MD11_Programacion_lineal

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ECONOMÍA DE LA PRODUCCIÓN 
 
 
 
 
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 Material Didáctico Nº 11 
Programación Lineal 
 
Preparado por: 
Ing. Agr. Juan Carlos Manchado1 
Contenido 
 
1. Introducción 
2. Resolución Gráfica 
3. Principios de la Programación lineal. 
4. Planteo del Problema 
5. Supuestos 
6. Formulación de la Matriz 
7. Agregación y desagregación de actividades 
8. Interpretación de la solución 
9. Parametrización 
10. Ventajas y limitaciones del método 
 
 
1. Introducción 
El método de programación lineal se basa en un modelo matemático de optimización. 
Mediante este método se busca el óptimo económico, que se obtiene con una combinación 
de actividades bajo un conjunto de restricciones. Para la comprensión del problema que 
se intenta resolver, así como del planteo que se adopta para su resolución (un sistema de 
inecuaciones lineales sujetas a una serie de restricciones), se presenta un ejemplo 
introductorio. 
Supóngase que en una explotación agropecuaria se desarrollan sólo dos actividades: una 
actividad ganadera vacuna y/o un cultivo agrícola, denominados P1 y P2, respectivamente, 
y que ello puede lograrse mediante la utilización de limitada cantidad de cuatro recursos: 
tierra, capital circulante, maquinaria y hacienda vacuna. 
Bajo tales condiciones, se desea hallar la cantidad de cada producto a producir para 
conseguir el máximo beneficio y conocer cuánto de cada insumo utilizar (es decir, respon-
der simultáneamente a qué, cómo y cuánto producir para optimizar el resultado 
económico). 
Por cada unidad (expresada en una hectárea), de la actividad P1, se necesitarían una 
hectárea de tierra, 30 $ de circulante, 1 hora de tractor; y se podría desarrollar la 
actividad con una dotación de 1,2 cabezas (es decir, con una carga de 1,2 cab/ha). 
Por cada unidad (también una hectárea) de la actividad P2, se necesitarían una hectárea 
de tierra, 50 $ de circulante, 2 hora de uso de tractor; y utilizaría una capacidad de 20 qq 
de almacenaje de un silo (es decir, el rendimiento es 20 qq/ha). 
 
1 Docente de la Cátedra de Economía de la Producción. Facultad de Ciencias Agrarias Balcarce (UNMdP). 
 
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A estas cifras, que expresan relaciones entre una actividad y las restricciones se las 
denomina coeficientes técnicos, que expresan relaciones insumo - producto fijas. En el 
cuadro siguiente se muestra un esquema que relaciona estas dos actividades (las 
columnas) y las cuatro restricciones (filas) mediante dichos coeficientes técnicos. 
 
¡Error! Marcador no definido.Productos 
 (Actividades) 
Actividad 
Ganadera 
P1 
Cultivo 
Agrícola 
P2 
 
Restricciones 
Recursos Unidades Hectárea Hectárea 
Tierra 
Hacienda 
Circulante 
Uso Tractor /Maquinaria 
Capacidad Silo 
Ha 
Cab 
$ 
Horas 
QQ 
1 
1,2 
30 
1 
---- 
1 
---- 
50 
2 
20 
 500 
 450 
20.000 
 1.000 
 6.000 
Margen Bruto / ha $ 50 150 
 
