Engrenagens(Versão Impressão)

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Engrenagens
Castro,J.T.P.
©Jaime Tupiassú Pinho de Castro
Departamento de Engenharia Mecânica PUC-Rio
versão 2.5 - 3/12/2012
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Principais Tipos de Engrenagens
(a) engrenagens cilíndricas, de dentes retos ou helicoidais
(b) engrenagens cônicas, com eixos perpendiculares () e 
	 convergentes na figura
(c) sem fim e coroa, com eixos  mas não convergentes
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par de engrenagens cilíndricas de dentes retos típicas
a largura dos dentes, que quase sempre são usinados na forma de uma envolvente (ou involuta) de círculo para rolarem (quase) sem deslizar durante o engrenamento (o que minimiza o seu desgaste e maximiza o seu rendimento), normalmente é bem maior que sua altura (usualmente cerca de 4 a 7x maior) 
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dentes retos (a) não geram cargas axiais mas são bem mais ruidosos que os helicoidais (b) e (c) que as geram (a dupla hélice ou espinha de peixe (b) cancela as cargas axiais)
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grande engrenagem cilíndrica de dentes retos bi-partida (notar os sulcos de montagem e o rasgo de chaveta)
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engrenagens helicoidais geram cargas axiais (notar que a hélice do pinhão tem sentido contrário à da coroa)
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as engrenagens espinha de peixe cancelam as cargas axiais
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engrenagens de dentes espinha de peixe com um rasgo central para facilitar a saída da ferramenta de corte
a eficiência mecânica dos pares de engrenagens de dentes retos ou helicoidais bem feitos, cujos dentes envolventes rolam quase sem deslizar, em geral é muito alta, tipicamente maior que 99 a 99.5% quando a montagem é precisa e rígida e a lubrificação é de boa qualidade
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engrenagem com dentes internos num redutor planetário
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engrenagens cônicas de dentes retos com eixos que não são perpendiculares
engrenagens cônicas de dentes retos com eixos perpendiculares
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par de engrenagens helicoidais não-paralelas cuja função primária é mudar a direção da transmissão sem alterar nem a rotação nem o torque transmitidos, pois o diâmetro das 2 engrenagens é igual (notar o acoplamento flexível) 
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tipos de engrenagens cônicas de eixos perpendiculares
zerol
espiral
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par de engrenagens cônicas com dentes em espiral
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engrenagem hipóides (notar que os eixos são perpendiculares mas não se cruzam)
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engrenagens espiralóides com eixos perpendiculares (notar que a distância entre os centros dos eixos destas engrenagens é maior que a das engrenagens hipóides, e que por causa do pinhão que parece um parafuso elas em geral não são reversíveis)
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as vantagens dos redutores tipo sem fim e coroa são auto-travamento (a coroa pode ser projetada para não conseguir girar o sem fim) e potencial de redução grande, e a desvantagem é o rendimento baixo devido ao deslizamento funcional entre o sem fim e a coroa 
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sem fim e coroa, com um parafuso cujo perfil é curvo, para aumentar a sua área de contato com a coroa
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há muitos outros tipos exóticos de engrenagens pouco usadas, como as de dentes espirais com eixos perpendiculares da figura ao lado
a eficiência mecânica das engrenagens espiralóides, dos sem fim e coroa e de quase todas as exóticas, em geral é bem menor do que a das engrenagens tradicionais de dentes retos ou helicoidais, cilíndricas ou cônicas, pois naquelas há muito deslizamento relativo entre os dentes quando eles se movimentam
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engrenagens não-circulares com diversas formas
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Redutores e Caixas de Marcha
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redutor de um estágio, 2 eixos e razão de redução Nc/Np = dc/dp 
redutores que tenham duas engrenagens cilíndricas de dentes retos ou helicoidais bem fabricadas, uma lubrificação eficiente e bons mancais podem ter rendimentos acima de 99% 
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grande redutor de 2 estágios
notar como a direção das 4 engrenagens helicoidais da 1a redução evita as cargas axiais nos mancais, o diâmetro dos eixos, que têm que aumentar à medida que a rotação diminui (pois as perdas no redutor são pequenas), e a bomba de lubrificação 
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redutor de três estágios, com entrada perpendicular à saída 
notar o par de engrenagens cônicas na entrada (para fazê-la  à saída), a direção das hélices nos dois eixos intermediários para minimizar as cargas axiais, o rolamento de rolos cônicos no eixo de saída (cuja carga axial não é compensada) e a grande diferença entre os diâmetros dos vários eixos (  )
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redutor de 4 estágios, 5 eixos e 8 engrenagens
sendo N1, N2, ..., N8 o no de dentes das diversas engrenagens, (1 é o pinhão da entrada e 8 a coroa da saída), w1/w8 (ou a razão de redução do redutor) é 
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redutor naval com entradas simultâneas para duas turbinas 
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redutor do porta-aviões Saratoga
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esquema do redutor naval mostrado acima, no qual 2 turbinas acionam o mesmo eixo de saída para a hélice
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eixos de uma caixa de marchas automotiva mecânica típica, com engrenagens helicoidais
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as engrenagens helicoidais das caixas de marcha ficam permanentemente conectadas, mas só um par é engatado de cada vez, quando ativado pelo anel seletor sincronizado
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as engrenagens não engatadas das caixas de marcha estão sempre conectadas, mas giram livres; a troca de marcha é feita conectando o par que se deseja ativar ao eixo de saída via um engate interno e um anel de sincronização
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funcionamento de um anel sincronizador usado para facilitar a troca de marcha em caixas automotivas 
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redutor tipo coroa e sem fim montado na saída de um motor elétrico (notar os rolamentos de rolos cônicos para resistir à carga axial do sem fim, a vedação no eixo do sem fim para evitar vazamento do óleo e o acoplamento flexível entre ele e o eixo do motor para absorver pequenos desalinhamentos entre os eixos e minimizar fletores parasitas)
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redutor planetário acoplado diretamente no eixo de um motor elétrico 
estes redutores podem ser uma boa solução quando o espaço é limitado, pois eles podem permitir grandes reduções num volume relativamente compacto
