ANALISE MATEMATICA 2023

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Questão 1
Sejam as progressões aritméticas (an) e (bn) cujos termos gerais são dados, respectivamente, por:
para todo n natural, com n ≥ 1.
A respeito dessas sequências, analise as seguintes afirmações:
I. O primeiro termo positivo de (an) consiste no 65º termo, de valor a65 = 2.
II. O primeiro termo negativo de (bn) consiste no 56º termo, de valor b56 = -4.
III. O número 59 corresponde a um termo comum entre as duas sequências.
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
 
Apenas a afirmação I está correta.
B)
 
Apenas a afirmação II está correta.
C)
 
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
D)
 
As afirmações I, II e III estão corretas.
E)
 
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
Questão 2
Considere a série numérica descrita no que segue:
No estudo da série, além de investigar a expressão de seu termo geral, podemos também analisar a sequências das somas parciais ou das reduzidas da série de modo a verificar a convergência ou divergência da série.
Com base nesse tema, assinale a alternativa que descreve corretamente a expressão do termo geral da sequência (Sn) das somas parciais ou das reduzidas da série Σ xn:
A)
 
A sequência das reduzidas da série Σ xn tem seu termo geral descrito por
B)
 
A sequência das reduzidas da série Σ xn tem seu termo geral descrito por
C)
 
A sequência das reduzidas da série Σ xn tem seu termo geral descrito por
D)
 
A sequência das reduzidas da série Σ xn tem seu termo geral descrito por
E)
 
A sequência das reduzidas da série Σ xn tem seu termo geral descrito por
Questão 3
Sejam os seguintes intervalos de números reais:
Associe os conjuntos (denotados por P, Q e R) com suas respectivas caracterizações (indicadas por I, II e III):
I. Conjunto com ínfimo 0 e que não admite supremo
II. Conjunto com ínfimo 0 e supremo 1.
III. Conjunto com supremo 1 e que não admite ínfimo
Assinale a alternativa que indica todas as associações corretamente:
A)
 
P – III; Q – I; R – II.
B)
 
P – III; Q – II; R – I.
C)
 
P – II; Q – III; R – I.
D)
 
P – I; Q – II; R – III.
E)
 
P – II; Q – I; R – III.
Questão 4
O conjunto dos números racionais, considerando as operações usuais de adição e multiplicação, possui diversas propriedades, o que possibilita sua diferenciação em relação a outros conjuntos numéricos.
Com base nesse tema, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) O conjunto dos números racionais, bem como o conjunto de números naturais, com suas duas operações usuais, satisfazem à associatividade, comutatividade e distributividade, quando consideramos ambas as operações.
(  ) O conjunto de números racionais diferencia-se do conjunto de números inteiros, dentre outras propriedades, pela possibilidade de identificação do inverso multiplicativo para todo elemento não nulo do conjunto.
(  ) O conjunto de números racionais com suas operações usuais compõe um corpo completo, de modo que qualquer intervalo de números reais contém algum racional, apesar de não ser ordenado.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, considerando a ordem de cima para baixo:
A)
 
V – F – F.
B)
 
F – V – F.
C)
 
V – V – F.
D)
 
F – F – V.
E)
 
V – F – V.
Questão 5
O estudo dos conjuntos numéricos e seus subconjuntos é essencial para o desenvolvimento dos mais variados ramos da Matemática, como a Álgebra e a Análise, por exemplo.
Com base na estrutura do conjunto de números inteiros, preencha as lacunas da seguinte afirmação, tornando-a uma descrição correta das propriedades desse conjunto:
O conjunto dos números inteiros pode ser classificado como um conjunto ________, porque todos os seus pontos são ________, de modo que Z não admite nenhum ponto ________. Além disso, Z pode ser classificado como um conjunto ________.
Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas da afirmação anterior, na ordem em que estes devem ser considerados:
A)
 
interior – de acumulação – isolado – enumerável.
B)
 
isolado – discretos – interior – finito.
C)
 
discreto – isolados – de acumulação – enumerável.
D)
 
discreto – isolados – de acumulação – não-enumerável.
E)
 
fechado – de acumulação – compacto – não-enumerável.
Questão 6
Com base na definição de conjunto discreto, analise as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
I. O intervalo [0, 2] de números reais não pode ser classificado como um conjunto discreto.
PORQUE
II. Um conjunto discreto é aquele cujos pontos são todos classificados como pontos de acumulação.
Em relação a essas afirmações, assinale a alternativa correta:
A)
 
