Bioestatística Aplicada à Biomedicina

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Autor: Prof. Giovani Bravin Peres
Colaboradores: Prof. Flávio Buratti Gonçalves
 Profa. Laura Cristina da Cruz Dominciano
Bioestatística 
Aplicada à Biomedicina
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Professor conteudista: Giovani Bravin Peres
Giovani Bravin Peres é bacharel em Ciências Biológicas - Modalidade Médica (Biomedicina) pela Escola Paulista 
de Medicina da Universidade Federal de São Paulo (EPM-Unifesp, 2009). É mestre (2012) e doutor em Ciências 
(2016) pela mesma instituição e especialista em Administração de Empresas pela Fundação Getulio Vargas (FGV, 2014). 
Atualmente, é professor titular da Universidade Paulista (UNIP) no Programa de pós-graduação em Patologia 
Ambiental e Experimental (Medicina Veterinária) e no curso de Biomedicina, responsável na graduação pelas 
disciplinas Bioestatística, Biofísica, Biologia Molecular e Bioquímica, e na pós-graduação pela disciplina Estatística 
Aplicada à Pesquisa.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
P437b Peres, Giovani Bravin.
Bioestatística Aplicada à Biomedicina / Giovani Bravin Peres. – 
São Paulo: Editora Sol, 2019.
 208 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2-106/19, ISSN 1517-9230.
1. Estatística. 2. Amostragem. 3. Teste de hipóteses. I.Título.
CDU 519.2 
U503.16 – 19
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Bruno Barros
 Elaine Pires
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Sumário
Bioestatística Aplicada à Biomedicina
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA .........................................................................................................................9
1.1 O propósito da estatística ....................................................................................................................9
1.2 O processo de pesquisa ...................................................................................................................... 13
1.2.1 Variáveis ...................................................................................................................................................... 15
1.2.2 Escala de medição .................................................................................................................................. 17
1.2.3 Erro ............................................................................................................................................................... 19
1.2.4 População e amostra ............................................................................................................................. 20
1.3 Termos estatísticos............................................................................................................................... 20
2 AMOSTRAGEM .................................................................................................................................................. 24
2.1 Técnicas de amostragem ................................................................................................................... 24
3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ................................................................................................................ 36
3.1 Organização e apresentação de dados ........................................................................................ 36
3.2 Formatos das distribuições de frequência.................................................................................. 45
4 MEDIDAS-RESUMO ........................................................................................................................................ 50
4.1 Medidas de posição central.............................................................................................................. 50
4.2 Medidas de variabilidade (ou de dispersão) .............................................................................. 55
Unidade II
5 INDO ALÉM DOS DADOS .............................................................................................................................. 72
5.1 Distribuição amostral e o teorema central do limite ............................................................. 72
5.2 Calculando intervalos de confiança ............................................................................................. 78
5.3 Probabilidade ......................................................................................................................................... 87
6 TESTES DE HIPÓTESES PARA UMA E DUAS AMOSTRAS................................................................... 90
6.1 Introdução aos testes de hipóteses .............................................................................................. 90
6.2 Teste z para uma amostra ................................................................................................................. 93
6.3 Teste t para uma amostra ...............................................................................................................101
6.4 Teste t para duas amostras independentes .............................................................................109
6.4.1 Teste t para duas amostras independentes com variâncias desiguais ........................... 126
6.5 Teste t para duas amostras pareadas .........................................................................................128
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7 TESTES DE HIPÓTESES PARA TRÊS OU MAIS AMOSTRAS ..............................................................141
7.1 Análise de variância (ANOVA) de um fator ..............................................................................141
8 TESTES DE HIPÓTESES PARA VARIÁVEIS CATEGÓRICAS ................................................................156
8.1 Teste do chi quadrado ......................................................................................................................156
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APRESENTAÇÃO
Atualmente, a sociedade está tomada por números. Eles aparecem em todos os lugares: de manchetes 
jornalísticas, indicando o índice de aprovação do presidente, a programas de esporte, que discutem as chances 
de determinada equipe de futebol se tornar campeã. Nas áreas das ciências, o cenário não é distinto,somos 
bombardeados por números e é importante estar apto a decifrá-los. Novas tecnologias têm fornecido 
quantidades enormes de dados, particularmente na área molecular, e estão abrindo caminho para novos 
campos de pesquisa. Entretanto, com essas novas tecnologias, surgem novos desafios e necessidades.
Grandes quantidades de informações precisam ser organizadas, apresentadas e compreendidas. 
O objetivo desta disciplina é bastante concreto: fornecer ferramentas descritivas e de análise de dados 
que permitam uma melhor compreensão de eventos e estimação de probabilidades, para que sejam 
tomadas decisões a partir disso. Trata-se de uma ciência básica que fornece subsídios e ferramentas 
para outras grandes ciências da matriz curricular do curso de Biomedicina, sendo, portanto, de grande 
importância para a formação e atuação profissional do biomédico. Assim, ao final deste estudo, 
o(a) aluno(a) deverá ser capaz de analisar dados estatísticos resultantes de pesquisas, interpretar e 
construir gráficos, executar testes estatísticos e identificar a relação entre variáveis.
INTRODUÇÃO
A estatística é um ramo da matemática, portanto, para entendê-la completamente, é necessário 
percorrer várias equações. Alguns campos da estatística simplesmente não podem ser plenamente 
compreendidos sem o domínio adequado de cálculo e álgebra matricial. Mas não há motivo para 
desespero. É possível aprender a usar testes estatísticos e a interpretar resultados sem o domínio 
completo de toda a matemática atrás deles. É possível aprender muito sobre estatística sem mergulhar 
em cálculos profundos e em equações complexas. Este é o objetivo deste livro-texto, que apresentará 
poucas equações, com o objetivo de melhor ilustrar conceitos.
Tal situação é bastante comum na ciência: é praticamente impossível para os cientistas dominarem 
todas as áreas do saber em todas as ferramentas que utilizam. É possível a um profissional ser capaz de 
interpretar os resultados de um medidor de pH (cujos valores indicam a acidez de determinada solução) 
ou de um contador de cintilação (que mede a radioatividade em um meio), mesmo sem saber em 
mínimos detalhes como esses equipamentos funcionam.
Pense no seu dia a dia: você tem pleno conhecimento do funcionamento dos equipamentos ao seu 
redor? Sabe exatamente como um motor a combustão funciona? Entretanto, é muito provável que 
todos os dias você necessite de algum meio de transporte. Ainda sem total domínio da termodinâmica 
envolvida no funcionamento de um motor, você sabe que o equipamento necessita de manutenção 
periódica, a condução do veículo demanda capacitação e habilitação e seu uso requer medidas de 
proteção. Analogamente, em um laboratório, você se deparará com inúmeros reagentes, com os quais 
serão preparadas soluções necessárias à condução de experimentos. Mesmo sem saber por qual processo 
de síntese ou de purificação passaram tais reagentes, você saberá, dentro de sua necessidade, quais 
deverão ser combinados entre si nas proporções e condições adequadas. O mesmo raciocínio pode ser 
aplicado à bioestatística.
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Neste livro-texto, você verá uma introdução à estatística, com apresentação de conceitos 
fundamentais e informações sobre estatística descritiva; serão abordadas noções de probabilidade 
e de inferência estatística, com destaque aos testes de hipóteses mais utilizados na área biomédica; 
ao final, há um apêndice contendo tabelas importantes para os cálculos que serão apresentados ao 
longo do texto.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Unidade I
1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
1.1 O propósito da estatística
A estatística é a ciência que tem por objetivos planejar e otimizar experimentos, orientar sua condução, 
coletar, descrever e analisar suas respostas, retirando o maior número possível das informações nelas contidas.
Técnicas estatísticas foram desenvolvidas porque os seres humanos são limitados no processamento de 
informações. Dê a uma pessoa um conjunto muito grande de números de uma só vez e, provavelmente, ela 
focará em apenas alguns desses – chamarão a atenção os valores mais discrepantes, não os mais típicos.
A estatística traz ordem ao caos. Veremos alguns dados retirados dos boletins epidemiológicos da 
Secretaria de Vigilância em Saúde − Ministério da Saúde, mostrando o número de casos de dengue no 
ano de 2017. A tabela a seguir está desorganizada, sendo difícil encontrar um estado específico e avaliar 
em qual houve o maior/menor número de casos reportados da doença ou ainda estimar a média nacional.
Tabela 1 – Número de casos prováveis e casos confirmados de dengue 
em 2017, por unidade da Federação, organizados de forma aleatória
Unidade da Federação Casos prováveis Casos confirmados
Rio de Janeiro 10.592 83
São Paulo 13.211 82
Rio Grande do Sul 227 1
Santa Catarina 256 0
Amapá 886 11
Amazonas 3.984 16
Ceará 40.604 119
Paraíba 3.837 19
Paraná 4.195 10
Bahia 9.819 17
Roraima 316 1
Minas Gerais 28.779 140
Piauí 5.184 11
Sergipe 609 2
Alagoas 2.930 15
Rondônia 2.460 5
Rio Grande do Norte 7.311 20
Mato Grosso do Sul 2.112 36
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Unidade I
Pará 7.813 9
Espírito Santo 7.019 115
Maranhão 7.049 53
Pernambuco 9.043 52
Distrito Federal 4.210 103
Mato Grosso 8.977 18
Tocantins 5.077 102
Acre 2.124 1
Goiás 63.430 1.820
Adaptada de: Brasil (2018a).
Um arranjo desorganizado não é muito útil. Se utilizarmos uma mínima ordenação – digamos, por 
ordem alfabética do nome dos estados – como disposto na tabela seguinte, encontrar uma determinada 
unidade da Federação se torna uma tarefa muito mais fácil.
Tabela 2 – Número de casos prováveis e casos confirmados 
de dengue em 2017, por unidade da Federação, em ordem alfabética
Unidade da Federação Casos prováveis Casos confirmados
Acre 2.124 1
Alagoas 2.930 15
Amapá 886 11
Amazonas 3.984 16
Bahia 9.819 17
Ceará 40.604 119
Distrito Federal 4.210 103
Espírito Santo 7.019 115
Goiás 63.430 1.820
Maranhão 7.049 53
Mato Grosso 8.977 18
Mato Grosso do Sul 2.112 36
Minas Gerais 28.779 140
Pará 7.813 9
Paraíba 3.837 19
Paraná 4.195 10
Pernambuco 9.043 52
Piauí 5.184 11
Rio de Janeiro 10.592 83
Rio Grande do Norte 7.311 20
Rio Grande do Sul 227 1
Rondônia 2.460 5
Roraima 316 1
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Santa Catarina 256 0
São Paulo 13.211 82
Sergipe 609 2
Tocantins 5.077 102
Adaptada de: Brasil (2018a).
Já a tabela seguinte, por outro lado, apresenta os dados ordenados de forma decrescente em relação ao 
número de casos confirmados de dengue no período. Este tipo de ordenação nos chama atenção e permite 
algumas extrapolações imediatas, tais como: por que não houve nenhum caso confirmado de dengue em 
2017 em Santa Catarina? Por que Goiás foi o estado com o maior número de casos confirmados?
Tabela 3 – Número de casos prováveis e casos confirmados de dengue 
em 2017, por unidade da Federação, em ordem decrescente de casos confirmados
Unidade da Federação Casos prováveis Casos confirmados
Goiás 63.430 1.820
Minas Gerais 28.779 140
Ceará 40.604 119
Espírito Santo 7.019 115
Distrito Federal 4.210 103
Tocantins 5.077 102
Rio de Janeiro 10.592 83
São Paulo 13.211 82
Maranhão 7.049 53
Pernambuco 9.043 52
Mato Grosso do Sul 2.112 36
Rio Grande do Norte 7.311 20
Paraíba 3.837 19
Mato Grosso 8.977 18
Bahia 9.819 17
Amazonas 3.984 16
Alagoas 2.930 15
Amapá 886 11
Piauí 5.184 11
Paraná 4.195 10
Pará 7.813 9
Rondônia 2.460 5
Sergipe 609 2
Acre 2.124 1
Rio Grande do Sul 227 1
Roraima 316 1
Santa Catarina 256 0
Adaptada de: Brasil (2018a).
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Unidade I
Outra forma de sumariaros dados é mostrada na tabela seguinte, organizando a informação 
pelas regiões brasileiras. Esse tipo de ordenação nos permite ter uma ideia da diferença geográfica do 
número de casos de dengue no ano de 2017. Todas as três tabelas (tabelas 2, 3 e 4) ordenam os dados 
diferentemente e respondem a diferentes questionamentos. A estatística envolve a organização e a 
sumarização de informações para que perguntas sejam respondidas.
Tabela 4 – Número de casos prováveis e casos confirmados de 
dengue em 2017, por unidade da Federação, por regiões brasileiras
Região/unidade da Federação Casos prováveis Casos confirmados
Norte 22.660 145
Acre 2.124 1
Amapá 886 11
Amazonas 3.984 16
Pará 7.813 9
Rondônia 2.460 5
Roraima 316 1
Tocantins 5.077 102
Nordeste 86.386 308
Alagoas 2.930 15
Bahia 9.819 17
Ceará 40.604 119
Maranhão 7.049 53
Paraíba 3.837 19
Pernambuco 9.043 52
Piauí 5.184 11
Rio Grande do Norte 7.311 20
Sergipe 609 2
Sudeste 59.601 420
Espírito Santo 7.019 115
Minas Gerais 28.779 140
Rio de Janeiro 10.592 83
São Paulo 13.211 82
Sul 4.678 11
Paraná 4.195 10
Rio Grande do Sul 227 1
Santa Catarina 256 0
Centro-oeste 78.729 1.977
Goiás 63.430 1.820
Mato Grosso 8.977 18
Mato Grosso do Sul 2.112 36
Distrito Federal 4.210 103
Brasil 252.054 2.861
Adaptada de: Brasil (2018a).
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
1.2 O processo de pesquisa
Como responder a uma pergunta cientificamente? De modo bem geral, podemos dizer que a essência 
da ciência é a observação e que seu objetivo básico é a inferência.
A estatística pode ser dividida em três grandes partes: a estatística descritiva, que cuida da descrição 
tabular e gráfica dos dados obtidos experimentalmente; probabilidade e estatística matemática, que 
estudam a ocorrência dos eventos e das variáveis que os descrevem; e inferência estatística, dedicada 
à estimação por intervalo e por região, bem como aos testes de hipóteses sobre parâmetros populacionais.
Cientistas usam o chamado método científico para testar suas teorias e hipóteses. A partir de uma 
observação, uma pergunta é gerada; esse questionamento pode surgir a partir de uma trivialidade ou 
pode ser baseado em registros preexistentes. Dessa observação inicial são geradas explicações ou teorias, 
das quais podem ser criadas predições ou hipóteses. É nesse ponto que os dados se tornam importantes, 
pois, para testar hipóteses, são necessários dados relevantes. Para coletar dados, são identificadas as 
variáveis – características medidas pelos investigadores. Elas são chamadas variáveis por uma simples 
razão: elas variam. Altura, massa corporal, frequência cardíaca e níveis plasmáticos de LDL colesterol são 
exemplos de variáveis em uma pesquisa hipotética. Em qualquer grupo de pessoas haverá diferenças 
nessas variáveis: indivíduos diferem quanto à altura e massa corporal, alguns possuem frequência 
cardíaca de repouso mais baixa ou mais alta e nem todos possuem os mesmos níveis de LDL colesterol 
no sangue. Os dados coletados são, então, analisados e essa análise poderá indicar se os resultados 
obtidos apoiam a teoria proposta ou se será necessário modificar a explicação inicial.
Dados
Identificação 
das variáveis Geração de hipóteses
Coleta de dados 
para testar a teoria
Análise dos dados
Geração de uma teoria
Observação inicial 
(pergunta de pesquisa)
Mensuração 
das variáveis
Gráficos
Modelo
Figura 1 – O processo de pesquisa
De tal forma, os processos de coleta de dados, análise e geração de teorias estão intrinsicamente 
ligados: teorias levam à coleta de dados/análises e essa coleta ajuda a formular teorias.
Imagine que o dono de um gato de estimação ficou intrigado ao observar que seu animalzinho estava 
prestando atenção em um documentário sobre aves na televisão. Nesse instante surge uma pergunta: 
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Unidade I
será que gatos realmente prestam atenção na televisão? Nosso observador possui poucos dados para 
responder a essa pergunta, afinal de contas, ele possui apenas um único gato, mas a proposição poderia 
ser avaliada conduzindo o método científico.
A partir de sua pergunta de pesquisa, uma explicação racional – ou teoria – será proposta e posta à 
prova. Felinos são predadores natos, inclusive os domesticados, e aves podem ser suas potenciais presas. 
O olho humano é capaz de gerar percepção de fluidez com imagens em movimento a partir de 20 quadros 
por segundo (ou fps, do inglês frames per second), enquanto olhos de outros animais, que evoluíram para 
caçar, dependem de velocidades mais elevadas para que se gere percepção de continuidade (MILLER; 
MURPHY, 1995; CAREY, 2018). Como os equipamentos mais modernos de televisão, em sua maioria, 
atingem velocidades de 120 ou 240 fps – acima dos tradicionais 50-60 fps dos televisores tradicionais –, 
é possível imaginar que os animais domésticos consigam observar televisores de alta resolução (HD).
A partir desta explicação, hipóteses podem ser propostas para avaliar se a teoria realmente é adequada. 
Veremos, mais adiante, que um modelo bastante utilizado é o de proposição de duas hipóteses que se 
anulam mutuamente (diga-se, por exemplo, “gatos prestam atenção na televisão” e “gatos não prestam 
atenção na televisão”), logo, se uma hipótese tiver uma maior chance de estar correta, a outra, por sua 
vez, não estará.
Com o levantamento das hipóteses será delineada a condução experimental, identificando-se quais 
variáveis serão registradas no estudo. Imaginemos que um grupo grande de gatos será colocado, um de 
cada vez, em um ambiente controlado (sala experimental), simulando uma sala de estar. Nesse ambiente, 
após a adaptação do animal, câmaras registrarão seu movimento e, assim, poderemos quantificar quanto 
tempo ele permaneceu atento, encarando o televisor em que passava um documentário sobre pássaros. 
Após a coleta de dados e análise, conclusões poderão ser tomadas, apontando se os resultados obtidos 
apoiam a teoria inicialmente proposta ou se será necessário modificar a explicação inicial.
 Saiba mais
Para saber mais sobre a visão de animais e sua relação com as 
televisões, leia:
CAREY, T. Why Britain’s cats and dogs have turned into couch 
pawtatoes. Daily Mail, Dec. 2018. Disponível em: <https://www.
dailymail.co.uk/femail/article-6477343/New-HD-TVs-twice-powerful- 
used-mean-pets-FINALLY-watch-telly.html>. Acesso em: 30 abr. 2019.
MILLER, P. E.; MURPHY, C. J. Vision in dogs. Journal of the American 
Veterinary Medical Association, v. 207, n. 12, p. 1623-1634, Dec. 1995.
Proposições científicas devem ser construídas de forma a sempre poderem ser testadas, isto 
é, a escolha das palavras é importante e devem sempre ser postas de forma clara e objetiva. Assim, 
afirmativas do tipo “os Beatles são a melhor banda de todos os tempos” ou “a pizza de São Paulo é a 
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
mais gostosa” não podem ser confirmadas experimentalmente; a melhor banda ou pizza mais gostosa 
denotam subjetividade. Por outro lado, colocações como “a prática de exercício físico aeróbico aumenta 
lipoproteínas de alta densidade ligadas ao colesterol” ou “relações sexuais aumentam os níveis de 
dopamina” são proposições que podem ser testadas, assumindo-se disposição dos materiais e métodos 
necessários para mensuração das variáveis.
Em alguns casos, com a reestruturação das palavras, é possível transformar uma proposição não 
científica. Digamos que, ao imaginar que os Beatles sejam a melhor banda de todos os tempos, um 
pesquisador desejava avaliar seu sucesso quanto ao número de discos vendidos ou quanto ao número de 
semanas com sucessos emplacados nas principais rádios. Perceba que essas reestruturações transformam 
a proposição inicial em algo objetivo, mensurável: “são os Beatles a bandaque mais vendeu discos?” ou 
“são os Beatles a banda com mais semanas emplacando trilhas de sucesso nas rádios?”.
1.2.1 Variáveis
Para testar hipóteses, precisamos mensurar variáveis. Variáveis são elementos que podem mudar 
ou variar, por exemplo, entre pessoas (altura, massa corporal), locais (taxa de analfabetismo, taxa de 
desemprego) ou ainda ao longo do tempo (número de leucócitos, número de horas de sono). A maioria 
das hipóteses pode ser expressa em termos de duas variáveis: pense em uma como causa e na outra como 
