FPC/Ar e máxima smax = smin + (DF/Ar)[Kp /(Kp + Kcm)], o dano à fadiga é quantificável por uma regra tipo Goodman ou Gerber, usando Kf (o fator de concentração de tensões à fadiga que considera a sensibilidade ao entalhe) apenas na componente alternada da tensão sa, onde
Castro,J.T.P.
		
		Kf
		dureza HB
		graus SAE
		graus métricos
		roscas roladas
		roscas usinadas
		filete da cabeça
		< 200
		0 a 2
		3.6 a 5.8
		2.2
		2.8
		2.1
		> 200
		4 a 8
		6.6 a 10.9
		3.0
		3.8
		2.3
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Castro,J.T.P.
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além disso, Juvinall recomenda que ao usar este Kf, se estime SL, o limite de fadiga do material do parafuso, desprezando o efeito do acabamento superficial (i.e., usando ka = 1), pois ele já estaria considerado em Kf
alternativamente, Shigley recomenda usar os limites de fadiga ao lado 							 na curva sasm, 						 assumindo que							 ka = kb = Kt = 1,						 	 já que estes SL 						 incluem todos 							 os efeitos dos 					 entalhes que 					 concentram as						 tensões nos 						 parafusos 
Castro,J.T.P.
graus
diâmetros
SL
SAE 5
0.25 a 1”
1.125 a 1.5” 
18.6kpsi
16.3kpsi
SAE 7
0.25 a 1.5”
20.6kpsi
SAE 8
0.25 a 1.5”
23.2kpsi
ISO 8.8
M16 a M36
129MPa
ISO 9.8
M1.6 a M16
140MPa
ISO 10.9
M5 a M36
162MPa
ISO 12.9
M1.6 a M36
190MPa
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
ex.8: se duas peças de aço de 60mm de espessura são aparafusadas usando um parafuso Allen classe 12.9 de 24mm de diâmetro, duas arruelas de 4mm de espessura e uma porca e pré-carga igual a 60% da carga de prova do parafuso, compare as gamas de carga (trativa) F que podem ser aplicadas nesta junta sem trincar os parafusos por fadiga, segundo Goodman e Gerber
sendo E = 205GPa, df = 25mm (furo para M24), comprimento da haste Lh = 120mm e dos membros aparafusados L = 128mm, então
e se dr = d - 0.94P = 21.2mm, Ar = 352 e Ah = 452mm2 
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Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
como KJ = Kcm + Kp = 4.81106N/mm e Kp/KJ = 0.15, só 15% da carga alternada solicita o parafuso com a junta fechada, logo sa = (Kp/KJ)DF/2Ar = 2.110-4DF MPa é a gama da tensão nominal que atua no parafuso
a carga de prova FP na tabela dos parafusos Allen 12.9 é 353kN, e a tensão nominal causada pela pré-carga no parafuso é smin = 0.6FP/Ar  600MPa 
supondo o limite de fadiga SL = 190MPa, a maior gama de força aplicável na junta por Goodman é obtida por
	logo DFGdmax = 400kN, enquanto por Gerber obtém-se

Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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ex.9: calcule a maior carga pulsante aplicável numa junta composta de 2 peças de aço de 60mm de espessura fixada por um parafuso M273 da classe 10.9 com 160mm de comprimento, 2 arruelas de 5mm e uma porca, dentro de um fator de segurança à fadiga F = 2 por Goodman
o parafuso classe 10.9 tem SP = 830 e SR = 1040MPa (dentro de R = 0.99), Lh = 160 - 66 = 94 e Lr = 2(60 + 5) - 94 = 36mm, Ah = p272/4 = 573 e Ar = p(27 - 0.9383)2/4 = 459mm2  as
	rijezas								 e
 e		 , onde
	sa e sm são as tensões alternada e média e Fpc a pré-carga no parafuso, e Fmax é a maior força aplicada na junta 
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assim, a vida à fadiga do parafuso depende da pré-carga e da força alternada aplicada na junta, mas como Fmax ≤ Fpc para mantê-la fechada, a maior força nela aplicável por Goodman dentro de fF = 2 deve ser limitada a
onde SL = 162MPa é o limite de fadiga da classe 10.9
é interessante notar que se as peças (e as arruelas também, para facilitar as contas) fossem menos rígidas, digamos de Al com E = 70GPa e Kcm = 1.59MN/mm, o parafuso teria que absorver uma parte maior da carga aplicada na junta, e neste caso sa = 3.7210-4Fmax  Fmax ≤ Fpc = 105kN 
isto também pode ocorrer em juntas de aço mais finas, e.g. se L = 30mm, Kcm = 8.74 e Kp = EAr/Lr = 3.06MN/mm (o M27 não tem haste pois L < 66mm)  Fmax ≤ 122kN 
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Castro,J.T.P.
