Apostila de Integrais Completa

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Cálculo Diferencial e Integral 1 Integrais Angela Olandoski Barboza 
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12 Estudo das Integrais Indefinidas 
12.1 Introdução 
Dada uma função )x(f , vamos estudar como encontrar uma função )x(F tal que a 
sua derivada seja igual a )x(f , isto é: 
)x(f)x('F = 
12.2 Primitiva de uma Função 
Definição: 
Diz-se que a função )x(F é uma primitiva da função )x(f sobre o segmento ]b,a[ se, 
em todo o ponto deste segmento tivermos a igualdade )x(f)x('F = . 
Exemplo 
Determinar uma primitiva da função 2x)x(f = . 
Solução 
Verifica-se imediatamente, segundo a definição, que a primitiva procurada é 
3
3x
)x(F = 
pois, 2
3
3
3
x
x
)x(F
dx
d
== . 
Mas, 1
3
3
+=
x
)x(F também é uma primitiva, assim como 2
3
3
−=
x
)x(F . 
Podemos observar que C
x
)x(F +=
3
3
, com ℜ∈C é a forma ideal para expressar a 
primitiva de 2x)x(f = , pois 2
3
3
xC
x
dx
d
=





+ . 
Teorema 
Se )x(F1 e )x(F2 são duas primitivas da função )x(f sobre o segmento ]b,a[ , a 
sua diferença é uma constante. 
Demonstração 
Temos, em virtude da definição da primitiva que 
)x(f)x('F
)x(f)x('F
=
=
2
1 (1) 
para qualquer x do segmento ]b,a[ . Façamos 
)x()x('F)x('F ϕ=− 21 (2) 
Usando (1), temos: 
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021 =−=− )x(f)x(f)x('F)x('F 
Fazendo agora, a derivada de )x(ϕ em (2), temos: 
 
[ ]
021
21
=−=
−=
)x('F)x('F)x('
')x(F)x(F)x('
ϕ
ϕ
 
 
Logo, 0=)x('ϕ 
Usando o formulário de derivadas e a definição de primitiva de uma função, temos que 
C)x( =ϕ 
Para provar que )x(ϕ é uma constante, aplicamos, aplicamos o teorema de Lagrange. 
Sendo )x(F)x(F)x( 21 −=ϕ , ela é contínua e derivável em ]b,a[ . Então, para todo 
]b,a[x∈ , temos: 
 
( ) )d('.ax)a()x( ϕϕϕ −=− onde xda << 
 
Como 0=)d('ϕ , temos: 
0=− )a()x( ϕϕ e )a()x( ϕϕ = 
Assim, a função )x(ϕ é igual à )a(ϕ em qualquer ponto do segmento ]b,a[ . Logo, 
C)a( =ϕ e temos: 
C)x(F)x(F =− 21 
Definição 
Chama-se Integral Indefinida da função )x(f e denota-se por ∫ dx)x(f à toda 
expressão da forma C)x(F + , em que )x(F é uma primitiva de )x(f . Assim, por 
definição temos: 
∫ =+= )x(f)x('FseC)x(Fdx)x(f 
Exemplo 
Sejam as funções 12 += xy , 52 −= xy e ℜ∈+= C,Cxy 2 . Suas diferenciais são: 
xdxdy 2= , xdxdy 2= e xdxdy 2= , respectivamente. Notamos que as funções dadas 
diferem apenas no termo constante e têm a mesma diferencial xdxdy 2= . Então: 
 
∫ ∫ +== Cxxdxdy 22 
12.2.1 Significado Geométrico da Constante de Integração 
Exemplo 
Seja x)x(f 2= . Sabemos que ( ) ( ) xdx)x(Fdoudx)x(f)x(Fd)x(F
dx
d
)x(f 2==⇒= . 
Integrando, temos Cxxdx +=∫ 22 . 
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12.3 Propriedades 
P.1 Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do 
sinal de integral. Assim: 
∫ ∫= dx)x(f.adx)x(f.a 
Exemplo 
∫ ∫ +=+== CxC
x
.xdx.xdx 2
2
2
2
444 
P.2 A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destes diferenciais. 
Assim: 
( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dtdvdudtdvdu 
 A integral da soma é igual à soma das integrais. 
Exemplo: 
( )∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ =−+=−+=−+ dxdxxdxxdxdxxdxxdxxx 643643643 323232 
 CxxxCxC
x
.C
x
. +−+=+−+++= 66
4
4
3
3 4332
4
1
3
 
12.4 Integrais Imediatas 
12.4.1 ∫ dxxn 
Seja a função C
n
x
y
n
+
+
=
+
1
1
, com 1−≠n . 
dxxdydx
n
x).n(
dy n
n
=⇒
+
+
=
−+
1
1 11
 
 
22 += xy 
12 += xy 
2xy = 
12 −= xy 
22 −= xy 
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⇒=⇒=∫ ∫∫ dxxydxxdy nn 
C
n
x
dxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
, com 1−≠n 
Exemplos 
1) ∫ 



 −+−+− dxxx
x
xxx 2
1
568
3
23 
 
 
 
 
 
 
 
2) ( )( )∫ +− dxx.x 2323 
 
 
 
 
3) ( )∫ dxx32 
 
 
12.4.2 ∫ += Cxx
dx
ln 
Seja a função Cxy += ln 
∫ ∫∫ ⇒=⇒=⇒= x
dx
ydx
x
dydx
x
dy
11
 
∫ += Cxx
dx
ln 
Exemplo 
∫ =dxx
6
 
 
12.4.3 Introdução sob o Sinal da Diferencial 
Seja calcular a integral ∫ dxxf )( . Fazemos a mudança de variável )(tx ϕ= , onde 
)(tϕ é uma função contínua, bem como a sua derivada e inversível. Então dttdx )('ϕ= e 
demonstra-se que é válida a expressão: 
[ ]∫ ∫= dtttfdxxf )('.)()( ϕϕ 
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Exemplos 
1) ( ) dxx 713∫ + 
 
 
 
 
 
 
2) ∫
− 42x
xdx
 
 
 
 
 
 
 
3) dx
xsen
xsen
∫ )(
)2(
2
 
 
 
 
 
 
12.4.4 ∫ += Ca
a
dxa
x
x
ln
 
Seja a função C
a
a
y
x
+=
ln
. 
∫ ∫∫ ⇒=⇒=⇒=⇒= dxaydxadydxadydxa
aa
dy xxx
x
ln
ln
 
∫ += Ca
a
dxa
x
x
ln
 
Exemplo 
∫ dxx53 
 
 
 
 
 
Caso Particular: Ce
e
e
dxe x
x
x +==∫ ln 
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Exemplos 
1) ∫ xdxesenx cos. 
 