consequência. Por exemplo, na afirmação “fumar causa câncer de pulmão”, fumar é a causa e câncer de 
pulmão é a consequência. Ambas são variáveis: para a causa, poderíamos pensar em diferentes hábitos 
(fumar cigarro, charuto, cachimbo, narguilé), e, como consequência, esses hábitos causarão diferentes 
tipos de danos.
Uma variável que possa ser a causa é conhecida em estatística como variável independente, já 
a variável que pensamos ser a consequência (ou efeito) é chamada de variável dependente. Muitas 
perguntas científicas são formuladas a partir da seguinte construção: será que existe efeito da variável 
independente sobre a variável dependente? Imaginemos uma pesquisa envolvendo pacientes 
diabéticos que investigue o efeito do controle da glicemia plasmática sobre a função renal: o controle 
da glicemia plasmática seria a variável independente (causa), enquanto a função renal, a variável 
dependente (consequência).
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Se retomarmos o exemplo “são os Beatles a banda que mais vendeu discos?”, qual seria a variável 
dependente e qual seria a variável independente?
Na pergunta anterior, o número de discos vendidos é uma causa ou consequência da banda? Observe 
e pense de que forma a pergunta faria mais sentido: existe efeito da banda sobre o número de discos 
vendidos ou existe efeito do número de discos vendidos sobre a banda?
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Unidade I
Resolução
A primeira proposição faz muito mais sentido do que a segunda, pois, variando o tipo de banda, seria 
de se esperar, como consequência, variação no número de discos vendidos. Logo, banda é a variável 
independente (causa), enquanto número de discos, a variável dependente (consequência).
Variáveis podem ser classificadas, ainda, como categóricas (qualitativas ou atributos) ou numéricas 
(quantitativas). Uma variável categórica é dividida em categorias. Por exemplo, uma mulher pode estar grávida 
ou não grávida. Não há meio termo, não existe meio grávida. Em uma mesma unidade de tempo, um indivíduo 
não pode ser classificado, simultaneamente, em mais de uma categoria daquela variável. Se tomarmos a 
classificação segundo a Organização Mundial da Saúde quanto ao Índice de Massa Corporal (IMC), observamos 
que valores abaixo ou iguais a 18,4 são considerados abaixo do peso; entre 18,5 e 24,9, peso normal; entre 
25,0 e 29,9, sobrepeso; e acima de 30, obesidade.
Logo, um indivíduo classificado como abaixo do peso não pode pontuar em duas categorias 
simultaneamente, visto que os critérios de classificação são objetivos. Assim, as categorias de uma variável 
qualitativa recebem nomes que as designam. Por exemplo, de acordo com as leis brasileiras, na variável 
estado civil, observam-se as categorias solteiro(a), casado(a), separado(a), divorciado(a) e viúvo(a). Em 
determinadas circunstâncias, números podem ser atribuídos como códigos (por exemplo, 1 = solteiro, 
2 = casado e assim por diante), entretanto se ressalta que esses números são arbitrários e não deverão ser 
entendidos de forma quantitativa (uma pessoa casada não vale o dobro de uma pessoa solteira, por lhe 
ter sido atribuído o número 2). Dessa forma, essas variáveis categóricas são ditas nominais.
Quando categorias são ordenadas, a variável categórica é conhecida como ordinal. Dados ordinais 
não dizem apenas a frequência de ocorrência de cada categoria, mas também dão importância para a 
ordem do acontecimento. Ao final de um campeonato automobilístico, por exemplo, os pilotos foram 
distribuídos em categorias conforme seu desempenho – primeiro, segundo e terceiro. Essas categorias 
estão ordenadas. Sabemos que quem ficou em primeiro foi melhor do que quem ficou em segundo, 
que, por sua vez, foi melhor do que quem ficou em terceiro. Não sabemos quão melhor quem ficou 
em primeiro foi em relação ao segundo (quantos pontos, por exemplo). Comumente, em pesquisa 
de opinião, deparamo-nos com perguntas cujas respostas são categorias de posicionamento do tipo 
discordo fortemente, discordo parcialmente, neutro, concordo parcialmente, concordo fortemente. 
Observe a gradação entre as categorias dessa variável ordinal.
Uma variável numérica descreve quantidade e, portanto, seus possíveis valores são descritos 
por números. Elas podem ser classificadas em dois tipos: discretas, quando assumem um número 
determinado de valores possíveis, como, por exemplo, quando descrevem situações que envolvem 
contagens, e contínuas, quando a mensuração ocorre em escala que assume continuidade em 
qualquer nível de precisão. A distinção entre variáveis numéricas discretas e contínuas pode ser confusa 
em alguns momentos. Por exemplo, por vezes assumimos valores discretos para expressar variáveis 
numéricas contínuas, como idade. Dificilmente alguém responde à pergunta “qual a sua idade?” com um 
valor fracionado de anos (23,2 anos, por exemplo). Outras vezes, há tendência em tratar uma variável 
numérica discreta como contínua. Imagine que, em certo estudo sobre medicina do sono, a seguinte 
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afirmativa se destaca: “a média de episódios de insônia por ano, em mulheres na faixa dos 30, aumentou 
de 10,6 para 19,8”. Essa descrição assume que a variável é contínua, quando na verdade não é: ninguém 
pode possuir 19,8 episódios de insônia em um ano, pode haver 19 ou 20, mas não um valor fracionado.
1.2.2 Escala de medição
As técnicas estatísticas são realizadas com dados coletados, ou seja, números. Ainda que os números 
possam parecer todos iguais entre si, existem diferentes tipos, que variam na quantidade de informação 
que eles contêm. Os estatísticos dividem os números em quatro escalas de medição: nominal, ordinal, 
intervalar e de razão (ou proporcional). À medida que observamos hierarquicamente essas escalas, os 
números se tornam mais complexos e contêm mais informação.
1
1
2
Nominal Ordinal Intervalar De razão
2
3 3
0
0
CHEGADA
Figura 2 – As quatro escalas de medição
A escala de medição nominal é a mais simples de todas, pois os indivíduos são simplesmente 
distribuídos em categorias. Os números escolhidos para representar as categorias são arbitrários e não 
fornecem informação quantitativa, portanto não podemos realizar operações aritméticas. Elementos 
serão assinalados com os mesmos números caso compartilhem as mesmas qualidades. Por exemplo, os 
participantes de um estudo poderiam ser classificados em brancos (1), pardos (2), negros (3), amarelos (4) 
ou indígenas (5) quanto a sua cor ou raça, segundo as categorias de classificação do Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística (IBGE).
Se dois casos receberem números distintos, esses números refletem uma diferença no atributo que 
está sendo medido. Se, além disso, eles indicarem a direção da diferença (qual caso tem mais de um 
atributo ou qual caso tem menos daquele atributo), estaremos diante de outro tipo de escala de 
medição, a ordinal – quando os dados têm propriedades nominais e podem ser usados para ordenar 
as observações nessa variável. Por exemplo, tomemos os três maiores valores de casos confirmados de 
dengue em 2017 na tabela 3, respectivamente para os estados de Goiás (1.820), Minas Gerais (140) e 
Ceará (119). Observe que a diferença entre o primeiro e o segundo lugares é de 1.680 casos, já entre o 
segundo e o terceiro lugares, 21 casos. Independentementeda magnitude da diferença entre o número 
de casos confirmados de dengue, a diferença de posições entre Goiás e Minas Gerais é igual a 1; entre 
Minas Gerais e Ceará também é igual a 1. Uma escala de medição ordinal não fornece informação acerca 
de quão distantes esses postos estão. Também, aqui, não faz sentido qualquer operação aritmética.
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Unidade I
Em uma escala de medição intervalar, podemos dizer quando uma medida é igual ou diferente, 
maior/menor e quão maior/menor do que outra. Uma escala intervalar permite dizer quão distantes 
dois valores estão, porque existe igualdade entre as unidades de medição. Por exemplo, se pensarmos 
em uma escala de temperatura como graus Celsius, a distância entre 30 °C e 35 °C é a mesma distância 
que entre 100 °C e 105 °C. Entretanto, essa escala possui um zero arbitrário, que não significa ausência do 
atributo sendo mensurado. Ao observar um termômetro marcando 0 °C, seria tolice afirmar que não há 
temperatura naquele registro. Para essa escala, já podemos fazer operações aritméticas.
A escala de medição para uma variável é de razão quando os dados têm propriedades intervalares 
e faz sentido dividir duas observações. Ou seja, dadas duas medidas nessa escala, podemos dizer se são 
iguais ou se são diferentes, qual é maior/menor, quão e quantas vezes maior/menor do que a outra. A 
diferença com a escala intervalar é que agora existe um zero absoluto. Altura, massa e velocidade são 
exemplos de variáveis cujas escalas de medição são de razão.
Uma pergunta frequente é “como variáveis, como altura e massa, podem possuir valores de zero 
absoluto?”. Ninguém nunca terá 0 cm de altura, tampouco 0 g de massa; logo, esses valores nunca 
serão atribuídos a um elemento. Mas não é isso que um zero absoluto significa. Um ponto zero absoluto 
representa que o zero daquela escala corresponde à ausência daquela característica.
 Observação
Se o zero em uma escala de razão significa ausência do atributo em 
questão, parece ser impossível haver números negativos nesse tipo de 
escala. Entretanto é, sim, possível. Qualquer um que já tenha entrado em 
cheque especial em sua conta bancária e tenha observado um balanço 
negativo já experimentou este fenômeno.
O quadro a seguir apresenta um resumo das informações descritas até o momento.
Quadro 1 – Escala de medição: informação contida nos números
Escala de 
medição Igual/diferente
Direção da diferença
(maior/menor)
Quantidade da 
diferença
(quão maior/menor)
Proporção
(quantas vezes 
maior/menor)
Nominal X
Ordinal X X
Intervalar X X X
De razão X X X X
Adaptada de: Corty (2016).
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1.2.3 Erro
Uma coisa é mensurar uma variável, outra é medi-la com precisão. Em uma situação ideal, deseja-se 
que as medições sejam calibradas de tal forma que os valores possuam o mesmo significado ao longo do 
tempo e entre diferentes situações. Tomemos o exemplo da variável massa: espera-se que a massa de 
1 kg de arroz seja a mesma independentemente de quem meça ou de onde estejamos medindo. Algumas 
variáveis podem ser medidas diretamente (massa, altura, circunferência abdominal), mas em outros 
casos são utilizadas medidas indiretas para registrar uma variável (escores obtidos em questionários ou 
medições de analitos com base na absorbância em determinado comprimento de onda, por exemplo). 
Quando se comparam resultados de diferentes autores, na literatura científica, para o registro de 
uma mesma variável, por vezes são observados valores discrepantes. Explicações racionais para esses 
acontecimentos podem estar em diferentes metodologias adotadas ou na calibragem adequada dos 
equipamentos envolvidos.
Geralmente haverá alguma discrepância entre o valor real do que se mede e os números utilizados 
para representar essa medição. Essa variação é conhecida como erro de medição. Imagine que, 
em determinada suspensão de células, contendo exatamente 8,0x104 células/ml, quatro medições 
independentes foram realizadas a partir da mesma suspensão, utilizando-se um hemocitômetro. Como 
resultado de cada contagem, obtiveram-se os valores de 7,5x104, 7,0x104, 9,0x104 e 8,5x104 células/ml, 
respectivamente. Se a suspensão possuía exatamente 8,0x104 células/ml, por que cada um dos registros 
foi diferente do valor esperado? Justamente por conta do erro. Note que, se tirarmos a média aritmética 
de todas as observações, será obtido o valor de 8,0x104 células/ml. Por essa razão, é comum, na ciência, 
não se confiar em um único registro, sendo realizadas repetições para o registro de um mesmo indivíduo 
em determinada variável.
Uma forma de assegurar que o erro de medição seja mínimo é determinar propriedades daquela 
medição que nos dê confiança no registro. Uma dessas propriedades se chama validade, ou seja, a 
certeza de que o instrumento que registra o valor para a variável em estudo realmente registre aquilo 
que se pesquisa. Um sensor que registre a condutância da pele realmente registra a condutância da pele, 
entretanto, se esse equipamento for utilizado para inferir outra coisa (por exemplo, uso da condutância 
da pele para medir ansiedade), esse registro indireto somente será válido se não houver nenhum outro 
fator, além do que estamos interessados em medir, que possa influenciá-lo.
A validade é condição importante de uma medida, entretanto não é a única necessária. Uma segunda 
propriedade é a confiabilidade ou precisão, ou seja, a capacidade de obter os mesmos resultados dentro 
das mesmas condições. Para ser válido, um instrumento precisa primeiro ser confiável. 
A forma mais fácil de assegurar a confiabilidade é efetuar a medição mais de uma vez: um 
instrumento confiável produzirá resultados consistentes (assumindo-se que a variável em questão não 
se altere ao longo do tempo). Um glicosímetro portátil é um exemplo de equipamento importante no 
automonitoramento da glicemia plasmática em pacientes diabéticos. É sabido que a glicemia plasmática 
varia ao longo do dia; contudo, se repetíssemos a medição em um intervalo curto de tempo, esperaríamos 
resultados precisos no registro da glicemia, com pouca variação entre uma medição e outra.
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1.2.4 População e amostra
Suponha que uma empresa pretenda lançar um novo produto, e, para tal, uma pesquisa de mercado 
será efetuada para avaliar a opinião de prováveis futuros consumidores. Seria necessário que todos os 
habitantes daquela região consumissem o novo produto para concluir algo sobre sua aceitabilidade? 
Sem grandes esforços, é possível deduzir que não, tampouco seria possível, em virtude dos custos e do 
tempo envolvidos na abordagem de todos os habitantes.
População é o conjunto de todos os indivíduos ou elementos que compartilham um grupo de 
características comuns. Note que, por sua própria natureza, a população é, em geral, intangível. 
Ainda que os critérios da população sejam cuidadosamente definidos (por exemplo, digamos que o 
produto se destine a mulheres adultas, com cabelos loiros, ondulados e de natureza potencialmente 
oleosa) dificilmente um pesquisador terá a capacidade de recrutar todas as pessoas que atendam 
às características estipuladas. Como consequência, pesquisas quase sempre são conduzidas com 
subconjuntos da população alvo, conhecidos como amostras. Uma amostra sempre será menor do 
que a população, não obstante ela ser representativa, pois é selecionada sob certas regras e, de modo 
confiável, serve para estimar as informações necessárias ao pesquisador. Quando for possível estudar 
todos os membros da população, estaremos diante de um censo.
População
Amostra
Figura 3 – Amostragem a partir de uma população
1.3 Termos estatísticos
Os dados de uma amostra ou população geralmente são reduzidos a um único valor (por exemplo,a 
média aritmética), para resumir a informação de um conjunto de elementos. Esse número recebe nomes 
diferentes, dependendo se ele é usado para caracterizar uma amostra ou uma população. Se o número 
for uma característica da amostra, ele é chamado de estatística. Já se ele descrever uma característica 
da população, ele é chamado de parâmetro.
A diferença entre estatística e parâmetro é importante, logo, diferentes abreviações indicam se 
um valor se refere a uma amostra ou a uma população. Estatísticos usam, em geral, letras latinas 
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para simbolizar estatísticas e letras gregas para simbolizar parâmetros. Quando um pesquisador 
calcula a média de uma amostra, estamos diante de uma estatística, simbolizada geralmente por 
M ou X (lê-se “x-barra”). Para o parâmetro de média populacional, utiliza-se a letra grega µ (lê-se “mi”). 
Este livro-texto procurará simplificar a descrição simbólica de estatísticas e parâmetros, portanto não se 
preocupe em decorar, mas em compreender os elementos à medida que forem apresentados. Entretanto, 
ao consultar fontes externas, é importante ter em mente a informação aqui apresentada.
Uma estatística descritiva é uma informação-resumo a partir de um conjunto de dados. Ela envolve 
sua redução a algum valor significativo que descreva suas características. Se, em uma sala de aula, alguém 
reportasse que 40% de sua turma é composta por homens, isso seria um exemplo de estatística descritiva.
Uma estatística inferencial utiliza uma amostra para extrapolar uma conclusão acerca de uma 
população maior. Por exemplo, imagine que uma amostra de estudantes foi avaliada e, por meio da escala 
de resiliência para adultos, obteve-se a média do escore. Uma afirmativa como “a média da escala de 
resiliência para competências sociais foi de 6,08” seria um exemplo de estatística descritiva. Mas uma 
afirmação construída de outra forma, como “estudantes de graduação possuem, em média, índice de 
resiliência para competências sociais de 6,08”, seria uma estatística inferencial.
Os dados com os quais os estatísticos trabalham quase sempre são números. Quando nos referimos 
à variável que os números representam, ela em geral é abreviada pela letra X. Se medirmos a idade de 
um grupo de estudantes, poderíamos representar a variável como “X = idade”. Para informar o número 
de elementos de uma população, geralmente se usa a letra maiúscula N; a letra minúscula n representa 
o número de entidades da amostra.
Quando elementos são somados entre si, a letra grega maiúscula sigma (Σ) é usada como sinal de 
somatório. Assim, em uma amostra com n = 5 indivíduos, cujas idades são X = {19, 20, 20, 23, 24}, X∑ 
significa que deveremos somar todos os valores de X: X 19 20 20 23 24 106∑ = + + + + = .
Seguir a ordem das operações em uma equação é importante para chegar ao resultado correto. 
Lembre-se de que:
• a operação dentro de parênteses ou colchetes deve ser efetuada em primeiro lugar;
• em seguida lidamos com expoentes (números elevados a uma potência, como 22, ou radicais 
como 9 );
• a próxima etapa é prosseguir com multiplicações ou divisões, na ordem em que aparecerem da 
esquerda para a direita;
• finalmente, são efetuadas as adições e subtrações, novamente na ordem em que aparecerem da 
esquerda para a direita.
Para não se esquecer, observe a ordem: parênteses, expoentes, multiplicação, divisão, adição e 
subtração (que gera o acrônimo PEMDAS).
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Unidade I
Exemplo de aplicação
Exemplo 2
Observando o seguinte problema, prossiga com o cálculo:
( ) 27 3 3 2 5 4 3 9+ × ÷ + − × ×
Resolução
Primeiro devemos lidar com os parênteses:
( ) 27 3 3 2 5 4 3 9+ × ÷ + − × × = 
210 3 2 5 4 3 9× ÷ + − × ×
Em seguida, os expoentes e radicais:
210 3 2 5 4 3 9× ÷ + − × × = 10 9 2 5 4 3 3× ÷ + − × ×
Prosseguindo com multiplicações e divisões:
10 9 2 5 4 3 3× ÷ + − × × = 45 5 36+ −
Finalmente, adição e subtração:
45 5 36 14+ − =
 Observação
Fique atento quando houver somatórios ( )∑ nas operações. Eles devem ser 
efetuados antes de outra adição ou subtração. No exemplo do somatório da 
idade, anteriormente, se fosse solicitado X 1∑ + , deveríamos somar as idades 
primeiro e em seguida adicionar 1 (ou seja, 106 + 1 = 107).
Com base nos valores de idade X = {19, 20, 20, 23, 24}, qual seria a diferença entre X 1∑ + e (X 1)∑ + ? 
E entre 2X∑ e 2( X)∑ ? Estando atento à ordem das operações, é fácil perceber. Como vimos anteriormente, 
X 1∑ + significa que à somatória dos valores será adicionada uma unidade (106 + 1 = 107), enquanto, em 
(X 1)∑ + , deve-se adicionar uma unidade a cada valor de idade antes de efetuar o somatório:
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )(X 1) 19 1 20 1 20 1 23 1 24 1 20 21 21 24 25 111∑ + = + + + + + + + + + = + + + + =
Já em 2X∑ , deve-se elevar cada valor de idade ao quadrado antes de somá-los:
2 2 2 2 2 2X 19 20 20 23 24 361 400 400 529 576 2.266∑ = + + + + = + + + + =
Enquanto em 2( X)∑ , deve-se efetuar a somatória primeiro e então elevar o resultado ao quadrado:
2 2( X) 106 11.236∑ = =
Muitas vezes obteremos casas decimais em cálculos. O arredondamento facilita o trabalho com 
números, removendo ou simplificando os dígitos à direita da vírgula. É importante ressaltar que um número 
arredondado deverá refletir, da melhor maneira possível, o número não arredondado. Se alguém possui 
1,83 m de altura e desejamos arredondar para apenas uma casa decimal, diríamos que esta pessoa está 
mais próxima de 1,8 m do que de 1,9 m. Assim 1,8 m seria uma representação mais precisa do número 
não arredondado 1,83 m.
Para facilitar cálculos e a exposição da resposta final, três regras de arredondamento são sugeridas:
• Regra número 1: as respostas finais deverão ser arredondadas para duas casas decimais.
• Regra número 2: os números não deverão ser arredondados até o resultado final, para não se 
perder a precisão; entretanto, em cálculos manuais, muitas vezes é impraticável manter todas as 
casas decimais. Portanto, arredonde valores intermediários para quatro casas decimais (que são 
duas a mais do que a resposta final terá). Observe a seguinte situação:
123
789 ?
789
× =
O denominador (789) e o termo do produto (789) são iguais e, portanto, se cancelarão, de tal forma 
que o resultado será 123. Se prosseguíssemos pelo cálculo ignorando a regra número 2, arredondando 
o resultado da fração para duas casas decimais, o resultado final seria:
123
789 0,16 789 126,24
789
× = × =
Por outro lado, se o arredondamento do valor intermediário fosse feito para quatro casas decimais, 
a resposta final seria muito mais próxima do valor real:
123
789 0,1559 789 123,01
789
× = × =
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Unidade I
• Regra número 3: observe o valor do numeral à direita da segunda casa decimal; se estiver entre 0 
e 4, arredonde para baixo; se estiver entre 5 e 9, arredonde para cima. Observe:
Considerando o número 1,234. Ele está mais próximo de 1,23 ou de 1,24? Uma vez que o valor da 
terceira casa decimal é 4, é possível deduzir que ele está mais próximo de 1,23. Portanto o arredondamento 
deverá ser feito para baixo: 1,234 1,23≅