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engrenagens planetárias em um motor radial aeronáutico
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redutor com engrenagens planetárias helicoidais
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tipos de redutores planetários simples, compostos de um anel com dentes internos, de um sol e de vários planetas (cujo no não altera a redução e só depende da carga transmitida, mas que têm que ser simétricos em volta do sol quando os seus eixos giram, para balancear o redutor) 
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redutores planetários simples
membro fixo
membro de entrada
membro de saída
razão de redução
reduções usuais
anel
sol
suporte dos planetas
3:1-12:1
suporte dos planetas
sol
anel
2:1-11:1
sol
anel
suporte dos planetas
1.2:1-1.7:1
Ns é o no de dentes do sol, Na o do anel e Np o dos planetas
Na = Ns + 2Np, e (Na + Ns)/no de planetas deve ser um no inteiro 
redutores planetários compostos
membro fixo
membro de entrada
membro de saída
razão de redução
reduções usuais
anel
sol
suporte dos planetas
6:1-25:1
suporte dos planetas
sol
anel
5:1-24:1
sol
anel
suporte dos planetas
1.05:1-2.2:1
Np1 é o no de dentes do primeiro planeta e Np2 o do segundo
da = ds + dp1 + dp2, e (Np1Na + Np2N​)/no de planetas = no inteiro 
_1183053559.unknown
_1183054871.unknown
_1183055092.unknown
_1183055266.unknown
_1183053630.unknown
_1183053492.unknown
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Usinagem dos Dentes
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fresas para usinar dentes de engrenagens (a da esquerda para fresadoras universais e a da direita para geradoras de dentes)
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fresagem dos dentes um a um
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máquina para gerar os dentes de engrenagens usando uma ferramenta tipo cremalheira, a qual oscila verticalmente à medida que o cilindro que está sendo usinado vai girando lentamente 
o perfil envolvente dos dentes de engrenagens nas cremalheiras vira um trapézio, que é fácil de fabricar e de afiar, logo esta é mais uma grande vantagem deste tipo de perfil
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ferramenta tipo cremalheira para gerar dentes envolventes
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esta máquina opera de forma similar à anterior mas usa uma ferramenta tipo engrenagem
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a usinagem dos dentes também pode ser feita num movimento rotativo da ferramenta, como na máquina ao lado
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usinagem da coroa para um sem fim
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Geração do Perfil dos Dentes Retos
os dentes devem rolar mantendo constante a razão entre as rotações das duas engrenagens (a ação conjugada, obtida quando os perfis envolventes são gerados pela mesma corda enrolada nos círculos de base das duas engrenagens)
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o círculo primitivo de raio r define o ponto de tangência das 2 engrenagens (que permanece fixo), e o círculo de base de raio rb = rcosf é o gerador dos dentes de perfil envolvente 
o torque transmitido por uma engrenagem é Wtr, onde Wt é a componente tangencial da força entre os dentes W
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a força entre os dentes atua sempre na mesma linha de pressão, que permanece invariável durante todo o giro das engrenagens com ação conjugada
engrenagens antigas usavam ângulo de pressão f = 14.5o, mas hoje em dia em geral se usa f = 20o ou f = 25o
como o perfil dos dentes das engrenagens depende de f, é importante padronizar o ângulo de pressão, não só para garantir que elas sejam intercambiáveis mas também para minimizar o estoque das ferramentas de usinagem
ângulos de pressão maiores permitem que a menor das engrenagens (chamada de pinhão) tenha um número mínimo de dentes menor sem perder a ação conjugada 
em compensação, para um dada potência transmitida P, a força entre os dentes W cresce com f, o que aumenta as cargas nos mancais de apoio dos eixos pois, sendo w a velocidade angular da engrenagem,
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Nomenclatura das Engrenagens
nomenclatura básica das engrenagens de dente reto 
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nomenclatura dos dentes de engrenagem em inglês 
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as engrenagens devem ser projetadas para evitar (i) o deslizamento entre os dentes e (ii) a variação da distância entre a linha de transmissão da força e o centro dos seus eixos, ou seja, para obter um funcionamento eficiente e suave, que minimize o atrito e mantenha a razão de velocidades constante 
assim, em geral o perfil dos dentes tem a forma de curvas envolventes (ou involutas) conjugadas, cuja geratriz é comum
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a coroa é a maior e o pinhão é a menor das 2 engrenagens, cujos círculos primitivos são tangentes
quando o dente é muito grande, parte de sua cabeça pode penetrar no círculo de base da outra engrenagem e interferir no movimento conjugado 
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as engrenagens também podem ser fabricadas com os dentes internos com formato envolvente ou involuta, que garante a ação conjugada independente da distância entre os centros, logo uma razão entre as rotações do pinhão e da coroa que é invariável, e que quase evita o deslizamento entre os dentes, o que diminui o desgaste e aumenta o rendimento
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nomenclatura em inglês das engrenagens com dentes internos 
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as cremalheiras são engrenagens de diâmetro infinito, logo a corda que nelas gera dentes envolventes tem comprimento também infinito e assim o perfil destes dentes é trapezoidal, isto é, eles têm os lados retos 
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Medidas dos Dentes
como qualquer par de engrenagens têm que ter dentes de mesmo tamanho, eles são padronizados para permitir fácil intercambiabilidade 
o tamanho dos dentes das engrenagens métricas é dado (em mm) pelo seu módulo M, que é igual à razão entre o diâmetro primitivo d e o número de dentes 	 N da engrenagem
assim, os dentes grandes têm módulos M grandes, e o passo circular p (a distância entre 2 dentes adjacentes medida ao longo do círculo primitivo 			 da engrenagem) é dada por
os módulos preferidos são 1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 25, 32, 40 e 50 mm
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mas (como esperável), os americanos medem os dentes pelo passo diametral P (ou diametral pitch, em dentes por polegada), dado pela razão entre o no de dentes N e o diâmetro primitivo d da engrenagem
assim, dentes grandes tem passo diametral P pequeno, e sua relação com o passo circular p é dada por
cuidado: não use a equação P = 1/M para converter o passo diametral em módulo, pois os dentes métricos não são em geral intercambiáveis com os em polegadas (e.g., M = 10mm  P = 2.54 dentes por polegada, mas esta não é uma medida usada na prática)
os passos diametrais mais comuns são 200, 150, 120, 96, 80, 64, 48, 40, 32, 24, 20, 16, 12, 10, 8, 6, 4, 3, 2.5, 2.25 e 2 dentes por polegada