 
 
2) dx
a
aa
x
xx
∫
−−
 
 
 
 
 
 
 
12.4.5 Cxsenxdx +−=∫ cos 
Seja a função Cxy +−= cos . 
∫ ∫ ∫ ⇒=⇒=⇒= senxdxysenxdxdysenxdxdy 
Cxsenxdx +−=∫ cos 
Exemplo 
dxxsenx )3(. 2∫ 
 
 
 
 
12.4.6 Csenxxdx +=∫ cos 
Seja a função Csenxy += . 
∫ ∫ ∫ ⇒=⇒=⇒= xdxyxdxdydxdy coscoscos 
Csenxxdx +=∫ cos 
Exemplo 
dxx∫ 2cos 
 
 
 
 
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12.4.7 Cxtgxdx +−=∫ cosln 
Seja xy cosln−= 
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒
−
−= ∫∫∫ tgxdxytgxdxdytgxdxdydxx
senx
dydx
x
senx
dy
coscos
 
Cxtgxdx +−=∫ cosln 
12.4.8 Csenxxdx +=∫ lncotg 
Seja senxy ln= 
⇒=⇒=⇒=⇒= ∫∫∫ xdxyxdxdyxdxdydxsenx
x
dy cotgcotgcotg
cos
 
Csenxxdx +=∫ lncotg 
12.4.9 ∫ += Ctgxxdx2sec 
12.4.10 ∫ +−= Cxxdx cotgcsc2 
Exemplos 
1) ∫ xdxtg 2 
 
 
 
 
2) ∫ xdxetgx 2sec. 
 
 
 
 
12.4.11 ∫ += Cxtgxdxx sec.sec 
12.4.12 Cxxdxx +−=∫ csccotg.csc 
Exemplos 
1) ∫ xdxsec 
 
 
 
 
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2) ∫ xdxcsc 
 
 
 
 
 
 
 
12.4.13 C
a
x
arcsen
xa
dx
+=
−
∫ 22 
Seja a função C
a
x
arcseny += , com 22 xa > 
∫∫ ⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
= dx
xa
dydx
xa
dydx
a
a
xa
dydx
a
a
x
dy
2222
222
2
2
111
.
11
.
1
1
 
C
a
x
arcsen
xa
dx
+=
−
∫ 22 
 
Exemplo 
∫
− 2416 x
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.4.14 ∫ +=+ Ca
x
arctg
axa
dx 1
22
 
Seja a função C
a
x
arctg
a
y += .
1
. 
∫∫ ⇒+=⇒+=⇒+=⇒
+
=
2222
2
222
2
2
111
.
1
11
xa
dx
dy
xa
dx
dydx
a
xaa
dydx
a
a
xa
dy 
C
a
x
arctg
a
y += .
1
 
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Exemplos 
1) ∫ + 25 x
dx
 
 
 
 
 
 
2) ∫ + 416
2
x
xdx
 
 
 
 
 
 
 
 
3) ∫ ++ 942 xx
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
12.4.15 ∫ +−
+
=
−
C
xa
xa
axa
dx
ln
2
1
22
 
Seja C
xa
xa
a
y +
−
+
= ln
2
1
. 
( ) ( )
( )
⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
+
−
−+−−
= ∫∫ dxxadydxxadyxa
a
a
dy
xa
xa
xa
xaxa
a
dy
222222
2 112
.
2
1
)1.(1.
.
2
1
∫ +−
+
=
−
C
xa
xa
axa
dx
ln
2
1
22
 
Exemplo 
∫ − 2916 x
dx
 
 
 
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12.4.16 Caxx
ax
dx
+±+=
±
∫ 2222 ln 
Seja Caxxy +±+= 22ln . 
⇒
±
=⇒
±
=
⇒
±+±
+±
=⇒
±+
±
+±
=⇒
±+
±
+
=
∫∫ 2222
2222
22
22
22
22
22
22 1
.
.2
2.2.2
2.2
2
2
1
ax
dx
dy
ax
dx
dy
dx
axxax
xax
dydx
axx
ax
xax
dydx
axx
ax
x
dy
Caxx
ax
dx
+±+=
±
∫ 2222 ln 
Exemplo 
∫
− 42x
dx
 
 
 
 
 
 
 
12.5 Integração por Partes 
Se u e v designam duas funções deriváveis de x, sabe-se que o diferencial do 
produto u.v é: 
vduudvvud +=).( 
Integrando-se, temos: 
⇒+= ∫∫ vduudvvu. 
∫∫ −= vduvuudv . 
Exemplos 
1) ∫ senxdxx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) ∫ xdxx ln. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: O método de integração por partes é empregado com muita freqüência. Pode ser 
utilizado para calcular integrais dos seguintes tipos: 
∫ dxaxsenxk )( ; ∫ dxaxxk )cos( ; ∫ dxex axk ; ∫ dxxxk )ln( 
Também é aplicado ao cálculo de integrais nos quais estejam presentes, as funções 
trigonométricas inversas. 
Exemplo 
∫ arctgxdx 
Fazendo: 
xvdxdv
xa
dx
duarctgxu
=⇒=
+
=⇒=
2 
Então: Cxxarctgxarctgxdx
x
dx
xxarctgxarctgxdx ++−=⇒
+
−= ∫∫∫ 22 1ln2
1
.
1
.. 
 