. Agora, considere o número 1,2345, como ficaria seu 
arredondamento para duas casas decimais? Note que o 5 (na quarta casa decimal) arredondaria o 4 
(da terceira casa decimal) para cima, transformando-o em 5. Agora o 5 (na terceira casa decimal) 
arredondaria o 3 para cima, transformando-o em 4. Logo: 1,2345 1,235 1,24≅ ≅
 
 Observação
Por que as regras de arredondamento não são seguidas ao se reportar 
o tamanho amostral (n)? O tamanho amostral é sempre um número 
inteiro. Não é possível ter 10,42 casos em uma pesquisa,logo, o n é sempre 
reportado sem casas decimais.
 Lembrete
Regras de arredondamento: arredondar as respostas finais para duas 
casas decimais; não arredondar até o final, mas, caso seja necessário, 
trabalhe os valores intermediários com quatro casas decimais; observe os 
valores à direita da segunda casa decimal para efetuar o arredondamento 
de forma significativa (para cima ou para baixo).
2 AMOSTRAGEM
2.1 Técnicas de amostragem
Quanto à forma de escolha, a amostragem pode ser aleatória (probabilística) ou determinística (não 
probabilística). Na amostragem aleatória, cada elemento da população-alvo tem uma probabilidade fixa 
de ser incluído na amostra, enquanto na determinística não se utiliza seleção aleatória, transferindo-se 
o critério de seleção para o julgamento pessoal do pesquisador, por exemplo.
 Observação
Uma amostragem aleatória apresenta vantagens, pois além de possuir 
critérios de seleção rigorosamente definidos, evita subjetividade; além disso, 
há possibilidade de determinar o tamanho da amostra matematicamente.
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A escolha da técnica de amostragem deve levar em conta vários parâmetros. Fávero e Belfiore (2017) 
destacam, entre os principais, o objetivo da pesquisa, o erro aceitável nos resultados, a acessibilidade 
aos elementos da população, a representatividade desejada, o tempo despendido e a disponibilidade de recursos 
financeiros e humanos.
As amostras aleatórias apresentam condições ideais para o tratamento estatístico, o que nem sempre 
é viável com amostras determinísticas. A figura a seguir apresenta as principais técnicas de amostragem 
aleatória e determinística.
Técnicas de 
amostragem
Aleatória
Simples
Sistemática
Estratificada
Por conglomerados
Determinística
Por conveniência
Por julgamento
Por quotas
Bola de neve
Figura 4 – Principais técnicas de amostragem
A amostragem aleatória simples é o método mais simples e mais importante para a seleção de uma 
amostra. O planejamento e a seleção da amostra envolvem o sorteio aleatório de elementos provenientes 
da população, repetido quantas vezes forem necessárias, até que o tamanho desejado da amostra seja 
atendido. Quando um elemento sorteado for removido antes do próximo sorteio, estamos diante de 
uma amostra aleatória simples sem reposição; caso seja permitido o sorteio de um mesmo elemento 
mais de uma vez, estamos diante de uma amostra aleatória simples com reposição. Segundo Bolfarine 
e Bussab (2005), do ponto de vista prático, a amostragem aleatória simples sem reposição é muito mais 
interessante, pois satisfaz o princípio intuitivo de que não se ganha mais informação caso uma mesma 
unidade apareça mais de uma vez na amostra.
Exemplo de aplicação
Exemplo 3
Deseja-se entrevistar, aleatoriamente, 5 clientes que frequentaram um laboratório clínico, sendo que, 
na manhã daquele dia, 60 indivíduos foram cadastrados. Quantas amostras diferentes de 5 indivíduos 
podem ser extraídas da população? Qual a probabilidade de que uma amostra seja selecionada?
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Unidade I
Resolução
Primeiramente, em um total de sessenta indivíduos, quantas amostras de cinco indivíduos 
diferentes podemos obter? Neste tipo de amostragem, há 
( )N,n
N N!
C 
n n! N n !
 
= =  − 
 possíveis amostras 
 
de n elementos que podem ser extraídas a partir da população, bem como cada amostra tem a mesma 
probabilidade, 1
N
n
 
 
 
, de ser selecionada.
Assim:
( ) ( )
60 60! 60.59.58.57.56.55! 60.59.58.57.56
 5.461.512
5 5! 60 5 ! 5! 55 ! 5.4.3.2.1
 
= = = =  − 
 amostras diferentes.
A probabilidade de que uma única amostra seja selecionada é de 
1
5.461.512
 (lê-se: uma em 5.461.512).
Exemplo 4
Considerando os mesmos dados do exemplo anterior, imaginemos que, ao ser entrevistado, um 
indivíduo retorne ao banco de dados e possa ser sorteado novamente. Nesse caso, estamos diante de 
uma amostragem aleatória simples com reposição. Quantas amostras de cinco indivíduos podem ser 
extraídas da população? Qual a probabilidade de que uma amostra seja selecionada?
Resolução
Nesse tipo de amostragem, há Nn possíveis amostras de n elementos que podem ser extraídas a partir 
da população, bem como cada amostra tem a mesma probabilidade, 
n
1
N
, de ser selecionada.
Assim:
560 777.600.000 = amostras diferentes.
A probabilidade de que uma única amostra seja selecionada é de 
777.60
1
0.000
 (lê-se: uma em 
777.600.000).
Exemplo 5
Um pesquisador dispõe de 12 ratos de mesma idade e massa corporal e deseja distribuí-los 
aleatoriamente em três grupos experimentais com quatro elementos cada. Quantas amostras diferentes 
de quatro indivíduos podem ser extraídas dessa população? Qual a probabilidade de que uma amostra 
seja selecionada?
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Conforme vimos anteriormente, em uma amostragem aleatória simples sem reposição há 
( )N,n
N N!
C 
n n! N n !
 