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o tamanho relativo dos dentes de engrenagens com vários passos diametrais (dados em dentes por polegada) é comparado ao lado 
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a padronização dos dentes das engrenagens métricas ou em polegadas com ângulos de pressão f = 20o ou 25o é similar: cabeça (addendum) a = 1.0M (ou a = 1/P), e pé (dedendum) b = 1.25 ou 1.35M (ou b = 1.25/P ou 1.35/P)
engrenagens de passo fino (P  20) podem ter b = 1.20/P 
há também engrenagens com dentes curtos (stub) com a = 0.8M (ou a = 0.8/P) e b = 1.0M (ou b = 1/P)
a razão de redução entre duas engrenagens só depende de N1/N2, onde N1 é o no de dentes da 1a e N2 o da 2a, e não varia com a distância entre centros das engrenagens 
mas o ângulo de pressão e os diâmetros primitivos (que são tangentes) das engrenagens aumentam se a distância entre seus eixos for maior que a de projeto, sem que isto implique na perda do efeito conjugado característico do perfil dos dentes envolventes (o que é mais uma grande vantagem deste perfil, a qual é fácil de visualizar pela corda enrolada nos círculos de base, que são invariáveis) 
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a largura da face F (ou a espessura da engrenagem) não é padronizada, mas é prática comum usar dentes retos com F = (8 a 16)M  (3.5 a 7)  altura do dente padrão
ex.1: liste as principais dimensões das engrenagens de 20 dentes com f = 20o e M = 10mm
diâmetro primitivo: d = MN = 200mm
passo circular: p = pM = 31.42mm
altura do dente: a + b = 2.25M = 22.5mm
diâmetro
externo: de = d + 2a = d + 2M = 220mm
diâmetro de base: db = dcosf = 187.94mm
diâmetro de raiz: dr = d - 2b = d - 2.5M = 175mm
largura típica da face: F = (8 a 16)M = 80 a 160mm
	e com P = 10 dentes/polegada
diâmetro primitivo: d = N/P = 2”
passo circular: p = p/P = 0.314”
altura do dente: a + b = 2.25/P = 0.225”
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diâmetro externo: de = d + 2a = d + 2/P = 2.2”
diâmetro de base: db = dcosf = 1.879”
diâmetro de raiz: dr = d - 2b = d - 2.5/P = 1.750”
largura típica da face: F = (8 a 16)/P = 0.8 a 1.6”
ex.2: se a 1a engrenagem de um redutor tem 16 e a 2a 64 dentes com módulo 5mm, calcule a distância entre seus centros C = (d1 + d2)/2 e compare os seus diâmetros de base para f = 14.5o, f = 20o e f = 25o
os diâmetros primitivos d1 = MN = 80 e d2 = 320mm não dependem de f  C = 200mm, mas os diâmetros de base db = dcosf decrescem quando f cresce  para f = 14.5o: db1 = 77.45 e db2 = 309.81; para f = 20o: db1 = 75.18 e db2 = 300.70; e para f = 25o: db1 = 72.51 e db2 = 290.02
o ponto de contato desloca-se por rolamento nos perfis envolventes ao longo dos dentes quando eles se movem, mas a linha de ação da força permanece fixa
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mas se o ponto de contato cruzar o círculo de base da engrenagem e atuar sobre uma parte do pé do dente cujo perfil não é uma envolvente, termina a ação conjugada e passa a haver deslizamento relativo, logo desgaste por erosão, naquela região crítica (deve-se evitar portanto esta chamada interferência entre os dentes)
quando os dentes são fabricados por geração (usando uma cremalheira, e.g.), a ferramenta pode cortar abaixo do db (deixando o dente “barrigudo”, com uma raiz menor que a largura, logo mais fraco onde as tensões são maiores)
para evitar interferência nos pares de engrenagens de dentes retos com um pinhão de Np e uma coroa de Nc dentes, se r = Nc/Np e se k = 1 para dentes normais e k = 0.8 para dentes curtos, deve-se ter 
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Nc tem que ser um no inteiro nas engrenagens completas, mas pode ser fracionário nos setores de engrenagens
para engrenar um pinhão numa cremalheira sem que ele trabalhe com interferência, Np > 2k/sin2f
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maior no de dentes da coroa Nc que não interfere com pinhões de Np dentes retos normais, em função do ângulo de pressão f 
pares de engrenagens com f alto podem ser menores (é por isso que f = 14.5o está obsoleto), mas operam sob cargas maiores nos mancais
deve-se preferir coroas com Nc < 101 e evitar coroas com Nc > 200 dentes 
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( = 14.5o
( = 20o
( = 25o
Np
Nc
Np
Nc
Np
Nc
23
26
13
16
9
13
24
32
14
26
10
32
25
40
15
45
11
249
26
51
16
101
12
(
27
67
17
1329
28
92
18
(
29
133
30
219
31
496
32
(
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os cruzamentos da linha de pressão com os círculos das cabeças do pinhão e da coroa limitam o contato entre os dentes, logo a razão de contato do par de engrenagens é
	
deve-se especificar RC > 1.2, e preferir RC > 1.4
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rp = NpM/2 e rc = NcM/2 são os raios do pinhão e da coroa, e ap e ac os seus addenduns, M é o módulo e f é o ângulo de pressão dos dentes, logo nos dentes comuns onde a = M pode-se obter uma fórmula mais conveniente para RC
e.g., um pinhão com 15 e uma coroa com 30 dentes comuns têm RC = 1.57 se f = 20o ou RC = 1.42 se f = 25o
RC maiores induzem menores tensões nos dentes e evitam que toda a carga gerada pelo torque seja suportada na ponta de um deles apenas, e por isso permitem um funcionamento mais suave do par de engrenagens
teoricamente, RC  2 significa que pelo menos dois dentes estão sempre em contato no par (mas na prática isto também depende da precisão da usinagem dos dentes, da rigidez dos suportes, da carga aplicada e das vibrações induzidas pelo funcionamento das engrenagens)
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ex.3: qual o menor pinhão de f = 25o que se deve usar para acionar uma cremalheira?
para evitar interferência deve-se ter Np > 2k/sin2f, logo os pinhões de dentes retos padronizados (a = M) devem ter Np  12 dentes, e os de dentes curtos Np  9 dentes 
como as cremalheiras têm rc  , então:
assim, um pinhão de Np = 12 e f = 25o engrenado numa cremalheira tem RC = 1.55 quando os seus dentes têm altura padronizada, enquanto um pinhão de Np = 9 e dentes curtos (e k = 0.8) tem RC = 1.44
ou seja, os pinhões com dentes curtos permitem reduções mais compactas, mas os seus dentes não repartem a carga tão bem quanto os dentes normalizados (com a = M) 
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Estimativa da Resistência dos Dentes
dominar as características geométricas do engrenamento é tarefa indispensável mas não suficiente para projetar engrenagens que trabalhem confiavelmente sob cargas reais de serviço, pois também é necessário dimensionar os dentes para que não falhem por nenhum mecanismo de falha antes da vida operacional prevista
os principais mecanismos de falha que podem levar os dentes das engrenagens à ruína sob cargas normais de serviço são fadiga, desgaste e fadiga superficial
fadiga é a geração e/ou a propagação paulatina de uma trinca até a quebra eventual de um ou mais dentes
desgaste, a remoção progressiva de material da superfície do dente, pode ser adesivo e/ou abrasivo
a fadiga superficial gera pites progressivos que escamam a superfície dos dentes, até torná-la imprestável
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desgaste abrasivo à esquerda (notar os arranhões nos dentes e a grande perda de sua espessura) e adesivo à direita (notar como a superfície dos dentes parece ter sido cisalhada)
a causa primária do desgaste em geral é algum problema de lubrificação (contaminação por partículas, insuficiência de fluxo ou de refrigeração, aditivação errada, etc.)