Se observa que: 
• Los procesos productivos (actividades) P1 y P2 compiten por los mismos recursos, al 
menos por alguno de ellos, pero no necesariamente por todos. 
• Las relaciones y los resultados son medibles. Por ejemplo, cada producto, P1 y P2, 
genera un Margen Bruto. 
• A su vez, la tercera columna expresa las restricciones en la disponibilidad de recursos: 
se dispone de 500 has de tierra, no se desea tener más de 450 cabezas en el 
establecimiento, el tractor se puede usar un máximo de 1.000 horas por año, la 
disponibilidad de capital circulante es de $20.000 por año, y en el silo caben 600 
toneladas. 
Se desea obtener un máximo beneficio en el corto plazo, es decir, el mayor margen bruto 
global en la explotación. Ello podrá obtenerse sólo mediante una combinación de ambas 
actividades, que haga óptima la utilización de los recursos. 
Como la cantidad de unidades que se puede expandir P1 y P2, en este caso expresada en 
ha, es desconocida, se denominará a dichas cantidades ignoradas, variables X1 y X2. 
Analizando el recurso tractor: 
 1 [horas de uso] x X1 [ha de P1]= Se necesita 1* X1 horas de uso p/P1 
 ha de P1 
 2 [horas de uso] x X2 [ha de P2]= Se necesita 2* X2 horas de uso p/P2 
 ha de P2 
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Dado que existe una restricción impuesta: la disponibilidad de horas de tractor son 1.000 
horas al año, se puede plantear el requerimiento de uso de tractor en forma de una 
inecuación lineal: 
1 X1 (horas de uso) + 2 X2 (horas de uso) < 1000 (horas de uso) 
que quiere decir: que el insumo tiene un límite impuesto por su disponibilidad inicial, es decir 
la cantidad de uso de horas que se acumule entre las actividades, no puede superar las 1.000 
horas. Ello implica que se debe cumplir que: 1 X1 + 2 X2 <1000 
Extendiendo el enfoque a los otros recursos, se puede plantear el conjunto del problema 
como un sistema de inecuaciones 
 1 X1 + 1 X2 < 500 has de tierra 
 1,2 X1 + 0 X2 < 450 cabezas 
 30 X1 + 50 X2 < 20.000 $ de capital circulante 
 1 X1 + 2 X2 < 1000 horas de uso 
 0 X1 + 20 X2 < 6.000 qq 
 
Recordando que el óptimo resultado (en este caso el Margen Bruto), es la suma: 
Margen Bruto Global = X1 MB1 + X2 MB2 o más generalmente, 
 
 
Y que se busca que dicha sumatoria alcance un valor óptimo: 
 
 
2. Resolución Gráfica 
 
La resolución gráfica permite visualizar el problema y el mecanismo por el cual se llega a 
la solución; sólo se pueden resolver gráficamente problemas con no más de 2 actividades 
 (que se representan en las dimensiones de un plano: alto y largo) y unas pocas 
restricciones, como el ejemplo que se está presentando. De aquí en más, se aprenderá a 
plantear casos más complejos, que serán resueltos con programas de computación. Por un 
problema práctico: El área de factibilidad estará delimitada por un polígono que 
representa la curva de posibilidades de producción (relación producto/producto). 
 
∏ ∑= X * MBj j 
 
OPTIMO= = MAXIMIZAR X * MBj jMAX∏ ∑ 
 
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I) Determinación del área de factibilidad 
En un gráfico cuyos dos ejes sean las dos actividades P1 y P2 (sus unidades son ha para 
ambos ejes), se trazan los segmentos de acuerdo a: 
 
Tierra (has) t 1 X1 + 1 X2 < 500 
Hacienda (cab) h 1,2 X1 + 0 X2 < 450 
Cap circulante ($) c 30 X1 + 50 X2 < 20.000 
Uso tractor (horas) u 1 X1 + 2 X2 < 1000 
Silo (capac en qq) s 0 X1 + 20 X2 < 6.000 
siendo todos los x > 0 
 
II) Obtención del valor óptimo de la función objetivo 
 
II. 1) Determinación de las coordenadas en puntos límites del área de factibilidad 
 
A) es el punto donde X2= 300 y X1 = 0 
 
B) es el punto donde s = c 
para el segmento s 0 + 20X1 = 6000 X2= 300 
para el segmento c 30 X1 + 50 X2 = 20.000 
 30 X1 + 50 * 300 = 20.000 
 X1 = 166,67 
 
