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MATERIAL DE APOIO 
 
Proposições 
Proposições são sentenças declarativas que 
possui um valor lógico (Verdadeiro ou Falso). 
Exemplos: 
- O Brasil foi campeão da copa do mundo de 
2014. 
- Lucas nasceu em Alagoas e tem 23 anos. 
- O homem já foi até a lua. 
- 3+40=45. 
Para entender o verdadeiro sentido das 
proposições, basta compreender que nem toda 
sentença é uma proposição. 
Não são proposições: 
Sentenças exclamativas: 
- “Poxa vida “ 
- “Vish” 
- “Eita” 
Sentenças interrogativas: 
- Por que você está estudando para um concurso 
público? 
- Você virá para a aula amanhã? 
- Você conhece o professor Morais? 
- Onde você mora? 
Sentenças imperativas (ordens): 
- Maria, saia da sala. 
- Soldado, cumpra suas obrigações. 
- Abra a porta. 
Sentenças abertas (Sentenças que faltam 
informações): 
- Ele é o melhor aluno do curso. 
- Ela é casada com um juiz. 
- X + 12= 20. 
Exemplos: 
1. (CESPE-UFOB-2018) Um dos conceitos 
iniciais de lógica é o de estruturas lógicas. Em 
relação às estruturas lógicas, julgue, como 
VERDADEIRO ou FALSO, os itens a seguir. 
Denomina-se proposição toda sentença 
declarativa à qual se pode atribuir um dos 
valores lógicos: verdadeiro ou falso, nunca 
ambos. Trata-se, portanto, de uma sentença 
fechada. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
2. (FUNDATEC-CRF-2021) 
Analise as seguintes afirmações: 
I. √26 é um número inteiro. 
II. (−3)2 é um número natural. 
III. 7/3 é um número racional. 
IV. O resultado de 3/6 + 7/2 é um número 
inteiro. 
 
Quais são as afirmações verdadeiras? 
 
A) Apenas I. 
B) Apenas I e III. 
C) Apenas II e III. 
D) Apenas I, II e IV. 
E) Apenas II, III e IV 
 
 
3. (FUNDEP – 2021) 
Das proposições a seguir, assinale a alternativa 
incorreta. 
 
A) – 4 < – 5 
B) – 5 < – 4 
C) 4 > – 5 
D) 5 ≠ 4 
 
 
4. Qual das alternativas não é uma proposição 
lógica. 
A) Buenos Aires fica na Europa. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO 
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B) Lucas é professor de Matemática e não gosta 
de trabalhar às sextas-feiras. 
C) 50 + 15 = 80 
D) Maceió é a capital de Alagoas. 
E) Lave a casa hoje. 
 
 
5. (CESPE- TJ- 2008) Nas sentenças abaixo, 
apenas A e D são proposições. 
 
A: 12 é menor que 6. 
B: Para qual time você torce? 
C: x + 3 > 10. 
D: Existe vida após a morte. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
Princípios das proposições: 
Princípio do terceiro excluído: Uma proposição 
é verdadeira ou falsa, não há um terceiro valor 
lógico para ela. 
Princípio da não contradição: Nenhuma 
proposição é simultaneamente verdadeira e falsa. 
Princípio da identidade: Uma proposição 
verdadeira é sempre verdadeira e uma proposição 
falsa é sempre falsa. 
Proposições simples e compostas 
Proposição Simples: É uma proposição que não 
pode ser dividida em outras proposições. 
Representação: Proposições simples são 
representadas por letras minúsculas. 
Exemplos: 
- p :Maragogi é o caribe brasileiro. 
- q: Maceió é o paraíso nordestino. 
- r: Lucas é professor. 
Proposição Composta: Uma proposição 
composta utiliza conectivos e pode ser dividida 
em outras proposições. 
Exemplos: 
- Joana é bonita e Marcos é desprovido de beleza. 
- Ou te darei um abraço, ou te amarei para sempre. 
Exercícios: 
1. Das sentenças a seguir, a única que 
representa uma sentença declarativa é? 
A) Marcos, limpe a casa agora. 
B) Que dia lindo! 
C) x+2=7 
D) O COVID-19 é real, mas não matou muitas 
pessoas. 
E) Ela é bonita. 
C) Marcos, limpe a casa agora. 
D) Que dia lindo! 
C) x+2=7 
F) O COVID-19 é real, mas não matou muitas 
pessoas. 
G) Ela é bonita. 
 
2. Quais das sentenças a seguir pode ser 
caracterizada como uma proposição simples: 
A) Maceió é linda e é a capital de alagoas. 
B) Maceió é a capital de Sergipe. 
C) Onde você mora? 
D) Poxa vida, que triste! 
E) Yes. 
 
3. Qual das alternativas abaixo representa uma 
sentença aberta. 
A) Maria é linda. 
B) Lucas tem dois filhos. 
C) Morais é um péssimo professor. 
D) Ele é um bom professor. 
 
4. (CESPE- PGE- 2019) Acerca da lógica 
sentencial, julgue o item que segue. 
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A lógica bivalente não obedece ao 
princípio da não contradição, segundo o 
qual uma proposição não assume 
simultaneamente valores lógicos 
distintos. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
5. (IBGP-2021) Assinale a alternativa em que a 
frase NÃO apresenta a mesma característica 
lógica das demais. 
A) Que alegria! 
B) Quem pagou a conta? 
C) Redija um memorando. 
D) Existem muitos médicos no Brasil. 
 
 
CONECTIVOS LÓGICOS: Utilizamos os 
conectivos lógicos para unir proposições simples e 
gerar proposições compostas. 
Disjunção (ou): 
 
p q p v q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Disjunção Exclusiva (Ou ... Ou): 
 
p q p v q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Conjunção ( e ) : 
 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Condicional (Se, então ): 
 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
 
Negações dos Conectivos: 
 
Proposição Negação #Dicas 
(p v q) ~p ^ ~q 
Nega as duas e troca 
o ―ou‖ pelo ―e‖ 
(p ^ q) ~p v ~q 
Nega as duas e troca 
o ―e‖ pelo ―ou‖ 
(p q) p  q 
Trova o pela 
bicondicional. 
(p  q) p ^ ~q 
Mantém a primeira e 
nega a segunda. 
 
(p  q) 
 
(p ̂ ~q) v 
(~q ^p) 
Mantém a primeira e 
nega a segunda ou 
mantém a segunda e 
nega a primeira. 
 
1.(CEFET-MG-2021) Na afirmação ―Gosto de 
pão ou de carne‖, o uso do conectivo ―ou‖ 
indica. 
A) Exclusão e, com isso, essa pessoa gosta 
somente de carne. 
B) Exclusão e, com isso, essa pessoa não gosta 
nem de pão nem de carne. 
C) Exclusão e, por isso, deve-se entender que essa 
pessoa gosta só de pão e não gosta de carne. 
D) Inclusão e, por isso, significa que a pessoa 
gosta, com certeza, tanto de pão quanto de carne. 
E) Inclusão, significando que a pessoa pode gostar 
só de pão, só de carne ou pode gostar dos dois ao 
mesmo tempo. 
 
 
2. (FGV- 2021) Considere a afirmação: 
―Se o peixe é fresco então não tem cheiro.‖ 
Assinale a opção que apresenta a negação 
lógica dessa sentença. 
A) “O peixe é fresco e tem cheiro.” 
B) “Se o peixe não é fresco então não tem cheiro.” 
C) “Se o peixe não é fresco então tem cheiro.” 
D) Se o peixe tem cheiro então é fresco.” 
E) “O peixe não é fresco e tem cheiro.” 
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3. (FUNDATEC-2021) Dentre as alternativas 
abaixo, aquela que apresenta uma proposição 
com o conectivo condicional é: 
A) A mentira é pior que qualquer coisa e o 
julgamento também. 
B) Eu estou com febre. 
C) Se chover pela manhã, então devemos cancelar 
nosso passeio da tarde. 
D) É possível que hoje a aula seja cancelada? 
E) Juliano será convocado para a seleção 
brasileira de futebol. 
 
