Teoremas de Cálculo Vetorial

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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual (Cod.:823827)
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Prova 62605423
Qtd. de Questões 2
Nota 9,00
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que define a 
sua borda e essa curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem ser 
aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das derivadas
parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos utilizar o Teorema de
Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em duas dimensões sobre uma
partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou seja,
relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral de superfície
do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho realizado por um campo de
forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre uma integral
tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo
vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões, assim
podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída.
Minha resposta
TEOREMA DE GREEN conecta as integrais de linha com as integrais duplas. Essa conexão possibilita a
troca de uma integral de linha por uma integral dupla em um campo vetorial. Um exemplo de uso do
Teorema de Green é quando uma integral de linha fica muito difícil de ser resolvida, aí esse recurso de
substituir por uma integral dupla possibilita a resolução. TEOREMA DE GAUSS também conhecido como
Teorema da Divergência por relacionar uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície
em sua fronteira. Um exemplo de aplicação é para calcular fluxos de saída. TEOREMA DE STOKES
relaciona uma integral de linha de um campo vetorial de 3 dimensões com uma integral de superfície, por
isso pode-se dizer que esse Teorema é uma generalização do Teorema de Green. Um exemplo de uso é
quando se precisa calcular o trabalho realizado por uma campo de força em 3 dimensões.
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Parabéns, acadêmico(a)! Sua resposta se aproximou dos objetivos da questão, mas poderia apenas ter
apresentado mais argumentos acerca dos conteúdos disponibilizados nos materiais didáticos e estudos.
Confira no quadro "Resposta esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas 
pode ser deduzida utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de um paralelogramo utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da 
sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
Resposta esperada
Sabemos que o volume de um sólido é dado pela integral tripla da função f (x, y, z) = 1. Precisamos agora
determinar os limites de integração. Como é um paralelepípedo, seus limites são: 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b e 0 ≤ y
≤ c e, portanto, o volume é:
A ordem de integração pode ser outra.
Minha resposta
em anexo
2
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