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uma tendeˆncia.
Formalmente, poder´ıamos realizar o teste segundo as etapas do item 5.2.5. Assim,
1. Estabelecer as Hipo´teses Nula e Alternativa;
{
H0 : µ = 171 cm
H1 : µ < 171 cm
2. Identificar a Distribuic¸a˜o Amostral associada ao Estimador e obter a Estimativa do
Paraˆmetro;
X¯A ∼ N(171, 3) e x¯B = 167 cm
3. Fixar um valor para o Nı´vel de Significaˆncia (α) e obter a estat´ıstica de teste do
Paraˆmetro;
α = 0, 05 e z
calculado= x¯−µ
σ/
√
n
= −2, 31
5.3. Exemplos 81
4. Construir a Regia˜o Cr´ıtica com base na Hipo´tese Alternativa e no valor de α;
zteo´rico = −1, 6449 ou x¯cr´ıtico = 168, 2 cm
Regra de decisa˜o: Se a Estimativa do Paraˆmetro pertencer a` Regia˜o Cr´ıtica, rejei-
tamos a Hipo´tese Nula. Caso contra´rio, na˜o. Ou seja, se zcalculado < zteo´rico, ou se
x¯B < M168, 2, rejeitamos H0.
5. Conclusa˜o: Como Zcalculado = −2, 31 < ZTeo´rico = −1, 6449 ou x¯B = 167 cm <
168, 2 cm. Decidimos por rejeitar H0.
A obtenc¸a˜o do P-valor, essencial para a tomada de decisa˜o, esta´ intimamente ligado
ao comportamento da distribuic¸a˜o das estimativas obtidas com o aux´ılio das poss´ıveis
amostras coletadas da populac¸a˜o. Esse comportamento pode ser descrito pela func¸a˜o de
densidade de probabilidade (f.d.p) associada a` distribuic¸a˜o amostral dessas estimativas.
Pore´m, essa f.d.p. so´ podera´ ser perfeitamente caracterizada sob a refereˆncia da Hipo´tese
Nula. Enta˜o, os valores parame´tricos que a caracterizam esta˜o contidos em H0. Dessa
forma, dependendo dos valores parame´tricos supostos emH0, obteremos P-valores distintos
e, em consequ¨eˆncia, poderemos tomar deciso˜es diferentes. Para ilustrar tal fato, tomemos
o Exemplo 5.2 como refereˆncia e imaginemos algumas situac¸o˜es em que σ, µ0 e n sa˜o
modificados. As Deciso˜es e as Regras de Decisa˜o, em func¸a˜o de x¯obs = 167, podem ser
vistas na Tabela 5.6:
Tabela 5.6: Algumas tomadas de decisa˜o e regras de decisa˜o conforme a hipo´tese nula, o
n´ıvel de significaˆncia e a distribuic¸a˜o de probabilidade.
Decisa˜o(x¯obs = 167) Regra de decisa˜o para rejeitar H0
Situac¸a˜o P-valor α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 10 α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 10
Exemplo 5.2 0,0105 NR R R Se X¯ < 166, 97 Se X¯ < 168, 2 Se X¯ < 168, 8
(µ = 171; σ = 9)
I µ = 170 0,0416 NR R R Se X¯ < 166 Se X¯ < 167, 2 Se X¯ < 167, 8
σ = 9
II µ = 170 0,06 NR NR R Se X¯ < 165, 5 Se X¯ < 166, 8 Se X¯ < 167, 5
σ = 10
III µ = 170 0,0047 R R R Se X¯ < 168, 7 Se X¯ < 169, 1 Se X¯ < 169, 3
σ = 6
IV µ = 168 0,0047 R R R Se X¯ < 167, 1 Se X¯ < 167, 4 Se X¯ < 167, 5
σ = 2
V µ = 173 0,0047 R R R Se X¯ < 167, 6 Se X¯ < 169, 2 Se X¯ < 170, 0
σ = 12
VI µ = 172 0,1056 NR NR NR Se X¯ < 162, 7 Se X¯ < 165, 4 Se X¯ < 166, 87
σ = 12
De maneira geral, de acordo com a Hipo´tese Alternativa, sabemos que a Regia˜o Cr´ı-
tica situa-se nas caudas da distribuic¸a˜o de densidade. Assim, para a distribuic¸a˜o normal
padra˜o, valores muito altos ou muito baixos da estat´ıstica Zcalculado indicariam uma ten-
deˆncia de rejeic¸a˜o de H0 : µ = µ0 . Dessa forma, pelo estudo dessa Estat´ıstica, notamos
que |x¯ − µ0|, σ e n sa˜o os fatores que contribuem para a decisa˜o em se rejeitar, ou na˜o,
H0. Logo, verificamos que:
82 Testes de Hipo´teses Camarinha Filho, J. A.
• Um aumento na diferenc¸a observada, x¯−µ0, contribuira´ na tendeˆncia em se rejeitar
H0;
• Um aumento na variabilidade dos dados, σ, contribuira´ para a na˜o rejeic¸a˜o de H0;
• Um aumento no tamanho da amostra, n, contribuira´ para a rejeic¸a˜o de H0.