 
4. (IBGP-2021) Paulo, contador da cidade de 
São João Del-Rei/MG, enviou a seguinte 
mensagem para o prefeito ―O DRE fechou e 
deu negativo‖. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a 
afirmação que CORRESPONDA à sua negação 
lógica. 
 
A) O DRE não fechou ou deu negativo. 
B) O DRE não fechou ou não deu negativo. 
C) O DRE fechou ou não deu negativo. 
D) O DRE não fechou e não deu negativo. 
 
 
5. (qUdrix- 2021) Julgue o item. 
 
―O Brasil é o país do futebol!‖ é um exemplo de 
proposição lógica. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
TAUTOLOGIAS: 
Chama-se de tautologia toda proposição composta 
cuja última coluna da tabela verdade apresenta 
apenas V. 
Exemplo de Tautologias: 
 p V ~p 
Exemplo: Considerando que P, Q e R sejam 
proposições simples, julgue o item abaixo. 
A partir do preenchimento da tabela-verdadeabaixo, é correto concluir que a proposição 
P𝖠Q𝖠R->P∨Q é uma tautologia. 
 
 
CONTRADIÇÃO 
Chama-se de contradição toda proposição 
composta cuja última coluna da tabela verdade 
apresenta apenas F. 
Exemplo de contradição: 
 p ^ ~p 
CONTINGÊNCIA 
Chama-se de Contingência toda proposição 
composta cuja última coluna da tabela verdade 
apresenta pelo menos um valor de V e F. 
Exemplo: 
• p V q 
Exemplo: Classifique cada uma das afirmativas a 
seguir colocando (V) para as verdadeiras 
e (F) para as falsas . 
( ) Anegação da negação de uma contradição é 
uma tautologia. 
( ) Contingência é uma proposição cujo valor 
lógico é sempre verdadeiro. 
( ) Adisjunção de uma tautologia com uma 
contradição é uma contingência. 
( ) Aproposição composta (A→B)→(B→A) é 
uma contingência. 
Marque a alternativa que contém a sequência 
CORRETA de preenchimento dos parênteses. 
A) V, V, F e F. 
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B) V, V, F e V. 
C) F, F, V e V. 
D) F, F, F e V. 
E) F, F, V e F. 
 
 
QUESTÕES 
 
 
1.(CESPE-UFOB) Um dos conceitos iniciais de 
lógica é o de estruturas lógicas. Em relação às 
estruturas lógicas, julgue, como 
VERDADEIRO ou FALSO, os itens a seguir. 
Denomina-se proposição toda sentença 
declarativa à qual se pode atribuir um dos 
valores lógicos: verdadeiro ou falso, nunca 
ambos. Trata-se, portanto, de uma sentença 
fechada. 
 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
2. (FUNDEP – 2021) Das proposições a seguir, 
assinale a alternativa incorreta. 
A) – 4 < – 5 
B) – 5 < – 4 
C) 4 > – 5 
D) 5 ≠ 4 
 
 
3. (CESPE- TJ) Nas sentenças abaixo, apenas A 
e D são proposições. 
 
A: 12 é menor que 6. 
B: Para qual time você torce? 
C: x + 3 > 10. 
D: Existe vida após a morte. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
4. (IBGP) Assinale a alternativa em que a 
frase NÃO apresenta a mesma característica 
lógica das demais. 
A) Que alegria! 
B) Quem pagou a conta? 
C) Redija um memorando. 
D) Existem muitos médicos no Brasil. 
 
 
5. (CESPE-POLITEC-2022) Considere que as 
proposições lógicas simples sejam 
representadas por letras maiúsculas e os 
símbolos lógicos usuais sejam representados de 
acordo com a tabela precedente. 
 
Considerando a tabela CG1A3-I, as 
informações a ela relacionadas e que as 
primeiras três colunas da tabela-verdade da 
proposição lógica P˄(Q ⇒ R) sejam iguais a 
 
 
A última coluna dessa tabela-verdade 
apresenta valores V ou F, tomados de cima 
para baixo, na sequência: 
 
A) V – F – V – V – F – F – F – F. 
B) V – F – F – F – V – F – F – F. 
C) V – V – F – F – V – V – F – F. 
D) V – V – V – F – V – F – V – F. 
E) V – F – V – F – V – F – V – F. 
 
 
6. (CESPE-PCPB-2022) A Democracia e a 
Justiça Social estão sempre lado a lado, e a 
Justiça Social é consequência direta do nível de 
maturidade da sociedade e do aprendizado do 
significado de ser humano. 
Considerando-se os conectivos lógicos usuais e 
assumindo-se que as letras maiúsculas P, Q, R 
e S representem proposições lógicas, o texto 
precedente pode ser expresso corretamente 
pela seguinte proposição lógica: 
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A) P. 
B) P ˄ Q. 
C) P ˄ (Q ⇒ R). 
D) (P ˄ Q) ⇒ R. 
E) (P ˄ Q) ⇒ (R ˄ S). 
 
 
7. (CESPE-PETROBRÁS-2022) Acerca de 
lógica matemática, julgue o item a seguir. 
 
A negativa da sentença composta ―Se o preço 
está elevado, então a compra não será 
realizada.‖ é ―O preço está elevado e a compra 
será realizada.‖. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
8. (CESPE-PETROBRÁS-2022) Acerca de 
lógica matemática, julgue o item a seguir. 
 
A frase ―Saia daqui!‖ é uma proposição 
simples. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
9. (CESPE-SEFAZ-2021) Considere as 
proposições lógicas P e Q, a seguir, a respeito 
de um condômino chamado Marcos. 
• P: “Se Marcos figura no quadro de associados e 
está com os pagamentos em dia, então ele tem 
direito a receber os benefícios providos pela 
associação de moradores de seu condomínio.” 
• Q: “Marcos não figura no quadro de associados, 
mas ele está com os pagamentos em dia.” 
Tendo como referência essas proposições, julgue 
o item a seguir 
A proposição Q é uma negação da proposição “Se 
Marcos está com os pagamentos em dia, então ele 
figura no quadro de associados.”. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
10.(CESPE-BANESE-2021) Com relação a 
estruturas lógicas, julgue o item a seguir, nos 
quais são utilizados os símbolos usuais dos 
conectivos lógicos e as letras P, Q, R e S 
representam proposições lógicas. 
 
A negação da frase: “Se Ana é professora então ou 
Pedro é médico ou Roberto é enfermeiro” é igual 
a “Ana é professora e Pedro não é médico e 
Roberto não é enfermeiro”. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
11. (CESPE-SEFAZ-AL-2021) A proposição P 
é equivalente à proposição ―Se Marcos tem 
direito a receber os benefícios providos pela 
associação de moradores de seu condomínio, 
então ele figura no quadro de associados e está 
com os pagamentos em dia.‖. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
12. (CESPE-SEFAZ-AL-2021) Considere as 
proposições lógicas P e Q, a seguir, a respeito 
de um condômino chamado Marcos. 
• P: “Se Marcos figura no quadro de associados e 
está com os pagamentos em dia, então ele tem 
direito a receber os benefícios providos pela 
associação de moradores de seu condomínio.” 
• Q: “Marcos não figura no quadro de associados, 
mas ele está com os pagamentos em dia.” 
 