C) es el punto donde c = t 
 1 X1 + 1 X2 < 500 X2 = 500 - X1 
Para el c 30 X1 + 50 (500 - X1) = 20.000 
 25.000 (30 - 50)X1 = 20.000 X1 = 250 
 y X2 = 250 
D) es el punto donde h = t 
para t X1 + X2 = 500 X2 = 500 - X1 
para h 1,2 X1 + 0 X2 = 450 X1 = 450/1,2 = 375 
X1 = 375 y X2 = 125 
 
E) es el punto donde X2 = 0 X1 =450 /1,2 X1 = 375 1,2 
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II. 2. Localización del punto óptimo 
Para saber en qué punto extremo (debe ser enun extremo) del polígono de factibilidad se 
presenta el óptimo margen bruto, puede realizarse la suma del Margen Bruto (MB) en cada 
uno de los vértices del polígono, es decir en los puntos A, B, C, D y E; el resultado del MB 
global en cada punto, que implica una combinación diferente entre las dos actividades, es 
diferente; y el óptimo en este caso resulta de realzar 166,67 has de ganadería y 300 has 
de agricultura. 
 
Punto Hectáreas de 
Ganadería 
(X1) 
Hectáreas de 
Agricultura 
(X2) 
 
MB= 50X1+150X2 
A 
B 
C 
D 
E 
0 
166,67 
250,00 
375,00 
375,00 
300 
300 
250 
125 
0 
45.000,00 
53.333,50 
50.000,00 
37.500,00 
17.750,00 
 
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Dicha combinación da como resultado un MB global de la explotación de $ 53.333,50. 
Quedan por lo tanto sin utilizar 33,33 has, lo que está significando que otro recurso está 
actuando como limitante. Queda para el lector interpretar cuál es. 
 
3. Principios de la Programación lineal 
 
La programación lineal es un método de planeamiento optimizador. Existe una vasta 
variedad de software que bajo un planteo correcto de actividades y restricciones generan 
un plan óptimo de la explotación, a partir del principio del mejor uso de los factores de 
producción. Basada en la teoría marginalista, la PL selecciona las actividades de mayor 
productividad marginal con respecto a cada uno de los recursos. 
 
Debe enfatizarse que todas las restricciones se cumplen simultáneamente; esto es si X1 y 
X2 son insumos e Y y Z son productos, y PM es la productividad marginal de cada insumo 
con respecto a cada producto, se cumple la siguiente condición: 
 
PM(y, x1)*Py = PM(y, x2)*Py = PM(z, x1)*Pz = PM(z, x2)*Pz > 1 
Px1 Px2 Px1 Px2 
que constituye una aplicación generalizada del principio de eqimarginalidad ya conocido 
desde el comienzo de la materia. 
 
 
 
4. Planteo del Problema 
Los Componentes del Planteo son la Función Objetivo, las Actividades y los Recursos 
limitados (Restricciones) 
 
� La Función Objetivo es una función lineal de las actividades. 
� Las actividades son los rubros productivos: trigo, girasol, vacunos de cría, porcinos, 
etc. 
� Las restricciones imponen límites a la expansión de las actividades. 
Desde el punto de vista matemático se trata de un problema de optimización; se desea 
maximizar la ecuación 
 
1 X1 + C2 X2 +......+ Cn Xn 
 
 o sea 
 
 
 
(a letra griega pi representa a la Función Objetivo, que generalmente es el Margen Bruto.)
MAX( = X *C )j j∏ ∑ 
 
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donde: 
 
 Xj es la dimensión de Pj 
 Pj son las actividades posibles 
 Cj es el coeficiente o valor en la Función Objetivo por una unidad de la actividad 
Pj 
 
Ello debe estar sujeto a un conjunto de restricciones lineales, de la forma que se 
expresa a continuación: 
 
a11 X1 + a12 X2+....+ a1n Xn < b1 
. . 
. 
am1 X1 + am2 X2+....+ amn Xn < bm1 
 
donde hay n actividades (las "a") y m restricciones (las "b"). 
 