Às vezes, para reduzir a integral dada a uma imediata, é preciso empregar várias 
vezes a fórmula de integração por partes. Em alguns casos, valendo-se da integração por 
partes, obtém-se uma equação na qual se determina a integral procurada. 
Exemplos 
1) xdxex cos∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) ∫ dxex x2 
 
 
 
 
 
 
 
3) ( )∫ −+ dxxxx )2cos(.572 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) ∫ − dxxa 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12.6 Integração usando Substituição de Variável 
Supondo )(tx ϕ= , onde t é uma nova variável e ϕ uma função contínua 
diferenciável ( )0)(' ≠tϕ , teremos: 
[ ]∫ ∫= dtttfdxxf )('.)()( ϕϕ (3) 
 Deve-se escolher a função ϕ de tal maneira que, o segundo membro da fórmula (3) 
tome uma forma mais adequada para a integração. 
Exemplo 
∫ − dxxx 1 
 
 
 
 
 
 
 
12.7 Integrais Elementares que contém o Trinômio ax2+bx+c 
12.7.1 Integrais do tipo ∫ ++
+
dx
cbxax
nmx
2
 
O procedimento principal de cálculo consiste em reduzir o trinômio do segundo 
grau à forma: 
lkxacbxax ++=++ 22 )( (4) 
onde k e l são constantes. Para efetuar a transformação, o mais fácil é separar o quadrado 
exato do trinômio de segundo grau. Pode-se também empregar a substituição 
tbax =+2 
 Vamos então analisar dois casos: 
1º Caso: m = 0 
Pode-se reduzir o trinômio do segundo grau à forma (4), obtendo-se uma das duas 
integrais imediatas a seguir. 
∫ +=+ Ca
x
arctg
aax
dx 1
22
, com 0≠a ou ∫ ++
−
=
−
C
ax
ax
aax
dx
ln
2
1
22
, com 0≠a 
Exemplo 
∫ +− 752 2 xx
dx
 
 
 
 
 
 
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2º Caso: m ≠ 0 
Do denominador separa-se a derivada bax +2 do trinômio cbxax ++2 , como 
mostrado a seguir: 
( )
∫∫∫ ++




−+++=
++





 −++
=
++
+
cbxax
dx
a
mb
ncbxax
a
m
dx
cbxax
a
mb
nbax
a
m
dx
cbxax
nmx
2
2
22 2
ln
2
2
2
2
 
Desta forma, chegamos ao caso anterior. 
Exemplo 
∫ −−
−
dx
xx
x
1
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.7.2 Integrais do Tipo dx
cbxax
nmx
∫
++
+
2
 
Por transformações algébricas, reduzimos a uma das duas integrais a seguir: 
∫ +++=
+
Caxx
ax
dx 22
22
ln ou ∫ +=
−
C
a
x
arcsen
xa
dx
22
 
Exemplos 
1) ∫
−+ 2232 xx
dx
 
 
 
 
 
 
2) dx
xx
x
∫
++
+
22
3
2
 
 
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12.7.3 Integrais do Tipo 
( )∫ +++ cbxax.nmx
dx
2
 
Fazendo-se a substituição da fração linear t
nmx
=
+
1
, estas integrais reduzem-se às 
da seção 17.7.2. 
Exemplo 
( )∫ ++ 11 2x.x
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.7.4 Integrais do Tipo dxcbxax∫ ++2 
Separando-se o quadrado exato no trinômio, podemos reduzir esta integral a 
C
a
x
arcsen
a
xa
x
dxxa ++−=−∫ 22
2
2222 , com 0>a ou 
Caxxln
a
ax
x
dxax +++++=+∫ 22
2
2222
22
 
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Exemplo 
dxxx∫ −− 221 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.8 Integração de Funções Racionais(Método dos Coeficientes 
Indeterminados) 
A integração de uma função racional, depois de separar-se a parte inteira, se reduz à 
integração de uma função racional própria 
)x(Q
)x(P
 (4) 
onde )x(P e )x(Q são polinômios inteiros e o grau do numerador )x(P é menor que o do 
denominador )x(Q . Se ( ) ( )λα lx....ax)x(Q −−= , onde l,...,a são diferentes raízes reais 
do polinômio )x(Q e λα ,..., são números naturais, a fração (4) poderá decompor-se em 
frações simples 
( ) ( ) ( ) ( )λ
λ
α
α
lx
L
...
lx
L
lx
L
...
)ax(
A
...
ax
A
ax
A
)x(Q
)x(P
−
++
−
+
−
++
−
++
−
+
−
=
2
21
2
21 (5) 
Para calcular os coeficientes indeterminados λL,...,A,A 21, efetua-se o mínimo múltiplo 
comum do segundo membro. A seguir, simplificam-se os denominadores de ambos os 
membros, que são iguais e, por fim, se igualam os coeficientes de cada uma das potências 
iguais da variável x, obtendo-se um sistema de equações lineares. Pode-se também, após 
simplificamos os denominadores, substituir x, por certos números devidamente escolhidos. 
Exemplos: 
1) 
( ) ( )∫ +− 211 x.x
xdx
 
 
 
 
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2) ∫ +− xxx
dx
23 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) dx
x
xx
∫ −
−+
8
8
3
34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12.9 Integração de Funções Trigonométricas 
Integrais do Tipo dxxcosxsen nm∫ , com Zn,m ∈ 
1) Se 12 += km é um número ímpar e positivo, então: 
( ) )senxdx.(xcos.xcos)dxsenx.(xcos.xsen
senxdx.xcos.xsenxdxcos.xsendxxcos.xsen
k
nk
nknknm
−−−=−−
===
∫∫
∫ ∫∫ +
22
212
1
 
 
2) Se 12 += kn é um número ímpar e positivo, então: 
( )
( ) )dx.x.(cosxsenxsen
xdxcos.xcos.xsenxdxcos.xsendxxcos.xsen
k
m
kmkmnm
∫
∫ ∫∫
−
=== +
2
212
1
 
Exemplo 
∫ xdxcos.xsen 310 
 
 
 
 
 
3) Se m e n são números pares e positivos, usamos as transformações tringonométricas 
( )xcosxsen 21
2
12 −= , ( )xcosxcos 21
2
12 += e xsenxcossenx 2
2
1
= 
Exemplo: 
( )∫ − dxxsenxcos 33 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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83 
12.10 Substituição Trigonométrica 
Este método é aplicado, geralmente, às integrais, cujos integrandos contém fator do 
tipo ( ) 2122 ±± xa ou ( ) 2122 ±± ax que não recaem em potência ou 
a
x
arcsen . 
Exemplos 
1) ∫
+ 22 xa
dx
 
Solução 
Para auxiliar a solução, vamos utilizar o triângulo retângulo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, temos: 
Ctgseclndsec
seca
dseca
xa
dx
++===
+
∫ ∫∫ ααααα
αα2
22
 
Voltando à variável x, vem: 
C
a
xxa
lnC
a
x
a
xa
ln
xa
dx
+
++
=++
+
=
+
∫
2222
22
 
