apostila romero

que
desloca o líquido.
Como o corpo está flutuando, esse empuxo é
igual ao seu peso. Considerando inicialmente o
corpo de madeira flutuando na água:
EA = PM
 E
!
 P
!
( ) AMMA gVgV ρρρρ 3
2
3
2
=⇒=


Como a densidade da água ρA = 1g/cm3 , encontramos que:
3/
3
2 cmgM =ρ = 666,7kg/m3
b) Encontre a densidade do óleo.
EO = PM
( )[ ] ( ) 3/
27
20
9
10
9,0
9,0 cmggVgV MMOMO ===⇒= ρ
ρρρρ
ρO = 740,7kg/m3
Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição
29 Uma esfera oca, de raio interno igual a 8cm e raio externo igual a 9cm , flutua sub-
mersa pela metade em um líquido de densidade 800kg/m3 .
a) Qual a massa da esfera?
RI = 8cm = 0,08m
RE = 9cm = 0,09m
ρL = 800kg/m3
Quando a esfera flutua, temos que:
P = E
ou seja
g
V
gM ELE 


=
2
ρ
logo:
kgMRM EELE 22,13
4
2
1 3
=⇒= πρ
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b) Calcule a densidade do material de que ele é feita.
( )33
3
4
IE
E
IE
EE
E
RR
M
VV
M
V
M
−
=
−
==
π
ρ
ρE = 1342,18kg/m3
Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
31 Uma lata tem volume de 1200cm3 e massa de 130g . Quantos gramas de balas de
chumbo ela poderia carregar sem que afundasse na água? A densidade do chumbo
é 11,4g/cm3 .
V = 1200cm3
ML = 130g
ρPb = 11,4g/cm3
ρA = 1g/cm3 (densidade da água)
A lata tem um volume interno V e está flutuan-
do. Que massa MPb de chumbo pode ser colo-
cada em seu interior? O peso total da lata mais
balas de chumbo tem de ser igual ao empuxo
exercido pela água na lata. Ou seja:
(MPb + ML) g = E
Usando o Princípio de Arquimedes, o empuxo será igual ao volume do fluido deslo-
cado, logo:
E = (ρA V) g ⇒ (MPb + ML) g = (ρA V) g
ou seja:
MPb = ρA V - ML = 1200g - 130g
MPb = 1070g
Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição
36 Três crianças, cada uma pesando 356N , constroem uma jangada amarrando tron-
cos de diâmetro 0,30m e comprimento 1,80m . Quantos troncos serão necessários
para que a jangada as sustente? Considere a densidade da madeira como sendo
800kg/m3 .
P = 356N
d = 0,30m
L = 1,80m
ρM = 800kg/m3
ρA = 1000kg/m3
Seja VT o volume de cada tronco. Desse modo:
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3
2
12,0
2
mLdVT =