= =  − 
 possíveis amostras de n elementos que podem ser extraídas a partir da 
população, com cada amostra tendo a mesma probabilidade, 
1
N
n
 
 
 
, de ser selecionada.
Assim:
( ) ( )
12 12! 12.11.10.9! 12.11.10
 220
3 3! 12 3 ! 3! 9 ! 3.2.1
 
= = = =  − 
 amostras diferentes.
A probabilidade de que uma única amostra seja selecionada é de 
1
220
 (lê-se: uma em 220).
 Lembrete
A diferença entre uma amostragem aleatória simples com e sem 
reposição está no fato de um elemento poder ou não ser sorteado mais de 
uma vez na mesma amostra.
Quando os elementos da população estiverem ordenados e forem retirados periodicamente, teremos 
uma amostragem sistemática. Como vantagens da amostragem sistemática em relação à amostragem 
aleatória simples, podemos mencionar que é executada com mais rapidez e menos custos. A principal 
desvantagem é a possibilidade de existirem ciclos de variação, especialmente se o período de ciclos 
coincidir com o período de retirada dos elementos da amostra.
Exemplo de aplicação
Exemplo 6
Em uma fábrica de reagentes químicos, 500 frascos de 1 kg de NaCl, grau de pureza analítico, 
foram produzidos na última hora. Um funcionário responsável pelo controle de qualidade necessita 
retirar uma amostra com 20 elementos dessa população para avaliar se a massa dos frascos 
está dentro dos valores aceitáveis de erro. Selecione 20 frascos com base no procedimento de 
amostragem sistemática.
Primeiramente, deve-se selecionar o intervalo de amostragem (k), obtido pelo quociente entre o 
tamanho da população e o tamanho da amostra. Em seguida, escolher um elemento a cada k-ésimo 
elemento da lista de forma sucessiva, até atingir o tamanho da amostra (n).
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Unidade I
Resolução
O intervalo de amostragem (k) é:
N 500
k 25
n 20
= = =
O funcionário deverá retirar um a cada 25 frascos da linha de produção, até completar o total de 
20 frascos em sua amostra. O primeiro elemento escolhido pode ser qualquer um entre o primeiro 
e o vigésimo quinto. Supondo que o primeiro frasco selecionado tenha sido o décimo da linha de 
produção, o segundo será o trigésimo quinto (10 + 25), o terceiro será o sexagésimo (10 + 50), e assim 
sucessivamente, até o último elemento da amostra, que será aquele que ocupa a posição número 485 
(10 + 19x25).
Exemplo 7
Um estudante deseja abordar de forma sistemática indivíduos que saem do hospital mais próximo 
de sua residência, solicitando-lhes sua participação em uma pesquisa de opinião. Em um dia normal, 
aproximadamente 400 indivíduos são atendidos nesse hospital e o estudante deseja obter uma amostra 
contendo 50 participantes. Assumindo que o primeiro entrevistado foi a terceira pessoa que passou por 
ele na saída do hospital,quais seriam os próximos indivíduos que deveriam ser abordados, assumindo 
que todos cederiam entrevista?
Resolução
O intervalo de amostragem (k) é:
N 400
k 8
n 50
= = =
O estudante deverá abordar um a cada 8 sujeitos que passem por ele na saída do hospital, até 
completar o total de 50 participantes em sua amostra. Como o primeiro entrevistado foi a terceira 
pessoa que passou por ele, o segundo será o décimo primeiro (3 + 8), o terceiro será o décimo nono 
(3 + 16) e assim sucessivamente, até o último elemento da amostra, que ocupará a posição número 
395 (3 + 49x8).
3,1 1,1 9, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75, 83, 91, 99,1 07,1 15,1 23,1 31,1 39,1 47,
A 155,1 63,1 71,1 79,1 87,1 95, 203, 211, 219, 227, 235, 243, 251, 259, 267, 
275, 283, 291, 299, 307, 315, 323, 331, 33
=
9, 347, 355, 363, 371, 379, 387, 395
 
 
 
 
 
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
 Lembrete
A amostragem sistemática depende do primeiro elemento escolhido, 
que pode ser um elemento qualquer entre 1 e k.
Se uma população heterogênea for estratificada ou dividida em subpopulações (estratos homogêneos) 
e em cada estrato uma amostra for retirada, estaremos diante de uma estratégia de amostragem 
estratificada. Assim, primeiramente, define-se o número de estratos e obtém-se o tamanho de cada 
um deles.
Para cada estrato, especifica-se quantos elementos serão retirados da subpopulação, podendo ser 
uma alocação uniforme ou proporcional. Costa Neto (2002) recomenda que a amostragem estratificada 
uniforme pode ser empregada se os estratos forem aproximadamente do mesmo tamanho. Caso 
contrário, o número de elementos selecionado em cada estrato deverá ser proporcional ao número de 
elementos totais existente no estrato.
Exemplo de aplicação
Exemplo 8
Em uma empresa, os colaboradores (N = 2400) foram separados conforme a faixa etária, com 
o objetivo de implantar atividades físicas, adequadas para cada faixa de idade, na academia da 
companhia. Entretanto, deseja-se entrevistar os funcionários para ter ideia da taxa de adesão por 
faixa de idade antes de implantar o novo programa. A quantidade de colaboradores para cada faixa 
foi: de 18 a 25 anos, N1 = 400; de 26 a 36 anos, N2 = 550; de 37 a 50 anos, N3 = 680; de 51 a 65 anos, 
N4 = 715; acima de 65 anos, N5 = 55. Deseja-se extrair uma amostra estratificada de 80 indivíduos. 
Qual deve ser o tamanho da amostra extraída de cada estrato no caso de amostragem uniforme e de 
amostragem proporcional?
Resolução
Uma população de tamanho N é dividida em k estratos de tamanhos N1, N2, ..., Nk. Para cada estrato, 
uma amostra aleatória é selecionada, resultando em k subpopulações de tamanhos n1, n2, ..., nk.
Na amostragem estratificada uniforme, temos que
n1 = n2 = ... = nk
de modo que o tamanho da amostra extraída de cada estrato é
i
n
n
k
= , para i = 1, 2, ..., k
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Unidade I
Em que:
n = n1 + n2 + ... + nk
Como se deseja obter uma amostra de 80 indivíduos e temos 5 estratos:
i
n 80
n 16
k 5
= = =
Logo, para uma amostragem uniforme, deverão ser selecionados 16 indivíduos de cada estrato.
Já na amostragem estratificada proporcional, temos que:
1 2 k
1 2 k
n n n
 