Tendo como referência essas proposições, 
julgue o item a seguir. 
A proposição P é equivalente à proposição ―Se 
Marcos não figura no quadro de associados ou 
não está com os pagamentos em dia, então ele 
não tem direito a receber os benefícios providos 
pela associação de moradores de seu 
condomínio.‖. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
13. (CESPE-SEFAZ-AL-2021) Considere as 
proposições lógicas P e Q, a seguir, a respeito 
de um condômino chamado Marcos. 
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• P: “Se Marcos figura no quadro de associados e 
está com os pagamentos em dia, então ele tem 
direito a receber os benefícios providos pela 
associação de moradores de seu condomínio.” 
• Q: “Marcos não figura no quadro de associados, 
mas ele está com os pagamentos em dia.” 
 
Tendo como referência essas proposições, julgue 
o item a seguir. 
Considerando-se verdadeira a proposição P, é 
correto concluir que, se Marcos não tem direito a 
receber os benefícios providos pela associação de 
moradores de seu condomínio, então, 
necessariamente, ele não figura no quadro de 
associados nem está com os pagamentos em dia. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
14.(CESPE-SEFAZ-AL-2021) Considere as 
proposições lógicas P e Q, a seguir, a respeito 
de um condômino chamado Marcos. 
• P: ―Se Marcos figura no quadro de associados 
e está com os pagamentos em dia, então ele tem 
direito a receber os benefícios providos pela 
associação de moradores de seu condomínio.‖ 
• Q: ―Marcos não figura no quadro de 
associados, mas ele está com os pagamentos em 
dia.‖ 
 
Tendo como referência essas proposições, 
julgue o item a seguir 
A proposição Q é uma negação da proposição 
―Se Marcos está com os pagamentos em dia, 
então ele figura no quadro de associados.‖. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
15.(FGV-FUNSAÚDE-2021) Roberto fez as 
seguintes afirmações sobre suas atividades 
diárias: • faço ginástica ou natação. • vou ao 
clube ou não faço natação. • vou à academia ou 
não faço ginástica. Certo dia Roberto não foi à 
academia. 
É correto concluir que, nesse dia, Roberto: 
A) Fez ginástica e natação. 
B) Não fez ginástica nem natação. 
C) Fez natação e não foi ao clube. 
D) Foi ao clube e fez natação. 
E) Não fez ginástica e não foi ao clube. 
 
 
16. (FGV-FUNSAÚDE-2021) O advogado de 
uma empresa afirmou ao diretorque: ―Todos 
os processos relativos à empresa X foram 
finalizados‖ Dias depois, o diretor foi 
informado que essa afirmação não era 
verdadeira. O diretor concluiu logicamente 
que: 
A) Nenhum processo da empresa X foi 
finalizado. 
B) Somente um processo da empresa X não foi 
finalizado. 
C) Pelo menos um processo da empresa X não foi 
finalizado. 
D) Foi finalizado pelo menos um processo que 
não se refere à empresa X. 
E) Todos os processos finalizados não se referiam 
à empresa X. 
 
 
17. (FGV-FUNSAÚDE-2021) Considere a 
sentença: ―Todo urso branco é amigo da onça.‖ 
A negação lógica dessa sentença é: 
A) Nenhum urso branco é amigo da onça. 
B) Algum urso branco não é amigo da onça. 
C) Todo urso marrom é amigo da onça. 
D) Nenhuma onça é amiga de urso branco. 
E) Algum urso não é branco e é amigo da onça. 
 
 
18. (FGV-FUNSAÚDE-2021) Considere a 
sentença: ―Se a cobra é verde, então ela não 
morde ou ela é venenosa‖. 
A sentença logicamente equivalente à sentença 
dada é: 
A) Se a cobra morde e não é venenosa, então ela 
não é verde. 
B) Se a cobra não é verde, então ela morde e não é 
venenosa. 
C) Se a cobra não é verde, então ela não morde ou 
não é venenosa. 
D) A cobra é verde e não morde ou é venenosa. 
E) A cobra não é verde e morde e não é venenosa. 
 
 
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19. (FGV-FUNSAÚDE-2021) Considere a 
afirmação tradicional abaixo: ―Cão que ladra 
não morde‖ 
Essa afirmativa é equivalente a: 
A) Cão que não morde, ladra. 
B) Cão que não ladra, morde. 
C) Cão que morde, não ladra. 
D) Um cão não ladra ou morde. 
E) Um cão ladra ou morde. 
 
que essa afirmação não é verdadeira, é correto 
concluir que: 
A) nenhuma enfermeira é formada pela UFC. 
B) nenhuma enfermeira é formada. 
C) alguma enfermeira é formada na Unifor. 
D) há, pelo menos, uma enfermeira que não é 
formada na UFC. 
E) há, pelo menos, uma enfermeira que não é 
formada. 
 
 
 
 
20. Fernando, Gabriel e Hugo são médicos: um 
é cardiologista, outro é obstetra e outro é 
dermatologista, e dois deles são irmãos. Sabe-se 
que: 
• Fernando não é cardiologista. 
• Gabriel não é obstetra. 
• O irmão de Hugo é dermatologista. 
• O cardiologista não tem irmão. 
É correto concluir que: 
A) Fernando não é dermatologista. 
B) Hugo é obstetra. 
C) Gabriel é dermatologista. 
D) Hugo é cardiologista. 
E) Gabriel e Hugo são irmãos. 
 
 
 
21. (FGV-FUNSAÚDE-2021) Laura, Márcia e 
Paula são enfermeiras e nasceram em estados 
diferentes. Uma é mineira, outra, maranhense, 
e, a outra, pernambucana. Sabe-se que Laura 
não nasceu no Nordeste e que Paula não nasceu 
em Pernambuco. É correto afirmar que: 
 
A) Laura é pernambucana. 
B) Márcia é mineira. 
C) Paula é maranhense. 
D) Laura não é mineira. 
E) Márcia não é pernambucana. 
 
 
22. (FGV-FUNSAÚDE-2021) Um dos 
diretores de certo hospital, falando sobre as 
enfermeiras que lá trabalham disse: “Todas as 
enfermeiras são formadas pela UFC.” Sabendo 
23. (COPEVE-SEMED-2017) 
I. Se Francisco for à aula de Matemática, terá 
atividades para casa; 
II. Se Francisco tem atividades para casa, então 
precisa agendar um tempo para o estudo; 
III. Francisco não tem atividades para casa 
São verdadeiras, então Francisco não: 
A) Foi à aula de Matemática e não tem atividades 
para casa. 
B) Foi à aula de Matemática e precisa agendar um 
tempo para o estudo. 
C) Precisa agendar um tempo para o estudo e não 
foi à aula de Matemática. 
D) Precisa agendar um tempo para o estudo e foi à 
aula de Matemática. 
E) Tem atividades para casa e não precisa agendar 
um tempo para o estudo. 
 
 
24.(COPEVE-2017) Considerando que os 
símbolos ¬, 𝖠, ∨ e → representam negação, 
conjunção, disjunção e implicação, 
respectivamente, dadas as fórmulas, 
 
 
I. (A → ¬(A 𝖠 B)) → B 
II. (¬A 𝖠 ¬B) → ¬(A 𝖠 B) 
III. (A → ¬(¬A 𝖠 B)) → (B 𝖠 ¬B) 
verifica-se que é(são) contradição (ões) 
A) I, apenas. 
B) III, apenas. 
C) I e II, apenas. 
D) II e III, apenas. 
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E) I, II e III. 
 
Reduções Percentuais: 
 
 
 
25. (COPEVE-2017) Das premissas, 
I. Ana gosta de queijo ou Maria não gosta de caju. 
II. Bárbara gosta de tapioca e Ana não gosta de 
queijo. 
III. Pedro gosta de batata doce somente se Maria 
gosta de caju. 
É correto inferir que: 
A) Maria gosta de caju. 
B) Ana gosta de queijo. 
C) Pedro gosta de batata doce. 
D) Bárbara não gosta de tapioca. 
E) Pedro não gosta de batata doce. 
 
