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desse novo experimento na Tabela 5.5.
Tabela 5.5: Resumo das deciso˜es para o novo experimento.
Decisa˜o
Amostra Probabilidade α = 0, 10 α = 0, 05 α = 0, 01
(AA,AA) 1/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0
(AA,AB) 40/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0
(AA,AV) 16/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0
. . . . . . . . . . . . . . .
(BB,AB) 1800/14400 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0
(BB,AV) 720/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0
(BB,BB) 2025/14400 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0
(BB,BV) 3600/14400 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0
. . . . . . . . . . . . . . .
(VV,VV) 36/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0
(AV,BV) 640/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0
(BV,BV) 1600/14400 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0 Na˜o Rejeitar H0
Observe na Tabela 5.5 que se a amostra AA ja´ era considerada rara, a amostra
(AA, AA) se tornou ainda mais. Pois, se refize´ssemos o experimento 14400, esperar´ıamos
em apenas 1 vez coletar simultaneamente a amostra AA. Por consequ¨eˆncia, a decisa˜o em
rejeitar H0 e´ muito mais segura do que a anterior. Ale´m disso, o valor de β = P(Na˜o
Rejeitar H0|H0 e´ Falsa) se torna cada vez menor. Lembre-se que decidimos modificar
o experimento porque a realizac¸a˜o de VV nos forneceu uma inseguranc¸a na tomada de
decisa˜o. Agora, com o experimento modificado, a coleta da amostra (VV, VV) possui
uma probabilidade muito pequena (0,0025), indicando, nesse caso, ser uma amostra rara.
Da´ı, a decisa˜o deixa de ser insegura.
Nesse contexto, com base em seus conhecimentos de Ca´lculo de Probabilidades e
Distribuic¸o˜es Amostrais, complete a Tabela 5.5 e, tambe´m, construa uma outra tabela
similar a` Tabela 5.5 refazendo o experimento do Exemplo 5.1 treˆs vezes retirando amostras
de tamanho 2, em cada uma das vezes, sem reposic¸a˜o.
78 Testes de Hipo´teses Camarinha Filho, J. A.
Finalmente, e´ essencial que notemos que, dependendo da forma como se realiza o
experimento, a distribuic¸a˜o de probabilidades das poss´ıveis amostras, sempre utilizada com
intuito de se tomar uma decisa˜o em relac¸a˜o a Hipo´tese Nula, se modifica substancialmente.
Assim, no experimento inicial, com a retirada de apenas uma amostra (n=2), a amostra
BB possu´ıa, como ja´ era esperado, a maior probabilidade (0,375) uma vez que t´ınhamos 10
bolas brancas. Ja´ no experimento modificado com a retirada de duas amostras de tamanho
2, a probabilidade associada a` amostra (BB, BB), mesmo possuindo ainda as mesmas 10
bolas brancas, diminui consideravelmente (0,14). Assim, se modificarmos ainda mais o
experimento inicial, repetindo-o, por exemplo quatro vezes, a probabilidade observada de
(BB, BB, BB, BB) ficaria aproximadamente em 0,0198. Portanto, rejeitar´ıamos H0 para
n´ıveis de significaˆncia maiores do que 0,0198. Consequ¨entemente, mudar´ıamos nossas
deciso˜es em relac¸a˜o aos experimentos anteriores.
Exemplo 5.2. Antes de enunciarmos este exemplo, gostar´ıamos de refletir sobre a seguinte
pergunta: O valor 167 cm e´ menor do que 171 cm? Obviamente que muitos, talvez a
maioria, diriam que sim. Pore´m, antes que saibamos como esses resultados foram obtidos,
a melhor resposta seria: depende. Vejamos, enta˜o, as reflexo˜es 1 e 2:
1. Se med´ıssemos as alturas de duas pessoas A e B, da mesma maneira e obtive´ssemos,
respectivamente, 167 cm e 171 cm. Concluir´ıamos que A e´, de fato, menor do que
B;
2. Se o interesse for descobrir e comparar a altura me´dia de duas turmas (A e B)
da UFPR, poder´ıamos obter essas alturas me´dias de va´rias maneiras, vejamos dois
casos:
(a) com a coleta das duas populac¸o˜es, as me´dias obtidas seriam as me´dias verda-
deiras, ou seja, os valores parame´tricos (µA e µB). Assim, dir´ıamos novamente
que 167 cm e´ menor do que 171 cm.