N N N
= =…=
O tamanho da amostra extraída de cada estrato pode ser obtido de acordo com a seguinte expressão:
i
i
N
n .n
N
=
, para i = 1, 2, ..., k
Assim, temos que:
1
1
N 400
n .n .80 13,33 13
N 2400
= = = ≅
2
2
N 550
n .n .80 18,33 18
N 2400
= = = ≅
3
3
N 680
n .n .80 22,67 23
N 2400
= = = ≅
4
4
N 715
n .n .80 23,83 24
N 2400
= = = ≅
5
5
N 55
n .n .80 1,83 2
N 2400
= = = ≅
Note os arredondamentos realizados no último cálculo: os valores do tamanho amostral por estrato 
foram aproximados para o número inteiro mais próximo (exemplo: 13,33 está mais próximo de 
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
13 do que 14), para que a soma dos tamanhos amostrais dos estratos não ultrapassasse a proposição do 
enunciado (13 + 18 + 23 + 24 + 2 = 80).
Exemplo 9
Deseja-se realizar uma pesquisa sobre qualidade do sono em profissionais da área da saúde. Para 
isso, a população será dividida em categorias, conforme a profissão, e, para cada categoria, 15% da 
população será entrevistada, ou seja, haverá respeito à proporção de cada profissão na população total. 
Assumindo que haja acesso a 1.000 enfermeiros, 400 biomédicos, 300 farmacêuticos e 650 médicos, 
qual será o tamanho da amostra estratificada extraída dessa população?
Resolução
Se 15% da população será entrevistada e haverá respeito à proporção de cada profissão na população 
total, logo:
enfermeiros enfermeiros
15
n N .15% 1 000. 150
100
= = =
biomédicos biomédicos
15
n N .15% 400. 60
100
= = =
farmacêuticos farmacêuticos
15
n N .15% 300. 45
100
= = =
médicos médicos
15
n N .15% 650. 97,5 98
100
= = = ≅
n 150 60 45 98 353= + + + =
Assim, serão selecionados 150 enfermeiros, 60 biomédicos, 45 farmacêuticos e 98 médicos, 
totalizando 353 profissionais da área da saúde. Independentemente da quantidade de profissionais em 
cada categoria, mantém-se fixa a proporção de 15% dos indivíduos.
Se a população for subdividida em grupos e a amostragem for realizada a partir deles e não dos 
indivíduos da população, estamos diante de uma amostragem por conglomerados (grupos). Dessa 
forma, deve-se sortear aleatoriamente um número suficiente de grupos e seus objetos constituirão a 
amostra. Dentro de cada conglomerado, podem-se selecionar todos os elementos ou apenas parte deles.
A amostragem por conglomerados é frequentemente utilizada, uma vez que muitas populações já 
estão agrupadas em subgrupos naturais ou geográficos, e o baixo custo de sua aplicação, se comparado 
a outras técnicas, representa uma vantagem considerável.
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Unidade I
Por exemplo, deseja-se estudar a renda da população da cidade de Curitiba e, para isso, ela foi 
dividida em bairros. Do total de bairros, 10% deles foram selecionados aleatoriamente e, para cada 
bairro, selecionou-se, de forma aleatória, 10% do total de moradores. Tem-se, portanto, um exemplo de 
amostragem por conglomerados em dois estágios. No primeiro estágio são sorteados os conglomerados, 
segundo algum plano amostral. De cada conglomerado são sorteados elementos no segundo estágio, 
conforme o mesmo ou outro plano amostral especificado.
Exemplo de aplicação
Exemplo 10
Considere 25 abacaxis na banca de um feirante, dispostos em cinco fileiras de cinco frutos cada. Sete 
clientes diferentes compraram todos os frutos, de tal forma que a população é dividida em 7 conglomerados: 
C1 = {1, 2}, C2 = {3, 4}, C3 = {5, 6, 7}, C4 = {8, 9, 10, 11, 12}, C5 = {13, 14, 15, 16, 17, 18}, C6 = {19, 20, 21}, 
C7 = {22, 23, 24, 25}. Três clientes foram sorteados aleatoriamente para que a massa dos abacaxis fosse 
avaliada. Supondo que foram sorteados os conglomerados C2, C5 e C7, determine o tamanho da amostra, 
além dos elementos que constituirão a amostragem por conglomerados em um estágio.
Na amostragem por conglomerados em um estágio, todos os elementos de cada conglomerado 
sorteado constituem a amostra global. Como n2 = 2, n5 = 6 e n7 = 4, logo n = 2 + 6 + 4 = 12.
Os elementos que constituirão a amostra global são:
{ } ( ) ( ) ( ){ }2 5 7A C , C , C 3, 4 , 13,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8 , 22, 23, 24, 25= =
Na amostragem por conglomerados, a população é dividida em conglomerados de tamanhos não 
necessariamente iguais.
 Observação
Se os conglomerados são subdivisões geográficas, este tipo de amostragem 
também é conhecido como amostragem por área (Freund, 2006).
Nos métodos de amostragem determinística (não probabilística), as amostras são obtidas de forma 
não aleatória, ou seja, a probabilidade de cada elemento da populaçãofazer parte da amostra não é igual, 
e, portanto, as amostras selecionadas não são igualmente prováveis. Assim, não é possível estimar o erro 
amostral e nem generalizar os resultados da amostra para a população, já que esta não é representada.
Esse tipo de amostragem é muitas vezes empregado pela simplicidade ou impossibilidade de 
obtermos amostras aleatórias, como desejável. Portanto, há de se ter cuidado ao optar pela utilização 
desse tipo de amostragem, uma vez que ela é subjetiva.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
A amostragem por conveniência pode ser aplicada quando a participação do sujeito é voluntária ou 
os elementos da amostra são escolhidos por uma questão de simplicidade ou conveniência (por exemplo, 
por vizinhos, amigos ou estudantes). A vantagem desse método é que ele permite obter informações de 
maneira rápida e barata.
Como exemplo, imagine que um pesquisador deseja estudar o comportamento praticado por 
representantes de vendas de produtos de laboratório, especialmente quanto ao preço de reagentes 
empregados em biologia molecular. Para tanto, ele desenvolve sua amostragem por meio da coleta 
de dados publicados em folhetins e catálogos disponíveis no próprio laboratório. Isso representa uma 
amostragem por conveniência, uma vez que esses catálogos não apresentam os preços praticados 
por todos os representantes de vendas que atendem aquela região, porém ofertam uma quantidade 
significativa de dados e uma facilidade de coleta.
Podemos imaginar, também, um arquiteto que deseja estudar a impressão de consumidores 
quanto à reforma do ambiente físico efetuada em determinado estabelecimento. A coleta de dados 
é feita por meio de entrevistas com colegas de trabalho, vizinhos e amigos. Isto representa uma 
amostragem por conveniência.
 Observação
É importante ressaltar que a amostragem por conveniência não garante 
que a amostra seja representativa da população, devendo ser empregada 
em situações especiais que justifiquem a sua utilização.
Na amostragem por julgamento (ou intencional), a amostra é escolhida segundo a opinião 
(julgamento prévio) de um especialista. Há risco na escolha dessa abordagem, pois pode haver possível 
equívoco no prejulgamento. Como a amostragem é elaborada por meio da opinião de uma pessoa, não 
deve ser considerada representativa da população e nem tampouco científica.
Como, por exemplo, uma pesquisa que busca identificar as razões que levariam deputados a votarem 
a favor ou contra a reforma da previdência. Para isso, o pesquisador entrevista alguns jornalistas que 
atuam na cobertura do meio político.
Podemos imaginar, também, uma pesquisa que visa identificar quais seriam os livros didáticos mais 
relevantes na área de biologia molecular. Para tal, são entrevistados, em cinco universidades, diversos 
alunos de mestrado e doutorado dessa área. Para selecionar os alunos, recorre-se a um professor, 
especialista no assunto, vinculado a cada universidade.
Um dos métodos mais utilizados em pesquisas de mercado e de opinião eleitoral é a amostragem 
por quotas. Essa amostragem apresenta mais rigor quando comparada às demais amostragens não 
aleatórias. O método consiste em uma variação da amostragem por julgamento: inicialmente, as 
variáveis de controle ou as características da população consideradas relevantes para o estudo são 
selecionadas; em seguida, a proporção da população (%) para cada uma das categorias das variáveis 
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Unidade I
relevantes é determinada; por fim, são dimensionadas as quotas (número de elementos que possuem as 
características determinadas), de modo que a amostra tenha proporções iguais à população.
Como principais vantagens, destacam-se o baixo custo, a rapidez e a conveniência (ou facilidade) 
para o entrevistador em selecionar os elementos. Porém, ressalta-se que não há garantia de que a 
amostra seja representativa da população, pois a seleção dos elementos não é aleatória.
Como exemplo, imagine que, em uma cidade pequena, uma lanchonete deseja lançar um novo sanduíche, 
e seu público-alvo são jovens entre 13 e 25 anos, das classes sociais B e C. A população é dividida em categorias 
de acordo com as variáveis de controle (idade e classe social). Uma amostra de 5% da população recebe um 
cupom, garantindo-lhes, gratuitamente, o novo sanduíche na próxima visita ao estabelecimento.
Exemplo de aplicação
Exemplo 11
Deseja-se realizar uma pesquisa com alunos do primeiro semestre de uma universidade. A pesquisa 
tem como objetivo identificar o grau de satisfação em diferentes parâmetros, por curso e sexo dos 
participantes. A tabela a seguir apresenta as frequências absolutas para cada par de categorias das 
variáveis analisadas. Aplique a amostragem por quotas, considerando que o tamanho da amostra deve 
ser de 40 estudantes. Quantos alunos deverão ser selecionados em cada categoria?
Tabela 5 – Frequências absolutas para cada par de categorias
Curso Masculino Feminino Total
Biologia 10 20 30
Biomedicina 15 15 30
Enfermagem 40 70 110
Farmácia 20 10 30
Total 85 115 200
Ao observar o enunciado e a tabela anterior, identificamos que as variáveis relevantes são curso e 
sexo. Com base nos totais da tabela, é possível calcular a proporção da população (%) para cada par de 
categorias das variáveis analisadas. Os resultados estão descritos na tabela seguinte.
Tabela 6 – Proporção da população para cada par de categorias
Curso Masculino Feminino Total
Biologia 5,0% 10,0% 15%
Biomedicina 7,5% 7,5% 15%
Enfermagem 20,0% 35,0% 55%
Farmácia 10,0% 5,0% 15%
Total 42,5% 57,5% 100%
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Multiplicando cada casela da tabela anterior pelo tamanho da amostra (40), obtemos o 
dimensionamento das quotas que compõem a amostra global, conforme mostra a tabela seguinte.
Tabela 7 – Dimensionamento das quotas
Curso Masculino Feminino Total
Biologia 2 4 6
Biomedicina 3 3 6
Enfermagem 8 14 22
Farmácia 4 2 6
Total 17 23 40
Assim, observe que, para atender o objetivo proposto, para que se alcance uma amostra de 
40 indivíduos, utilizando uma estratégia de amostragem por quotas, deverão ser selecionados 2 alunos, 
do sexo masculino, e 4, do sexo feminino, para curso de biologia; 3, do sexo masculino, e 3, do sexo 
feminino, para o curso de biomedicina; 8, do sexo masculino, e 14, do sexo feminino, para o curso de 
enfermagem; 4, do sexo masculino, e 2, do sexo feminino, para o curso de farmácia.
A amostragem de propagação geométrica ou bola de neve (snowball) é bastante utilizada quando 
os elementos da população são raros, de difícil acesso ou desconhecidos. Nesse método, identifica-se 
um ou mais indivíduos da população-alvo – que identificam outras observações que pertencem à 
mesma população. O processo é repetido até que seja alcançado o objetivo proposto ou quando 
os últimos entrevistados não acrescentarem novas informações relevantes à pesquisa, repetindo 
conteúdos de entrevistas anteriores.
Como vantagens, destacam-se: o aumento da possibilidade de localização da característica desejada 
da população; baixo custo, pois necessita de menos planejamento e pessoas; além de ser eficiente ao 
penetrar em populações de difícil acesso.
Como exemplo, pense em:
• uma escola de idiomas que pretende atrair novos alunos e, para cada aluno matriculado, oferece 
um desconto na mensalidade se ele trouxer um novo aluno para a escola. O processo se repete até 
que a escola consiga atingir um número mínimo de alunos matriculados.
• um pesquisador estudando albinismo, uma doença autossômica recessiva que afeta em torno 
de 1 a cada 20.000 indivíduos, que decide recrutar voluntários para participarem da pesquisa. 
O primeiro recrutado indica outro com o mesmo perfil. O processo se repete até que se obtenha o 
número desejadode participantes.
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3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
3.1 Organização e apresentação de dados
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer seu comportamento, 
analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. A organização e a apresentação de dados não 
são independentes da classificação das variáveis em quantitativas ou qualitativas. Uma distribuição de 
frequência é uma forma intuitiva de organizar e sumariar os resultados, para se ter uma ideia global 
sobre eles.
Existem duas formas distintas de construir tabelas de distribuição de frequência: de forma não 
agrupada ou agrupada. Uma tabela de distribuição de frequência para dados não agrupados apresenta a 
contagem de quão frequente é cada valor de uma variável em um conjunto de dados. Em uma tabela de 
distribuição de frequência para dados agrupados, a contagem se refere a valores de grupos ou intervalos 
da variável.
Tabelas de distribuição de frequência para dados não agrupados geralmente são utilizadas quando 
os valores que uma variável pode assumir são limitados. Por exemplo, se entrevistássemos pessoas e 
perguntássemos quantas crianças existem em suas famílias, haveria um número limitado de respostas. 
A maioria responderia que haveria uma, duas ou três crianças em sua família. Provavelmente quase 
ninguém responderia dez ou mais crianças. Uma tabela de distribuição de frequência para dados não 
agrupados envolvendo esses resultados seria compacta, ocupando poucas linhas em uma página, de 
fácil visualização e interpretação.
Agora, se a pergunta fosse sobre quantos alunos havia na sala de aula do entrevistado no último ano 
do ensino médio, provavelmente teríamos uma distribuição de frequência bem diferente. Poderíamos 
obter como respostas valores que variariam de poucas unidades a quase uma centena (ou mais). 
Se construíssemos uma tabela computando cada valor de resposta individualmente, teríamos muitas 
linhas e possivelmente a tabela percorreria algumas páginas. Nesse caso, faria mais sentido agrupar 
as respostas em intervalos (menos de 20 alunos, entre 21 e 40 alunos etc.), para tornar a apresentação 
de dados mais compacta.
Tabelas de distribuição de frequência para dados agrupados devem ser construídas quando a 
variável possuir um número muito grande de valores e for aceitável perder alguma informação ao 
construir intervalos. Caso a variável possua um número grande de valores, mas seja importante 
apresentar a frequência de cada um deles, então se deve optar por uma tabela de frequência para 
dados não agrupados.
Imaginemos que 31 indivíduos responderam à pergunta “quantas crianças existem em sua família?”, 
sendo que 9 entrevistados disseram haver apenas 1 criança; 14 disseram haver 2; 5 disseram haver 3; 
2 responderam 4; e apenas 1 respondeu 6. Uma tabela de distribuição de frequência para dados não 
agrupados envolvendo esses dados é apresentada na tabela a seguir.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tabela 8 – Distribuição de frequência dos 31 
entrevistados por número de crianças na família
Número de 
crianças na família Frequência (ni)
1 9
2 14
3 5
4 2
5 0
6 1
Total 31
Na construção da tabela, observe os seguintes aspectos:
• Os valores de frequência observados estão dispostos ao lado da quantidade de crianças na família.
• Existe um título. Todas as tabelas necessitam de títulos que descrevam claramente a informação 
presente nelas.
• As colunas possuem nomes.
• Uma linha reportando o total de indivíduos entrevistados foi introduzida para facilitar a 
visualização no n amostral global.
• Embora não tenha havido nenhuma observação para cinco crianças na família, uma linha foi introduzida 
com frequência zero, apenas para não haver quebra na apresentação do conjunto de dados.
A tabela a seguir traz algumas informações a mais. A primeira é a frequência acumulada de um valor, 
ou seja, o número de vezes que uma variável assume um valor inferior ou igual a esse valor. Por exemplo, 
há 23 pessoas que têm duas ou menos crianças nas suas famílias. As outras colunas trazem informações 
referentes às frequências absoluta e acumulada, porém em termos relativos, expressos em porcentagem.
Tabela 9 – Distribuição de frequência e porcentagens 
dos 31 entrevistados por número de crianças na família
Número de crianças 
na família Frequência (n)
Frequência 
acumulada Porcentagem (%)
Porcentagem 
acumulada (%)
1 9 9 29,03 29,03
2 14 23 45,16 74,19
3 5 28 16,13 90,32
4 2 30 6,45 96,77
5 0 30 0,00 96,77
6 1 31 3,23 100,00
Total 31 - 100 -
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Unidade I
Para transformar um valor em porcentagem, basta dividir a frequência pelo total de elementos do 
conjunto e, em seguida, multiplicar por 100. Por exemplo, na terceira linha:
5
Porcentagem 100 0,1613 100 16,13%
31
= × = × =
Isso significa que 16,13% dos entrevistados possuem 3 crianças nas famílias. Já a porcentagem 
acumulada de um valor reflete o percentual de elementos que assumem um valor inferior ou igual 
àquele valor. Por exemplo, na segunda linha observamos que a frequência acumulada é 23, assim:
23
Porcentagem acumulada 100 0,7419 100 74,19%
31
= × = × =
Isso significa que 74,19% dos entrevistados possuem duas ou menos crianças nas suas famílias.
 Lembrete
A distribuição de frequência para dados não agrupados funciona bem 
em duas situações: quando a variável apresentar um número limitado 
de valores possíveis; ou quando o interesse for documentar cada um dos 
valores que a variável puder assumir.
Quando lidamos com uma variável que possui uma grande amplitude com muitas possibilidades 
de respostas, uma distribuição de frequência para dados agrupados faz mais sentido, pois funcionam 
bem quando houver uma ordem nos valores que a variável puder assumir, ou seja, se a escala for 
ordinal, intervalar ou de razão. Dados nominais até podem ser agrupados se houver alguma lógica na 
categorização. Imagine que um psicólogo coletou informações detalhadas sobre os diagnósticos de seus 
pacientes – se possuíam depressão unipolar, distimia, transtorno bipolar, transtorno obsessivo-compulsivo, 
fobias, transtorno de ansiedade generalizada, alcoolismo e vício em heroína. Essas respostas poderiam 
ser agrupadas em categorias de transtornos de humor, transtornos de ansiedade e desordens de abuso 
de substâncias.
 Lembrete
Em uma escala nominal, somente podemos afirmar se uma medida é 
diferente ou não de outra; ela é usada para categorizar indivíduos de uma 
população. Um exemplo é pelo sexo.
Para variáveis que são medidas em escala ordinal, intervalar ou de razão, o primeiro passo é decidir 
quantos intervalos serão incluídos em uma distribuição de frequência para dados agrupados. É preciso 
haver equilíbrio entre a quantidade de detalhes apresentada e o número de intervalos. Uma recomendação é 
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não haver poucos intervalos, de forma que detalhes importantes do conjunto sejam perdidos; tampouco 
muitos, de forma que a ideia geral se perca em detalhes. Não existe um número fixo de intervalos 
sempre possíveis, mas uma regra prática (rule of thumb) habitualmente utilizada é de 7±2, ou seja, de 
cinco a nove intervalos. Note que essa é uma regra prática – se for melhor usar menos de cinco ou mais 
de nove intervalos para a comunicação da mensagem desejada, que assim seja.
 Observação
Rule of thumb é uma expressão em inglês que designa um princípio ou 
critério amplamente utilizado, derivado da experiência, embora carente de 
fundamento científico e não necessariamente preciso.
Observe a tabela a seguir, que apresenta os casos com alterações no crescimento e desenvolvimento 
possivelmente relacionadas à infecçãopelo vírus zika e a outras etiologias infecciosas. Esses dados serão 
utilizados para construção de uma tabela de distribuição de frequência para dados agrupados.
Tabela 10 – Número de casos suspeitos e casos confirmados de alterações no 
crescimento e desenvolvimento possivelmente relacionadas à infecção pelo vírus 
zika e outras etiologias infecciosas, entre as semanas epidemiológicas 
45/2015 e 45/2018, por unidade da Federação, em ordem 
decrescente de casos confirmados
Unidade da Federação Casos suspeitos notificados Casos confirmados
Bahia 2.657 549
Pernambuco 2.779 465
Rio de Janeiro 1.177 290
Paraíba 1.174 203
Maranhão 501 187
São Paulo 1.637 169
Ceará 835 162
Rio Grande do Norte 633 151
Sergipe 317 138
Goiás 506 126
Minas Gerais 976 123
Piauí 301 119
Alagoas 708 105
Mato Grosso 447 79
Amazonas 140 73
Espírito Santo 435 71
Rio Grande do Sul 404 44
Distrito Federal 248 33
Rondônia 132 33
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Unidade I
Mato Grosso do Sul 74 31
Tocantins 397 30
Pará 157 22
Santa Catarina 48 21
Roraima 49 18
Amapá 37 17
Paraná 70 10
Acre 61 10
Fonte: Brasil (2018b, p. 6).
A primeira tarefa é determinar em quantos intervalos os dados serão divididos. É importante destacar 
que os intervalos não devem se sobrepor. Observe a amplitude do número de casos confirmados, sendo 
o maior valor 549, para o estado da Bahia, e o menor valor 10, para os estados do Paraná e Acre. Uma 
opção seria dividi-los em múltiplos de 100, com seis intervalos (0 a 99, 100 a 199, 200 a 299, 300 a 399, 
400 a 499 e 500 a 599). Observe a tabela a seguir.
Tabela 11 – Distribuição de frequência para dados agrupados e porcentagens 
referentes ao número de casos confirmados de alterações no crescimento 
e desenvolvimento possivelmente relacionadas à infecção pelo vírus zika e 
outras etiologias infecciosas, entre as semanas epidemiológicas 45/2015 e 45/2018
Número de casos 
confirmados Frequência (n)
Frequência 
acumulada Porcentagem (%)
Porcentagem 
acumulada (%)
0-99 14 14 51,85 51,85
100-199 9 23 33,33 85,19
200-299 2 25 7,41 92,59
300-399 0 25 0,00 92,59
400-499 1 26 3,70 96,30
500-599 1 27 3,70 100,00
Total 27 - 100 -
Adaptada de: Brasil (2018b).
 Lembrete
Anteriormente destacamos que os números podem ser divididos em 
quatro escalas de medição: nominal, ordinal, intervalar e de razão. Além 
disso, vimos que variáveis podem ser categóricas ou numéricas, sendo estas 
classificadas como discretas ou contínuas.
Valores discretos respondem a perguntas que expressam contagem. Por exemplo, se perguntássemos 
quantas fraturas ósseas uma pessoa sofreu na vida ou quantos episódios de enxaqueca já vivenciaram, 
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todas as respostas seriam valores discretos, pois apenas valores inteiros seriam assumidos como 