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Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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falhas terminais por fadiga que quebram pedaços ou mesmo os dentes de engrenagens são claramente inadmissíveis 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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a fadiga superficial dos dentes (ou a formação paulatina e a eventual de coalescência de pites que, ao contrário dos pites de corrosão, nascem de dentro para fora da superfície dos dentes) é causada pelas altas tensões de contato que geram tensões cisalhantes alternadas subsuperficiais intensas
dentes tem que resistir a ambas as formas de fadiga
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
*
os dentes de engrenagens em geral trabalham sob cargas alternadas, logo têm que ser projetados à fadiga, o que numa primeira aproximação pode ser feito supondo-os vigas em balanço com seção reta retangular de largura igual à da face F, espessura t bem próxima à metade do passo circular t  p/2 = pM/2, e comprimento l igual à altura do dente l = (2.25 a 2.35)M 
logo, a maior tensão nominal de flexão nos dentes retos pode ser estimada por sn  6Wtl/Ft2  5.5Wt/FM 
para dimensionar à fadiga deve-se sempre considerar o efeito da concentração de tensão Kt, portanto sa = sm = = (1 + q(Kt - 1))sn/2, onde q é a sensibilidade ao entalhe, se a engrenagem não reverte o movimento (logo o dente trabalha sob cargas pulsantes) ou sa = (1 + q(Kt - 1))sn e sm = 0 quando o dente é solicitado em ambas as faces (se a rotação é reversível ou se a engrenagem é louca) 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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se w é a rotação (a velocidade angular da engrenagem) e P é a potência que o dente transmite, então Wt = 2P/wd e W = Wt/cosf, onde f é o ângulo de pressão do dente 
numa primeira aproximação para estimar a resistência do dente, pode-se assumir que toda a força W atua bem na ponta do dente 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
modelo fotoelástico usado para medir Kt num dente de engrenagem (tmax cresce com o no de ordem da franja), logo quanto mais franjas, maior a tensão atuante
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
*
pode-se estimar a resistência do dente à fadiga usando sa e um fator de segurança
FF apropriado em Goodman, desprezando por segurança a compressão gerada por Wr:
						 , se sa = sm, ou
	se sm = 0, onde o limite de fadiga SL (na raiz do dente) deve ser corrigido pelos fatores apropriados
segundo Peterson, 1.4 < Kt < 1.6 na raiz dos dentes com ângulo de pressão f = 20o  desprezando a sensibilidade ao entalhe (q = 1), usando o maior Kt (= 1.6), e supondo 
	cargas reversas (sm = 0), estima-se
assim, pode-se evitar o trincamento por fadiga da raiz do dente escolhendo seu módulo M e largura de face F 
	grandes o bastante para terem o produto
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
*
aços com SR < 1400MPa têm SL = 0.5SRkakekQ, onde 0.6 < ka < 0.8 para raízes de dentes usinadas, logo nestes casos pode-se pré-dimensionar para evitar trincamento por fadiga fazendo com que 				 (nas engrenagens reversíveis)
SL são muito dispersos, com coeficientes de variação V de até 15%, logo para estimar a resistência à fadiga com confiabilidade maior que 99.9% deve-se (na ausência de informações melhores) usar ke  0.5
ademais, ao menos cargas súbitas (que dobram as tensões nas peças elásticas) podem atuar nas engrenagens
logo deve-se multiplicar a carga nominal Wt por pelo menos 2/0.5 = 4 para evitar o trincamento por fadiga de dentes retos que trabalhem sob cargas reversas na Q ambiente (sob kQ = 1), e para 				 garantir isso estima-se que 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
ka dos aços segundo Juvinall
notar que ka decresce à medida que SR cresce (logo o acabamento influi mais nas resistências mais altas)
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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a tabela acima foi feita supondo SF gaussiana com média m, desvio padrão s e coeficiente de variação V = s/m 
testes SN podem ser bem dispersos: 6 < Vtípicos < 15%
nas gaussianas z = (x - m)/s, e z(R) = [ke(R) m - m] / Vm  ke(R) = 1 + zV, logo é fácil obter ke(R) para quaisquer V e confiabilidade R (desde que R não seja muito alta, pois SF não pode ser negativa)
Castro,J.T.P.
^
^
^
Castro,J.T.P.
fator de confiabilidade ke(R, V)
R(%)
z(R)
V = 3%
6%
9%
12%
15%
18%
50
0
1
1
1
1
1
1
84.13
-1
0.97
0.94
0.91
0.88
0.85
0.82
90
-1.282
0.96
0.92
0.88
0.85
0.81
0.77
95
-1.645
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
97.72
-2
0.94
0.88
0.82
0.76
0.70
0.64
99
-2.326
0.93
0.86
0.79
0.72
0.65
0.57
99.87
-3
0.91
0.82
0.73
0.64
0.55
0.46
99.95
-3.291
0.90
0.80
0.70
0.61
0.51
0.41
_993714893.unknown
_1014144305.unknown
_1016123865.unknown
_1006334219.unknown
_993239587.unknown
*
Castro,J.T.P.
*
esta estimativa educada é facilmente reproduzível, mas só pode ser usada para pré-dimensionamentos rápidos, pois é simplista e não corroborada por normas de projeto
ex.4: estime o módulo necessário para transmitir 10HP a 1200rpm via uma engrenagem reversível de 15 dentes
10HP  7.5kW = P e 1200rpm  126rd/s = w  o torque que deve ser transmitido é T = P/w  60kNmm
o raio primitivo da engrenagem é d/2 = NM/2 = 7.5M, a força tangencial é Wt = 2T/d = 8000/M e a largura típica dos dentes é Ftíp = (10 a 15)M logo, como há reversão de carga, deve-se ter M2 > 120Wt/(10 a 15)SR 
especificando e.g. uma engrenagem com SR = 1400MPa e F = 15M, deve-se usar M3 > 1208000/151400  M > 4
já se SR = 500MPa e F = 10M, M3 > 128000/500  M > 6 (pois deve-se usar módulos padronizados)  
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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para as cargas pulsantes, esta modelagem simplista gera
						 
ex.5: estime o módulo de uma engrenagem unidirecional de 36 dentes para transmitir 120HP a 200rpm, supondo que ela seja feita de um aço com HB = 400kg/mm2
120HP  90kW = P e 200rpm  20.9rd/s = w  o torque que deve ser transmitido é T = P/w  4.3106Nmm
sendo d = NM = 36M o diâmetro primitivo, Wt = 2T/d  2.4105/M a força tangencial, SR  3.4HB = 1360MPa e usando F = 12M, como não há reversão de carga deve-se ter FM > 80Wt/SR, ou seja M3 > 802.4105/121360  M > 10.56, logo deve-se usar M = 12 (escolher F = 15M  M > 9.8M = 10, mas o mais sensato neste caso seria usar um método de dimensionamento normalizado) 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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Dimensionamento dos Dentes Retos à Fadiga Segundo a AGMA
o procedimento de projeto recomendado pela AGMA (a associação americana dos fabricantes de engrenagens) parte da equação de Lewis (1892) que considera
toda a carga aplicada na ponta de um único dente (o caso mais severo, mas que é conservativo para dentes usinados com precisão e RC alta, e que sempre iniciam o contato compartilhando a carga com pelo menos um outro dente) 
a força radial Wr desprezível (tensões compressivas são benéficas à fadiga, logo esta hipótese é conservativa)
carga distribuída e uniforme ao longo da face do dente (hipótese não conservativa se o dente for largo e/ou se os eixos estiverem desalinhados ou forem flexíveis demais)
as forças de deslizamento e a concentração de tensões na raiz do dente desprezíveis (hipóteses não conservativas)
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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o fator de Lewis Y depende da forma do dente (logo do no de dentes N e do ângulo de pressão f da engrenagem) mas não depende do seu tamanho, e a tensão s decresce com o módulo M e com a largura da face do dente F 
a tabela lista Y em função do no de dentes para f = 20o
Castro,J.T.P.
