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Analise_de_Tensoes

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Castro & Meggiolaro 1
Revisão de Análise de Tensões
Castro & Meggiolaro 2
Ëconsidera-se nesta análise das tensões que o material da 
peça é sempre linear, elástico, isotrópico e homogêneo
Ëlogo, assume que as tensões e deformações em qualquer 
ponto da peça seguem lei de Hooke que, na notação de 
engenharia, pode ser dada por:
Análise de Tensões
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
τ=γ
τ=γ
τ=γ
σ+σν−σ=ε
σ+σν−σ=ε
σ+σν−σ=ε
yzyz
xzxz
xyxy
yxzz
xzyy
zyxx
G
G
G
)(E
)(E
)(EÀE é o módulo de elasticidade àtração e G o módulo elástico ao 
cisalhamento
Àεx, εy, εz são as deformações e σx, σy, σz as tensões normais
Àγxy, γxz, γyz são as deformações e τxy, τxz, τyz as tensões cisalhantes 
Àν é o coeficiente de Poisson 
(aços: ν = 0.29; Al: ν = 0.33) 
Castro & Meggiolaro 3
Tensões Principais
Ëσ1, σ2 e σ3 são as tensões principais, obtidas nas 
direções em que a tensão cizalhante é nula
Ëdados σx, σy e τxy em um plano xy qualquer, obtemos
Ëse τxy = 0, então
Ëe se σy = 0,
2
xy
2
yxyx
2,1 22
τ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ σ−σ±σ+σ=σ
y2x1 , σ=σσ=σ
2
4 2xy
2
xx
2,1
τ+σ±σ=σ
Castro & Meggiolaro 4
Tensões de Tresca e Mises
Ëas tensões de Tresca e Mises são:
(σ1,σ2 eσ3 são as tensões principais)
Ëno caso plano (com componentes σx, σy e τxy):
se σ2 < 0, ou
se σ2 > 0
31Tresca σ−σ=σ
2/])(6)()()([
2/])()()([
2
xz
2
yz
2
xy
2
zx
2
zy
2
yx
2
32
2
31
2
21Mises
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ
=σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
2
xy
2
yxTresca 4)( τ+σ−σ=σ
2/]4)([ 2xy
2
yxyxTresca τ+σ−σ+σ+σ=σ
2
xyyx
2
y
2
xMises 3τ+σσ−σ+σ=σ
Castro & Meggiolaro 5h muito cuidado com o sinal de σ2 ao calcular a tensão 
de Tresca no caso de tensões planas (onde σ3 = 0): se
σ2 > 0, τmax atuará no plano 1-3 e não no plano 1-2, 
como ilustrado pelos círculos de Mohr abaixo
Castro & Meggiolaro 6
Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos:
Ëseção reta circular:
Ëseção reta retangular:
Tração
d
xP
A
P
x =σ
2x d
P4
π=σ4
dA
2π=
b
hbhA =
bh
P
x =σ
Castro & Meggiolaro 7
Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos:
Ëseção reta circular:
Torção
d
L
T
z
xy I
rT ⋅=τ
r
r z
32
dI
4
z
⋅π=
34xy d
T16
32/d
2/dT
max π=⋅π
⋅=τ
zz GI
TL)L(
IG
T
dz
d =φ⇒⋅=
φo ângulo de torção φ(z) é:
em r = d/2
Castro & Meggiolaro 8
Ëtorção em viga com seção reta oca de paredes finas:
área A
tA2
T
⋅⋅=τ
T t
seção reta
a tensão cisalhante na parede é aproximadamente:
Castro & Meggiolaro 9
Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos:
Ëseção reta circular:
Flexão
d
L
P
zz
x I
yM ⋅=σ
y
y x
64
dI
4
zz
⋅π=
LPM ⋅=
34x d
PL32
64/d
2/dLP
max π=⋅π
⋅⋅=σ
e, neste caso, no engaste:
zz
2
2
IE
M
dx
wd
⋅=a deflexão w(x) é calculada por:
em y = d/2
Castro & Meggiolaro 10
Ëseção reta retangular:
b
h
y 12
hbdybyI
32/h
2/h
2
zz
⋅=⋅⋅= ∫
−
23x bh
PL6
12/hb
2/hLP
max
=⋅
⋅⋅=σ
esforço cortante:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=τ 2
2
zz
xy y2
h
I2
P)y(
bh2
P3
2
h
12/hb2
P 2
3xymax =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅=τ
e na seção circular: 2xy d3
P16
max π=τ
em y = h/2
na linha neutra
Castro & Meggiolaro 11¼ex.1: ache a maior tensão na viga bi-apoiada esquematizada 
abaixo com seção retangular de base b = 20, altura h =10, 
comprimento L = 200 (cotas em mm), quando submetida a 
duas cargas P = 1kN, uma a 80 e outra a 160mm do apoio 
esquerdo
80 80 40
PP
R1= 0.8P 1.2P= R2
Ëpelo diagrama de momento fletor
abaixo, o momento e a tensão
máximos ocorrem na seção
abaixo da carga a 80mm da
esquerda:
M = 80R1 = 64P e M 64P
48P
22max )mm10(mm20
N1000mm646
bh
M6
⋅
⋅⋅==σ
MPa192mm/N192 2max ==σ �
Castro & Meggiolaro 12¼ex.2: ache a menor carga P que causa escoamento na viga I
esquematizada abaixo (cotas em mm), se SE = 250MPa
kN186P250
1047.4
125P480SI
2/HM
mm1047.412
230110250120
12
h)bB(BHI
7E
473333
=⇒=⋅
⋅⋅⇒=⋅=σ
⋅=⋅−⋅=−−=
�
B=120
H
=2
50
1200800
P
0.6P 0.4PM = 0.6P ⋅800 = 480P
h
=2
30
b =10
Castro & Meggiolaro 13¼ex.3: calcule a tensão de Mises no ponto crítico de um eixo 