(b) coletando-se a populac¸a˜o de A e uma amostra de B, e obtidas as me´dias
µA = 167 cm e x¯B = 171 cm, na˜o poder´ıamos afirmar com absoluta certeza
que 167 cm e´ menor do 171 cm. Pois, recordando o conceito de Distribuic¸a˜o
Amostral, sabemos que X¯ e´ uma varia´vel aleato´ria. Portanto, a P ( ¯X ∈ RC) e´
dependente de uma Distribuic¸a˜o de Probabilidade, consequ¨entemente, apenas
com base no comportamento de X¯ e´ que poder´ıamos decidir se, provavelmente,
µA < µB . Assim, se tanto na turma A quanto na B, ou nas duas forem co-
letadas amostras, a resposta para a questa˜o proposta sempre dependera´ do
comportamento das estimativas das poss´ıveis amostras. Comportamento esse,
representado por meio de uma Distribuic¸a˜o de Probabilidades e, portanto, toda
decisa˜o a respeito da questa˜o vira´ acompanhada de um grau de incerteza. A
Infereˆncia Estat´ıstica, por interme´dio do Teste de Hipo´teses, visa responder a
essa questa˜o.
5.3. Exemplos 79
Feitas as reflexo˜es, podemos enunciar o Exemplo 5.2: Sabemos que a varia´vel (X)
altura dos alunos da Universidade A, local A, segue uma distribuic¸a˜o normal com altura
me´dia de 171 cm e desvio padra˜o de 9 cm. Se recebermos, de uma origem desconhecida,
local B, uma amostra de 27 alunos, poder´ıamos decidir se essa amostra foi retirada da
Universidade A ou se o local B possui a mesma me´dia do local A?
Admitamos que a populac¸a˜o cuja amostra (n=27) foi retirada seja bem representada
por uma distribuic¸a˜o normal com desvio padra˜o igual ao da Universidade A (σ = 9cm).
Sabemos da Teoria da Estimac¸a˜o que se XA ∼ N(171, 92), enta˜o, X¯A ∼ N(171, 92/27).
Assim, o comportamento das estimativas das me´dias das poss´ıveis amostras da Univer-
sidade A fica bem caracterizada: X¯A ∼ N(171, 3). Supondo que x¯B = 167 cm, essa
estimativa pode ser vista como rara ou na˜o? Como poder´ıamos, com base na estimativa
da me´dia da amostra B, obter uma Regra de Decisa˜o para concluirmos sobre a origem
dessa amostra. Enfim, qual conclusa˜o dever´ıamos tomar? A soluc¸a˜o e´ simples. Assim
como no Exemplo 5.1, basta verificar se seria plaus´ıvel coletarmos do Local A uma amos-
tra de 27 alunos cuja estimativa da altura me´dia fosse de 167 cm. Pore´m, diferentemente
do Exemplo 5.1, a varia´vel X desse exemplo e´ cont´ınua. Portanto, sendo a probabilidade
pontual igual a zero, devemos obter uma probabilidade intervalar. Assim, poder´ıamos
calcular a probabilidade da estimativa da me´dia ser menor ou igual a 167 cm sob H0, ou
seja, supondo que µ = 171 cm, P (x¯B ≤ 167|µ = 171). Assim, estar´ıamos contemplando
no ca´lculo dessa probabilidade valores iguais a 167 cm, mas, tambe´m, valores com me´dias
inferiores a 167 cm. Dessa forma, comparando-se com a Regra de Decisa˜o adotada, pode-
mos concluir se essas estimativas sa˜o raras. Com o aux´ılio da transformac¸a˜o da varia´vel
X na Normal Padronizada, Z N(0, 1), calcular´ıamos a probabilidade dessa forma:
P (x¯B ≤ 167|µ = 171) = P
[
Z ≤ X¯ − µ
σ/
√
n
]
= P
[
Z ≤ 167 − 171
9/
√
27
]
= P (Z ≤ −2, 31) = 0, 0105.
Graficamente, ter´ıamos (Figura 5.1):
Com base nessa probabilidade, chamada de Nı´vel Descritivo (P-valor) do Teste,
podemos tomar uma decisa˜o da seguinte forma: se acharmos que essa probabilidade e´
baixa, concluir´ıamos que:
• a amostra deve ser rara;
• dever´ıamos rejeitar a Hipo´tese Nula de que os 27 alunos pertencem a` Universidade
A;
• µA deve ser superior a µB ;
• a diferenc¸a observada (µA − x¯B) = 4 cm, provavelmente, foi significativa;
80 Testes de Hipo´teses Camarinha Filho, J. A.
P−Valor = 0.0105 Sob Ho
167 Estimativas da Média
Figura 5.1: A´rea hachurada relativa ao P-Valor do teste
• a diferenc¸a observada na˜o deve ter ocorrido por acaso;
• se refize´ssemos o experimento inu´meras vezes, esperar´ıamos que na maioria delas as
estimativas vindas das poss´ıveis amostras (n=27) do local B, nos fornecesse valores
inferiores a 171cm, indicando, portanto,