 
Porcentagens 
 
 
 
 
 
 
Aumentos e Reduções sucessivas 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES 
 
1. (CESPE-SEDUC-2021) Considere que, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
com 
 
Porcentagens são razões cujo o denominador é o 
número 100. Existem três formas de expressar 
uma porcentagem, uma simbólica, uma decimal e 
uma fracionária, vejamos: 
a diminuição do preço de determinado 
produto, as vendas dele tenham subido 70% e a 
receita arrecadada pela venda desse produto 
tenha subido 36%. Nessa situação hipotética, a 
redução no preço original do produto foi de 
20%. 
10% = 
10
 
100 
= 0,1 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aumentos percentuais: 
2.(CESPE-SEFAZ-2021) Determinado 
contribuinte, em débito com a receita estadual, 
constatou que deve pagar R$ 2.100 para quitar 
todos os débitos, após desconto concedido por 
aquele órgão. Após tal desconto, o pagamento 
pode ser parcelado em até 10 parcelas mensais, 
sendo a primeira calculada pela razão entre o 
valor da dívida pós-desconto e o número 
escolhido de parcelas, paga no momento do 
acordo. As demais têm seu valor corrigido em 
10% em relação à do mês anterior. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o 
item a seguir. 
Exemplo: Uma mercadoria custava R$ 600,00 
e sofreu um desconto de 30%. Determine o 
valor final da mercadoria. 
Solução: 
Exemplo 2: Dois descontos 
sucessivos de 10% numa mercadoria 
correspondem a um desconto único 
de quantos por cento? 
Solução 
Exemplo: Dois aumentos sucessivos de 10% 
numa mercadoria correspondem a um 
aumento único de quantos por cento? 
Solução: 
Exemplo 2: Dois descontos sucessivos 
de 10% numa mercadoria 
correspondem a um desconto único de 
quantos por cento? 
Solução 
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Se o valor a ser pago tiver sido resultante de 
um desconto de 30% sobre a dívida, então o 
valor da dívida inicial era inferior a R$ 2.800. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
3.(CESPE-2021-IBGE) Considere que, para 
determinada indústria, a produção de 
janeiro/2021 tenha sido 4% superior à 
produção de dezembro/2020 e que a produção 
de fevereiro/2021 tenha sido 7% inferior à 
produção de janeiro/2021. Nessa situação, com 
relação a dezembro/2020, a produção dessa 
indústria em fevereiro/2021 
 
A) cresceu menos de 3%. 
B) cresceu mais de 4%. 
C) decresceu mais de 3%. 
D) decresceu menos de 3%. 
E) decresceu mais de 4%. 
 
 
4.(CESPE-IBGE-2021) Daniel comercializava 
cada unidade do produto A por R$ 100 e cada 
unidade do produto B por R$ 200. No dia 
8/4/2021, Daniel aumentou o preço da unidade 
do produto A em 10% e o preço da unidade do 
produto B em 30%. No dia 15/4/2021, 
pressionado pelos seus clientes, Daniel reduziu 
os preços então vigentes, tanto do produto A 
quanto do produto B, em 20%. Nessa situação, 
se Ernesto adquiriu de Daniel uma unidade do 
produto A e uma unidade do produto B no dia 
16/4/2021, ele pagou por esses produtos um 
valor: 
A) Inferior a R$ 300. 
B) Entre R$ 300 e R$ 310. 
C) Entre R$ 311 e R$ 340. 
D) Entre R$ 341 e R$ 350. 
E) Superior a R$ 350. 
 
 
5.(CESPE-2021) Determinada organização 
pretende lançar um novo produto no mercado 
de tecnologia, levando em consideração 
incentivos fiscais para sua área de atuação. Elaplaneja produzir 1.200 unidades desse produto, 
com preço de custo unitário de R$ 100,00, ao 
qual será adicionada uma margem de lucro de 
20% para a venda. 
 
Desconsiderando eventuais impostos e tributos, 
assinale a opção que indica o número mínimo 
de unidades do referido produto que deverá ser 
vendido para que a empresa tenha uma 
arrecadação bruta de 10% do capital total 
investido nesse produto: 
A) 240 
B) 200 
C) 120 
D) 100 
E) 80 
 
 
6.(CESPE-SEFAZ-2020) Em determinada 
loja, uma bicicleta é vendida por R$ 1.720 a 
vista ou em duas vezes, com uma entrada de R$ 
920 e uma parcela de R$ 920 com vencimento 
para o mês seguinte. Caso queira antecipar o 
crédito correspondente ao valor da parcela, o 
lojista paga para a financeira uma taxa de 
antecipação correspondente a 5% do valor da 
parcela. 
Com base nessas informações, julgue o item a 
seguir. 
No caso de uma venda a prazo em que o lojista 
optasse pela antecipação do crédito 
correspondente à parcela que só seria paga no 
mês seguinte, o valor total que ele receberia 
(entrada mais antecipação) seria superior a R$ 
1.790. 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
7.(CESPE-TJ-2019) No estado do Paraná, 
segundo o IBGE, entre 1970 e 2010, a 
densidade populacional — quantidade média 
de habitantes por quilômetro quadrado — 
cresceu à taxa média de 9% a cada 10 anos, 
como mostra a tabela a seguir, em que os 
valores foram aproximados. 
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Se for constatado que, a partir de 2010, houve 
uma queda de 20% na taxa média de 
crescimento da densidade populacional, então, 
em 2020, essa densidade será 
 
A) Inferior a 53 habitantes por km2 . 
B) Superior a 53 habitantes e inferior a 54 
habitantes por km
2
. 
C) Superior a 54 habitantes e inferior a 55 
habitantes por km
2
 . 
D) Superior a 55 habitantes e inferior a 56 
habitantes por km
2
 . 
E) Superior a 56 habitantes por km2 . 
 
 
8.(CESPE-TJ-2019) Na assembleia legislativa 
de um estado da Federação, há 50 
parlamentares, entre homens e mulheres. Em 
determinada sessão plenária estavam presentes 
somente 20% das deputadas e 10% dos 
deputados, perfazendo-se um total de 7 
parlamentares presentes à sessão. 
 
Infere-se da situação apresentada que, nessa 
assembleia legislativa, havia: 
 
A) 10 deputadas. 
B) 14 deputadas. 
C) 15 deputadas. 
D) 20 deputadas. 
E) 25 deputadas. 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
Conjunto é uma coleção de elementos, pessoas 
que possuem a mesma característica, frutas, letras, 
números... 
Exemplo: Numa festa pode haver o conjunto de 
pessoas que só bebem refrigerante ou o conjunto 
daquelas que só gostam de músicas românticas. 
Representação dos conjuntos (Diagramas de 
Venn) 
 
 
 
 
A imagem acima representa o conjunto A 
que contem o elemento x. Note que o elemento y 
não está dentro do conjunto A, sendo assim, y não 
pertence ao conjunto A. 
Representação dos conjuntos pelo método das 
chaves: 
Representação de Conjunto usando Chaves 
Geralmente usamos letras maiúsculas para 
representar os nomes de conjuntos, e minúsculas 
para representar elementos. 
Exemplos: 
Conjunto A: Conjunto dos dias da semana que são 
úteis: 
A= {segunda, terça, quarta, quinta, sexta} 
 
 
Conjunto B: Números Naturais de 1 a 9. 
B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
 
Representação dos conjuntos por meio de 
sentenças Matemáticas: 
Conjunto A: Conjunto dos dias da semana que são 
úteis: 
A= {x ∈ Aos dias da semana| x é dia útil} 
Conjunto B: Números Naturais de 1 a 9. 
A= {x ∈ IN| 1 ≤x ≤ 9} 
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Leitura de um conjunto quando expresso por uma 
sentença matemática: 
A = { x Є Z | x ≥ 0} => O conjunto A é igual à: 
“ x pertencente ao conjunto dos números inteiros, 
tal que x é maior ou igual a zero. “ 
Escrevendo este mesmo conjunto pelo método das 
chaves: 
A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} Note que o 
conjunto A é infinito, possui um início, porém não 
tem um final. 
Símbolos utilizados na teoria dos conjuntos: 
 
 
 
 
Relações de pertinência 
 
 
A relação de pertinência é um conceito muito 
importante na "Teoria dos Conjuntos". 
Ela indica se o elemento pertence (e) ou não 
pertence (ɇ) ao determinado conjunto. 
 
exemplo: Considerando o conjunto 
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} note que o elemento 2 ∈ ao 
conjunto A e o elemento 10 ɇ ao conjunto A. 
 
