A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
154 pág.
apostilace003

Pré-visualização | Página 24 de 39

< X¯IV < 167, 1) = 0, 053, pois X¯III ∼
N(170; 62/
√
27) e X¯IV ∼ N(168; 22/
√
27). Assim, se dissermos que quase rejeitamos H0
na Situac¸a˜o IV, devemos dizer o mesmo para a Situac¸a˜o III. Ale´m disso, note que embora
a suposic¸a˜o para a Situac¸a˜o IV e´ de µ = 168 e para a Situac¸a˜o V seja de µ = 173, as
deciso˜es tambe´m sa˜o as mesmas. Ainda que as diferenc¸as observadas sejam de 1 cm e de
6 cm, respectivamente, na˜o podemos nos esquecer que o desvio padra˜o e´ tambe´m outro
fator responsa´vel pela tomada de decisa˜o. Logo, notamos que o desvio padra˜o da Situac¸a˜o
IV e´ seis vezes menor, implicando, portanto, em estimativas (x¯obs) bastante pro´ximas de
µ0, caso H0 seja verdadeira. Dessa forma, e´ de se esperar que as diferenc¸as observadas na
Situac¸a˜o III estejam mais pro´ximas de zero do que para a Situac¸a˜o V.
Finalmente, na Situac¸a˜o VI, tem-se um tamanho de amostra treˆs vezes menor do que
nas situac¸o˜es anteriores e, tambe´m, o maior desvio padra˜o dentre todas as situac¸o˜es. Note
que, mesmo para uma me´dia suposta de 172 cm, encontramos um P-valor que resulta em
rejeic¸a˜o para todos os n´ıveis de significaˆncia adotados na Tabela 5.6. Comparativamente,
veˆ-se que a diferenc¸a observada na Situac¸a˜o IV e´ de 1 cm e na Situac¸a˜o VI e´ de 5 cm.
Pore´m, a primeira diferenc¸a foi significativa, enquanto a segunda, na˜o.
Com vimos, ha´ uma probabilidade de na˜o rejeitar H0 quando ela e´ falsa, ou seja,
tomamos a decisa˜o de que µ = µ0 quando, na verdade, na˜o e´. Obte´m-se essa probabilidade
calculando-se β =P(Na˜o RejeitarH0|H0 e´ Falsa). Veja que se na˜o rejeitamosH0, decidimos
que µ = µ0, portanto β sera´ calculado em func¸a˜o de µ = µ0, ou seja, em func¸a˜o de
X¯ ∼ N(µ0, σ2/n) . Pore´m, tambe´m para obtermos β e´ necessa´rio que seja escolhido um
outro valor para µ, uma vez que H0 e´ falsa, por exemplo, µ = µ
∗ = 169 cm. Portanto,
para o Exemplo 5.2, ter´ıamos, para α = 0, 05:
84 Testes de Hipo´teses Camarinha Filho, J. A.
β = P (Na˜o RejeitarH0|H0 e´ Falsa)
= P (X¯obs > X¯cr´ıtico|µ∗ = 169)
= P [Z >
x¯− 169
σ/
√
n
]
= P [Z >
168, 2 − 169
9/
√
27
] = 0, 678
Graficamente, ter´ıamos (Figura 5.2):
171Xcrit µ*
β
sob H0 : µ* = µ sob H0 : µ = 171
realidade suposição
Figura 5.2: Probabilidade de na˜o rejeitar H0 quando ela e´ falsa.
Note que a expressa˜o x¯obs > x¯cr´ıtico esta´ associada a` Regra de Decisa˜o com base
em H0: µ = µ0 = 171. Por isso, x¯cr´ıtico = 168, 2 para α = 0, 05 (veja Tabela 5.6).
Mas, o valor de β, deve ser obtido por meio da probabilidade condicional que depende da
me´dia suposta (µ0) e da me´dia real (µ
∗). Assim, ao transformarmos x¯cr´ıtico em zcr´ıtico,
devemos primeiramente levarmos em considerac¸a˜o µ0 = 171, para a obtenc¸a˜o de x¯cr´ıtico,
e posteriormente µ∗ = 169, para o ca´lculo final de β.
Vejamos, na Tabela 5.7, com base no Exemplo 5.2, o que ocorreria com o valor de
β, criadas novas situac¸o˜es com mudanc¸as nos valores de α, σ, n e µ∗ e, consequ¨entemente,
com o Poder do Teste, 1− β(µ∗).
5.4. Alguns Testes Parame´tricos mais Utilizados. 85
Tabela 5.7: Valores de 1− β(µ∗) para o exemplo 5.2 de acordo com os praˆmetros α, σ, n
e µ∗.
α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 10
Situac¸a˜o 1− β(µ∗)
I µ∗ = 169;σ = 9; n = 27 0,121 0,322 0,454
II µ∗ = 169;σ = 9; n = 200 0,793 0,933 0,969
III µ∗ = 169;σ = 2; n = 27 0,998 0,9998 ∼= 1
IV µ∗ = 172;σ = 9; n = 27 0,002 0,0013 0,032
V µ∗ = 166;σ = 9; n = 27 0,712 0,893 0,946
VI µ∗ = 169;σ = 9; n = 9 0,048 0,164 0,269
Notamos, claramente, que independentemente da situac¸a˜o, que a` medida que α
cresce, β diminui. Ou seja, o poder do teste aumenta e ter´ıamos uma menor chance de
errarmos na decisa˜o de na˜o se rejeitar H0 quando H0 e´ falsa.