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Fator de segurança 
Norton recomenda frágil  2dúctil  max(1, 2, 3)
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Castro,J.T.P.
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já Juvinall recomenda: 
E = 1.25-1.5 para materiais muito confiáveis, usados em condições ambientais controladas sob cargas e tensões determináveis com exatidão, quando o peso é importante, onde E é o fator de segurança ao escoamento
E = 1.5-2, para materiais bem conhecidos, usados em condições ambientais aproximadamente constantes e sujeitos a cargas e tensões determináveis sem dificuldade
E = 2-2.5, para materiais medianos, usados em condições ambientais ordinárias e sujeitos a cargas e tensões determináveis
E = 2.5-3, para materiais menos testados em serviço ou mais frágeis, usados em condições ambientais ordinárias e sujeitos a cargas e tensões determináveis
E = 3-4, para materiais não testados em serviço, usados em condições ambientais ordinárias e sujeitos a cargas e tensões determináveis
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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E = 3-4, para materiais bem conhecidos, usados em condições ambientais e sujeitos a cargas e tensões incertas
L = 1.25-4, onde L é o fator de segurança contra o início do trincamento por fadiga nos casos de cargas variáveis, mantendo as condições descritas nos itens acima (que são relacionados ao fator de segurança ao escoamento)
I = 2-4, onde I é o fator de segurança para as forças impulsivas, mantendo as condições descritas nos itens relacionados ao fator de segurança ao escoamento, mas incluindo um fator de impacto no cálculo das tensões
R = 2E, onde R é o fator de segurança à ruptura, no caso de materiais frágeis (sujeitos às mesmas condições descritas nos itens relacionados ao fator de segurança ao escoamento)
Castro,J.T.P.
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Estudo de caso: reprojeto do parafuso de fixação de uma célula de carga 
o parafuso 3½-8UN que fixava a célula de carga numa estrutura usada para testar à fadiga grandes peças sob cargas de até 2.5MN estava repetidamente fraturando após ~2-3105 ciclos sob gamas F = 230t pulsantes
o parafuso era feito de aço 4340 temperado e revenido com dureza de 450HB, e era fabricado com cuidado, inclusive com as roscas roladas após a usinagem
o parafuso era atarraxado na estrutura, e depois a célula era nele atarraxada manualmente
este problema irritante atrasava muito os testes, e tinha que ser resolvido sem alterar o diâmetro e o passo do parafuso, para aproveitar a célula de carga disponível 
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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parafusos padrão M e UN de diâmetro d e passo p têm diâmetros resistente dr = d - 0.94p
a troca do material do parafuso não evitaria a falha: como ele tem SR  4503.4 = 1530  SL’ = 700MPa, o limite de fadiga não melhoraria muito trocando o aço
se o parafuso falha em 3105 ciclos sob gama pulsante  = 2.3106/[3.525.4 - 0.94(25.4/8)]2/4 = 397MPa, por Goodman pode-se estimar [SR + SF]/2SRSF = 1  SF(3105) = SR/(2SR - ) = 228MPa, logo uma curva de Wöhler NSB = C onde B = log(NF/N3)/log(S3/SF) = log(3102)/log(15300.67/228) = 3.79 e C = 31052283.79 = 2.661014, cujo limite é 106SLB = C  SL= 166MPa 
este é o limite de fadiga proposto por Juvinall para filetes usinados, o que faz sentido, pois o parafuso era temperado após ter a sua rosca rolada, removendo assim as tensões residuais benéficas introduzidas neste processo
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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para evitar as falhas em serviço, o projeto à fadiga deste parafuso deve incluir um fator de segurança apropriado
F  2 contra o início do trincamento sob Fmax pode ser uma escolha razoável neste caso, pois esta gama de carga máxima é limitada pelo macaco hidráulico
se Fmax = 2.5MN pulsante  a = m = 216MPa, por Goodman se deveria ter a[SR + SL]/SRSL = 0.5, ou seja, um limite de fadiga SL = aSR/(0.5SR - a) = 602MPa para o parafuso, um valor inalcançável na prática