Relação de Inclusão 
 
A relação de inclusão aponta se tal 
conjunto está contido (C), não está contido (Ȼ) 
ou se um conjunto contém o outro (Ɔ), por 
exemplo: 
 
A ={a,e,i,o,u} 
B ={a,e,i,o,u,b,c,d} 
C = {p,q,r,s,t} 
Logo, 
 A C B (A está contido em B, ou seja, 
todos os elementos de A estão em B) 
 C Ȼ B (C não está contido em B, na 
medida em que os elementos dos 
conjuntos são diferentes) 
 B Ɔ A (B contém A, donde os elementos 
de A estão em B) 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
 
Note que na Imagem o conjunto B está contido no 
conjunto A. Assim, B é subconjunto de A. 
 
Exemplo: Se A= { a,b,c } , os subconjuntos de A 
são : 
A1={a} ; 
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A2={b} ; 
A3={c} ; 
A4={a,b} ; 
A5={a,c} ; 
 
A6={b,c} ; 
A7={a,b,c} e 
A8= { }. 
Note que ele possui 8 subconjuntos. 
Considere que um conjunto A tem n elementos, 
sendo assim, A tem 2𝑛 subconjuntos. 
Exemplo: Se o conjunto A={a,b,c} , A tem 3 
elementos, assim o conjunto A tem 23 = 8 
subconjuntos. 
 
Conjunto Vazio 
 
O conjunto vazio é o conjunto em que não 
há elementos; é representado por duas chaves { 
} ou pelo símbolo Ø. 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: O conjunto 
vazio está contido (C) em todos os conjuntos. 
 
Conjunto Unitário 
 
O conjunto unitário é o conjunto em que 
contém apenas um elemento; é representado por 
duas chaves e um elemento dentro {x} 
 
Exemplo: A = { x e IN | 1<x<3 } 
 
A= {2} , Note que o conjunto tem apenas 1 
elemento, logo ele é unitário. 
União entre Conjuntos 
 
A união dos conjuntos, representada pela 
letra (U), corresponde a união dos elementos de 
dois conjuntos. 
 
Exemplo: Considere dois conjuntos, A e B, tais 
que A= { a, b, c, d, e } e B= { a, b, f, g, d} 
 
A U B = { a, b, c, d, e, f, g, d } 
Em símbolos: 
 
A U B= { x | x e A ou x e B} (Se um elemento x 
pertence a A U B, x é elemento de A ou x é 
elemento de B) 
 
 
A região azul representa a união entre os 
elementos do conjunto A e o conjunto B. 
 
 
 
Intersecção entre Conjuntos 
 
A intersecção dos conjuntos, 
representada pelo símbolo (∩), corresponde aos 
elementos em comum de dois conjuntos. 
 
Exemplo: Considere dois conjuntos, A = {a, b, c, 
d, e} ∩ B = {b, c, d}, Assim A ∩ B= { b,c,d} 
 
 
Em Símbolos: A ∩ B= { x | 𝑥 c 𝐴 𝑒 𝑥 c 𝐵 } 
 
 
 
 
Note que a parte na cor azul representa a 
intersecção entre o conjunto A e o Conjunto B. 
 
Diferença entre Conjuntos 
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A diferença entre conjuntos corresponde ao 
conjunto de elementos que estão no primeiro 
conjunto, e não aparecem no segundo. 
 
Exemplo: 
 
A = {a, b, c, d, e} e B={b, c, d} 
A - B= { a, e } 
Em símbolos: 
 
A – B= { x c A e x ɇ B} 
Notação de Venn: 
 
 
Note que a região azul representa todos os 
elementos que pertencem ao conjunto A mas não 
pertencem ao conjunto B. 
 
Conjunto complementar 
 
Se A está contido B, então o complementar 
de B com relação a A é igual à A – B. 
 
 
Em símbolos: 
 
 
Igualdade entre Conjuntos 
 
Dois conjuntos serão iguais se 
os elementos de dois conjuntos são idênticos, por 
exemplo nos conjuntos A e B: 
A = {1,2,3,4,5} 
B = {3,5,4,1,2} 
Logo, A=B. 
Note que: Se A={1,2,3} e B={1,2,3,3,3,3} os 
Conjuntos A e B continuam sendo iguais. 
 
Conjunto das Partes 
Considere umconjunto A, chamaremos de 
conjunto das partes de A, P(a), o conjunto que 
contém todos os subconjuntos do conjunto A. 
Exemplo: 
Se A= { a,b,c } , os subconjuntos de A são : 
A1={a} ; 
A2={b} ; 
A3={c} ; 
A4={a,b} ; 
A5={a,c} ; 
A6={b,c} ; 
A7={a,b,c} e 
A8= { }. 
Assim o conjunto das partes de A, P(a): 
P(a)= { {a} , {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, 
{ }} 
Note que o conjunto das partes de A possui 8 
elementos. 
OBSERVAÇÕES: 
OBS 1: Conjunto das partes: o número de 
elementos do conjunto das partes é dado pela 
fórmula 2𝑛 Onde n é o número de elementos do 
conjunto dado. 
OBS2: Número de elementos da união de 
conjuntos: 
Seja: n(A) = Número de elementos do conjunto A. 
n(B) = Número de elementos do conjunto B. 
n(AB)= Número de elementos da 
intersecção entre A e B. 
n(A B) = Número de elementos da união 
entre A e B. 
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n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) 
Questões 
1.(FGV-SEFAZ-2022) Considere o conjunto de 
números naturais C = {1, 2, 3, ⋯ , n} onde n > 
6. 
O conjunto A é formado pelos elementos 
de C que são múltiplos de 2 e o conjunto B é 
formado pelos elementos de C que são 
múltiplos de 3. 
Sabe-se que o número de elementos de C que 
não está nem em A e nem em B é o dobro do 
número de elementos de C que está 
simultaneamente em A e em B. 
O menor valor possível de n é 
A) 18. 
B) 24. 
C) 30. 
D) 36. 
E) 48. 
 
 
2.(FGV-2022) Considere os seguintes 
conjuntos: 
• A = conjunto dos números inteiros maiores do 
que 1 e menores do que 100. 
• B = conjunto dos números que pertencem a A 
e que são múltiplos de 6. 
• C = conjunto dos números que pertencem a A 
e que são múltiplos de 8. 
O número de elementos que pertencem a A e 
não pertencem a B nem a C é: 
A) 70. 
B) 72. 
C) 74. 
D) 76. 
E) 78. 
 
 
3.(FGV-MPE-2022) Uma empresa possui 32 
funcionários que trabalham nos setores A, B e 
C. Sabe-se que 20 funcionários trabalham no 
setor A, 14 funcionários trabalham no setor B e 
9 funcionários trabalham no setor C. Há 
funcionários que trabalham simultaneamente 
nos setores A e B, há funcionários que 
trabalham simultaneamente nos setores A e C, 
mas nenhum funcionário trabalha 
 
simultaneamente nos setores B e C. O número 
de funcionários que trabalha apenas no setor A 
é igual a 
A) 4. 
B) 5. 
C) 6. 
D) 8. 
E) 9. 
 