 
2) dx
x
ax
∫
−
4
22
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α 
22 xa + 
x 
a 
α
α
α
αα
αα
seca
cos
a
xa
xa
a
cos
dsecadx
tg.ax
a
x
tg
==+
⇒
+
=
=
=⇒=
22
22
2
 
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84 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.11 Integrais dos Binômios Diferenciais 
São integrais do tipo ( )∫ + dxbxa.x
pnm onde n,m e p são números racionais. 
Condições de Tchebichev 
A integral ( )∫ + dxbxa.x
pnm pode ser expressa por meio de uma combinação finita de 
funções elementares somente nos seguintes três casos: 
1) quando p é um número inteiro; 
2) quando 
n
m 1+
 é um número inteiro. Aqui, emprega-se a substituição sn zbxa =+ , onde s 
é o denominador da fração p; 
3) Quando p
n
m
+
+1
 é um número inteiro. Neste caso, emprega-se a substituição 
sn zbax =+− . 
Exemplo 
∫
+
dx
x
x3 41
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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85 
12.12 Integração de Funções Racionais de Senos e Cossenos 
1°°°° Caso: Usamos a substituição t
x
tg =
2
 e temos 
21
2
t
t
senx
+
= , 
2
2
1
1
t
t
xcos
+
−
= e 
21
2
t
dt
dx
+
= . 
Desta forma, transforma-se a integral de funções racionais em uma integral na 
nova variável t. 
Exemplo: 
∫ ++ xcossenx
dx
1
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2°°°° Caso: Se substituindo senx por senx− e xcos por xcos− , a integral não se alterar, 
fazemos a substituição ttgx = e temos 
21 t
t
senx
+
= , 
21
1
t
xcos
+
= , 
arctgtx = e 
21 t
dt
dx
+
= . 
Exemplo 
∫ + xsen
dx
21
 
Solução 
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86 
13 Integrais de Funções Hiperbólicas 
Fórmulas das integrais de funções hiperbólicas diretas são: 
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+−=
+−=
+−=
+=
+=
+=
Ccschuhuducschu.cotg
Csechudusechu.tghu
Ccotghuuducsch
Ctghuudusech
Csenhucoshudu
Ccoshusenhudu
2
2
 
Exemplos 
1) =∫ .coshxdxxsenh5 
 
 
2) ∫ =tghxdx 
 
 
Fórmulas das integrais de funções hiperbólicas inversas 
∫ +++=+=
+
CuuCarcsenhu
u
du
1ln
1
2
2
 
1,1lnarccos
1
2
2
>+−+=+=
−
∫ uCuuChu
u
du
 
∫ +−
+
=




>+
<+
=
−
C
u
u
uCghuarc
uCarctghu
u
du
1
1
ln
2
1
1,cot
1,
1 2
 
10,
11
lnsec
1
2
2
<<+







 −+
−=+−=
−
∫ uCu
u
Cuharc
uu
du
 
0,
11
lncsc
1
2
2
≠+







 ++
−=+−=
+
∫ uCu
u
Cuharc
uu
du
 
Exemplo 
Calcule ∫ >
− 2
1
,
14 2
x
x
dx
 
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87 
14 Estudo da Integrais Definidas 
14.1 Área 
Antigamente, o procedimento mais usado para se determinar áreas era o método da 
exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são 
conhecidas. 
Exemplo 
Para determinar a área de um círculo, consideramos um polígono regular inscrito de 
n lados, que denotamos por nP . 
Seja nA a área do polígono nP . Temos que: 
nTn
A.nA = onde 
nT
A é a área do triângulo de base nI e altura nh , como mostra a 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando ∞→n , nP torna-se uma aproximação do círculo. O perímetro np aproxima-se do 
comprimento do círculo rπ2 e a altura nh , aproxima-se do raio r. Temos então: 
2
2
2
r
r.r
Alim n
n
π
π
==
∞→
, que é a área do círculo. 
 Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada 
pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas ax = e 
bx = . 
 
 
Para isso, fazemos uma partição do intervalo [ ]b,a , isto é, dividimos o intervalo [ ]b,a em n 
subintervalos, escolhendo os pontos 
bx...xx...xxa nii =<<<<<<= −110 
nI 
nh 
nn
nnnn
n
nn
T
Pp
h.ph.I
.nA
h.I
A
n
 de perímetro o sendo
22
então ,
2
 Como
==
=
 
S 
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88 
Seja 1−−=∆ iii xxx o comprimento do intervalo [ ]1−ii x,x . Em cada um destes intervalos 
[ ]1−ii x,x , escolhemos um ponto qualquer ic . 
Para cada n,...,,i,i 21= , construímos um retângulode base ix∆ e altura )c(f i , conforme 
mostra a figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma das áreas do n retângulos, que representamos por nS é dada por: 
∑
=
∆=∆++∆+∆=
n
i
iinnn x).c(fx).c(f...x).c(fx).c(fS
1
2211 
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x). 
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada n,...,,i,xi 21=∆ torna-se muito 
pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos 
como a área de S. 
14.1.1 Definição 
Seja )x(fy = uma função contínua, não negativa em [ ]b,a . A área sob a curva 
)x(fy = , de a até b, é definida por: 
∑
=
→∆
∆=
n
i
ii
xmax
x).c(flimA
i 1
0
 
onde para cada ic,n,...,,i 21= é um ponto arbitrário do intervalo [ ]ii x,x 1− . 
É possível provar que o limite desta definição existe e é um número não negativo. 
14.2 Integral Definida 
A integral definida está associada ao limite da definição 13.1.1. Ela nasceu com a 
formalização matemática dos problemas de áreas. De acordo com a terminologia 
introduzida na seção anterior, temos a definição a seguir. 
Definição 
Seja f uma função definida no intervalo [ ]b,a e seja P uma partição qualquer de 
[ ]b,a . A integral definida de f de a até b, denotada por ∫
b
a
dx)x(f é dada por 
∑∫
=
→∆
∆=
n
i
ii
xmax
b
a
x).c(flimdx)x(f
i 1
0
 
22110 xcxcax =
 
iii xcx 1−
 
nnni xcx 1−
 
y 
x 0
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89 
desde que o limite exista. Se ∫
b
a
dx)x(f existe, dizemos que f é integrável em [ ]b,a . 
 