= π
Como a jangada será construída com N troncos, o volume V da jangada será:
V = N VT
Para que a jangada flutue com carga máxima, vamos considerar que ela ficará com-
pletamente submersa. Neste caso, o empuxo será:
E = (ρA V) g
E a jangada suportará o seu próprio peso mais o peso das crianças:
(ρA V) g = (ρM V) g + 3P
ou seja:
( )MAAA
M
g
PV
g
PVV
ρρρρ
ρ
−
=⇒+=
33
Mas
( )MAIT gV
PNNVV
ρρ −
=⇒=
3
N = 4,45
Será necessário um número de toras maior que quatro. Supondo que a jangada será
construída com um número inteiro de toras, serão necessários cinco troncos para a
construção da jangada.
Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição
47 Um tanque de grande área é cheio de água a uma profundidade de 0,30m . Um bu-
raco de área A = 6,5cm2 no fundo do tanque permite que a água escoe.
a) A que taxa a água flui pelo buraco?
D = 0,30m
A = 6,5cm2 = 6,5x10-4m2
Vamos usar a Equação de Bernoulli:
teconsvygp tan
2
1 2
=++ ρρ
nos pontos 1 na superfície da água
dentro do tanque e o ponto 2 no bura-
co no fundo do tanque:
 1
 D
 2
 h
 3
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2
222
2
111 2
1
2
1 vygpvygp ρρρρ ++=++
Considerando que o buraco é pequeno em comparação à superfície da água
dentro do tanque, podemos dizer, com boa aproximação, que a velocidade que o
nível da água baixa v1 é desprezível. Ainda considerando que o buraco é pe-
queno, podemos considerar que o nível D da água varia muito pouco, e desse
modo:
D = y1 - y2
portanto:
2
221 2
1 vpDgp ρρ +=+
Os pontos 1 e 2 estão em contato com a atmosfera, logo:
p1 = p2 = p0
logo:
gDvvDg 2
2
1
2
2
2 =⇒= ρρ = 2,4m/s
O fluxo de água é definido como
φ = v A
ou seja:
gDA 2=φ = 1,58m3/s
b) A que distância abaixo do fundo do tanque, a área da seção transversal do jato
será a metade da área do buraco?
A água vai fluir através do buraco e formar um tubo de corrente. Podemos usar a
equação da continuidade para calcular a velocidade quando a seção transversal
do tubo de corrente tiver a metade do valor original.
v2 A = v3 (A/2) ⇒ v3 = 2 v2 = 4,8m/s
Vamos usar a equação de Torricelli para calcular a altura h , abaixo do fundo do
tanque, em que acontece essa relação de áreas; já que a água está em queda
livre.
g
vv
h
2
2
2
2
3 −
= = 0,86m
Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição
48 Sobre a asa de um avião de área A , o ar escoa com velocidade vC e sob a asa
deste mesmo avião (também de área A) , a velocidade do ar é vB . Mostre que nesta
situação simplificada, a equação de Bernoulli prediz que a magnitude L da força de
sustentação na asa será:
( )22
2
1
BC vvAL −= ρ
onde ρ é a densidade do ar.
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O fluxo de ar em torno da asa de um
avião tem qualitativamente a forma
desenhada ao lado. Devido ao seu
formato, existe um adensamento das
linhas de corrente acima da asa, e
portanto a velocidade nesta região é
maior que a velocidade abaixo da asa.
Usando a equação de Bernoulli, iremos calcular quais as consequências deste dese-
nho peculiar de uma asa no que diz respeito à força de sustentação de um avião:
teconsvygp tan
2
1 2
=++ ρρ
Aplicando essa equação para em ponto na parte superior da asa e para um outro
ponto na sua parte inferior:
22
2
1
2
1
BBBCCC vygpvygp ρρρρ ++=++
ou seja:
( ) ( )BCBCCB yygvvppp −+−=−=∆ ρρ 222
1
Como a diferença de energia potencial gravitacional é desprezível frente a outras di-
ferenças de energia presentes na equação, podemos escrever que:
( ) ( )2222
2
1
2
1
BCBC vvALvvA
Lp −=⇒−==∆ ρρ
Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
“49” Coloca-se um béquer de vidro, parcialmente cheio de água, em uma pia, conforme
a figura à seguir. Ele tem massa de 390g e um volume interno de 500cm3 . Come-
ça-se, então, a encher a pia com água e verifica-se por experiência que, se o bé-
quer estiver com água até menos da metade, flutuará; mas se a água nele estiver
acima da metade, permanecerá no fundo da pia até a água alcançar as suas bor-
das. Qual a densidade do material de que é feito o béquer?
MB = 390g = 0,39kg
VI = 500cm3 = 0,0005m3
Vamos considerar o caso limite, onde o
nível da água da pia atingiu a borda do
béquer, que tem metade do volume in-
terno ocupado com água.
O peso do conjunto água + béquer
será:
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P = (MA + MB) g = (ρA VI /2 + MB) g
O empuxo será
E = (ρA VE) g
onde VE é o volume externo do béquer. Além disso, a densidade do béquer será
dada por:
IE
B
B VV
M
−
=ρ
No caso limite, o empuxo E será igual ao peso P , e portanto teremos:
(ρA VE) g = (ρA VI /2 + MB) g
2
2 I
A
B
A
I
AB
E
VM
VM
V +=
+
=
ρρ
ρ
Mas
I
B
B
E
IE
B
B V
M
V
VV
M
+=⇒
−
=
ρ
ρ
ou seja:
I
B
BI
A
B
E V
MVM
V +=+=
ρρ 2
ou ainda:
2
2 I
A
B
B
B
I
B
B
A
B
VM
MVMM
−
=⇒+=
ρ
ρ
ρρ
 = 2,79g/cm3
Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição
49 Se a velocidade de escoamento, passando debaixo de uma asa, é 110m/s , que ve-
locidade de escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900Pa
entre as superfícies de cima e de baixo? Considere a densidade do ar
ρ = 1,3x10-3g/cm3
vB = 110m/s = 396km/h
∆p = 900Pa = 0,00888atm
ρ = 1,3x10-3g/cm3 = 1,3kg/m3
1atm = 1,013x105Pa
( )
ρ
ρ pvvvvp BCBC
∆
+=⇒−=∆ 2
2
1 2222
vC = 116,1m/s = 417,9km/h
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Se cada asa tiver dimensões aproximadas de A = 0,5m x 3m = 1,5m2 , as duas asas
corresponderão