circular de diâmetro d, sob fletor M e torçor T
·o problema é linear elástico, logo vale a superposição
2
3
2
3Mises )d
T16(3)
d
M32( π⋅+π=σ
T
M
3d
M32
π=σ
na seção do engaste:
3d
T16
π=τ
a flexão causa no ponto superior da seção:
a torção causa na periferia da seção:
222
xyyx
2
y
2
xMises 33 τ+σ=τ+σσ−σ+σ=σ
logo, por Mises:
�
Castro & Meggiolaro 14Ëa análise de tensões linear elástica preserva o princípio 
da superposição: quando for conveniente, pode-se 
separar a carga em componentes simples, calcular seus 
efeitos em separado e depois superpô-los
¼ex.4: se a alavanca de Al (E = 70GPa, ν= 0.33) abaixo 
tem diâmetro d = 30mm e se P = 1kN, calcule as tensões 
e as deformações principais σ1,σ2,ε1 e ε2 nominais que 
solicitam o seu ponto crítico (neste caso, os extremos do 
diâmetro vertical da seção do engaste) 
400mm
200
P
y
x
ËP causa um fletor M = 1000⋅400
= 4 ⋅105 e um torçor T = 1000 ⋅200
= 2 ⋅105Nmm, que geram no 
ponto crítico as tensões normal σx
= 32M/πd3 = 151 e cisalhante τxy
= 16T/πd3 = 37.7MPa
Castro & Meggiolaro 15Àem geral não vale a pena calcular tensões com mais de 3 
dígitos significativos, pois em geral não se conhecem as 
resistências com precisão melhor que esta
Ëσ1 e σ2 são calculadas superpondo os efeitos de σx e τxy:
Ëe as deformações principais são obtidas por lei de Hooke:
ε1 = (σ1−νσ2)/E = 2328µm/m
ε2 = (σ2−νσ1)/E = −881µm/m �
MPa9.8,MPa0162/)4( 21
2
xy
2
xx2,1 −=σ=σ⇒τ+σ±σ=σ
σx
τxy y
xz
obs.: as direções 1 e 2 
estão no plano xz, no 
ponto A
A
Castro & Meggiolaro 16¼ex.5: se a alavanca de seção circular abaixo é sujeita à
carga P = 2kN, calcule por Mises a tensão no seu ponto 
crítico
b = 500
a = 30
0
P
30o
x
y
detalhe do engaste
a carga P atua no plano xy
perpendicular ao plano da 
alavanca, e com este faz 
um ângulo de 60o
Ëcomo este problema é linear, é
didático resolvê-lo passo a passo 
pelo princípio da superposição:
Àdecompondo P em Px e Py
Àidentificando os esforços
Àcalculando tensões no ponto
crítico da seção do engaste
Àsuperpondo as várias tensões 
por Mises ou por Tresca
Ëcomo só há 4 tipos de esforços
(fletores e torçores, normais e 
cortantes), pode-se facilmente 
construir uma tabela com as 
tensões causadas por Px e Py
40
Castro & Meggiolaro 17
carga esforço tensões nominaismáximas
distribuição das tensões
na seção do engaste
fletor
Mx 3
x
xM d
aP32
π
⋅=σ linear, com o eixo neutrona posição vertical
Px normal
Nx 2
x
xN d
P4
π=σ
uniforme em todos os
pontos da seção
fletor
My 3
y
yM d
bP32
π
⋅=σ linear, com o eixo neutrona posição horizontal
torçor
Ty 3
y
yT d
aP16
π
⋅=τ linear, máximo em toda aperiferiaPy
cortante
Cy 2
y
yC d3
P16
π=τ
distribuição parabólica,
máximo na linha neutra
horizontal e zero nos
pontos mais distantes
Castro & Meggiolaro 18Ëas maiores tensões devidas 
ao torçor e ao normal agem 
em toda a periferia da seção 
do engaste, onde se localiza 
também, num ângulo θ em 
relação ao eixo z, o ponto
mais solicitado pelos dois 
fletores Mx e My, o qual é
localizado maximizando o 
valor de σM(θ)
ËσMx e σMy (e σNx) atuam na 
mesma direção (são todas ⊥
ao plano do engaste), logo 
podem ser somadas
Ëa notação σMx deve ser lida 
como tensão normal devida 
ao fletor induzido por Px, e 
assim por diante
localização do ponto crítico na 
periferia da seção do engaste, 
num ângulo θ em relação a z
Castro & Meggiolaro 19Ë logo, o ponto da alavanca mais solicitado pela superposição
dos esforços normais, torçores e fletores está localizado na 
superfície do 1o quadrante da seção do engaste, num ângulo 
θΜ = tan−1(σMy/σMx) em relação ao eixo z
Àno entanto, θM não maximiza também τC(θ), e σMises(θ)
deveria ser recalculada considerando o cortante (mas as 
tensões por ele induzidas são em geral desprezíveis, e em 
geral este trabalhão todo não vale a pena)
Ëassim, desprezando em primeira aproximação o cortante, a 
tensão de Mises é dada por:
Ësubstituindo os valores numéricos apropriados, obtém-se:
2
T
2
NMMises 3)( τ+σ+σ=σ
3570)30030sinP/50030cosP(tana ′°=⋅⋅=θ
kN2P,30sinPP,30cosPP xy ===
Castro & Meggiolaro 20
Ào máximo valor da tensão