todavia, a forma de fixar a célula ao parafuso não era apropriada, pois a célula não era pré-carregada como o devido durante a sua montagem no parafuso, para que se tivesse Fp = FKp/KJ, enquanto Fmax < FPC e a junta estivesse fechada pela compressão induzida pela pré-carga 
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agora finalmente se pode resolver o problema da falha do parafuso: não podendo aumentar o seu diâmetro, nem melhorar muito sua resistência à fadiga (e nem diminuir a carga dos testes), só resta aplicar-lhe uma pré-carga adequada, e para isto há duas soluções implementáveis num custo razoável 
usar uma arruela bipartida entre a célula de carga e a estrutura da máquina de fadiga; ou 
usar uma porca especial para pré-tracionar o parafuso durante a montagem da célula
a primeira opção tem que ser escolhida quando o parafuso deve ser atarraxado na estrutura de reação, pois a segunda requer que o parafuso atravesse-a 
a chamada arruela bipartida é na realidade composta por duas arruelas similares, as quais têm uma das faces ligeiramente inclinada e um furo para passagem do parafuso bem maior do que o usual
Castro,J.T.P.
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esquema da arruela bipartida para manter o parafuso sob pré-carga em serviço: a arruela deve ser travada sob uma carga maior que a máxima do teste
Castro,J.T.P.
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quando montadas uma sobre a outra mantendo suas faces inclinadas em contato, as 2 metades da arruela bipartida formam um conjunto com faces externas paralelas, mas com uma espessura que pode ser variada movendo-as radialmente, e para usá-las deve-se: 
fixar o parafuso na estrutura de reação
introduzir a arruela bipartida entre a célula e a estrutura com as faces ajustadas na espessura mínima 
atarraxar a célula apertando-a sobre a arruela com força suficiente para eliminar qualquer folga mecânica 
montar na máquina uma peça resistente e nela aplicar a máxima carga que o macaco hidráulico pode gerar
mover as faces da arruela para aumentar a sua espessura, apertando-as contra a célula e a estrutura para eliminar as folgas causadas pela carga aplicada no parafuso 
desta forma, quando a carga é removida, o parafuso fica tracionado por uma pré-carga maior do que a máxima carga aplicável durante o teste
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como o parafuso é atarraxado na célula e na estrutura de reação, supõe-se que as linhas de força partem de uma profundidade d/2 e formam um tronco de cone de semi-ângulo 30o, seguindo a prática usual
apesar disso, deve-se penetrar mais profundamente na peça roscada, pois ter mais filetes disponíveis para suportar a carga é uma prática sensata e econômica
para calcular a rigidez deste parafuso, pode ser razoável considerar a sua parte roscada que resiste à carga, que é desprezada na modelagem das juntas que usam porcas, assumindo Lr = d para o comprimento da parte roscada, e a menor haste possível, com um comprimento igual à espessura da arruela bipartida, Lh = tar e com diâmetro dh = dmin = d - 1.23p = 85mm para diminuir o seu Kt
Ar = [3.525.4 - 0.94(25.4/8)]2/4 = 5.80103mm2 é a área resistente da parte roscada, enquanto a área da haste é Ah = [3.525.4 - 1.23(25.4/8)]2/4 = 5.67103mm2
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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sendo Lh  70mm e Lr = d = 3.5”  90mm, a rigidez do parafuso pode ser estimada por:
esta hipótese pode subestimar a rigidez do parafuso, pois os filetes que suportam a carga trabalham sob forças que diminuem à medida que o parafuso penetra na peça roscada, logo pode-se recalcular a rigidez desprezando a contribuição da parte roscada:
como esta estimativa deve superestimar a rigidez do parafuso, a sua rigidez correta deve estar entre as duas, digamos Kp = (Kp1 + Kp2)/2 = 1.2107N/mm
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estas estimativas são importantes para obter a resistência à fadiga do parafuso e para o dimensionar o ângulo dos planos inclinados da porca bipartida