a tensão de flexão no dente é s = 6Wtl/Ft2, e Lewis tratou da espessura do dente fazendo (t/2)/x = l/(t/2) e definindo Y = 2x/3M para obter s = Wt/FYM
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
*
as hipóteses de Lewis são simplistas demais para uso em projeto, logo sua equação deve ser modificada para considerar os efeitos de fatores como
a concentração de tensões na raiz do dente
a velocidade tangencial da engrenagem
a precisão da fabricação da engrenagem
a repartição da carga entre dentes quando a RC é alta
a severidade do serviço da engrenagem
a inércia das cargas aceleradas através da engrenagem
a precisão e a rigidez dos suportes (eixos e mancais)
pela AGMA, o dimensionamento à fadiga por flexão cíclica dos dentes é baseado 				 na tensão máxima dada por
o fator J inclui o Y de Lewis, a partilha da carga entre os dentes e o Kt da raiz; KV é o fator de velocidade; KSC é o fator de sobrecarga; KM é o fator de montagem e KE é o fator de espessura do aro
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
*
fator de forma J para dentes gerados com f = 20o (só se deve usar a curva inferior da figura se a usinagem for imprecisa e carga for ou puder ser suportada por um único dente)
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
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fator de forma J para dentes gerados com f = 25o
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
o fator de velocidade (tangencial ao diâmetro primitivo) ou fator dinâmico KV cresce com a velocidade e com a tolerância dimensional dos dentes, e inclui os efeitos das imperfeições no perfil dos dentes, do desbalanceamento dinâmico e das vibrações, além do desgaste, da fricção e da rigidez da engrenagem durante a operação normal
sendo QV a classe de qualidade (relacionada à precisão da usinagem) da engrenagem e V a velocidade tangencial no raio primitivo em m/s, para 6  QV  11 KV é dado por 
		
Castro,J.T.P.
note que o livro-texto propõe KV = f(V) se V em ft/min e KV = f(V) se V em m/s, o que não faz sentido (o fator correto é KV = f(V), como escrito ao lado)

Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
fator de velocidade KV (QV típicos: instrumentos de precisão, giroscópios 12-14; propulsão aeronáutica 10-13, naval 10-12, automotiva 10-11; mecanismos para computação mecânica 10-11; impressoras 9-11; máquinas de lavar ou secar roupa 8-10; furadeiras manuais 7-9; máquinas de fazer papel 6-8; guindastes, prensas, equipamentos de mineração 5-7; fornos de cimento, laminadores 5-6; misturadores de concreto 3-5) 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
a AGMA recomenda usar 					 para o fator de sobrecarga 
	e para o fator de montagem
os fatores devem ser maiores em aplicações muito severas
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
KSC
		equipamento acionado
		fonte de potência
		
uniforme
		choque médio
		choque severo
		uniforme (motores elétricos, turbinas) 
		1.00
		1.25
		( 1.75
		choque leve (MCI multicilíndricos)
		1.25
		1.50
		( 2.00
		choque médio (MCI monocilíndricos)
		1.50
		1.75
		( 2.25
		KM
		largura da face F(mm)
		características da montagem
		50
		150
		225
		>225
		montagem precisa, mancais com folga pequena, engrenagens de alta qualidade, deflexão mínima 
		1.3
		1.4
		1.5
		1.8
		montagem normal, engrenagens comerciais, maior folga nos mancais 
		1.6
		1.7
		1.8
		2.2
		montagem imprecisa, não se pode garantir o contato ao longo de toda a face do dente
		maior que 2.2
*
Castro,J.T.P.
*
o fator de espessura do aro KE, que só deve ser usado com engrenagens que tenham os dentes usinados num aro grosso suportado por raios ou por uma alma fina, visa evitar trincamento ao longo do aro
KE é função da razão mE = ea/ld, onde ea é a espessura do aro e ld a profundidade total do dente (cabeça + pé + raiz) e vale se KE = 1.6ln(2.24/mE) se mE < 1.2 
se mE  1.2 o aro não tende a falhar por fadiga e KE = 1
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
Shigley propõe que também se use um fator de tamanho KB = 1/kb no cálculo da tensão máxima de flexão s, onde kb é o fator de tamanho do método SN corrigido para a forma retangular da seção reta do dente segundo a idéia dele (igualar as áreas da seção do CP SN e da peça que trabalham sob s  0.95smax)
logo, como o comprimento usual dos dentes é l = 2.25M, a sua espessura é t = 4lx = (9M3YM/2) = 3.7MY, a seção retangular tem diâmetro equivalente de = 0.81Ft e kb = (de/8)-0.107, obtém-se KB = (1.192FMY)0.107  
	KB = 1.1(FMY)0.054
note que a fórmula da 6a edição do livro-texto está errada de novo! 