O sea que se debe cumplir que: 
 
donde aij es el coeficiente técnico, que puede definirse desde el punto de vista del 
planteo matemático como la cantidad del i-ésimo recurso necesaria para producir una 
unidad de la j-ésima actividad. 
 
 
5. Supuestos 
 
El modelo de Programación Lineal esta formulado bajo un conjunto de hipótesis que se 
enumeran a continuación. 
 
a) Linealidad: Las relaciones Insumo/Producto (Coeficientes técnicos) son fijos y 
constantes, y no dependen de la dimensión (escala) de la actividad. 
 
b) Continuidad: Las relaciones son continuas. Las variables (x1,x2...xn) (magnitudes de 
cada actividad o rubro productivo) y los recursos pueden tener valores continuos, es 
decir no solo enteros sino también fraccionarios. 
 
c) Aditividad: Los efectos de las actividades se suman en forma algebraica, lo que 
implicaría que no hay complementariedad de productos. 
 
d) No negatividad de actividades. Un requisito obvio pero no redundante desde el punto 
de vista matemático. 
 
 ∑ ≤ij j ia * x b 
 
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e) Límites: Toda variable debe estar limitada en forma explícita o implícita. 
 
f) Certeza de datos: Los datos empleados son ciertos y se les asigna seguridad de 
ocurrencia. Son no probabilísticos; esta limitante se puede superar adoptando un 
modelo probabilístico a Programación Lineal. 
 
 
 
6. Formulación de la matriz 
 
En el modelo de programación lineal se debe establecer todo el conjunto de relaciones 
que caracterizan el funcionamiento de la empresa en una matriz, que es un conjunto de 
inecuaciones. 
 
 
Actividades P1 P2 P3 P4 
Función objetivo c1 c2 c3 
c4 
 
Coeficientes 
Técnicos 
 
-a13 
+a23 
-a33 
 
 
 Restricciones 
 
El término actividad tiene ahora un significado amplio, y corresponde a cada proceso 
alternativo que se puede llevar a cabo en la empresa, tanto terminal como intermedio, 
por ejemplo: 
 
� Un cultivo, una actividad ganadera 
� La producción solamente, y no la venta 
� La venta de un producto 
� Un conjunto de cultivos (doble cultivo o una rotación) 
� La compra de un insumo o contratación de personal 
 
Cada columna es una actividad que se debe expresar en una unidad, porque todos los 
coeficientes técnicos de cada columna se refieren a esa misma unidad. Las unidades de 
definición de las actividades pueden ser iguales o distintas (ejemplos: producción de trigo 
en una ha, cría vacuna u ovina en cabezas, venta de maíz o carne en kg). Cada unidad de 
actividad contribuye con cj a la Función Objetivo y requiere (o aporta) aij recursos o 
insumos. 
 
Los cj (valores de cada actividad en la función objetivo) se expresan en pesos, y pueden 
tener: 
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� Signo positivo: los que representan Ingresos, Márgenes Brutos o “márgenes 
parciales” 
� Signo positivo : los que expresan Costos Directos completos o parciales (Negativos) 
 
Los coeficientes técnicos aij pueden ser: 
• Aportes (Negativos) 
• Requerimientos (positivos) 
 
Cada renglón es un recurso o más generalmente una restricción, por ejemplo: 
 
Actividad Trigo Avena Maíz RHS 
Restricción Unidades Ha Ha Ha 
Tierra arable 
Maquinaria 
Ha 
Hora 
1 
3 
1 
2 
1 
4 
< 170 
< 1000 
 
 
La cifra que figura en la columna de la derecha (RHS, del inglés “right hand side”) es la 
disponibilidad de un recurso para un ejercicio productivo. Obviamente, el uso de los 
recursos no puede ser mayor que su disponibilidad (se deben respetar las restricciones) 
por ello el signo “menor o igual”. En el ejemplo, cualquier actividad individualmente, o el 
conjunto de actividades, no podrá expandirse más de 170 Has que es la disponibilidad de 
tierra arable en la explotación. 
 