 
4.(FGV-2021-SP) Com os elementos do 
conjunto C = {1, 2, 3, ⋯ , 18, 19} devemos 
formardois conjuntos A e B tais que: 
 
• A 𝖴 B = C 
 
• A ∩ B = Ø 
 
• Os elementos de A e de B têm mesma soma. 
 
O número de elementos de A é, no mínimo, 
iguala: 
 
A) 5. 
B) 6. 
C) 7. 
D) 8. 
E) 9. 
 
 
5.(FGV-2020) Um conjunto A tem 30 elementos 
e um conjunto B tem 20 elementos. 
 
O menor número de elementos que a união 
de A e B pode ter é: 
 
A) 50; 
B) 40; 
C) 30; 
D) 20; 
E) 10; 
 
 
6.(CESPE-PF-2021) Considere os seguintes 
conjuntos: 
 
P = {todos os policiais federais em efetivo 
exercício no país} 
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P1 = {policiais federais em efetivo exercício no 
país e que têm até 1 ano de experiência no 
exercício do cargo} 
 
P2 = {policiais federais em efetivo exercício no 
país e que têm até 2 anos de experiência no 
exercício do cargo} 
 
P3 = {policiais federais em efetivo exercício no 
país e que têm até 3 anos de experiência no 
exercício do cargo} e, assim, sucessivamente. 
 
Com base nessas informações, julgue o item 
que se segue. 
P2 é subconjunto de P1. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
7.(CESPE-PF-2021) Considere os seguintes 
conjuntos: 
 
P = {todos os policiais federais em efetivo 
exercício no país} 
 
P1 = {policiais federais em efetivo exercício no 
país e que têm até 1 ano de experiência no 
exercício do cargo} 
 
P2 = {policiais federais em efetivo exercício no 
país e que têm até 2 anos de experiência no 
exercício do cargo} 
 
P3 = {policiais federais em efetivo exercício no 
país e que têm até 3 anos de experiência no 
exercício do cargo} e, assim, sucessivamente. 
 
Com base nessas informações, julgue o item 
quese segue. 
 
O conjunto P é igual à união infinita dos conjuntos 
P1, P2, P3, ... 
 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
 
8.(CESPE-IBGE-2021) Considere que uma 
pesquisa com 1.000 pessoas tenha revelado as 
seguintes informações: nos quatro primeiros 
meses de 2021, 
• 350 pessoas tiveram aumento em suas rendas; 
• 400 pessoas receberam recursos financeiros 
não previstos; • 150 pessoas, mesmo recebendo 
recursos financeiros não previstos, tiveram 
redução em suas rendas; • 300 pessoas 
mantiveram suas rendas, mesmo sem receber 
recursos financeiros não previstos. 
Com base nessas informações, conclui-se que, 
no período mencionado, 
 
A) O número de pessoas que receberam recursos 
financeiros não previstos e tiveram aumento de 
renda é superior ao número de pessoas que não 
receberam recursos financeiros não previstos e 
tiveram redução de renda. 
B) Entre as pessoas que receberam recursos 
financeiros não previstos, a maioria teve redução 
de renda. 
C) Entre as pessoas que não receberam recursos 
financeiros não previstos, o número de pessoas 
que conseguiram manter suas rendas foi inferior 
ao número dos que tiveram redução de renda. 
D) Menos de 100 pessoas tiveram aumento de 
renda mesmo sem receber recursos financeiros 
não previstos. 
E) Menos de 50 pessoas receberam recursos 
financeiros não previstos e tiveram aumento de 
renda. 
 
 
9.(CESPE-IBGE-2021) Considere que uma 
entrevista com 1.000 jovens tenha revelado 
que: 
 
● 400 pretendem concluir um curso superior; 
● 800 pretendem se casar; 
● 200 não pretendem concluir curso superior nem 
se casar. 
 
Considerando-se que nenhum dos jovens 
entrevistados deixou de responder à entrevista, é 
correto afirmar que: 
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A) Todos os jovens entrevistados que pretendem 
concluir um curso superior também pretendem se 
casar. 
B) Todos os jovens entrevistados que pretendem 
se casar também pretendem concluir um curso 
superior. 
C) A maioria dos jovens entrevistados não 
pretende concluir curso superior nem se casar. 
D) entre os jovens entrevistados que pretendem se 
casar, a maioria também pretende concluir um 
curso superior. 
E) Entre os jovens entrevistados que pretendem 
concluir um curso superior, a maioria não 
pretende se casar. 
 
 
10. (CESPE-2020) Em uma pesquisa feita com 
um grupo de 100 turistas que visitavam 
Aracaju, verificou-se que todos eles tinham 
visitado pelo menos duas das seguintes praias: 
Atalaia, Aruana e da Costa. A tabela a seguir 
mostra quantos desses turistas visitaram as 
referidas praias. 
 
 
Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes. 
 
I Menos de 40 turistas visitaram a praia de 
Atalaia. 
II Nenhum dos turistas participantes da pesquisa 
visitou apenas uma das praias citadas. 
III Nenhum dos turistas participantes da pesquisa 
visitou todas as três praias citadas. 
 
Assinale a opção correta. 
A) Apenas o item II está certo. 
B) Apenas o item III está certo. 
C) Apenas os itens I e II estão certos. 
D) Apenas os itens I e III estão certos. 
E) Todos os itens estão certos 
 
 
1. Números inteiros 
Os números inteiros são os números positivos e 
negativos (Números naturais e seus simétricos 
com relação ao 0). 
Algumas características: 
 O 0 está incluso no conjunto.
 Os números inteiros não apresentam parte 
decimal
 Indicado por ℤ.
 
 
Importante: Os números naturais estão contidos 
nos números inteiros (O conjunto dos números 
naturais ℕ, é um subconjuntos dos números 
inteiros). Em símbolos: 
 
 
 
 
ℕ= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Algumas notações especiais parasubconjuntos 
dos números inteiros: 
 
Símbolo Elementos Característica 
ℤ* 
{..., -3,-2,- 
1,1,2,3,...} 
Inteiros com 
exceção do 0. 
ℤ+ {0,1,2,3,4,5,...} 
Inteiros não 
negativos. 
ℤ _ {...,-3,-2,-1,0} 
Inteiros não 
positivos. 
ℤ*+ 
 
{1,2,3,4,5,6,...} 
Inteiros não 
negativos e sem o 
0. 
ℤ*_ 
 
{...,-3,-2,-1} 
Inteiros não 
positivos e sem o 
0. 
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Múltiplos: 
Diremos que um número é múltiplo de 
outro quando o primeiro é resultado da 
multiplicação entre o segundo e algum número 
natural e o segundo, nesse caso, é divisor do 
primeiro. O que significa que existem dois 
números, a e b, tal que a é múltiplo de b se existir 
algum número natural n tal que: a= b·n 
Se esse número existir, podemos dizer que b é um 
divisor de a e podemos escrever: a = n/b 
Tópicos importantes: 
 Todo número natural é múltiplo de si 
mesmo.
 Todo número natural é múltiplo de 1. 3) 
Todo número natural, diferente de zero, 
tem infinitos múltiplos.
 O zero é múltiplo de qualquer número 
natural.
 Os múltiplos do número 2 são chamados 
de números pares, e a fórmula geral desses 
números é 2k (k ∈ N).
 Os demais são chamados de números 
ímpares, e a fórmula geral desses números 
é 2k + 1 (k ∈ N).
DIVISIBILIDADE: 
Os critérios de divisibilidade servem para saber se 
um número é ou não divisível por outro, sendo 
assim, algumas regras precisam ser lembradas: 
Critérios de Divisibilidade 
Divisível por 2- Um número é divisível por: 2 – 
quando for par. 
Ex. 8; 14; 36 
Divisível por 3 – Quando a soma dos valores 
absolutos de seus algarismos for divisível por 3. 
Ex.: 135; 1257; 34581 
Divisível por 4 – Quando o número formado pelos 
dois últimos algarismos da direita for divisível por 
4. 
Ex.: 82304; 4216; 8217001512 
Divisível por 5 – Quando o último algarismo for o 
zero ou cinco. 
Ex.: 4350; 8855; 6554475 
Divisível por 6 – Quando for divisível por 2 e 3, 
ao mesmo tempo. Ex.: 22842; 18; 21542. 
Divisível por 8 – Quando o numeral formado 
pelos três últimos „algarismos for divisível por 8. 
Ex.: 224424; 36704 
Divisível por 9 – Quando a soma dos valores 
absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 
Ex.: 51228; 927; 363636 
Divisível por 10 – Quando terminar em zero. 
Ex.: 4919; 4380; 7650070 
Divisível por 12 – Quando for divisível por 3 e 4, 
ao mesmo tempo. 
Ex.: 510696; 252; 2712. 
 