Shigley recomenda usar KB = 1 quando se calcula KB < 1 mas realça que a AGMA usa KB = 1 sempre (logo, o seu fator de tamanho não é corroborado por aquela norma)
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
ex.6: dimensione à fadiga pela AGMA os dentes (c/ f = 20o) das engrenagens do redutor 1:3 de uma britadeira acionada por um motor elétrico reversível de 10HP a 1200rpm
10HP  7.5kW = P e 1200rpm  126rd/s = w  o torque que deve ser transmitido é T = P/w  60kNmm
um pinhão de 15 e uma coroa de 45 dentes com ângulo de pressão f = 20o podem ser usados sem interferência, e o raio primitivo do pinhão é d/2 = NM/2 = 7.5M, logo Wt, a força tangencial no dente, é Wt = 2T/d = 8000/M
calculando a máxima tensão de flexão no dente pelo método da AGMA, s = (Wt /FJM)KVKSCKM, onde J = 0.25
supondo, como no ex.3, a engrenagem com SR = 1400MPa e F = 15M, e usando o módulo M = 4mm estimado naquele ex., obtém-se d = MN = 60mm e V = wr = 12630 = 3.78m/s
supõe-se uma engrenagem muito bem usinada com QV = 8, B = 0.25(12 - QV)2/3 = 0.63 e A = 50 + 56(1 - B) = 70.72
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
destes valores obtém-se KV = [(A + 200V)/A]B = 1.23 
supondo o motor uniforme e a carga severa, KSC = 1.75
com montagem precisa e 50 < F < 150mm, KM = 1.4
assim, s = (2000/600.254)1.231.751.4 = 100.4MPa
por Shigley, KB = 1.1(FMY)0.054 = 1.1(6040.29)0.054 = 1.43   = 144MPa, mas a AGMA recomenda KB = 1
o limite de fadiga deste aço com confiabilidade > 0.999 pode ser estimado por SL  7000.60.5 = 210MPa, logo o fator de segurança associado ao módulo M = 4mm é FF = 2.1 (ou 1.46 se usarmos KB), desde que se garanta a fabricação com a alta qualidade associada a QV = 8 e a montagem precisa suposta ao se usar KM = 1.4
neste caso a estimativa FM > 120Wt/SR proposta acima foi eficiente e gerou resultados que foram corroborados pela metodologia de projeto da AGMA
recomenda-se repetir este exercício tentando M = 3mm
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
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ex.7: dimensione à fadiga pela AGMA as engrenagens de dentes retos (com F = 12.5M, SR = 1200MPa e f = 20o) de um redutor de 2 pares de engrenagens de igual redução que será acoplado num motor diesel de 100HP a 1600rpm para acionar uma bomba d’água a 150rpm
(1600/150) = 3.27 é a redução exata requerida dos 2 pares de engrenagens, mas como a rotação da bomba não deve ser crítica, pode-se especificar uma tolerância para a rotação de saída do redutor (arbitrada neste exemplo como 1rpm)
dois pares de 15/49 dentes gerariam 149.94rpm, mas como f = 20o não devem ser usados por causa da interferência
assim, por tentativas, 2  16/52  151.48, 2  16/53  145.88, 2  17/55  152.86, 2  17/56  147.55, 2  18/58  154.10, 2  18/59  148.92, até chegar a 2  19/62  150.26rpm
o 1o pinhão gira a wp1 = 1600p/30 = 167.6rd/s e trabalha sob um torque Tp1 = P/wp1 = 100  746/167.6  445Nm (onde P é a potência transmitida em W, sendo 1HP = 746W) 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
o 2o pinhão gira a wp2 = 167.6 19/62 = 51.35rd/s e transmite Tp2 = Tp1 Nc/Np = Tp1 62/19  1.45kNm
motores diesel não revertem a rotação, logo pode-se estimar o módulo dos dentes por M > 80Wt/FSR  M3 > 14.2T/NSR (pois Wt = 2T/MN e F = 12.5M)
mas note que como o módulo é dado em mm, a resistência SR deve estar em GPa quando o torque T estiver em Nm
desta forma, o 1o pinhão deve ter M3 > 14.2445/191.2  Mp1 > 6.52  Mp1 = 8 e o 2o Mp2 > 9.67  Mp2 = 10
a maior tensão de flexão nos dentes destas engrenagens (que supõe-se sem aros nem raios) de acordo com a AGMA é
	onde J = 0.33 (para pinhão com Np = 19 e coroa com Nc = 62 dentes), KSC = 1.5 (supondo choques médios no motor e leves na bomba, KM = 1.7 (para montagem normal e F < 150mm)
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
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Castro,J.T.P.
*
supondo engrenagens de boa qualidade para calcular KV  QV = 7, B = 0.25(12 - QV)2/3 = 0.73, A = 50 + 56(1 - B) = 65 e, como V = wd = wMN/2000 (w em rd/s, M em mm e V em 
	m/s),							 , portanto
	sendo sp1 a tensão no 1o pinhão e sp2 a no 2o, obtém-se
como usual, pode-se estimar o limite de fadiga do aço destas engrenagens por SL = 0.5SRkake, onde ka = 0.65 nas raízes usinadas dos dentes e, supondo que se saiba que o limite de fadiga deste aço seja gaussiano com V(SL) = 8% (um valor típico), ke = 0.73 para garantir uma confiabilidade R > 0.999 nesta estimativa, logo SL = 285MPa
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
como o redutor não é reversível, as engrenagens trabalham sob carga pulsante com sa = sm = sp/2, logo seus fatores de segurança à fadiga por Goodman são dados por
						 e
para cargas bem conhecidas em ambientes amenos, Juvinall recomenda fatores de segurança à fadiga 2 < FF < 2.5, logo os valores acima são altos e pode-se tentar o módulo M = 6 para o 1o par de engrenagens e M = 8 para o 2o:
					 e
como 2 < FF1 = 2.36 < 2.5, M = 6 é boa escolha para o 1o par 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
mas como FF2 < 2, pode-se e.g. aumentar a largura da face dos dentes para F = 15M, gerando sp2 = 201MPa e FF2 = 2.3
assim, o 1o par de engrenagens é especificado com M = 6 e F = 75mm, o pinhão com 19 dentes e d = 114mm e a coroa com 62 dentes e d = 372mm, e o 2o par é especificado com M = 8 e F = 120mm, o pinhão com 19 dentes e d = 152mm e a coroa com 62 dentes e d = 496mm
a razão de contato destes pares de engrenagens é satisfatória
a estimativa M > 80Wt/FSR gerou resultados conservativos neste caso devido ao serviço pouco severo deste redutor e à menor dispersão assumida para a resistência à fadiga SL
como as coroas são grandes, talvez seja economicamente viável produzi-las a partir de um aro com raios ou abas 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
ex.8: repita o ex.6 com f = 25o
neste caso pode-se usar dois pares de 15/49 dentes que não causam interferência e geram 149.94rpm na saída
o 1o pinhão gira a wp1 = 1600p/30 = 167.6rd/s e trabalha sob um torque Tp1 = P/wp1 = 100  746/167.6  445Nm
o 2o pinhão gira a wp2 = 167.6 15/49 = 51.29rd/s e transmite Tp2 = Tp1 49/15  1.46kNm
usando a equação da AGMA e a resistência à fadiga, pode-se 
	obter M de
J = 0.36 para pinhões de Np = 15 e coroas de Nc = 49 dentes
e f = 25o, mas KSC = 1.5, KM = 1.7, F = 12.5M e 2 < FF < 2.5 como no ex.6, enquanto SLpul, o limite de fadiga para cargas pulsantes, pode ser obtido a partir de Goodman por
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
KV depende de M e torna o dimensionamento do dente um processo iterativo, mas sem maiores dificuldades, logo
como M2  10, como no ex.6 vale a pena tentar F = 15M
assim, com f = 25o o 1o par de engrenagens pode ter M = 8, F = 100mm, pinhão de 15 dentes com d = 120mm e coroa de 49 dentes com d = 392mm; o 2o par M = 10 e F = 150mm, pinhão de 15 dentes com d = 150mm e coroa de 49 dentes e d = 490mm, e ambos os pares terão RC = 1.45 
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
Dimensionamento dos Dentes Retos contra Falhas Superficiais
os dentes de engrenagens retas idealmente operam por rolamento sob altas tensões de contato e lubrificação elastohidrodinâmica, mas as suas superfícies podem falhar por fadiga superficial ou por desgaste quando a carga for excessiva e/ou a lubrificação for deficiente
partículas contaminantes no óleo podem causar desgaste abrasivo, e a lubrificação insuficiente (em particular nas velocidades altas) pode permitir caldeamento localizado e eventualmente um intenso desgaste adesivo
logo estas falhas em geral podem ser evitadas filtrando o óleo, aumentando seu fluxo para melhorar a refrigeração e/ou usando aditivos adequados (EP ou extrema pressão, em geral compostos de S, Pb, P ou Cl, que resistem ao contato metal-metal sob alta pressão)
Castro,J.T.P.