Na notação ∫
b
a
dx)x(f , os números a e b são chamados limites de integração (a é o limite 
inferior e b é o limite superior). 
Se f é integrável em [ ]b,a , então ∫ ∫∫ ==
b
a
b
a
b
a
ds)s(fdt)t(fdx)x(f , isto é, podemos usa 
qualquer símbolo para representar a variável independente. 
Quando a função f é contínua e não negativa em [ ]b,a , a definição da integral definida 
coincide com a definição da área (definição 13.1.1). Portanto, neste caso, a integral definida 
∫
b
a
dx)x(f é a área da região sob o gráfico de f de a até b. 
14.2.1 Definição 
(a) Se ba > , então ∫∫ −=
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f ,se a integral à direita existir; 
(b) Se ba = e )a(f existe, então ∫ =
b
a
dx)x(f 0 . 
14.2.2 Teorema 
Se f é contínua em [ ]b,a , então f é integrável em [ ]b,a . 
14.2.3 Propriedades da Integral Definida 
P.1 Se f é integrável em [ ]b,a e k é um número real arbitrário, então k.f é integrável em 
[ ]b,a e ∫ ∫=
b
a
b
a
dx)x(f.kdx)x(f.k . 
Demonstração 
Como f é integrável em [ ]b,a , existe o limite ∑
=
→∆
∆
n
i
ii
xmax
x).c(flim
i 1
0
 e portanto, 
podemos escrever que 
∫∑∑∫ =∆=∆=
=
→∆
=
→∆
b
a
n
i
ii
xmax
n
i
ii
xmax
b
a
dx)x(f.kx).c(flim.kx).c(f.klimdx)x(f.k
ii 1
0
1
0
 
P.2 Se f e g são funções integráveis em [ ]b,a , então f + g é integrável em [ ]b,a e 
[ ] [ ] [ ]∫ ∫∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f . 
Demonstração 
Se f é integrável em [ ]b,a , existe o limite ∑
=
→∆
∆
n
i
ii
xmax
x).c(flim
i 1
0
 que é ∫
b
a
dx)x(f . 
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90 
Se g é integrável em [ ]b,a , existe o limite ∑
=
→∆
∆
n
i
ii
xmax
x).c(glim
i 1
0
 que é ∫
b
a
dx)x(g . 
Escrevemos então: 
[ ] [ ]
∫∫∑∑
∑∫
+=∆+∆
=∆+=+
=
→∆
=
→∆
=
→∆
b
a
b
a
n
i
ii
xmax
n
i
ii
xmax
n
i
iii
xmax
b
a
dx)x(gdx)x(fx).c(glimx).c(flim
x.)c(g)c(flimdx)x(g)x(f
ii
i
1
0
1
0
1
0
 
Este teorema é válido também para um número finito de funções e também para diferença 
de funções. 
P.3 Se bca << e f é integrável em [ ]c,a e em [ ]b,c , então f é integrável em [ ]b,a e 
∫ ∫∫ +=
b
a
b
c
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f . 
Demonstração 
Consideremos uma partição no intervalo [ ]b,a de tal forma que o ponto c 
( bca << ) seja um ponto de partição, isto é, ixc = , para algum i. 
 
... ... b=xnx0=a x1 x2 c=xi 
 
Podemos dizer que [ ]c,a ficou dividido em r subintervalos e [ ]b,c em n – r 
subintervalos. Escrevemos as respectivas somas de Riemann 
∑
=
∆
r
i
ii x).c(f
1
 e ∑
+=
∆
n
ri
ii x).c(f
1
 
Então: 
∑∑∑
+===
∆+∆=∆
n
ri
ii
r
i
ii
n
i
ii x).c(fx).c(fx).c(f
111
 
 Usando a definição da integral definida, vem: 
 
∫∫∑∑
∑∑∑∫
+=∆+∆
=





∆+∆=∆=
+=
→∆
=
→∆
+==
→∆
=
→∆
b
c
c
a
n
ri
ii
xmax
r
i
ii
xmax
n
ri
ii
r
i
ii
xmax
n
i
ii
xmax
b
a
dx)x(fdx)x(fx).c(flimx).c(flim
x).c(fx).c(flimx).c(flimdx)x(f
ii
ii
1
0
1
0
11
0
1
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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91 
P.4 Se f é integrável e se 0)( ≥xf , para todo x em [ ]ba, , então ∫ ≥
b
a
dxxf 0)( . 
Demonstração 
 Como ( ) 0≥icf para todo ic em [ ]ii xx ,1− , segue que ( )∑
=
≥∆
n
i
ii xcf
1
0. . Portanto, 
( ) 0.lim
1
0max
≥∆∑
=
→∆
n
i
ii
x
xcf
i
 e dessa forma ∫ ≥
b
a
dxxf 0)( . 
P.5 Se f e g são integráveis em [ ]ba, e )()( xgxf ≥ , para todo x em [ ]ba, , então: 
∫∫ ≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()( 
Demonstração 
Fazemos ∫∫ −=
b
a
b
a
dxxgdxxfI )()( . Devemos mostrar que 0≥I . Usando P.2, temos: 
[ ]∫∫∫ −=−=
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfI )()()()( . Como )()( xgxf ≥ , para todo x em [ ]ba, , 
temos [ ]baxxgxf ,,0)()( ∈∀≥− . Usando P.4, concluímos que 0≥I . 
P.6 Se f é uma função contínua em [ ]ba, , então ∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()( . 
Demonstração 
Se f é contínua em [ ]ba, , então: 
a) f é integrável em [ ]ba, ; 
b) f é contínua em [ ]ba, ; 
c) f é integrável em [ ]ba, . 
Sabemos que )()()( xfxfxf ≤≤− . 
Usando P.4, escrevemos: 
( ) ∫∫∫ ≤≤−
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( . 
Usando P.1, temos: 
∫∫∫ ≤≤−
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( . 
Por propriedade de módulo, temos que: 
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()( 
P.7 Teorema do Valor Médio 
Se f é uma função contínua em [ ]ba, , existe um ponto c entre a e b tal que 
)().()( cfabdxxf
b
a
−=∫ 
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92 
Se [ ]baxxf ,,0)( ∈≥ , podemos visualizar geometricamente esta proposição. Ela 
nos diz que a área abaixo da curva )(xfy = , entre a e b, é igual à área de um retângulo de 
base ab − e altura )(cf . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.3 Teorema Fundamental do Cálculo 
O teorema fundamental do cálculo nos permite relacionar as operações de derivação 
e integração. Conhecendo-se uma primitiva de uma função contínua [ ] ℜ→baf ,: , pode-se 
calcular a sua integral definida ∫
b
a
dttf )( . Com isso, obtém-se uma maneira rápida e simples 
de resolver inúmeros problemas práticos que envolvem o cálculo da integral definida. 
Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente será definida uma importante 
função auxiliar, a seguir. 
Toma-se a integral definida ∫
b
a
dttf )( . Fixa-se o limite inferior a e faz-se variar o 
limite superior. Então, o valor da integral dependerá desse limite superior variável, que será 
indicado por x. Fazendo-se x variar no intervalo [ ]ba, , obtém-se uma função )(xG , dada 
por ∫=
x
a
dttfxG )()( . 
Intuitivamente, pode-se compreender o significado de)(xG , através de uma análise 
geométrica. Se [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ , a integral ∫
b
a
dttf )( representa a área abaixo do gráfico 
de f, entre a e b (Figura). Da mesma forma, ∫=
x
a
dttfxG )()( nos dá a área abaixo do 
gráfico de f, entre a e x (Figura). Pode-se observar que 0)( =aG e )(bG nos dá a área 
abaixo da curva de a até b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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93 
Vamos agora determinar a derivada de )(xG . 
14.3.1 Proposição 
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [ ]ba, . Então a função 
[ ] ℜ→baG ,: , definida por ∫=
x
a
dttfxG )()( tem derivada em todos os ponto [ ]bax ,∈ que 
é dada por )()(' xfxG = , ou seja: 
)()( xfdttf
dx
d x
a
=∫ 
Demonstração 
Vamos determinar a derivada )(' xG , usando a definição 
x
xGxxG
xG
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)('
0
 