Pela comparac¸a˜o das Situac¸o˜es I, II e III verificamos que, independentemente do
valor de α, o poder do teste aumenta consideravelmente de I para III, passando por II.
Como µ∗ se manteve constante, os fatores σ e n foram responsa´veis diretos para que o poder
se modificasse. Ale´m disso, note que o aumento verificado no tamanho da amostra de I para
II, de quase 7,5 vezes, contribuiu menos para um aumento do poder, do que a diminuic¸a˜o
no desvio padra˜o de 9 para 2, 4,5 vezes, verificada entre as situac¸o˜es I e III. Pore´m, como
na˜o podemos interferir em µ∗ e σ para a obtenc¸a˜o do poder, resta-nos trabalharmos com n.
Assim, se quisermos testes mais poderosos, devemos, em princ´ıpio, aumentar o tamanho
da amostra. Nesse contexto, compare a Situac¸a˜o I com a V e posteriormente, reflita sobre
as demais situac¸o˜es consideradas na Tabela 5.7.
Vejamos, agora, alguns testes mais utilizados.
5.4 Alguns Testes Parame´tricos mais Utilizados.
5.4.1 Teste para a me´dia (µ) com σ2 desconhecida.
O objetivo desse teste e´ verificar a hipo´tese H0 : µ = µ0. Pore´m, como σ
2 e´ des-
conhecida, podemos estima´-la, obtendo-se s2, por meio da mesma amostra utilizada para
a obtenc¸a˜o de X¯obs . Portanto, a diferenc¸a fundamental desse teste para o teste descrito
na Situac¸a˜o II do Exemplo 5.2, em que σ2 era conhecido, e´ dada pelo comportamento das
estimativas de X¯obs vindas das poss´ıveis amostras de tamanho n. Enquanto na Situac¸a˜o I
X¯obs seguia uma distribuic¸a˜o Normal (apenas X¯obs varia, σ
2 e´ constante), na Situac¸a˜o II,
tanto X¯obs quanto σ
2 variam, logo, outra distribuic¸a˜o devera´ representar esse comporta-
mento. Nesse caso, sabemos que a distribuic¸a˜o a t de Student, podera´ se ajustar a essas
estimativas.
86 Testes de Hipo´teses Camarinha Filho, J. A.
Pore´m, a` medida que n cresce, os testes tendem a ser equivalentes, pois os valores
de Z e t se aproximam. Dessa forma, os P-valores estara˜o bastante pro´ximos, para n > 30,
e, consequ¨entemente, a decisa˜o em relac¸a˜o a` H0 sera´ praticamente a mesma.
Exemplo 5.3. Uma ma´quina enche pacotes de cafe´ de uma marca X deve completa´-los,
em me´dia, com no mı´nimo 500 g. Se coleta´ssemos de uma amostra aleato´ria de tamanho
16, a fim de verificarmos se a ma´quina se encontra regulada, e obtive´ssemos uma me´dia
igual a 495 g e desvio padra˜o de 5 g, seria plaus´ıvel concluirmos que a me´dia e´ menor do
que 500 g, ou seja, a ma´quina se encontraria regulada?
Os dados observados sa˜o: 498,8; 503,1; 497,6; 491,6; 499,3; 491,3; 499.8; 492.1; 498.1;
493.2; 487.2; 489.8; 495.8; 498.2; 498.8; 485.7
Soluc¸a˜o: Devemos proceder ao Teste Parame´trico, segundo as etapas descritas no
item 5.2.5. Assim:
1. Estabelecer as Hipo´teses Nula e Alternativa;
H0 : µ = 500g vs H1 : µ < 500g
2. Identificar a Distribuic¸a˜o Amostral associada ao Estimador e obter a Estimativa do
Paraˆmetro; Distribuic¸a˜o Amostral: t de Student com 15 g.l.. Pois, n < 30 e σ2
desconhecida;
Estimativas: X¯obs = 495g e s = 5g
3. Fixar um valor para o Nı´vel de Significaˆncia (α) e obter a estat´ıstica de teste do
Paraˆmetro por meio da Estat´ıstica do Teste;
Nı´vel de Significaˆncia: α = 0, 01
Estat´ıstica de teste:
tcalculado =
X¯obs − µ0
s/
√
n
=
495 − 500
5/
√
16
= −4, 0
Logo: P-Valor=P(t < −4, 0) = 0, 0006.
4. Construir a Regia˜o Cr´ıtica (RC) com base na Hipo´tese Alternativa e no valor de α
e estabelecer a Regra de Decisa˜o (RD);
A Regia˜o Cr´ıtica e´ a a´rea hachurada cuja probabilidade e´ igual a α = 0, 01. Observe
a Figura 5.3 associada a` RC.
Assim, qualquer valor de tcalculado menor do que -2,602, pertencera´ a` RC. Ou seja,
RC = {t ∈ ℜ|t < −2, 602}; P (t < −2, 602) = 0, 01. Agora, transformando t =
-2,602 em X¯ , obtemos o X¯cr´ıtico, assim:
−2, 602 = X¯cr´ıtico − 500
5/
√
16
⇒ x¯cr´ıtico = 496, 75.
5.4. Alguns Testes Parame´tricos mais Utilizados. 87
α
Regi�Nco de n�Nco 
 rejei�Ng�Nco de H0
α 2 Estimativas da Média
Figura 5.3: Regia˜o cr´ıtica associada a` estat´ıstica t
. Logo, qualquer