No obstante, un recurso necesario para una actividad (en lugar de estar disponible) puede 
ser generado en un ejercicio productivo por otra actividad denominada intermedia. 
Por ejemplo, dos tipos de pasturas pueden ofrecer forraje a una o más actividades de 
producción de carne: 
 
 
Restricción Actividad Raigrás 
anual 
Alfalfa Engorde 
Novillos 
Engorde 
vaquillonas 
RHS 
Unidades Unidades Ha Ha Cabeza Cabeza 
Forraje Otoño - invierno 
Forraje primavera - verano 
EV 
EV 
-3 
-1.2 
-1 
-4 
0.8 
0.7 
0.65 
0.8 
< 0 
< 0 
 
 
El RHS < 0 tiene un significado: si el forraje que se produce tiene signo negativo, y el 
forraje que es requerido se denota con signo positivo, se plantea que “todo lo que se 
consuma no podrá ser superior a lo que se produzca. Por ello “menor o igual a cero”, que 
cierra la inecuaciónpara que dicha restricción se cumpla. 
 
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En la formulación de restricciones se puede plantear una de tipo agronómica. Por 
ejemplo, una determinada proporción de pasturas, cultivos de verano y cultivos de 
invierno: 
 
 
 Gir Maíz Trigo Avena PP RHS 
Rotación A 1 1 -0.5 -0.5 < 0 
Rotación B 1 -3 < 0 
 
 
Lo que significa que por cada ha de cultivo estival que se desee desarrollar deberá 
cumplirse que haya cultivos invernales, en una relación 2 has de cultivos estivales por 
cada ha de cultivos invernales. A su vez, la segunda línea establece que siempre que se 
cultive trigo deberán existir pasturas, en una proporción 1 a 3. 
 
 
Agregación y desagregación de actividades 
 
Una actividad con todos sus requerimientos y sus productos, puede ser formulada en una 
sola columna. Por ejemplo: 
 
 
 
¡Error! Marcador no 
definido.Actividad 
 Trigo 
Unidad Ha 
Función Objetivo $ 300 Unidad RHS 
Recurso o Restricción 
Tierra Arable 1 Ha < 100 
Maquinaria 3 Horas < 1000 
Rastrojo -0,3 EV/ha < 0 
 
 
Donde el MB/ha = $300/ha = $ 520/ha - $ 220/ha , es decir Ingreso Bruto menos Costo 
Directo (labores, insumos, etc.) 
Siendo el IB = precio * cantidad = 13 $/qq * 40 qq/ha 
 
O bien puede ser desagregada de la siguiente manera: 
 
 
 
 
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¡Error! 
Marcador no 
definido.Activi
dad 
Producción 
de Trigo 
Fertil
i 
zante 
kg 
Venta 
Trigo 
qq 
 
Unidad Ha 
Función 
Objetivo 
$199 $0,3 $ 13 Unid. RHS 
Recurso o 
Restricción 
 
Fertilizante 70 -1 Kg < 0 
Tierra Arable 1 Has < 100 
Maquinaria 5 Horas < 
Transfer Trigo -40 +1 < 0 
 
Lo que consiste en subdividir la actividad Trigo, y tratar cada una de ellas como una 
actividad separada. Obviamente se incrementa la complejidad de la matriz, pero ello 
permite evaluar por separado la conveniencia económica de cada parte. Obsérvese cómo 
se relacionan las actividades terminales con las actividades intermedias a través de las 
líneas de transferencia. 
 
En las clases prácticas, se ejercitará el planteo de toda la matriz, que comprende a 
todas las alternativas de actividades en el conjunto de un establecimiento para un 
ejercicio productivo. 
Se verán actividades más complejas (y más recomendables aún de desagregar), como son 
las actividades ganaderas, entre ellas la Ganadería Ciclo completo o la Cría Vacuna, así 
como se explicará cómo se interpreta la salida” de un programa de computación. 
 