A afirmação I é verdadeira e a II, falsa.
B)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta para a I.
C)
 
A afirmação II é verdadeira e a I, falsa.
D)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para a I.
E)
 
As afirmações I e II são falsas.
Questão 7
Quando desejamos calcular o limite de uma função, podemos empregar a definição formal de limite, a qual envolve a determinação de épsilons e deltas que atendam à definição. Para isso, é necessário realizar um estudo a respeito do comportamento da função em torno do ponto considerado.
Diante desse tema, seja a função:
Deseja-se provar que
por meio da definição formal. Assim, o valor de delta necessário para a comprovação do limite, com base em um  qualquer, é dado por:
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 8
A identificação de supremos e ínfimos associados aos subconjuntos dos números reais é possível quando os conjuntos em estudo apresentam limitações inferiores e/ou superiores.
Considere o conjunto apresentado no que segue:
Em relação a esse conjunto, analise as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
I. O conjunto A pode ser classificado como um conjunto limitado, tanto superiormente quanto inferiormente.
PORQUE
II. O conjunto A apresenta o número -3 como ínfimo e o número 3 como supremo, sendo, respectivamente, a maior das cotas inferiores e a menor das cotas superiores.
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B)
 
A afirmação I é verdadeira e a II, falsa.
C)
 
As afirmações I e II são falsas.
D)
 
A afirmação II é verdadeira e a I, falsa.
E)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Questão 9
Em relação às integrais definidas, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) As integrais são, por definição, estudadas para funções limitadas, a partir do qual são estabelecidas partições para o cálculo das integrais inferiores e superiores.
(  ) A integral inferior consiste no ínfimo das somas inferiores associadas às possíveis partições do domínio da função a ser integrada.
(  ) A integral superior consiste no supremo das somas superiores associadas às possíveis partições do domínio da função a ser integrada.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta das classificações:
A)
 
F – F – V.
B)
 
V – V – F.
C)
 
V – F – V.
D)
 
V – F – F.
E)
 
F – V – F.
Questão 10
Considere as sequências descritas a seguir:
Associe as sequências (denotadas por xn, yn e zn) com seus primeiros termos (apresentados em I, II e III):
I. (1, 2, 4, ...)
II. (-3, 6, -9, ...)
III. (1, 9, 25, ...)
Assinale a alternativa que indica todas as associações corretamente:
A)
 
I – xn; II – yn; III – zn.
B)
 
I – zn; II – yn; III – xn.
C)
 
I – yn; II – xn; III – zn.
D)
 
I – zn; II – xn; III – yn.
E)
 
I – yn; II – zn; III – xn.
Questão 11
Com relação ao conjunto
analise as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
I. O conjunto R não admite um supremo pertencente ao conjunto dos números racionais.
PORQUE
II. O conjunto dos números racionais, munido de suas operações usuais, não corresponde a um corpo completo.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
 
As afirmações I e II são falsas.
B)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, e a II é umajustificativa correta para a I.
C)
 
A afirmação I é verdadeira e a II, falsa.
D)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para a I.
E)
 
A afirmação II é verdadeira e a I, falsa.
Questão 12
O estudo das cardinalidades de conjuntos numéricos está associado ao processo intuitivo de quantificação dos elementos de conjuntos. Porém, por meio do conceito de cardinalidade podemos dar um formalismo adequado a esse processo, construindo proposições e teoremas que possam garantir as propriedades verificadas pelos diversos subconjuntos dos números reais, implicando na identificação de propriedades, por exemplo, para as funções construídas a partir desses conjuntos.
Quando estudamos os intervalos de números reais, é possível afirmar corretamente que:
A)
 
todo intervalo não degenerado de números reais apresenta cardinalidade infinita, como é o caso dos intervalos (0,1), [0,2) e [-1,0), por exemplo.
B)
 
existem intervalos não degenerados que apresentam cardinalidade finita, como é o caso do intervalo [0,2], o qual apresenta cardinalidade igual a 2.
C)
 
todo intervalo de números reais pode ser classificado como um conjunto de cardinalidade finita, a qual depende dos valores extremos assumidos no intervalo.
D)
 
qualquer intervalo limitado de números reais apresenta cardinalidade finita, independentemente da classificação enquanto intervalos abertos ou fechados.
E)
 
todo intervalo de números reais é um conjunto de cardinalidade infinita, independentemente de sua classificação enquanto intervalo degenerado ou não.