respostas. As escalas de medição nominal e ordinal sempre assumem valores discretos e, em alguns 
casos, as escalas de medição intervalar e de razão também podem assumi-lo.
Valores contínuos, por outro lado, respondem a perguntas que expressam medição. Por exemplo, 
questionamentos como “qual é a massa de um elefante?” ou “qual é a distância da Terra ao Sol?” 
assumiriam valores contínuos como respostas, pois poderíamos obter frações como respostas.
A massa de um objeto é um valor contínuo. Suponha que a massa de um béquer vazio seja de 100 g, 
conforme informação do fabricante. Será que sua massa é de exatamente 100 g? Se utilizássemos uma 
balança semianalítica, poderíamos evidenciar que a massa desse mesmo béquer seria, na verdade, de 
100,34 g. Com uma balança analítica, com ainda mais precisão, veríamos que o mesmo béquer poderia 
assumir massa igual a 100,3456 g. A massa do béquer dependerá da precisão da balança utilizada para 
medição. Em teoria, valores contínuos podem sempre ser mais exatos se utilizarmos um equipamento 
mais preciso.
Existe uma expressão popular que diz que “uma imagem vale mais que mil palavras”. Em estatística, 
gráficos são as imagens que podem ser utilizadas para apresentar informações referentes a conjuntos 
de dados e suas distribuições de frequência. Vamos destacar, inicialmente, três gráficos diferentes que 
apresentam frequências:
• gráfico de barras (ou de colunas);
• histograma;
• polígono de frequência.
A escolha do gráfico mais adequado dependerá do tipo de valores com os quais se trabalha: discretos 
ou contínuos. Se os valores forem discretos, um gráfico de barras é a melhor escolha; já se forem 
contínuos, prefira o histograma ou o polígono de frequência.
 Observação
A escolha do gráfico também dependerá da escala de medição. Escalas 
nominais e ordinais sempre assumem valores discretos, logo devem ser 
representadas por gráficos de barras. Se a variável assumir escala intervalar 
ou de razão, use um histograma ou polígono de frequência.
Gráficos de barras são utilizados para ilustrar a frequência com a qual diferentes valores de uma 
variável categórica ocorrem. Por exemplo, a variável sexo é uma variável categórica nominal que assume 
valores discretos. Imaginemos que, em uma sala de aula contendo 45 estudantes, 33 sejam do sexo 
feminino e 12 do sexo masculino. Um gráfico de barras para esses dados está apresentado na figura a 
seguir. Note que, em geral, gráficos são mais largos do que altos, ou seja, o eixo das abscissas (x) é maior 
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Unidade I
que o eixo das ordenadas (y). As diferentes categorias da variável sexo, masculino e feminino, vão no 
eixo x, enquanto o eixo y representa a frequência de observações.
Tabela 12 – Distribuição de frequência da variável sexo 
em uma amostra hipotética de 45 estudantes
Sexo Frequência (n) Porcentagem (%)
Masculino 12 26,67
Feminino 33 73,33
Total 45 100
Uma distribuição de frequência para uma variável categórica nominal fornece apenas a informação 
da frequência e da porcentagem em cada categoria. Como a ordem das categorias é arbitrária, não 
calcule a frequência acumulada ou a porcentagem acumulada.
0
5
10
15
20
25
30
35
Masculino Feminino
Sexo
Fr
eq
uê
nc
ia
Figura 5 – Gráfico de barras mostrando a frequência da variável sexo em uma amostra hipotética de 45 estudantes. 
As barras não se encostam uma na outra, pois a variável categórica nominal representada no eixo x assume valores discretos
 Observação
Por que a escala do eixo y vai até 35 na figura anterior?
Porque a maior frequência observada foi de 33 (sexo feminino), e o eixo 
deve acomodar este valor.
Observe que, tal como as tabelas, os gráficos devem possuir um título adequado, uma menção 
do n total e rótulos claros e objetivos (títulos dos eixos x e y). Quando construímos gráficos à mão, é 
imprescindível dispormos de papel milimetrado, régua e lápis.
Compare a tabela anterior com a figura anterior, que apresentam exatamente a mesma informação. 
No gráfico, a diferença de altura entre as barras nos chama a atenção, exaltando que há mais mulheres 
do que homens nessa amostra de indivíduos.
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Exemplo de aplicação
Exemplo 12
Uma moeda pode ter dois resultados possíveis: cara ou coroa. Jogue uma moeda 20 vezes e registre 
os resultados obtidos. Em seguida, construa à mão um gráfico de barras para expor as frequências 
observadas e exercitar o processo descrito acima. Não se esqueça de usar régua.
Imaginemos, agora, que dispomos de dados de natureza contínua, como aqueles apresentados 
na tabela a seguir, indicando a média do percentual diário de umidade na cidade de Goiânia entre 
26/01/2018 e 25/01/2019, adaptados do site do Instituto Nacional de Meteorologia (Inmet).
Tabela 13 – Média diária do percentual de umidade na 
cidade de Goiânia entre 26/01/2018 e 25/01/2019
DataUmidade (%) média diária Data
Umidade (%) 
média diária Data
Umidade (%) 
média diária
26/01/2018 79,79 24/02/2018 78,67 28/12/2018 79,96
27/01/2018 71,75 25/02/2018 74,38 29/12/2018 71,67
28/01/2018 80,88 26/02/2018 81,63 30/12/2018 68,83
29/01/2018 80,00 27/02/2018 72,71 31/12/2018 74,21
30/01/2018 82,00 28/02/2018 77,38 01/01/2019 72,46
31/01/2018 79,96 01/03/2018 67,83 02/01/2019 71,58
01/02/2018 79,17 02/03/2018 76,75 03/01/2019 64,25
02/02/2018 76,83 03/03/2018 70,04 04/01/2019 70,17
03/02/2018 82,54 04/03/2018 70,25 05/01/2019 78,83
04/02/2018 77,88 05/03/2018 68,21 06/01/2019 71,75
05/02/2018 79,21 06/03/2018 81,88 07/01/2019 66,58
06/02/2018 73,00 07/03/2018 82,00 08/01/2019 64,08
07/02/2018 77,79 08/03/2018 84,42 09/01/2019 55,92
08/02/2018 72,71 09/03/2018 83,75 10/01/2019 56,79
09/02/2018 74,58 ... ... 11/01/2019 65,00
10/02/2018 81,75 14/12/2018 73,96 12/01/2019 68,08
11/02/2018 71,83 15/12/2018 61,83 13/01/2019 78,21
12/02/2018 71,83 16/12/2018 58,00 14/01/2019 65,96
13/02/2018 65,25 17/12/2018 55,67 15/01/2019 65,29
14/02/2018 55,04 18/12/2018 52,79 16/01/2019 65,25
15/02/2018 55,75 19/12/2018 55,46 17/01/2019 64,75
16/02/2018 61,92 20/12/2018 51,25 18/01/2019 70,92
17/02/2018 61,25 21/12/2018 58,17 19/01/2019 70,79
18/02/2018 74,00 22/12/2018 64,92 20/01/2019 67,71
19/02/2018 73,08 23/12/2018 63,25 21/01/2019 68,96
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Unidade I
20/02/2018 77,88 24/12/2018 63,13 22/01/2019 63,46
21/02/2018 73,58 25/12/2018 72,33 23/01/2019 56,54
22/02/2018 85,33 26/12/2018 75,42 24/01/2019 55,13
23/02/2018 84,88 27/12/2018 69,04 25/01/2019 62,33
Nota: nem todos os dados são apresentados em virtude da grande quantidade (n = 365). A pesquisa é restrita aos 
últimos 365 dias.
Adaptada de: Inmet (2019).
Com tantos dados disponíveis, é praticamente impossível extrair alguma informação direta sobre o 
perfil de distribuição desses dados olhando apenas para a tabela. Para alcançar esse objetivo, é preciso 
recorrer a um recurso visual: o histograma, gráfico que apresenta a distribuição de frequência para 
valores contínuos. Tal como o gráfico de barras, a altura dos retângulos é proporcional à respectiva 
frequência (quanto mais dados tivermos em cada classe, mais alto deverá ser o retângulo), contudo as 
barras do histograma são contíguas. Observe a figura a seguir e note como se torna mais fácil a extração 
de informações gerais do conjunto de dados: é possível perceber, pela altura das barras, que a faixa de 
percentual de umidade observada com maior frequência está entre 61 e 72%.
0
22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91
5
10
15Fr
eq
uê
nc
ia
Umidade (%)
20
25
30
35
40
Figura 6 – Histograma apresentando a distribuição de frequência para a média diária do percentual de umidade 
na cidade de Goiânia, entre 26/01/2018 e 25/01/2019. Intervalos correspondem a variações de 3 pontos percentuais. 
As barras se encostam umas nas outras, pois a variável numérica representada no eixo x assume valores contínuos
 Observação
Quantos intervalos (ou classes) deve possuir um histograma?
Para um conjunto com poucas observações, não faz muito sentido 
criar muitos intervalos. Uma regra prática bastante usada sugere efetuar a 
raiz quadrada do n amostral total. O valor da resposta será um indicativo 
aproximado do número de classes adequado.
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Um polígono de frequência, também conhecido como gráfico em linha, é uma alternativa ao 
histograma, usando-se linha em vez de barras. Sua construção se dá por meio da união dos pontos 
médios do topo dos retângulos de um histograma. As frequências nesse gráfico vão de zero, na extrema 
esquerda, a zero, na extrema direita. Tanto o histograma quanto o polígono de frequência são adequados 
para representar a distribuição de frequência de uma variável numérica com valores contínuos, e a 
escolha de um ou de outro é uma questão de preferência pessoal.
0
22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91
5
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Umidade (%)
20
25
30
35
40
Figura 7 – Polígono de frequência para a média diária do percentual de umidade na cidade 
de Goiânia entre 26/01/2018 e 25/01/2019. Intervalos correspondem a variações de 3 pontos 
percentuais. As frequências são representadas por pontos dispostos nas alturas apropriadas, em posição 
central de cada intervalo. Em seguida, os pontos são conectados por linhas. O polígono deve iniciar 
e terminar com frequência zero
Exemplo de aplicação
Exemplo 13
Retorne aos dados da tabela 10, que apresenta a distribuição de frequência para dados agrupados 
referentes ao número de casos confirmados de alterações no desenvolvimento possivelmente relacionadas 
à infecção pelo vírus zika. Com base nesses dados, construa à mão um histograma e um polígono de 
frequência. Não se esqueça de usar régua.
3.2 Formatos das distribuições de frequência
Uma vez apresentados os principais recursos gráficos para visualização das distribuições de 
frequência, é importante dar atenção aos formatos que elas podem assumir. Existem três aspectos 
importantes que merecem destaque: modalidade, assimetria e curtose.
Conhecendo o formato da distribuição dos dados com os quais se trabalha, é possível avaliar se 
certos cálculos podem ou não ser empregados. Por exemplo, a média de um conjunto pode ser uma 
estatística inadequada para descrevê-lo, caso o formato da distribuição possua certa irregularidade.
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Unidade I
Um exemplo de formato bastante comum é apresentado na figura a seguir. Muitos o chamam de 
curva em forma de sino, mas os estatísticos o chamam de curva normal ou distribuição normal. 
Esta curva possui um ponto mais alto, ao centro, e a frequência de observação de eventos diminui 
simetricamente à medida que nos distanciamos do ponto central.
 Observação
Ser simétrico significa que, ao dividir a curva em duas metades iguais, o 
lado esquerdo é uma imagem espelho do lado direito.
Variável numérica
Fr
eq
uê
nc
ia
Figura 8 – Distribuição normal, também conhecida como curva em forma de sino
A modalidade, o primeiro dos três aspectos utilizados para descrever o formato de uma distribuição, 
refere-se a quantos picos existem na curva de distribuição. O pico, ou ponto alto da curva, é chamado de moda 
e representa o valor ou intervalo com a maior frequência observada. A distribuição normal possui 
apenas um pico no centro da distribuição e, portanto, é considerada unimodal. Uma distribuição 
que possua dois picos é chamada de bimodal. Se uma distribuição possuir três ou mais picos é 
considerada multimodal.
Variável numérica
Fr
eq
uê
nc
ia
Variável numérica
Fr
eq
uê
nc
ia
A) B)
Figura 9 – Exemplos de distribuições com mais de uma moda. Distribuição bimodal (A) e multimodal (B)
A segunda característica para descrever os formatos de uma distribuição é a assimetria. Vimos 
que a distribuição normal é perfeitamente simétrica, pois as metades esquerda e direita são imagem 
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
espelho uma da outra. Se a distribuição de frequências se concentrar do lado direito, de modo que 
a cauda à esquerda seja mais alongada que a cauda à direita, temos uma distribuição assimétrica 
negativa ou à esquerda.
Caso ocorra o oposto e a cauda à direita seja mais alongada que a cauda à esquerda, teremos 
uma distribuição assimétrica positiva ou à direita. As palavras positiva ou negativa não refletem 
conotação de bom ou mau, apenas indicam para qual direção do eixo x a cauda se alonga mais. 
Observe a figura a seguir, que traz o perfil de distribuição da idade de 209 homens que foram 
atendidos na emergência de um hospital,queixando-se de dores no peito. Note como a cauda à 
esquerda é mais alongada horizontalmente do que a cauda à direita, indicando que estes dados 
apresentam assimetria negativa.
0
24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68
5
10
15
20
25
30
Fr
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nc
ia
Idade
Figura 10 – Histograma para a idade de homens que deram entrada na emergência de um hospital 
queixando-se de dores no peito. Intervalos correspondem a variações de 2 anos. A cauda à 
esquerda é mais alongada horizontalmente do que a cauda à direita, indicando que esses 
dados apresentam assimetria negativa (n = 209)
O terceiro aspecto de uma distribuição é a curtose, que corresponde a uma forma elegante 
de dizer quão achatada ou não uma distribuição de frequências é em relação a uma distribuição 
teórica (que geralmente corresponde à distribuição normal). Em outras palavras, atenta-se à altura 
do pico da curva. 
Quando a forma da distribuição não for muito achatada e nem muito alongada, assemelhando-se à 
curva normal, é denominada mesocúrtica. Por outro lado, quando a distribuição apresentar uma curva 
de frequências mais achatada que a curva normal, é denominada platicúrtica. Agora, caso a distribuição 
apresente uma curva de frequências mais alongada que a curva normal, é denominada leptocúrtica. Observe 
o histograma da figura a seguir, que apresenta a distribuição de frequência da precipitação diária total 
entre 26/01/2018 e 25/01/2019 na cidade de Goiânia. Note como a primeira barra do histograma é 
muito mais alta que as demais, indicando que, neste período, a maior frequência de precipitação diária 
total ficou entre 0 e 4 mm. Além disso, observa-se assimetria positiva.
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0
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Fr
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Precipitação (mm)
Figura 11 – Histograma da variável precipitação diária total na cidade de Goiânia 
entre 26/01/2018 e 25/01/2019. Intervalos correspondem a variações de 4 mm. 
A distribuição de frequência é leptocúrtica com assimetria positiva (n = 365)
Tanto o histograma quanto o polígono de frequência dão uma ideia da forma da distribuição da variável 
em estudo – cujas características veremos mais adiante, como medidas de posição e dispersão. Mas a forma da 
distribuição é tão importante quanto essas medidas. Um procedimento alternativo para resumir um conjunto 
de dados, com o objetivo de obter uma ideia da forma de sua distribuição, é o diagrama de ramos e folhas, 
uma combinação de tabela e gráfico. Ele contém todos os dados originais como uma tabela de distribuição 
de frequência para dados não agrupados, divididos em intervalos (como uma distribuição de frequência para 
dados agrupados) e dispostos de forma visualmente organizada (como um gráfico).
Um diagrama de ramos e folhas divide os números: as folhas são os últimos dígitos à direita de 
um número; os ramos são os dígitos que os precedem. Para ilustrar a construção desse diagrama, 
imaginemos que um grupo de estudantes solicitou uma porção de batatas fritas e, com auxílio 
de uma régua, mediu o comprimento de cada batata, aproximando o valor para o milímetro mais 
próximo. A figura a seguir apresenta o histograma do perfil de distribuição dos dados coletados. 
Compare-a com a tabela a seguir.
0
0 20 40 60 80 100 120 140
2
4
6
8
10
12
14
16
18
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Comprimento (mm)
Figura 12 – Histograma do comprimento de batatas fritas. Intervalos correspondem a variações de 10 mm. 
A distribuição de frequências se assemelha à distribuição normal – curva sobreposta (n = 99)
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tabela 14 – Diagrama de ramos e folhas 
para comprimento de batatas fritas
1 79
2 5
3 345
4 000146667889
5 0012234445668
6 033333555668999
7 0001444567778889999
8 1234
9 00000235678
10 133444555
11 23466
12 0569
13
14 2
Nota: esse diagrama apresenta os mesmos dados do 
histograma da figura 12, com o mesmo perfil que se 
aproxima a uma distribuição normal – vire o diagrama 
90° e observe o perfil na horizontal (n = 99).
Adaptada de: Corty, (2016).
 Observação
No diagrama de ramos e folhas, note que os ramos estão dispostos em 
ordem crescente, de cima para baixo. As folhas para cada ramo estão em ordem 
crescente, da esquerda para a direita. Assim, quem são os dois menores 
valores deste conjunto? Ramo = 1 e folhas = 7 e 9, logo 17 e 19 mm. Qual o 
comprimento da maior batata? Ramo = 14 e folha = 2, logo 142 mm.
 Saiba mais
Para mais informações sobre o emprego de tabelas e recursos gráficos, consulte:
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 8. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2013.
CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto 
Alegre: Artmed, 2003.
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Unidade I
4 MEDIDAS-RESUMO
4.1 Medidas de posição central
Vimos que o resumo de dados por meio de tabelas de frequências e diagramas de ramos 
e folhas fornece muito mais informações sobre o comportamento de uma variável do que a 
própria tabela original de dados. Veremos aqui que é possível resumir ainda mais esses dados, 
apresentando um ou alguns valores que sejam representativos de toda a série. Os estatísticos 
chamam esses valores de medidas de posição (ou localização) central e, usualmente, emprega-se 
a média, a mediana ou a moda.
A média aritmética é um conceito familiar a todos e corresponde ao somatório das 
observações dividido pelo número delas. Matematicamente podemos representá-la conforme a 
equação a seguir:
X
M
n
∑
=
Sendo
M = a média amostral
X∑ = o somatório dos valores da variável X
n = o número de observações da amostra
Supondo que um estudante deseje avaliar a média de altura de cinco colegas. A altura em centímetros 
dos cinco indivíduos aleatoriamente selecionados em sua classe foi de: 157, 165, 167, 175 e 185. 
Aplicando-se a equação anterior, tem-se:
( )157 165 167 175 185
M
5
+ + + +
=
849
M 169,8 cm
5
= =
O estudante reportaria que a média de altura na amostra dos cinco colegas é de 169,8 cm (ou, para 
fins práticos, aproximadamente 1,70 m).
A média também é útil, pois é possível avaliar o quanto um valor individual se distancia dela. Essa 
medida é chamada de erro ou desvio e é calculada conforme a seguinte equação:
Erro X M= −
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Os erros ou desvios, para uma distribuição normal, são apresentados na figura a seguir. 
Independentemente do formato da distribuição dos dados, erros positivos indicam que os valores 
observados estão acima da média, já erros negativos indicam que estão abaixo.
Erros negativos Erros positivos
Média
Figura 13 – Erros ou desvios em função da média. Os desvios são calculados subtraindo a 
média de um conjunto de dados a partir de um valor observado. Desvios positivos indicam 
que os valores do conjunto são maiores que a média, já desvios negativos indicam 
que são menores. Valores exatamente iguais à média terão desvios nulos. Quanto mais 
distante da média, mais à esquerda ou à direita se encontrará um valor observado
Se tomarmos os dados do exemplo anterior e observarmos os valores dos desvios, teremos os 
resultados expostos a seguir.
Tabela 15 – Erros ou desvios em função da 
média para a altura de cinco estudantes
Altura Desvio (X – M)
157 -12,8
165 -4,8
167 -2,8
175 5,2
185 15,2
Σ = 0,0
Note que a soma dos desvios é igual a zero. Isso sempre ocorrerá, pois a média é um valor central 
de um conjunto de dados e seu cálculo envolve todos os valores do conjunto. A média, portanto, divide 
os valores do conjunto a sua esquerda e a sua direita. Como os desvios indicam quanto cada valor se 
distancia da média, ao somá-los entre si, tem-se um distanciamento nulo em função da média.Um problema com a média é que ela pode sofrer influência de valores extremos, conhecidos 
amplamente a partir do termo outliers, em inglês. Em nosso exemplo, se alguém muito baixo ou muito 
alto fosse adicionado à amostra, isso teria um grande impacto sobre a média de altura dos indivíduos.
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Unidade I
Robert Wadlow nasceu em 1918 e detém o recorde mundial de homem mais alto que já existiu. 
Devido à superprodução de hormônio do crescimento em sua hipófise, ele atingiu 272 cm (2,72 m), 
próximo a sua morte, em 1940. Imagine se ele pertencesse à amostra como um sexto participante:
( )157 165 167 175 185 272
M
6
+ + + + +
=
1121
M 186,83 cm
6
= ≅
Note que a adição de um outlier causou um aumento de aproximadamente 17 cm na média amostral 
(em termos práticos, de 1,70 m para 1,87 m), um impacto muito grande por conta de apenas um valor 
do conjunto.
Figura 14 – Robert Wadlow – que detém o recorde mundial de homem mais 
alto que já existiu – e seu pai. Vemos sua altura em comparação ao pai, que media 182 cm
Vejamos agora outra medida de posição central, a mediana (Md), que não é tão influenciada pela 
presença de outliers. A mediana é o valor que ocupa a posição central de um conjunto ordenado de 
dados. Em outras palavras, ela é o número que separa os valores de um conjunto em duas metades.
A forma mais fácil de calcular a mediana é efetuando uma contagem: primeiramente, ordena-se 
os valores do menor ao maior e atribui-se a cada um deles uma posição no conjunto (1, 2, 3 etc.); em 
seguida, descobre-se qual a posição do valor central por meio do cálculo n 1
2
+ .
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Consideremos os cinco valores de altura expostos anteriormente. Após organizá-los em ordem crescente 
e lhes atribuir uma posição, calcula-se qual o posto do valor em posição central, conforme o cálculo a seguir:
n 1 5 1 6
 3
2 2 2
+ +
= = =
A mediana será o valor que ocupa a terceira posição do conjunto ordenado. Observe a tabela a seguir.
Tabela 16 – Calculando a mediana 
para os valores de altura (n = 5)
Posição Altura (cm)
1 157
2 165
3 167
4 175
5 185
Nota: a mediana, 167 cm, valor que ocupa a terceira posição, 
está destacada em negrito.
 Observação
Observe que o cálculo 
n 1
2
+
 dará como resultado a posição (ou posto) 
 