Nesse contexto, comparando-se o Exemplo 5.2 com a Situac¸a˜o I, da Tabela 5.6,
notamos que, embora as deciso˜es sejam as mesmas para x¯ = 167, pela Regra de Decisa˜o
adotada, o valor de x¯obs do Exemplo 5.2, com α = 0, 01, esta´ praticamente no limite da
Regia˜o Cr´ıtica, ou seja, quase rejeitamos H0, o que poderia nos causar uma du´vida maior
na decisa˜o em comparac¸a˜o a` Situac¸a˜o I. Veja que o u´nico fator modificado nesses dois
casos foi a suposic¸a˜o em torno da me´dia. Dessa forma, a diferenc¸a observada, |x¯− µ0|, no
Exemplo 5.2 e´ superior a` diferenc¸a para a Situac¸a˜o I, 4 contra 3, respectivamente. Da´ı, e´
intuitivo pensar que quanto mais distante se encontrar a estimativa da me´dia,x¯obs , do valor
suposto em H0, µ0, maior sera´ a tendeˆncia em se rejeitar H0. Agora, se compararmos a
Situac¸a˜o I com a II, verificamos que apenas o fator variabilidade, σ, foi alterado. O
aumento de σ de 9 para 10, acarretou numa mudanc¸a na decisa˜o acerca de H0. Passamos
a na˜o rejeitar H0 quando a variaˆncia aumentou. E´ evidente que isso poderia acontecer, pois
a func¸a˜o de probabilidade tornou-se mais platicu´rtica, portanto com caudas menos densas,
possuindo, assim, uma quantidade maior de amostras de tamanho 27, cujas estimativas da
me´dia resultassem em valores menores do que 167 cm. Essa ide´ia fica, de fato, evidenciada
pela observac¸a˜o das Regras de Decisa˜o, que indicam, para um mesmo n´ıvel de significaˆncia,
valores sempre inferiores de para a Situac¸a˜o II. Ou seja, para α = 0, 05, temos, para a
Situac¸a˜o I, 5% das poss´ıveis amostras com estimativas da me´dia inferiores a 167,2 cm e
para a Situac¸a˜o II temos 5% com valores menores do que 166,8 cm.
Nesse contexto, note que na Situac¸a˜o III diminu´ımos ainda mais o valor de σ. Logo, e´
de se esperar que a estimativa, x¯obs = 167 cm, seja mais representativa comparativamente
com as situac¸o˜es anteriores, pois n e µ0 permaneceram os mesmos. Assim, a diferenc¸a
observada,|x¯ − µ0| = 3, tambe´m sera´ mais representativa para a Situac¸a˜o III. Embora
essa diferenc¸a seja a mesma para as treˆs situac¸o˜es, esperamos que a diferenc¸a associada
a` Situac¸a˜o III, na˜o tenha ocorrido por acaso, indicando, portanto, uma tendeˆncia de que,
independentemente da amostra coletada, esperamos que na grande maioria das coletas,
x¯obs seja inferior a 170 cm. Quando isso ocorre, dizemos que a diferenc¸a foi significativa. A
interpretac¸a˜o seria ana´loga a essa se o tamanho da amostra fosse aumentado e os demais
fatores permanecessem constantes.
Na Situac¸a˜o II, se coleta´ssemos inu´meras amostras, va´rias delas forneceriam esti-
mativas menores do que 170 cm e muitas outras resultariam em valores superiores a 170
cm, implicando, assim, que a diferenc¸a deve ter ocorrido por acaso, na˜o havendo uma
tendeˆncia. Dessa forma, na˜o seria conveniente decidirmos que µ < 170, e sim, concluirmos
que a diferenc¸a na˜o foi grande o suficiente (na˜o foi significativa) a ponto de descartarmos
H0. Logo, µ poderia ser 170 cm. Por outro lado, por se tratar de amostragem, tambe´m
5.3. Exemplos 83
na˜o poder´ıamos afirmar que µ = 170. Pore´m, dever´ıamos afirmar que provavelmente µ
na˜o e´ menor do que 170 cm.
Ao compararmos as situac¸o˜es III, IV e V, verificamos que os P-valores sa˜o os mesmos.
Portanto as deciso˜es sa˜o rigorosamente as mesmas. Pore´m, note que, pelas Regras de
Decisa˜o adotadas, os valores de x¯cr´ıtico sa˜o bem diferentes para essas treˆs situac¸o˜es.
Veja que na Situac¸a˜o IV, quase rejeitamos H0 para α = 0, 01, pois x¯cr´ıtico = 167, 1
e x¯obs = 167, resultando numa diferenc¸a de apenas 0,1 cm. Ao contra´rio da Situac¸a˜o
III, cuja diferenc¸a foi de 1,7 cm. Pore´m, teoricamente, essa observac¸a˜o esta´ equivocada,
pois, apenas poder´ıamos ter essa impressa˜o porque as diferenc¸as sa˜o aparentemente muito
distintas. Mas, e´ imprescind´ıvel notarmos que, tanto essas diferenc¸as quanto os intervalos
associados a elas, embora bem diferentes, sa˜o equivalentes uma vez que suas distribuic¸o˜es
sa˜o distintas. Assim, dever´ıamos verificar que, tanto no intervalo 167 < X¯III < 168, 7, 1
quanto no intervalo 167 < X¯IV < 167, 1, ha´ o mesmo nu´mero de poss´ıveis amostras (n =
27). Ou seja, P (167 < X¯III < 168, 7) = P (167