 
 
 
8. Interpretación de la solución 
 
La solución de un problema de programación lineal, (en la jerga: una "salida" de 
computación) ofrece en general los siguientes datos: 
 
� El valor de la Función Objetivo 
� Las actividades seleccionadas, y en qué magnitud aparece cada una de ellas en la 
solución. 
� La proporción de los insumos que es utilizada, y cual es dejada sin utilizar. 
 
Y (al menos) como información adicional, tres elementos valiosos: 
 
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� Costo de oportunidad de los insumos (utilizados) 
� Costo de sustitución de las actividades (no seleccionadas) 
� Los rangos dentro de los cuales la combinación de actividades en la solución no 
variará. 
 
Junto con la parametrización, sirven para analizar la estabilidad de la solución obtenida. 
Es decir, la sensibilidad de un plan ante alteraciones mas o menos importantes de los 
datos. El análisis de la estabilidad revelará cual parte de la información debe ser 
considerada más cuidadosamente. Obviamente no es necesario realizar un análisis de 
sensibilidad utilizando parámetros que son poco importantes. 
 
Costo de oportunidad (de un insumo o un recurso) 
 
Asociado con cada insumo, en cada solución, se puede obtener el costo de oportunidad. 
Siendo las unidades de la Función Objetivo pesos ($), y las unidades de un insumo son (kg), 
el Costo de Oportunidad será la cantidad de dinero que la Función Objetivo aumentaría si 
se dispusiera de una unidad adicional de (kg) del insumo en cuestión. (Sirve para comparar 
con el precio de mercado del insumo). 
 
Consecuentemente si apareciera un Costo de Oportunidad de signo negativo, ello implica 
que incrementar la disponibilidad de ese recurso en una unidad, significaría deteriorar el 
nivel de la Función Objetivo en esa magnitud. Esto ocurre cuando un insumo es "forzoso" 
en la solución, por ejemplo, cuando se establece forzosamente que la solución tenga una 
superficie mínima de pasturas. 
 
Costo de sustitución (de un producto (actividad). 
 
El costo de sustitución es la magnitud en la que el resultado económico de dicha actividad 
deberá mejorar para entrar en la solución óptima. O dicho de otro modo, la cantidad que 
la Función Objetivo se reduciría si una unidad de dicha actividad fuera forzada a entrar en 
la solución. 
 
 
9. Parametrización 
 
La parametrización es una técnica utilizada para conocer como puede variar: 
 
• El resultado económico (Margen Bruto global) 
• La combinación de actividades en el plan óptimo 
 
Mediante la variación de un coeficiente por vez en la Función Objetivo se puede 
analizar como cambian los planes de producción óptimos ante modificaciones en los 
rendimientos, o precios relativos de los diferentes productos, o precios de los insumos. 
 También se puede variar el coeficiente técnico de algún recurso o restricción en el 
cuerpo de la matriz. 
 
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10. Ventajas y limitaciones del método 
 
Mientras con la programación lineal se obtiene una solución óptima única, la 
Presupuestación Total o métodos alternativos no llegan a tal óptimo. El obtener esta 
solución tan ajustada asegura la más eficiente asignación de recursos, pero ello puede 
transformarse en una desventaja, porque lo apropiado de la solución depende de: 
 
� La eficiencia con la que se ha construido la matriz 
� La precisión de los datos 
Es probable que dos o más soluciones para un mismo establecimiento y ejercicio 
productivo arrojen un valor parecido en la Función Objetivo, pero difieran más o menos 
sustancialmente en la combinación de actividades. Implica entonces que se está frente a 
soluciones poco estables. Es conveniente recordar por lo tanto la importancia de los 
resultados aportados por los costos de sustitución y los costos de oportunidad. 
 
Además es aconsejable no querer aplicar las soluciones óptimas de una manera demasiado 
literal, sino más bien utilizarlas como indicadores de desarrollo potenciales. 
 
 Ventajas adicionales de la programación lineal, son la necesidad de recopilación, análisis 
y verificación de información y el ordenamiento sistemático de la información en forma 
matricial.