de um valor no conjunto de dados ordenado, não o valor direto da mediana. 
A mediana será o valor que ocupar o posto obtido a partir desse cálculo.
A mediana sofre uma influência muito menor de outliers do que a média, pois em seu cálculo os valores devem 
ser ordenados. Vejamos o que aconteceria se adicionássemos a nosso conjunto de alturas a medida de Robert 
Wadlow. Agora, com seis elementos, a mediana será o valor que ocupa qual posição do conjunto ordenado?
n 1 6 1 7
 3,5
2 2 2
+ +
= = =
O que seria uma posição 3,5? Ao organizar os valores, conforme a tabela a seguir, temos uma posição 
número 3 e outra número 4. Logo, a posição número 3,5 está entre elas. Como a posição 3 corresponde ao 
valor de altura de 167 cm e a posição 4, ao valor de 175 cm, entende-se que a mediana corresponde à média 
desses dois valores, logo:
167 175 342
 171
2 2
+
= =
A mediana para os seis casos é 171 cm.
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Unidade I
Tabela 17 – Calculando a mediana para os valores 
de altura, após a adição do outlier (n = 6)
Posição Altura (cm)
1 157
2 165
3 167
. X (171)
4 175
5 185
6 272
Nota: o ponto na primeira coluna indica a posição 
do número 3,5. O X na segunda coluna indica o valor 
equivalente no conjunto, associado a essa posição.
Antes da adição do outlier no conjunto, o valor da mediana era 167 cm; após sua adição, 
ela se tornou apenas 4 cm maior (Md = 171 cm). Em comparação, a média sofreu um aumento 
de 17 unidades quando o mesmo valor foi adicionado ao conjunto. Medianas são menos 
afetadas por outliers do que médias, porque valores das extremidades do conjunto ordenado 
não impactam no seu cálculo.
A terceira medida de posição central chama-se moda (Mo) e corresponde ao valor que ocorre 
com a maior frequência em um conjunto de dados. Para o conjunto hipotético utilizado até então 
(variável altura) não há moda, pois todos os valores ocorrem com a mesma frequência (apenas uma 
vez cada).
Se retomarmos os valores da tabela 12, em uma sala de aula contendo 45 estudantes, 33 eram do sexo 
feminino e 12 do sexo masculino. A maior frequência é para o sexo feminino, portanto essa é a moda.
Para calcular a moda de uma variável, necessita-se apenas de sua distribuição de frequências. 
Já para a mediana, é preciso, minimamente, ordenar os valores observados. Finalmente, a média só 
pode ser calculada para variáveis numéricas. O quadro seguinte traz quais medidas de posição central podem 
ser usadas em cada escala de medição.
Quadro 2 – Como escolher a medida de posição central 
adequada em função da escala de medição dos valores da variável
Escala de medição Moda Mediana Média
Nominal X
Ordinal X X
Intervalar ou de razão X X X
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
 Observação
Nem todas as medidas de posição central podem ser usadas em todas as 
escalas de medição. Quando mais de uma medida puder ser empregada, escolha 
aquela que utilizar mais das informações disponíveis nos números. Ao pretender 
calcular uma média, observe o formato da distribuição de frequência dos dados 
do conjunto, investigando, sobretudo, a assimetria e a modalidade.
É importante saber escolher adequadamente a medida de posição central para representar 
adequadamente um conjunto de dados. Se a escala de medição dos dados for nominal, apenas a moda 
poderá ser descrita como medida de posição central. Com dados em escala ordinal, há duas opções: a 
moda e a mediana. Para dados em escala intervalar ou de razão, existem três opções possíveis: a moda, 
a mediana ou a média.
Quando mais de uma opção de medida de posição central for possível, escolha aquela que forneça 
mais informações. Mas, em certas ocasiões, a média pode não ser o melhor parâmetro de escolha, 
sobretudo quando houver a presença de outliers no conjunto.
4.2 Medidas de variabilidade (ou de dispersão)
O resumo de um conjunto de dados por uma única medida representativa da posição central esconde 
toda a informação sobre a variabilidade desse conjunto. Os estatísticos definem variabilidade como um 
grau de espalhamento dos dados em um conjunto. Em outras palavras, é importante avaliar se os dados 
são apresentados numericamente próximos ou não.
Variável numérica hipotética
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0 50 100 150 200
Figura 15 – Conjuntos com a mesma medida de posição central, porém com variabilidade distinta. Nesse exemplo, 
note que ambas as curvas apresentam a mesma medida de posição central (média = 100), entretanto os conjuntos 
possuem variabilidade distinta: os valores do conjunto representado pela curva em azul estão mais próximos 
entre si, o que confere à curva perfil mais estreito no eixo horizontal; já os valores do conjunto representado 
pela curva em vermelho estão mais distantes entre si, o que confere à curva perfil mais amplo no eixo horizontal
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Tanto as medidas de posição central quanto as medidas de variabilidade (ou de dispersão) são 
importantes para descrever um conjunto de dados. Abordaremos, agora, os conceitos de quatro medidas 
de variabilidade: amplitude, amplitude interquartílica, variância e desvio padrão.
A medida de variabilidade mais simples é a amplitude, a variação entre o maior e o menor valor de 
um conjunto:
Amplitude = Xmaior – Xmenor
Considerando os cinco valores de altura expostos anteriormente e ordenadosna tabela 16, note o 
maior valor corresponde, de 185 cm, e o menor, de 157 cm, portanto a amplitude desse conjunto será 
de 28 cm:
Amplitude = Xmaior – Xmenor
Amplitude = 185 – 157 = 28 cm
Com a amplitude é fácil comparar a variabilidade de um conjunto com outro: se o valor da 
amplitude for maior em um conjunto A do que em um conjunto B, então os dados do conjunto A 
possuem maior variabilidade.
Uma vez que, no cálculo da amplitude, são levadas em conta apenas a maior e a menor observação, 
é de se imaginar que a presença de outliers em um conjunto exercerá forte efeito nessa medida. Sua 
influência pode ser minimizada se excluindo os valores extremos antes de calcular a amplitude. A questão 
é: quantos e quais valores remover? Uma solução consiste em retirar do total do conjunto os 25% que 
estiverem na porção inferior e os 25% que estiverem na porção superior do conjunto ordenado. Dessa 
forma, a amplitude será calculada entre os 50% centrais do conjunto. Essa medida é conhecida como 
amplitude interquartílica.
 Observação
Existe um problema com o uso da amplitude: ela depende apenas do 
maior e do menor valor para ser calculada, de tal forma, ignorando a maior 
parte dos dados e sofrendo efeito de valores extremos (outliers).
A amplitude interquartílica é assim chamada pois os dados são divididos em quatro partes iguais 
(quartis). Cada quartil contém 25% das observações de um conjunto. A amplitude interquartílica 
representa a distância contemplada pelos dois quartis centrais.
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Primeiro quartil Segundo quartil
Mediana
Amplitude interquartílica
Terceiro quartil Quarto quartilq1 q2 q3
Figura 16 – Quartis e amplitude interquartílica. Um conjunto de dados pode ser dividido em quartis, quatro seções contendo 25% 
das observações cada. A amplitude interquartílica corresponde à distância contemplada pelos dois quartis centrais
Três valores são necessários para dividir um conjunto ordenado em quatro partes iguais. Por exemplo, 
imagine quantas moedas de 25 centavos seriam necessárias para dividir R$ 1,00 em quatro partes iguais. 
Ordenando-se as quatro moedas, observa-se ser possível fracionar o conjunto de três formas:
• uma moeda à esquerda e três à direita;
• duas moedas à esquerda e duas à direita;
• três moedas à esquerda e uma à direita.
Com a soma das moedas, note que três valores importantes permitem seccionar o conjunto em 
quatro partes iguais. São eles: R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 0,75.
A mediana divide o conjunto em duas metades iguais, portanto é conhecida como segundo quartil (q2). 
O quartil inferior (primeiro quartil ou q1) corresponde à mediana da primeira metade, e o quartil superior 
(terceiro quartil ou q3), à mediana da segunda metade. A amplitude interquartílica corresponde à 
variação entre q3 e q1:
Amplitude interquartílica = q3 – q1
Exemplo de aplicação
Exemplo 14
Considere os seguintes valores de idade (anos) de 20 indivíduos em uma amostra: 16, 17, 18, 21, 22, 
23, 24, 25, 26, 29, 32, 34, 34, 35, 36, 42, 43, 46, 46, 49. A mediana será o valor que ocupa qual posição 
do conjunto ordenado?
Resolução
Temos, assim:
n 1 20 1 21
 10,5
2 2 2
+ +
= = =
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O que seria uma posição 10,5? Ao organizar os valores, a posição número 10,5 está entre a posição 
10 e 11. Como a posição 10 corresponde ao valor de idade de 29 anos e a posição 11 corresponde a 32 
anos, entende-se que a mediana corresponde à média desses dois valores, logo: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 
24, 25, 26, 29, 32, 34, 34, 35, 36, 42, 43, 46, 46, 49.
29 32 61
 30,5
2 2
+
= =
A mediana para os vinte casos é 30,5 anos. Como a mediana divide o conjunto em duas metades 
iguais (no caso, com 10 elementos cada), o q1 será a mediana da primeira metade e o q3 será a mediana 
da segunda metade. Como cada metade possui 10 elementos, sua posição será:
n 1 10 1 11
 5,5
2 2 2
+ +
= = =
A posição número 5,5 está entre a posição 5 e 6. Na primeira metade, a posição 5 corresponde ao 
valor de idade de 22 anos e a posição 6, a 23 anos; entende-se que mediana da primeira metade 
corresponda à média desses dois valores. Na segunda metade, a posição 5 corresponde ao valor 
de idade de 36 anos e a posição 6, a 42 anos; entende-se que mediana da segunda metade 
corresponda à média desses dois valores. Logo: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29 l 32, 34, 34, 
35, 36, 42, 43, 46, 46, 49.
1
22 23 45
q 22,5
2 2
+
= = =
3
36 42 78
q 39
2 2
+
= = =
O quartil inferior (q1) é 22,5 anos e o quartil superior (q3) é 39 anos. A amplitude interquartílica 
corresponde à variação entre q3 e q1:
Amplitude interquartílica = q3 – q1 
Amplitude interquartílica = 39 – 22,5 = 16,5
Assim, a amplitude interquartílica dessa amostra é de 16,5 anos, ou seja, a variação de idade dos 
50% centrais do conjunto é de 16,5 anos.
Exemplo 15
O conjunto retratado no exemplo anterior era par (idade, em anos, de 20 indivíduos). Imagine que 
um 21º valor fosse adicionado ao conjunto (57 anos): 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32, 34, 34, 35, 
36, 42, 43, 46, 46, 49, 57. Proceda com o cálculo, sendo uma quantidade ímpar. A mediana será o valor 
que ocupa qual posição do conjunto ordenado?
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Resolução
Temos, assim:
n 1 21 1 22
 11
2 2 2
+ +
= = =
A mediana será o valor que ocupa 11ª posição do conjunto ordenado, ou seja, 32 anos. Sabemos que 
a mediana divide o conjunto em duas partes iguais, que q1 corresponde à mediana da primeira metade 
e q3, à mediana da segunda metade. Uma regra prática é não incluir a mediana em nenhuma 
metade quando os valores forem divididos (o que convenientemente nos dará duas metades com 
10 elementos cada). Assim: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29 l 32 l 34, 34, 35, 36, 42, 43, 46, 46, 49, 57.
n 1 10 1 11
 5,5
2 2 2
+ +
= = =
A posição número 5,5 está entre a posição 5 e 6. Na primeira metade, a posição 5 corresponde 
ao valor de idade de 22 anos e a posição 6, a 23 anos; entende-se, assim, que mediana da primeira 
metade corresponda à média desses dois valores. Na segunda metade, a posição 5 corresponde ao 
valor de idade de 42 anos e a posição 6, a 43 anos; entende-se que mediana da segunda metade 
corresponda à média desses dois valores. Logo: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29 l 32 l 34, 34, 35, 
36, 42, 43, 46, 46, 49, 57.
1
22 23 45
q 22,5
2 2
+
= = =
3
42 43 85
q 42,5
2 2
+
= = =
O quartil inferior (q1) é 22,5 anos e o quartil superior (q3) é 42,5 anos. A amplitude interquartílica 
corresponde à variação entre q3 e q1:
Amplitude interquartílica = q3 – q1
Amplitude interquartílica = 42,5 – 22,5 = 20
Assim, a amplitude interquartílica dessa amostra é de 20 anos, ou seja, a variação de idade dos 50% 
centrais do conjunto é de 20 anos.
Nesse cálculo, excluímos o valor da mediana, entretanto também poderíamos incluí-lo. Assim, 
convém incluí-lo em ambas as metades, duplicando a informação da mediana: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 
24, 25, 26, 29, 32 l 32, 34, 34, 35, 36, 42, 43, 46, 46, 49, 57.
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Unidade I
Teríamos, então, duas metades com 11 observações cada. Para descobrir a posição da mediana de 
cada metade:
n 1 11 1 12
 6
2 2 2
+ +
= = =
Na primeira metade, a posição 6 corresponde ao valor de idade de 23 anos. Na segunda metade, a 
posição 6 corresponde ao valor de idade de 42 anos. Logo: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32 l 32, 
34, 34, 35, 36, 42, 43, 46, 46, 49, 57.
q1 = 23
q3 = 42
O quartil inferior (q1) é 23 anos e o quartil superior (q3) é 42 anos. A amplitude interquartílica 
corresponde à variação entre q3 e q1:
Amplitude interquartílica = q3 – q1
Amplitude interquartílica = 42 – 23 = 19
O leitor atentonotará que os valores dos quartis e da amplitude interquartílica variaram 
minimamente, dependendo da estratégia de cálculo adotada. Na primeira situação, excluímos a 
mediana; na segunda, duplicamos seu valor. Embora essas abordagens tenham gerado variações 
no resultado final, o impacto de excluir ou duplicar a mediana foi mínimo. Caso o leitor efetue 
esse cálculo por meio de alguns softwares, notará ainda uma possível terceira resposta: uma 
média das duas abordagens realizadas.
1
22,5 23 45,5
q 22,75
2 2
+
= = =
3
42,5 42 85,5
q 42,25
2 2
+
= = =
Amplitude interquartílica = q3 – q1
Amplitude interquartílica = 42,25 – 22,75 = 19,5
Ao efetuarmos uma média das duas abordagens iniciais, pondera-se o peso da mediana, pois, se 
na primeira circunstância ela foi desconsiderada e, no segundo cálculo, duplicada, a média entre 0 e 2 
corresponderá a 1, ou seja, como se a mediana fosse considerada apenas uma vez no conjunto.
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Se desejarmos utilizar todos os valores de um conjunto, em vez de sua metade, para obtermos uma 
medida de variabilidade, podemos utilizar os erros em função da média (vide figura 13).
 Lembrete
Reveja o exemplo destacado na tabela 15. Lembre-se que, como os 
desvios indicam o quanto cada valor se distancia da média, ao somá-los 
entre si, tem-se um distanciamento nulo em função da média.
Para lidar com a existência de erros positivos e negativos (devido à existência de valores maiores 
e menores do que a média), convém elevar esses erros ao quadrado (pois o quadrado de um número 
negativo será sempre um número positivo), transformando, dessa forma, todos os valores em 
números positivos e, então, efetuar a soma desses quadrados.
Retomando os dados do exemplo de altura expostos na tabela 15. Entretanto, dessa vez, para nos 
livrarmos dos sinais negativos, elevamos os valores dos erros, ou desvios, ao quadrado:
Tabela 18 – Erros ou desvios quadrados para a altura de cinco estudantes
Altura Desvio (X – M) Desvios quadrados (X – M)2
157 -12,8 163,84
165 -4,8 23,04
167 -2,8 7,84
175 5,2 27,04
185 15,2 231,04
Σ = 0,0 Σ = 452,80
A soma dos quadrados dos desvios (soma dos quadrados dos erros, ou simplesmente soma dos 
quadrados) foi de 452,80. Em que unidade essa medida é reportada? Como a altura estava representada 
em cm, a soma dos quadrados se dará em cm2.
O conjunto de cinco elementos para a variável altura apresentou uma soma dos quadrados de 
452,80 cm2. Se adicionássemos mais valores ao conjunto, esse valor aumentaria. Dessa forma, a dispersão 
total não poderia ser comparada entre conjuntos que diferissem entre si em tamanho amostral. Para 
lidar com essa situação, em vez de trabalhar com a medida de dispersão total, poderíamos avaliar uma 
medida de dispersão média, conhecida como variância. Vimos que uma média corresponde à somatória 
dos elementos dividida pelo número de elementos, logo:
( )22 X 
N
∑ −µ
σ =
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Unidade I
Em que:
σ2 = variância populacional
X = valor do conjunto
µ = média populacional
N = número de elementos na população
A variância populacional (σ2, lê-se sigma quadrado), pode ser calculada quando se tem acesso a 