como ela não pode deslizar sob a pré-carga do parafuso, este ângulo é limitado pelo coeficiente de atrito naqueles planos (que de f = 0.6-0.78 em superfícies limpas e secas, pode cair para f  0.27 se as faces em contato estiverem oxidadas, ou para f  0.15 se elas estiverem oleadas)
1 = Fmax/Kp1 = 2.5MN/7.34MN/mm = 0.34mm, a maior deflexão calculada usando a menor rigidez do parafuso pode ser subestimada, porque é duvidoso que um aperto manual da célula de carga consiga remover totalmente as folgas entre os seus filetes e os dos furos roscados
assim é aconselhável projetar o curso da arruela bipartida com alguma folga, ou então providenciar lâminas finas para tirar eventuais folgas grandes ao pré-carregar o parafuso
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a rigidez dos membros aparafusados em geral é estimada desprezando a contribuição das peças roscadas (porque elas funcionam como porcas)
a arruela bipartida de aço é quase simétrica, logo sendo Ka a rigidez de cada uma das suas metades, que têm dc = d(1 + tan30) = 140mm, df = 90mm, e t = 35mm
a rigidez total dos membros aparafusados é composta por dois destes troncos de cone furados em paralelo, ou seja, Kcm = 3.93107  KJ = Kp + Kcm = 5.13107 
logo, o parafuso pré-carregado absorve Kp/KJ = 23.4% da gama da carga de fadiga F = 2.3MN imposta sobre a junta 			 
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assim, supondo SL = 166 e PC = FPC/Ar = 431MPa, por Goodmam pode-se estimar que 
este valor é menor do que F = 2 desejado, mas é uma opção muito melhor do que a original
dobrando o tamanho da haste do parafuso e a espessura da arruela bipartida, a razão Kp/KJ cai para 0.19 e o fator de segurança sobe para FGd = 1.87, ou para FGb = 3.12 usando Gerber em vez de Goodman para quantificar o dano da carga média
assim, esta solução deve resolver o problema da falha 
mas seria sensato instrumentar um destes parafusos modificados para medir a gama da força que realmente o solicita em serviço, e verificar as muitas hipóteses usadas nos cálculos
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a outra solução requer o pré-tracionamento do parafuso, que pode ser feito por uma porca especial com diversos parafusos auxiliares distribuídos circunferencialmente em torno do furo roscado onde se atarraxa o parafuso de suporte da célula de carga
a célula é montada com os parafusos circunferenciais recolhidos, que depois são apertados igualmente para pré-tensionar o grande parafuso central, o que é muito mais fácil do que apertar diretamente a porca, tarefa que exigiria um torque imenso
a folga radial entre o parafuso e a estrutura neste sistema permite alinhar a célula com o macaco hidráulico para minimizar os fletores espúrios no trem de carga, um bônus adicional muito interessante na prática
a pré-carga gerada pelos parafusos auxiliares deve ser maior que os 2.5MN necessários, e deve ser considerada no projeto à fadiga do parafuso da célula de carga 
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esquema da porca que pré-tensiona o parafuso da célula de carga
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supondo que a estrutura de reação tenha uma espessura t = 400mm igual ao tamanho da haste do parafuso (e.g.) e desprezando a rigidez das partes roscadas do parafuso, pode-se estimar quejá a rigidez da estrutura de aço, supondo dc = 140mm, df = 90mm, e 2t = 400mm, é estimada por 
a rigidez da junta é KJ = Kp + Ke = 1.92107N/mm, logo a parte da carga dinâmica de fadiga absorvida pelo parafuso devidamente pré-carregado é Kp/KJ = 15.1%
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assim, usando um fator de segurança 1.2 na pré-carga, logo PC = FPC/Ar = 1.22.5106/5.8103 = 517MPa, o F do parafuso por Goodman é estimado por
este valor também não alcança o FGd = 2 arbitrado, mas é sensato argumentar que Gerber provavelmente seria uma melhor opção para descrever o dano da carga média, e neste caso FGb = 3.25
portanto, pode-se considerar que esta solução é adequada para evitar as falhas do parafuso
para terminar, como em projetos seguro morreu de velho, não custa nada recomendar que os novos parafusos sejam jateados com granalhas após o seu tratamento térmico, para melhorar a sua resistência intrínseca ao início do trincamento 
Castro,J.T.P.