Castro,J.T.P.
*
Castro,J.T.P.
*
já as falhas por fadiga superficial, caracterizadas pela formação de pites causados pelas tensões de contato ou de Hertz cíclicas (que são, é claro, compressivas na superfície, mas geram tensões cisalhantes alternadas subsuperficiais, as quais podem trincar por fadiga o material de dentro para fora) ocorrem devido ao uso normal das engrenagens, e portanto devem ser evitadas durante o seu dimensionamento
o cálculo das tensões de contato só é estudado na teoria da elasticidade, mas vale a pena apresentar sem deduzir alguns de seus principais resultados
quando 2 esferas de raios r1 e r2, módulos de Young E1 e E2 e coeficientes de Poisson n1 e n2 são comprimidas elasticamente por uma força W radial, suas superfícies se deformam (pois as tensões no contato tem que ser finitas) e formam um plano circular de raio a, no qual a maior tensão hertziana (compressiva) é sHe, onde
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quando dois cilindros de comprimento L com r1 e r2, E1 e E2, n1 e n2 são comprimidos por uma força W radial, o seu contato se deforma elasticamente para que a tensão hertziana máxima sHc seja finita, formando um plano retangular de comprimento L e largura b, onde
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a área hertziana idealizada (desprezando a rugosidade) do contato entre 2 esferas comprimidas é circular
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a área de contato entre 2 cilindros comprimidos é retangular
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e quando os 2 cilindros estão rolando um sobre o outro sob uma força radial compressiva W eles podem sofrer fadiga porque os pontos abaixo da superfície também estão sujeitos a uma tensão cisalhante variável 
num elemento de volume fixo num dos cilindros numa profundidade de 0.5b, a tensão cisalhante a cada volta completa do cilindro sofre um ciclo com ta  sHc/4 e tm = 0, como ilustrado na figura a seguir
curvas SN também podem ser usadas para descrever a resistência à fadiga por tensões de contato 
nelas, a vida à fadiga (em no de ciclos necessários para gerar pites superficiais) N pode ser bem correlacionada com a máxima tensão hertziana sH (que pode ser um valor bem maior que SR, pois as tensões de contato são compressivas), mas N também depende da geometria das peças em contato e da lubrificação
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o contato nos dentes retos de perfil envolvente se move por rolamento puro somente na linha de tangência dos círculos primitivos, e tem um pequeno deslizamento (na média 9%) nas outras posições de engrenamento, e a tensão cisalhante sub superficial máxima atua numa profundidade de 0.5b (ou a 1/4 da largura da área de contato), passando por um ciclo completo a cada giro como ilustrado no gráfico acima
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as curvas SN de resistência à fadiga sob tensões de contato em geral não apresentam um limite de fadiga bem definido
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Buckinghan aplicou as equações de Hertz para modelar a fadiga superficial dos dentes de engrenagens, notando que os pites apareciam em torno do diâmetro primitivo (onde há rolamento puro, a velocidade de deslizamento é nula e o filme lubrificante elastohidrodinâmico quebra) e supondo que os dentes do pinhão e da coroa são cilindros com raios rp = (dpsinf)/2 e rc = (dcsinf)/2 e largura de face F, trabalhando sob uma força compressiva Wt/cosf
assim, a máxima tensão 				 hertziana (compressiva) 					 nos dentes é calculada por
sH diminui se o diâmetro das engrenagens é grande e os módulos são baixos e, como a área de contato aumenta com a carga, cresce apenas com a raiz quadrada de Wt/F
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é mais fácil usar esta equação juntando as propriedades 
	elásticas num coeficiente
	e as dimensões geométricas do dente noutro coeficiente
			 , onde dp é considerado negativo quando
	o pinhão fica dentro de uma coroa (de dentes internos)
pela AGMA, o dimensionamento de engrenagens para resistir à fadiga superficial por tensões de contato usa a tensão hertziana máxima de Buckinghan nela incluindo 
	os efeitos de KV, KSC e KM:
como os metais mais usados para fazer engrenagens são aços, ferros fundidos e bronzes, e como os seus módulos não variam muito, pode-se tabelar CE representativos
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coeficientes CE representativos em (MPa)1/2
Juvinall estima a resistência à fadiga superficial das engrenagens SFH(107) (em MPa) por
 						aços 	 2.76HB - 69
 		 	ferro fundido nodular	 0.95(2.76HB - 69)
	 ferro fundido cinzento, grau 20	 379
	 ferro fundido cinzento, grau 30	 482
	 ferro fundido cinzento, grau 40	 551
		bronze Al (ASTM B148-52)	 448
 bronze Sn (AGMA 2C, 11%Sn)	 207
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material da coroa
E (GPa)
material do pinhão
aços
ff nodular
ff cinzento
bronze Al
bronze Sn
aços
205
189
(o pinhão deve ser mais 
ff nodular
170
180
172
resistente que a 
ff cinzento
150
174
167
162
coroa)
bronze Al
125
165
159
154
148
bronze Sn
110
158
153
149
143
139
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HB é a dureza Brinell em kg/mm2, como usual
SFH(107) é estimado para uma vida de (pelo menos) 107 ciclos com confiabilidade R = 99%, supondo q < 125oC
para estimar a resistência à fadiga superficial em outras vidas e/ou confiabilidades, Juvinall sugere usar
	
como não há um limite de fadiga superficial por tensões de contato (salvo em condições extremas de limpeza e lubrificação), o fator de vida kN quantifica a variação da resistência à fadiga superficial para vidas N  107 ciclos 
para os aços (e para outros metais na falta de melhores informações) Norton propõe kN(N > 104) = 2.466N-0.056
dados para o fator de confiabilidade kR são raros, mas na falta de informações melhores a AGMA sugere usar kR(0.90) = 1.18, kR(0.999) = 0.80 e kR(0.9999) = 0.67
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ex.9: calcule a vida à fadiga superficial do 1o pinhão dimensionado à fadiga por flexão no ex.7
como Wt = 2T/dp, pode-se escrever que
no 1o par do ex.6, f = 20o, T = 4.45.105Nmm, F = 75mm, dp = 114mm, dc = 372mm, KV = 1.46, KSC = 1.5, KM = 1.7 e sendo CE = 189MPa0.5 (o pinhão e a coroa são de aço) e I = dcsinfcosf/2(dc + dp) = 0.123, logo
estimando a dureza do pinhão por SR/3.4 = 353HB e por SFH(107) = 2.76.(HB) - 69 = 905MPa a sua resistência à fadiga superficial, obtém-se kN
= sH/SFH(107) = 1.098  N = (kN/2.466)-1/0.056 = 1.87106 ciclos com R = 99%