Temos: 
∫=
x
a
dttfxG )()( 
∫
∆+
=∆+
xx
a
dttfxxG )()( 
∫∫ −=−∆+
∆+ x
a
xx
a
dttfdttfxGxxG )()()()( 
Usando P.3 podemos escrever: 
∫∫∫
∆+∆+
+=
xx
x
x
a
xx
a
dttfdttfdttf )()()( 
e então 
∫∫∫∫
∆+∆+
=−+=−∆+
xx
x
x
a
xx
x
x
a
dttfdttfdttfdttfxGxxG )()()()()()( 
Como f é contínua em [ ]xxx ∆+, , pelo teorema do valor médio, existe um ponto x entre x 
e xx ∆+ , tal que 
( ) xxfxfxxxdttfxx
x
∆=−∆+=∫
∆+
).()(.)( 
Portanto: 
 )(lim
).(
lim
)()(
lim)('
000
xf
x
xxf
x
xGxxG
xG
xxx →∆→∆→∆
=
∆
∆
=
∆
−∆+
= 
Como x está entre x e xx ∆+ , segue que xx→ quando 0→∆x . Como f é contínua, 
temos: 
)()(lim)(lim
0
xfxfxf
xxx
==
→→∆
 
Logo: 
)()(' xfxG = 
Pode-se observar que quando x é um dos extremos do intervalo [ ]ba, , os limites 
utilizados na demonstração serão limites laterais. )(' aG será uma derivada à direita e 
)(' bG uma derivada à esquerda. 
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94 
Uma importante conseqüência desta proposição é que toda função f(x) contínua num 
intervalo [ ]ba, possui uma primitiva que é dada por: 
∫=
x
a
dttfxG )()( 
E pode-se então enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo. 
14.3.2 Teorema 
Se f é contínua sobre [ ]ba, e se F é uma primitiva de f nesse intervalo, então: 
∫ −=
b
a
aFbFdttf )()()( 
Demonstração 
Como f é contínua em [ ]ba, , pela proposição 14.3.1, temos que ∫=
x
a
dttfxG )()( é 
uma primitiva de f nesse intervalo. 
Seja )(xF uma primitiva qualquer de f em [ ]ba, . Então: 
[ ]baxCxGxF ,,)()( ∈∀+= . 
Como ∫ ==
a
a
dttfaG 0)()( e ∫=
b
a
dttfbG )()( , calculando a diferença )()( aFbF − , 
obtemos: 
[ ] ∫∫ =−=−=+−+=−
b
a
b
a
dttfdttfaGbGCaGCbGaFbF )(0)()()()()()()( 
 Pode-se então escrever: 
)()(|)()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a −==∫ 
Exemplos 
Calcular as integrais definidas a seguir: 
1) ∫
3
1
xdx 
 
 
2) ∫ 20 cos
π
tdt 
 
 
3) ( )∫ +−
1
0
23 14 dxxx 
 
 
4) ∫ +
1
0 2 1
dx
x
x
 
 
 
 
 
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95 
15 Aplicações das Integrais Definidas 
15.1 Cálculo de Áreas Planas 
Seja 0)( >= xfy , diferenciável no intevalo [ ]ba, . Então, a área da superfície 
limitada pelo gráfico da curva )(xfy = , pelo eixo dos x e pelas retas ax = e bx = é 
obtida pela integral definida 
∫=
b
a
dxxfA )( 
onde dxxf )( é a área de um retângulo elementar. 
Caso 1: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = e bx = 
e o eixo dos x, onde é contínua e [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a área é dada por ∫=
b
a
dxxfA )( 
Exemplo 
Vamos encontrar a área da superfície limitada pela curva 22 += xy , pelo eixo dos x e 
pelas retas 1−=x e 2=x . 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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96 
Caso 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = e bx = 
e o eixo dos x, onde f é contínua e [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≤ . 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a área é dada por ∫=
b
a
dxxfA )( 
Exemplo 
Calcule a área limitada pela curva 42 −= xy , o eixo dos x e as retas 2−=x e 2=x . 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 3: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas ax = 
e bx = onde f e g são funções contínuas em [ ]ba, e [ ]baxxgxf ,),()( ∈∀≥ . Neste caso, 
pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos [ ]bax ,∈∀ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a área é calculada por [ ]∫ ∫∫ −=−=
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfA )()()()( . 
 