Fonte: https://www.matematica.pt/faq/criterios- 
divisibilidade.php 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Um número é primo quando só admite 
como divisores ele próprio e a unidade. O 
número 1não é considerado número primo. 
Ex.: 7 (só é divisível por 1 e 7) 
Outros números primos: 
2; 3; 7; 11; 13; 17; 19; 23; etc 
 
PRIMOS ENTRE SI 
 
Dois ou mais números são chamados de 
primos entre si quando o único divisor comum 
entreeles é o número 1. 
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https://www.matematica.pt/faq/criterios-divisibilidade.php
https://www.matematica.pt/faq/criterios-divisibilidade.php
20 
 
 
 
 
Ex.: 21 e 10 18 e 35 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
entre dois ou mais números é o menor dos 
múltiplos (diferentes de zero) comuns a esses 
números. 
 
Exemplo: 
 
Múltiplos de 3= {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...} 
 
Múltiplos de 6= {0, 6, 12, 18, 24, ... } 
 
Note que existem números comuns aos conjuntos 
dos múltiplos de 3 e 6 e o menor deles é o 6, 
sendo assim, 6 é o MMC entre 3 e 6. 
 
MÉTODOS DE OBTENÇÃO DO MMC 
1- Decomposição dos números em fatores 
primos. 
 
Qual o MMC entre 14, 70 e 20 ? 
 
Fatoraremos os números simultaneamente, 
usando os fatores primos comuns e os não 
comuns. 
 
MMC(14,20,70) = 2X2X5X7 = 140 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M. 
D. C) 
Divisor comum é o número que divide 
exatamente dois ou mais números dados. 
 
Ex.: 3 é o divisor comum de 15 e 18. 
5 é o divisor comum de 40, 75 e 80. 
 
Máximo divisor comum é o maior de todos os 
divisores comuns de dois ou mais números. 
 
 
Exemplo: O conjunto dos divisores de 8 é {1, 
2, 4, 8} 
O conjunto dos divisores de 18 é {1, 2, 
3, 6 e 9} 
Os divisores comuns de 8 e 18 são: {1, 
2} 
 
O máximo divisor comum de 8 e 18 é o 2 que é 
representado pela notação: 
 
MDC (8 , 18) = 2 
Dispositivo Prático para encontrar o MDC entre 
dois ou mais números: 
Qual o MDC entre 120 e 252? 
 
 
O MDC (120,252)= 2 x 2 x 3= 12 ( produto dos 
fatores comuns) 
 
 
Relação entre MDC e MMC de dois números 
Vamos determinar o produto de 8 por 18 => 8 
x 18 = 144 
Agora, vamos determinar o MDC e o MMC 
desses números. 
 
O MDC (8, 18) = 2 
O MMC (8, 18) = 72 
 
Multiplicando o MDC pelo MMC dos dois 
números, temos: 2 x 72 = 144 
 
Assim, podemos concluir que : O produto de 
dois números diferentes de zero é igual ao 
produto do MDC pelo MMC desses mesmos 
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números. Ou seja: 
 
MMC(a,b) x MDC(a,b)= a x b 
 
Questões 
1- (COPEVE-2019) Sejam a e b dois números 
inteiros tais que ab =9900 e mmc(a,b)=330. 
 
É correto afirmar que a decomposição 
do mdc(a,b) em fatores primos é: 
 
A) 2
2
 . 3 . 5 
B) 2 . 3
2
 . 5 
C) 2 . 3 . 5 
D) 2 . 3 . 5
2
 
E) 2
2
 . 3
2
 . 5
2
 
 
2- (COPEVE-2018) Número primo 
[...] Para todo primo p seja p# o produto 
de todos os números primos q inferiores ou 
iguais a p. De acordo com a terminologia 
empregada por Dubner (1987), p# é chamado 
o primorial de p.[...] 
Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmer 
o_primo>. Acesso em: 13 abr. 2018. 
 
Dadas as afirmativas sobre primoriais de 
números primos, considerando estritamente a 
definição e a simbologia estabelecidas no texto, 
I. O primorial de um número primo é um número 
primo. 
II. Se p é um número primo maior que 2, a soma 
dos algarismos do número p# + 3 é um número 
múltiplo de 3. 
III. 8# = 2x3x5x7 = 210. 
 
Verifica-se que está(ão) correta(s) 
A) II, apenas. 
B) III, apenas. 
C) I e II, apenas. 
D) I e III, apenas. 
E) I, II e III. 
 
3- (COPEVE-2017) Dadas as afirmativas a 
respeito de divisibilidade de inteiros, 
I. Um inteiro cuja classe das unidades simples é 
369 é divisível por 3. II. Um inteiro cuja classe 
das unidades simples é 148 é múltiplo de 
4. III. Um inteiro cuja casa das unidades 
simples é 700 é divisível por 100. Verifica- 
se que está(ão) correta(s) 
A) I, apenas. 
B) III, apenas. 
C) I e II, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) I, II e III. 
 
 
4. (COPEVE-2017) Dadas as afirmativas a 
respeito de divisibilidade, 
 
I. Um número inteiro positivo é divisível por 4 se 
o resto da sua divisão por 100 o for. 
 
II. Um número inteiro positivo é divisível por 6 se 
a soma dos algarismos da sua metade o for. 
 
III. Um número inteiro positivo é divisível por 11 
se o módulo da diferença entre as somas de seus 
algarismos de ordem ímpar e de ordem par o for. 
 
Verifica-se que está (ão) correta(s) 
 
A) I, apenas. 
B) II, apenas. 
C) I e III, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) I, II e III. 
 
 
5.(COPEVE-2016) 
 
Divisibilidade por 11 [...] 
 
Um número é divisível por 11, caso a soma dos 
algarismos de ordem par subtraídos da soma 
dos algarismos de ordem ímpar, resultar em 
um número divisível por 11. Caso o resultado 
seja igual a 0, pode-se afirmar também que é 
divisível por 11. 
 
 
 
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Quantos números de cinco algarismos são 
múltiplos de 11 e terminam na centena 111? 
 
A) 4 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 10 
 
 
6- (COPEVE-2016) Dadas as afirmativas sobre 
os números inteiros, 
 
I. O maior inteiro que divide os números 112 e 
176 é 8. 
 
II. Se um inteiro positivo a é divisor de um inteiro 
positivo b e este inteiro b é divisor de um inteiro 
positivo c, então este inteiropositivo c é múltiplo 
do inteiro a. 
 
III. Um número inteiro primo positivo tem apenas 
um divisor positivo menor que ele. 
 
Verifica-se que está(ão) correta(s) 
 
A) I, apenas. 
B) III, apenas. 
C) I e II, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) I, II e III. 
 