informações da população. Como raramente um pesquisador tem acesso a todos os elementos de uma 
população, geralmente trabalhamos com amostras. Para estimar a variância amostral, os estatísticos 
desenvolveram uma forma de corrigir a fórmula anterior, de tal forma que os resultados representem 
melhores aproximações dos valores populacionais.
Há sempre mais variabilidade na população do que na amostra. Imagine um saco de confetes 
coloridos, desses comumente usados em festas. O saco é a população. Se mergulharmos a mão em seu 
interior e tirarmos um punhado, isso seria uma amostra. Se observássemos quantas cores diferentes de 
confetes teríamos na amostra, isso seria um indicativo da variabilidade. Provavelmente teríamos uma 
grande variabilidade, entretanto, dado o tamanho do saco de confetes, é muito provável que alguma cor 
presente no saco esteja ausente na amostra. Há variabilidade existente na população que não seria 
encontrada nesta amostra, portanto uma medida de variabilidade amostral deverá levar isso em conta 
para refletir adequadamente a população.
A fórmula para calcular a variância amostral (s2, lê-se s quadrado – a letra s é usada, pois sigma, σ, 
é a letra grega s) é apresentada a seguir:
( )22 X Ms 
n 1
∑ −
=
−
Em que:
s2 = variância amostral
X = valor do conjunto
M = média amostral
n = número de elementos na amostra
Note que, para o cálculo da variância amostral, o denominador é n – 1. Chamamos isso de grau de 
liberdade. O conceito de grau de liberdade é complicado de explicar.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tomemos uma analogia: suponhamos que um indivíduo esteja diante de cinco crianças e ele 
mantém cinco balões coloridos presos em sua mão, cada um com uma cor diferente. A primeira criança 
é questionada sobre qual cor de balão ela deseja. Digamos que a escolha se deu pelo balão vermelho – 
que foi entregue a ela. À segunda criança é feita a mesma questão, porém sua liberdade de escolha não 
é mais a mesma da primeira, pois o balão vermelho já foi retirado da amostra. Seu grau de liberdade, em 
comparação à criança anterior, tornou-se n – 1.
Em termos estatísticos, o grau de liberdade reflete o número de observações que é livre para variar. 
Se tomarmos uma amostra de quatro elementos da população, esses quatro valores podem variar de 
qualquer forma possível, entretanto, caso a média amostral seja uma estimativa da média populacional, 
teremos um parâmetro constante.
Digamos que a média dessa amostra seja igual a 10 e a média populacional também seja igual a 10. 
Com esse parâmetro fixo, poderiam todos os quatro elementos de uma amostra variar? A resposta seria 
não, porque, para assegurar que a média amostral seja sempre 10, apenas três valores poderiam variar 
livremente. Por exemplo, se os valores da amostra fossem 8, 9, 11 e 12 (média = 10) e mudássemos três 
desses valores para 7, 15 e 8, o último valor obrigatoriamente deveria ser 10 para que a média 
se mantivesse constante (representando o parâmetro populacional). De tal forma, se um parâmetro for 
mantido constante, então os graus de liberdade devem ser uma unidade a menos do que o número de 
elementos usados para calcular esse parâmetro. Essa subtração torna o denominador menor, o que faz 
com que o quociente s2 seja maior, tornando a variância amostral um melhor estimador da variância 
populacional, σ2.
Com base nos valores de altura retomados dos cálculos anteriores, sendo a soma dos quadrados 
igual a 452,80 cm2 e os graus de liberdade (n – 1) igual a 4, tem-se que:
( )22 X M 452,80s 113,20
n 1 4
∑ −
= = =
−
A variância amostral foi de 113,20 cm2.
A interpretação da variância pode ser confusa, uma vez que ela é dada em unidades quadráticas. 
Uma simples solução é tirar a raiz quadrada da variância, transformando a medida de volta para sua 
unidade original. Essa medida é conhecida como desvio padrão, uma das medidas de variabilidade 
mais comumente empregadas. Para a medida populacional, o desvio padrão é abreviado por σ (sigma), 
enquanto a medida amostral é abreviada por s:
2 2 ou s s σ = σ =
Em que:
σ = desvio padrão populacional
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Unidade I
σ2 = variância populacional
s = desvio padrão amostral
s2 = variância amostral
Sendo a variância amostral do conjunto de cinco elementos registrados, para a variável altura, 
igual a 113,20 cm2, tem-se que:
2s s=
s 113,20 10,64= ≅
O desvio padrão amostral foi de 10,64 cm.
Em geral, a média e o desvio padrão são reportados juntos, para descrever uma medidade posição 
central e de variabilidade de um conjunto de dados. Para a amostra de cinco estudantes, descreveríamos 
que o conjunto possui uma média de 169,80 cm, com desvio padrão de 10,64 cm.
A média é relativamente fácil de ser interpretada, uma vez que, intuitivamente, todos a utilizam no 
dia a dia, mas a maioria das pessoas não saberia como interpretar o desvio padrão. É possível descrevê-lo 
como a distância que um escore, em média, se distancia da média. Mas um desvio padrão de 10,64 cm 
significa que há muita ou pouca variabilidade em uma amostra? Quanto maior a medida do desvio 
padrão, maior será a variabilidade entre os elementos que compõem a amostra, pois mais eles se 
distanciarão da média amostral; quanto menor, menos os elementos se distanciarão da média amostral 
e, portanto, menor será a variabilidade do conjunto.
Com base em medidas de posição central e de variabilidade, as características de um conjunto de 
dados podem ser expostas sob a forma de gráficos. Dot-plots ou box-plots (gráficos de pontos e 
de caixas, respectivamente) são alternativas comumente empregadas para a representação ou inspeção 
visual de conjuntos de dados numéricos.
No dot-plot, cada elemento do conjunto é representado por um ponto, com destaque para a média 
(barra central) e para o desvio padrão (destacado acima e abaixo da média).
Exemplo de aplicação
Exemplo 16
Com base no conjunto de dados para a variável idade (em anos) de 21 indivíduos, apresentado 
anteriormente, represente o dot-plot: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32, 34, 34, 35, 36, 42, 
43, 46, 46, 49, 57.
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Resolução
Primeiramente, devemos descobrir o valor da média e do desvio padrão. Para cálculo da média:
X
M
n
∑
=
675
M 32,14
21
= ≅
De posse da média, é possível calcular a soma dos quadrados.
Tabela 19 – Erros ou desvios quadrados para a idade de 21 indivíduos
Idade Desvio (X – M) Desvios quadrados (X – M)2
16 -16,14 260,59
17 -15,14 229,31
18 -14,14 200,02
21 -11,14 124,16
22 -10,14 102,88
23 -9,14 83,59
24 -8,14 66,31
25 -7,14 51,02
26 -6,14 37,73
29 -3,14 9,88
32 -0,14 0,02
34 1,86 3,45
34 1,86 3,45
35 2,86 8,16
36 3,86 14,88
42 9,86 97,16
43 10,86 117,88
46 13,86 192,02
46 13,86 192,02
49 16,86 284,16
57 24,86 617,88
Σ = 0,00 Σ = 2.696,57
A partir da soma dos quadrados, é possível obter a variância, uma vez que:
( )22 X M 2696,57s 134,83
n 1 20
∑ −
= = ≅
−
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Unidade I
Sendo a variância aproximadamente 134,83 anos2, o desvio padrão será sua raiz quadrada:
2s s=
s 134,83 11,61= ≅
Sendo a média desse conjunto 32,14 anos e o desvio padrão 11,61 anos, para a construção do dot-plot 
devemos representar cada valor do conjunto como um ponto, a média como uma barra central e o desvio 
padrão como uma barra acima (média + desvio padrão) e abaixo (média – desvio padrão) da média.
Conjunto
Id
ad
e 
(a
no
s)
0
10
20
30
40
50
60
Figura 17 – Dot-plot da idade de uma amostra de 21 indivíduos. Para a construção do dot-plot, 
cada valor observado deverá ser representado como um ponto no gráfico; a média do conjunto 
deverá ser traçada como uma barra central, e o desvio padrão deverá ser marcado acima e abaixo da média
Um box-plot, também chamado de box and whiskers (caixa e bigodes), por outro lado, é construído 
em função da mediana e dos quartis inferior e superior (q1 e q3). Esse gráfico é útil para se avaliar a 
existência de valores extremos, outliers.
Exemplo 17
Com base no mesmo conjunto de dados para a variável idade (em anos) de 21 indivíduos, apresentado 
anteriormente, represente o box-plot: 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32, 34, 34, 35, 36, 42, 43, 46, 46, 49, 57.
Resolução
Primeiramente, devemos descobrir os valores da mediana e dos quartis inferior e superior (q1 e q3). 
Esses valores já foram calculados anteriormente:
q1 = 22,75
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
q3 = 42,25
Amplitude interquartílica = 42,25 – 22,75 = 19,5
De posse desses valores, deveremos calcular os limites inferior e superior teóricos, conforme os 
seguintes cálculos:
Limite inferior = q1 – 1,5x (Amplitude interquartílica)
Limite inferior = 22,75 – 1,5x (19,5) = 22,75 – 29,25 = – 6,5
Limite superior = q3 + 1,5x (Amplitude interquartílica)
Limite superior = 42,25 + 1,5x(19,5) = 42,25 + 29,25 = 71,5
Com base nesses valores, devemos avaliar se o conjunto possui algum valor menor que o limite 
inferior e algum valor maior que o limite superior. No caso, o limite inferior é um valor negativo, que não 
faz sentido para a variável idade (ninguém tem um valor negativo de idade em anos). Assim, o menor 
valor do conjunto que respeita o limite inferior é 16 anos. Como nenhum valor do conjunto ultrapassa o 
limite superior (71,5), temos que o maior valor do próprio conjunto (57 anos) respeita o limite superior. 
De tal forma, não existem outliers no conjunto (que ultrapassam os limites superior e inferior). Caso 
houvesse, eles deveriam ser reportados como pontos no box-plot. Assim, para construção do box-plot, 
devemos traçar uma caixa entre q1 e q3, incluindo uma barra para a mediana no interior da caixa. Os 
bigodes da caixa serão estendidos até o maior e o menor valor real do conjunto, que respeitam o limite 
superior e o limite inferior. Observe:
Conjunto
Id
ad
e 
(a
no
s)
0
10
20
30
40
50
60
Figura 18 – Box-plot da idade de uma amostra de 21 indivíduos. Para a construção do box-plot, uma caixa deverá 
ser traçada entre q1 e q3, incluindo uma barra para a mediana no interior da caixa. Os bigodes da caixa serão 
estendidos até o maior e o menor valor real do conjunto, que respeitam o limite superior e o limite inferior. 
Caso haja outliers, deverão ser representados como pontos acima/abaixo dos bigodes
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Unidade I
 Saiba mais
Para mais informações sobre medidas de posição central e de 
variabilidade, consulte:
CORTY, E. W. Using and Interpreting Statistics. 3. ed. New York: Worth 
Publishers, 2016.
DANCEY, C. P.; REIDY, J. Estatística sem matemática para psicologia. 5. ed. 
Porto Alegre: Penso, 2013.
 Resumo
A estatística sumariza dados coletados com o objetivo de responder 
a perguntas específicas. Variáveis podem ser mensuradas em escala 
nominal, ordinal, intervalar ou de razão. À medida que a escala de medição 
progride, a informação contida no numeral aumenta de qualitativa (escala 
nominal) para quantitativa básica (escala ordinal), quantitativa mais 
avançada (escala intervalar) e, finalmente, quantitativa proporcional 
(escala de razão).
Uma população representa o total de casos de uma variável que um 
pesquisador deseja estudar. Em geral, trabalha-se com amostras, que são 
recortes ou subconjuntos representativos da população. Existem diferentes 
técnicas de amostragem; as amostras aleatórias apresentam condições 
ideais para o tratamento estatístico, o que nem sempre é viável com 
amostras determinísticas.
Distribuições de frequência são formas de obter informações de 
conjuntos de dados, por exemplo, avaliando quais valores ou intervalos 
de valores têm mais ocorrência. Além da frequência, é possível avaliar a 
frequência acumulada, porcentagem e porcentagem acumulada (exceto 
para valores em escala nominal). A distribuição de frequências de 
variáveis categóricas pode ser ilustrada por meio de gráficos de barras, 
enquanto variáveis numéricas são representadas por histogramas ou 
polígonos de frequência.
Uma medida de posição central que é calculada para um conjunto 
de dados é determinada pela escala de medição e pelo formato da 
distribuição de frequências do conjunto. A média pode ser calculada 
para valores em escala intervalar ou de razão, quandopara conjuntos 
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
que não sejam assimétricos ou multimodais. A mediana é o escore 
central de um conjunto de dados ordenado e pode ser calculada para 
valores em escala ordinal, intervalar ou de razão. A moda, o valor mais 
frequente de um conjunto de dados, pode ser calculada para valores em 
escala nominal, ordinal, intervalar ou de razão. Quando mais de uma 
medida de posição central for possível, opte por aquela que forneça 
mais informações acerca do conjunto, levando em conta também o 
formato de sua distribuição de frequências.
A variabilidade se refere ao grau de espalhamento dos dados em um 
conjunto. Todas as medidas de variabilidade (ou de dispersão) podem ser 
calculadas para valores em escala intervalar ou de razão. A amplitude 
indica a variação entre o maior e o menor valor de um conjunto, sendo 
fortemente afetada pela presença de valores extremos, outliers. A amplitude 
interquartílica indica a variação entre os 50% centrais de um conjunto 
de dados ordenado. A variância é um estimador global da variação média 
em um conjunto de dados, entretanto, por ser expressa em unidades 
quadráticas, sua interpretação direta se torna restrita. O desvio padrão é a 
raiz quadrada da variância e indica uma distância média em que os escores 
se distanciam da média do conjunto. Quanto maior o desvio padrão, mais 
os valores do conjunto se afastam da média.
Em geral, há mais variabilidade na população do que em uma amostra. 
A variância populacional e o desvio padrão populacional são indicados por 
σ2 e σ, respectivamente, enquanto a variância amostral e o desvio padrão 
amostral são representados por s2 e s, respectivamente. A variância amostral 
e o desvio padrão amostral são corrigidos (graus de liberdade) para melhor 
estimarem os parâmetros populacionais.
O dot-plot e o box-plot são gráficos adequados para representar a 
variabilidade de conjuntos de dados numéricos. Usualmente, cada valor 
do conjunto é reportado como um ponto no dot-plot, acompanhado 
pela média (barra central) e o desvio padrão (barra acima e abaixo 
da média). Já no box-plot, temos a construção de uma caixa que 
representa a variação dos 50% centrais (representada por q1 e q3), 
com a mediana destacada como uma barra em seu interior. Os bigodes 
da caixa são estendidos até o maior e o menor valor do conjunto, 
que respeitam os limites calculados. Caso algum valor ultrapasse esses 
limites, será considerado um outlier e deverá ser representado como 
um ponto no box-plot.
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Unidade I
 Exercícios
Questão 1. (Consulplan 2012) Para uma população de 10 indivíduos é retirada uma amostra de 3 
indivíduos, sem reposição. Assim, o número de amostras possíveis é
A) 80.
B) 120.
C) 240.
D) 30.
E) 720.
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão
A questão informa o tamanho da população (10 pessoas) e o tamanho da amostra (3 pessoas). Como 
precisamos calcular a quantidade de amostras possíveis, basta calcularmos a quantidade de combinações 
de 10 pessoas, tomadas 3 a 3.
C10,3 = 10! / 7!.3! = 10.9.8/3.2.1 = 120
Questão 2. (PMMG 2018, adaptada) O gerente de uma empresa, com um total de 150 funcionários, 
realizou um experimento com o objetivo de verificar o consumo de água dos funcionários durante o 
turno de trabalho. Foram selecionados, aleatoriamente, 50 funcionários e mensurada a quantidade de 
litros de água consumida por cada um, no período de 30 dias. Sabe-se, também, que cada funcionário 
teve a mesma probabilidade de ser incluído na seleção. Com base nestas informações, relacione a 
segunda coluna de acordo com a primeira:
Coluna 1
(1) Quantidade total de funcionários da empresa.
(2) Consumo de litros de água por funcionário.
(3) 50 funcionários selecionados aleatoriamente.
(4) Técnica utilizada para seleção da amostra.
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Coluna 2
( ) Variável contínua.
( ) Amostra.
( ) Amostragem aleatória simples.
( ) População.
Marque a alternativa que contém a sequência correta de respostas, na ordem de cima para baixo:
A) 4, 2, 3, 1.
B) 2, 1, 4, 3.
C) 3, 2, 1, 4.
D) 2, 3, 4, 1.
E) 1, 2, 3, 4.
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