 
 
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97 
Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x deslocado de tal 
maneira que as funções se tornem não negativas, [ ]bax ,∈∀ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se descermos o eixo dos x, h unidades abaixo, podemos observar que a área A da região, 
não se altera. Então, se calcularmos a área usando o plano cartesiano com o eixo x’, temos: 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]∫∫∫∫ −=−−+=+−+=
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxhxghxfdxhxgdxhxfA )()()()()()(' 
 
Ainda, como 'AA = , temos: 
[ ]∫ −=
b
a
dxxgxfA )()( 
Exemplos 
1) Encontre a área limitada por 2xy = e 2+= xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 
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98 
2) Encontre a área da região limitada pelas curvas 3,6 xyxy =+= e 
2
x
y −= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule a área da superfície limitada por um ciclo da ciclóide 



−=
−=
θ
θθ
cos1y
senx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4
 
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
 
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99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule a área do laço da curva ( )xxy += 2.42 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
 
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100 
15.2 Comprimento de Arcosde Curvas Planas 
15.2.1 Na forma y = f(x) 
Seja C uma curva de equação y = f(x), onde f é contínua e derivável em [ ]ba, . 
Queremos determinar o comprimento do arco da curva C, de A até B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja P uma partição de [ ]ba, , dada por: bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210 
 Sejam nii QQQQQQ ,...,,,...,,, 1210 − os correspondentes pontos sobre a curva C. 
Unindo os pontos nii QQQQQQ ,...,,,...,,, 1210 − , obtemos uma poligonal, cujo comprimento 
nos dá uma aproximação do comprimento do arco da curva C, de A até B. 
 O comprimento da poligonal, denotado por nl , é dado por: 
( ) ( )∑
=
−− −+−=
n
i
iiiin xfxfxxl
1
2
1
2
1 )()( (1) 
 Como f é derivável em [ ]ba, , podemos aplicar o teorema do valor médio em cada 
intervalo [ ] nixx ii ,...,2,1,,1 =− e escrever 
)).((')()( 11 −− −=− iiiii xxcfxfxf , onde ( )iii xxc ,1−∈ 
 Substituindo em (1), temos: 
( ) [ ]( ) [ ] ( )⇒−+=⇒−+−= −
==
−− ∑∑ 1
1
2
1
2
1
2
1 )('1)(' ii
n
i
in
n
i
iiiiin xxcflxxcfxxl 
[ ] 1
1
2 ,.)('1 −
=
−=∆∆+=∑ iiii
n
i
in xxxxcfl (2) 
 
 A soma que aparece em (2) é uma soma de Riemann da função [ ]2)('1 icf+ . 
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada ),...,2,1( nixi =∆ torna-se muito 
pequeno, nl aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o comprimento do arco 
da curva C, de A até B. 
y 
x 0 a=x0 x1 x2 x3 xi-1 xi xn-1 b=xn 
A=Q0 
Q1 
Q2 
Q3 
Qi-1 Qi 
Qn-1 
B=Qn 
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101 
Definição 
 Seja C uma curva de equação )(xfy = , onde f é uma função contínua e derivável 
em [ ]ba, . O comprimento do arco da curva C, do ponto ( ))(, afaA ao ponto ( ))(, bfbB , 
que denotamos por s, é dado por: [ ]∑
=
→∆
∆+=
n
i
ii
x
xcfs
i 1
2
0max
.)('1lim , se o limite existir. 
Pode-se provar que, se )(' xf é contínua em [ ]ba, , o limite existe. Então, temos: 
[ ]∫ +=
b
a
dxxfs
2)('1 
Exemplos 
1) Calcular o comprimento do arco da curva dada por 42
3
−= xy , de )3,1( −A até )4,4(B . 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o comprimento da catenária 





=
10
cosh10
x
y de 10−=x a 10=x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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102 
15.2.2 Na forma x = g(y) 
Podem ocorrer situações em que a curva C é dada por )(ygx = , em vez de 
)(xfy = . Neste caso, o comprimento do arco da curva C de ( )ccgA ),( até ( )ddgB ),( , é 
dado por: 
 
[ ]∫ +=
d
c
dyygs
2)('1 . 
 
 
 
 
Exemplo 
Calcular o comprimento do arco dado por 1
6
1
2
1 3 −+=
y
yx , 31 ≤≤ y . 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b
y 
x 0 
 c 
d 
A 
B 
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103 
15.2.3 Na Forma Paramétrica 
Vamos agora, calcular o comprimento do arco de uma curva C, dada na forma 
paramétrica pelas equações [ ]10 ,)(
)(
ttt
tyy
txx
∈



=
=
 onde )(txx = e )(tyy = são contínuas 
com derivadas contínuas e 0)(' ≠tx para todo [ ]10 , ttt∈ . 
Estas equações definem uma função )(xfy = , cuja derivada é dada por 
)('
)('
tx
ty
dx
dy
= . 
Para calcular o comprimento do arco de C, vamos fazer uma mudança de variáveis 
na fórmula do comprimento. Substituindo )(txx = e dttxdx )('= , obtemos: 
[ ] ∫∫ 





+=+=
1
0
)('
)('
)('
1)('1
2
2 t
t
b
a
dttx
tx
ty
dxxfs , onde atx =)( 0 e btx =)( 1 . Portanto 
[ ] [ ]∫ +
1
0
22 )(')('
t
t
dttytx 
Exemplo 
Calcular o comprimento da hipociclóide 




=
=
ty
tsenx
3
3
cos2
2
. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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104 
15.3 Volume de um Sólido de Revolução 
Consideremos agora o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela 
rotação em torno do eixo dos x, da região plana R, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que y = f(x) é contínua e não negativa em [ ]ba, . Consideremos uma 
partição P de [ ]ba, , dada por: bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210 . Seja 1−−=∆ iii xxx 
o comprimento do intervalo [ ]ii xx ,1− . Em cada intervalo [ ]ii xx ,1− , escolhemos um ponto 
qualquer ic . Para cada nii ,...,2,1, = , construímos um retângulo iR , de base ix∆ e altura 
)( icf . Fazendo cada retângulo iR girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução 
obtido é um cilindro, cujo volume é dado por [ ] ii xcf ∆.)(. 2π , conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma dos volumes dos n cilindros, que representamos por Vn, é dada por 
[ ] [ ] [ ] [ ]∑
=
∆=∆++∆+∆=
n
i
iinnn xcfxcfxcfxcfV
1
22
2
2
21
2
1 .)(.)(.....)(..)(. ππππ 
e nos dá uma aproximação do volume do sólido T. 
 