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esta vida é baixa demais (corresponde a somente ~19.5 horas de uso da bomba), logo o projeto do pinhão deve ser refeito (ele é controlado pela fadiga superficial dos dentes e não pela sua fratura por fadiga)
usando M = 8 e F = 15M = 120mm para o novo pinhão, obtém-se dp = 152mm, dc = 496mm e KV = 1.52, logo
	 o novo kN = 601/905 = 0.664  N = (kN/2.466)-1/0.056 = 1.491010 ciclos com R = 99%
I não muda pois a razão dc/dp permanece a mesma
esta vida corresponde a ~17.8 anos de uso contínuo da bomba, e pode ser considerada satisfatória 
esta mesma vida longa seria obtida se a dureza do pinhão original fosse 567HB, e é por isso que o endurecimento superficial é tão usado na fabricação de engrenagens
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ex.10: dimensione pela AGMA o 2o par de engrenagens de dentes retos de um redutor de 2 passes para acoplar um motor elétrico de 50HP e 1800rpm a um ventilador que deve girar a wv  125rpm, usando dentes de aço com SR = 1400MPa e largura 4 vezes maior que a altura
redução igual  Nc1/Np1 = Nc2/Np2 = 1800/125 = 3.79 e Np  11 se  = 25o (ou Np  16 se  = 20o)  Nc2/Np2 = 41/11  3.72  wv  129.6rpm, Nc2/Np2 = 42/11  3.82  wv  123.5rpm  12.93rd/s (pares desiguais 45/12 e 46/12 gerariam wv = 125.2rpm se preciso)
50HP  37.5kW  o torque no 2o pinhão, que gira junto com a 1a coroa, é T  37500/12.933.82  760kNmm 
sendo F = 4(2.25M) = 9M e pré-dimensionando para um ventilador reversível, 9M2 > 120Wt/SR = 1202T/MNpSR  M3 > 2407.6105/9111400  M > 10.96  M = 12mm 
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fadiga pela AGMA:  = 2TKVKSCKMKE/M2NpFJ, onde J = 0.32, KV = 1.1 (M = 12  V = MN/2  3.3m/s, supondo Q = 10), KSC = 1 (ventilador não sofre choques), KM = 1.7 (F = 108mm, montagem normal), e KE = 1   = 27.61051.11.7/9123110.32  52MPa 
sendo SL = kakbkeSR/2 = 0.60.90.5700 = 189MPa com confiabilidade maior que 99.9%, o fator de segurança à fadiga do pinhão é F = SL/ > 3.6
fadiga superficial, se I = Ncsincos/2(Nc + Np) = 0.15: H = CE(WtKVKM/FId)0.5 = CE(2TKVKM/9M3N2I)0.5 = 189(27.61051.11.7/91231120.15)0.5  600MPa 
SFH(107) = 2.76HB - 69  2.761400/3.4 - 69 = 1067MPa  H = SFH(107)KNKR  600 = 10670.82.466N-0.056  N = 5.46109ciclos, ou 22 anos de serviço contínuo (com R = 99.9%)  M = 12mm é uma boa escolha 
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Dentes Helicoidais
é bem mais fácil visualizar as características geométricas das engrenagens helicoidais numa cremalheira, cujos dentes têm faces retas quando seu perfil é, como usual, uma envolvente
sendo o ângulo da hélice y, o ângulo de pressão normal aos dentes fn e o passo circular normal pn estão na seção BB
a seção AA mostra a vista da face da engrenagem, o ângulo de pressão tangencial ft e o passo circular tangencial pt
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as principais dimensões das engrenagens helicoidais são
o passo circular pt e o módulo Mt tangenciais (medidos na seção A-A  à engrenagem) e o passo circular pn e o módulo Mn normais (medidos na seção B-B  ao dente) se relacionam por pn = ptcosy e Mn = Mtcosy 
y, o ângulo da hélice, não é padronizado (mas é comum usar 15o < y < 30o), e sendo fn e ft os ângulos de pressão normal e tangencial (medidos nas seções  ao dente e à engrenagem, respectivamente), cosy = tanfn/tanft 
os dentes-padrão das engrenagens helicoidais têm cabeça a = 1.0Mn (ou o addendum a = 1.0/Pn) e pé b = 1.25Mn (ou dedendum b = 1.25/Pn), logo são similares aos dentes retos e podem ser cortados pelas mesmas fresas
o passo diametral normal é Pn = p/pn (expresso em dentes por polegada ao longo do círculo primitivo  ao dente) e o passo diametral tangencial é Pt = Pncosy (em dentes por polegada ao longo do círculo primitivo  à engrenagem) 
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Forças nos Dentes Helicoidais
a força W  às faces dos dentes helicoidais gera
Wr = Wsenfn
Wt = Wcosfncosy
Wa = Wcosfnseny
mas em geral se conhece a potência P transmitida pela engrenagem, logo 
Wt = P/rw
Wr = Wttanft
Wa = Wttany
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Dimensionamento das Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais 
pela AGMA, as tensões de flexão nos dentes helicoidais 
	são calculadas por
	onde o fator de geometria JH (para fn = 20o) é obtido nas figuras abaixo, os fatores de velocidade KV, sobrecarga KSC e espessura de aro KE são idênticos aos dos dentes retos, e o fator de montagem KM é multiplicado por 0.93 porque os dentes helicoidais são menos sensíveis que os dentes retos à rigidez dos suportes e à largura da face F
logo, as tensões AGMA nas engrenagens helicoidais de diâmetro d, N dentes, largura de face F (a qual é igual à espessura da engrenagem) e módulo (normal) Mn são menores que nas de dentes retos de mesmo tamanho 
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segundo Juvinall, pode-se usar esta figura para obter o fator de geometria JH das engrenagens helicoidais com ângulo de pressão normal fn = 20o, addendum padrão = Mn e ângulo de hélice y, quando elas são fabricadas por geração (shaving) e estão acopladas numa engrenagem de 75 dentes
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ainda segundo Juvinall, para obter o fator de geometria JH das engrenagens helicoidais descritas acima quando elas são acopladas em engrenagens cujo número de dentes é N  75, é necessário multiplicar JH75 pelo fator a dado nesta figura 
e.g., um pinhão de 15 dentes e y = 20o acoplado numa coroa de N = 20 dentes tem JH = 0.430.93 = 0.40
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a resistência à fadiga dos dentes helicoidais é calculada da mesma forma que a dos dentes retos, logo se SL é o limite de fadiga do material, o fator de segurança FF (ao início de uma trinca por fadiga) no caso das engrenagens reversíveis (nas quais sa = s e sm = 0) é FF = SL/s
já as engrenagens não reversíveis (onde sa = sm = s/2) têm por Goodman FF = (s/2SL + s/2SR)-1 
a linha de contato nas engrenagens de dentes retos com RC < 2 teoricamente é igual a largura da face do dente F
nos dentes helicoidais, que engrenam progressivamente, o comprimento da linha de contato teórica é bem maior e sempre igual a RCF/cosy, mas a AGMA recomenda usar somente 95% deste valor no cálculo das tensões de 
	contato máximas:
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geometria básica das engrenagens cônicas
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forças nos dentes das engrenagens cônicas
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