 
y=f(x) 
a b
y 
x 0 
f(ci) 
ci 
xi-1 xi 
 
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105 
 Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada nixi ,...,2,1, =∆ torna-se 
muito pequeno, a soma dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos 
como volume do sólido T. 
Definição 
Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [ ]ba, . Seja R a região sob o 
gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo 
x, é definido por 
[ ]∑
=
∆
∆=
→
n
i
ii
x
xcfV
i 1
2
max
.)(.lim
0
π (3) 
A soma que aparece em (3) é uma soma de Riemann da Função [ ]2)(xf . Como f é 
contínua, o limite em (3) existe e então, pela definição da integral definida, temos: 
[ ]∫=
b
a
dxxfV
2)(.π 
 Alguns casos devem ser analisados. 
1º Caso: A função f(x) é negativa em alguns pontos de [ ]ba, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O sólido gerado pela rotação da Figura 1 em torno do eixo dos x, coincide com o 
sólido gerado pela Figura 2 da função )(xf . Como [ ]22 )()( xfxf = , a fórmula para 
cálculo de volumes continua válida. 
2º Caso: A região R está entre os gráficos de duas funções )(xf e g(x) de a até b. 
Supondo [ ]baxxgxf ,),()( ∈∀≥ , o volume do sólido T, gerado pela rotação de R 
em torno do eixo dos x, é dado por 
[ ] [ ]{ }∫ −=
b
a
dxxgxfV
22 )()(.π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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106 
3º Caso: Ao invés de gerar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y. 
Neste caso, temos 
[ ]∫=
d
c
dyygV
2)(.π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Caso: A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixoscoordenados. 
Se o eixo de revolução for a reta Ly = , temos 
[ ]∫ −=
b
a
dxLxfV
2)(.π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o eixo de revolução for a reta Mx = , temos 
[ ]∫ −=
d
c
dyMygV
2)(.π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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107 
Exemplos 
1) A região R, limitada pela curva 2
4
1
xy = , o eixo dos x e as retas 1=x e 4=x , gira em 
torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região 
limitada pela parábola ( )23
4
1
xy −= e pela reta ( )5
2
1
+= xy . 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
 
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
 
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108 
3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região entre 
o gráfico da função senxy = e o eixo dos x, de 
2
π
− até 
2
3π
. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A região R, delimitada pela parábola 1
2
1 2 += yx e pelas retas 1−=x , 2−=y e 2=y 
gira em torno da reta 1−=x . Determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2
-1
0
1
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
 
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
 
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109 
15.4 Área de uma Superfície de Revolução 
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma 
superfície de revolução. 
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, 
obtida quando uma curva C, de equação [ ]baxxfy ,),( ∈= , gira em torno do eixo dos x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos supor que [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ e que é uma função derivável em [ ]ba, . 
Como foi feito para o cálculo do volume, dividimos o intervalo [ ]ba, em n subintervalos 
bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210 . Sejam nii QQQQQ ,...,.,,...,, 110 − os correspondentes 
pontos sobre a curva C. Unindo os pontos nii QQQQQ ,...,.,,...,, 110 − , obtemos uma linha 
poligonal que aproxima a curva C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fazendo cada segmento de reta desta linha poligonal girar em torno do eixo dos x, a 
superfície de revolução obtida é um tronco de cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y=f(x) 
a b
y 
x 0 
C 
 
y 
x 0 a=x0 x1 x2 x3 xi-1 xi xn-1 b=xn 
A=Q0 
Q1 
Q2 
Q3 
Qi-1 Qi 
Qn-1 
B=Qn 
 
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110 
( ) grrAT .. 21 +=π , onde: 
troncodogeratrizg
maiorbasedaraior
menorbasedaraior
→
→
→
2
1
 
Logo, ( ) ( )[ ] iiii sxfxfA ∆−= − .. 1π . Sendo ( )
( ) ( )
2
1 ii
i
xfxf
cf
+
= − , pelo teorema do valor 
médio, temos ( ) iii scfA ∆= ..2π . Como iii QQx 1−=∆ . Usando o Teorema de Pitágoras, 
temos 
( ) ( ) ( )( )21
2
1 −− −+−=∆ iiiii xfxfxxs (4) 
Como f é derivável no intervalo [ ]ba, , podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em 
cada [ ] nixx ii ,...,2,1,,1 =− . Então para cada ni ,...,2,1= , existe um ponto ( )iii xxd ,1−∈ tal que 
( ) ( ) ( )( )11 .' −− −=− iiiii xxdfxfxf e então ( ) ( ) ( ) iiii xdfxfxf ∆=− − .'1 . 
Substituindo em (4), temos: 
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] iiiiiii xdfsxdfxs ∆+=∆⇒∆+∆=∆ .'1' 222 
Substituindo em iA , temos: 
( ) ( )[ ] iiii xdfcfA ∆+= .'1..2 2π 
Podemos observar que quanto n cresce muito e cada ix∆ torna-se muito pequeno, a 
soma das áreas laterais do n troncos de cone, aproxima-se do que intuitivamente 
entendemos como a área da superfície S. 
Definição 
Seja C uma curva de equação )(xfy = , onde f e f’ são funções contínuas em [ ]ba, 
e [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ . A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C 
ao redor do eixo dos x, é definida por 
( ) ( )[ ]∑
=
→∆
∆+=
n
i
iii
x
xdfcfA
i 1
2
0max
.'1..2lim π 
Esta soma não é exatamente uma soma de Riemann da função [ ]2)('1).( xfxf + , 
pois aparecem dois pontos distintos ic e id . No entanto, é possível mostrar que o limite 
acima é a integral desta função. Temos então 
( ) ( )[ ]∫ +=
b
a
dxxfxfA .'1..2 2π 
Observamos que, se ao invés de considerarmos a curva )(xfy = girando em torno 
do eixo dos x, considerarmos uma curva [ ]dcyygx ,),( ∈= , girando em torno do eixo y, a 
área será dada por: 
( ) ( )[ ]∫ +=
d
c
dyygygA .'1..2 2π 
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111 
Exemplos 
1) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos x, 
da curva dada por 4
4
1
,4 ≤≤= xxy . 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos y, 
da curva dada por 10,3 ≤≤= yyx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
 
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2