 
7-(COPEVE-2016) Dadas as afirmativas a 
respeito de divisibilidade nos números inteiros, 
I. Os números 50 e 98 têm dois fatores primos 
comuns. II. O menor número que é divisível 
por 30 e por 42 é 210. III. O maior número que 
é divisor de 210 e de 315 é 105. verifica- 
se que está(ão) correta(s) 
A) I, apenas. 
B) III, apenas. 
C) I e II, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) I, II e III. 
8- (COPEVE-2016) Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma 
dos valores absolutos dos seus algarismos for 
divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 
9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2 + 8 
+ 7 + 1 = 18, e como 18 é divisível por 9, então 
2871 é divisível por 9. 
Disponível 
em:http://www.somatematica.com.br/fundam/c 
ritdiv.php. Acesso em: 14 maio 2016. 
 
Se A e B são algarismos do sistema decimal de 
numeração e o número AB9 tem três 
algarismos e é múltiplo de 9, então os valores 
de A + B são, apenas, 
A) 0 ou 9. 
B) 9 ou 18. 
C) 9 ou 27. 
D) 0, 9 ou 18. 
E) 0, 9, 18 ou 27. 
 
 
9-(COPEVE-2016) Joana e João, casados, 
consultores financeiros, são remunerados por 
hora trabalhada e têm acordado que cada um 
deles trabalhará semanalmente o menor 
número possível de horas para terem 
remunerações semanais positivas iguais. Numa 
semana em que eles estão trabalhando com 
remunerações de R$ 168,00 e R$ 90,00, 
respectivamente, 
A) João trabalhará 13 horas a mais que Joana. 
B) João trabalhará 15 horas a mais que Joana. 
C) João trabalhará 28 horas a mais que Joana. 
D) Joana trabalhará 13 horas a mais que João. 
E) Joana trabalhará 15 horas a mais que João 
 . 
10-(COPEVE-2015) O professor de uma 
determinada escola deseja propor uma gincana 
sobre ideias para reutilização de material 
reciclável. Para evitar injustiças, ele precisa 
criar equipes de mesmo tamanho e oferecer a 
mesma quantidade de material para cada uma. 
Sabendo que a turma tem 48 alunos e que o 
professor tem disponível 132 garrafas pet, 12 
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http://www.somatematica.com.br/fundam/c
http://www.somatematica.com.br/fundam/c
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tesouras, 72 embalagens de ovos e 24 folhas de 
papel colorido, qual o número máximo de 
equipes que podem ser criadas de forma que o 
professor utilize todo o material disponível e 
inclua todos seus alunos? 
A) 2 
B) 4 
C) 6 
D) 7 
E) 12 
------------------------------------------------------------- 
1. Números inteiros 
 
 
Os números inteiros são os números positivos e 
negativos (Números naturais e seus simétricos 
com relação ao 0). 
 
 
Algumas características: 
 O 0 está incluso no conjunto. 
 Os números inteiros não apresentam parte 
decimal 
 Indicado por ℤ. 
 
 
Importante: Os números naturais estão contidos 
nos números inteiros (O conjunto dos números 
naturais ℕ, é um subconjuntos dos números 
inteiros). Em símbolos: 
 
ℕ= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Algumas notações especiais para subconjuntos 
dos números inteiros: 
 
Símbolo Elementos Característica 
ℤ* 
{..., -3,-2,- 
1,1,2,3,...} 
Inteiros com 
exceção do 0. 
ℤ+ {0,1,2,3,4,5,...} 
Inteiros não 
negativos. 
 
2. NÚMEROS RACIONAIS 
 
 
Os números racionais são os números que podem 
ser escritos na forma de fração. Esses números 
podem também ter representação decimal finita ou 
decimal infinita e periódica. 
 
 
O conjunto dos números racionais pode ser 
representado por: 
 
 
Exemplos de números racionais: 
 
 -0,5
 -3,5
 4,5
 5,67785545
 0,33333...
 4/2
 -5/3
 
Representação na forma Fracionária: 
 
 3/9
 7/10
 3/8
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Representação Decimal: 
 
 0,33333...
 0,7
 0,375
 
Note que nos tópicos acima, os três exemplos 
representam um mesmo número, porém escritos 
de formas diferentes. Sendo assim, é fácil 
perceber que um número racional pode ser escrito 
tanto em forma de uma fração, quanto em forma 
decimal. 
 
 
Observação: 
 
Decimais exatos são números que possuem uma 
quantidade finita de elementos após a vírgula. 
 
Exemplos: 
 
 0,4
 0,5
 3,3
 
Dizima periódica: Após a virgula existem infinitos 
números que se repetem periodicamente. 
 
Exemplos: 
 
 0,33333333..
 3,5555555....
 0,4567888888...
 0,234234234234...
 
Quando um número é decimal infinito, mas não 
apresenta algarismos que se repetem, ou seja, não 
possui um período, ele não será uma dízima 
periódica e sim um número irracional. 
 
Dízimas periódicas simples e compostas 
 
A dízimas são chamadas de simples quando 
apresentam a parte inteira e após a vírgula apenas 
algarismos que se repetem. 
São exemplos de dízimas periódicas simples: 
 0,34343434... → parte inteira igual a 0 e 
período igual a 34
 1,444444444... → parte inteira igual a 1 e 
período igual a 4
 595,193193193... → parte inteira igual a 
595 e período igual a 193
 
Já as dízimas periódicas compostas possuem a 
parte inteira e depois da vírgula algarismos que 
não se repetem, além dos algarismos que se 
repetem. 
São exemplos de dízimas compostas: 
 7,125555... → parte inteira igual a 7, parte 
não periódica igual a 12 e período igual a 
5.
 2,7863333... → parte inteira igual a 2, 
parte não periódica igual a 786 e período 
igual a 3.
 13,2350505050... → parte inteira igual a 
13, parte não periódica igual a 23 e 
período igual a 50.
 
Representação das dízimas periódicas 
 
As dízimas podem estar escritas na forma 
de fração geratriz ou na forma de número decimal. 
Quando estiver escrita na forma decimal, 
colocamos três pontinhos no final para indicar que 
os algarismos se repetem infinitamente. 
 
Podemos ainda representar esse tipo de número 
colocando um traço horizontal apenas em cima do 
seu período. 
 
Exemplos 
 
 
Frações Geratrizes: 
As dízimas fazem parte do conjunto dos 
números racionais. Sendo assim, todas elas 
possuem uma fração que, ao dividir o numerador 
pelo denominador, encontramos essa dízima. 
 
No cálculo da fração geratriz, algumas etapas 
devem ser feitas. Vejamos: 
 
1ª etapa: igualar a dízima periódica a qualquer 
incógnita, como x, a fim de formar uma equação 
de primeiro grau; 
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https://www.todamateria.com.br/fracao-geratriz/
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/equacao-de-segundo-grau
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/equacao-de-segundo-grau
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2ª etapa: multiplicar os dois lados da equação por 
um múltiplo 10, de acordo com o número de casas 
decimais. Para saber qual múltiplo basta contar 
quantos casas decimais devemos “andar" até a 
vírgula; 
 
3ª etapa: reduzir a equação encontrada da equação 
inicial. 
 
4ª etapa: Isolar a incógnita. 
 
Exemplo 1: Encontre a fração geratriz da dízima 
0,3333333... 
 
Solução: 
 
1ª etapa: Igualar a incógnita a x: 
 
 
𝑥 = 0,333333333 …. 
 
2ª etapa: Iremos multiplicar por 10 ambos os 
membros da igualdade, pois, só temos uma casa 
decimal após a vírgula no período. 
 
10𝑥 = 3,333333 … 
 
3ª e 4ª etapa: Iremos subtrair a primeira equação 
da segunda e isolar a incógnita x: 
 
10𝑥 = 3,33333333 … 
−x = 0,333333333 … 
3 1 
9x = 3 => x = 9 => 𝑥 = 3 
Assim, 1/3 é a fração geratriz da dízima 
0,33333333... 
Exemplo 02: Encontrar a fração geratriz da dízima 
1,232323232323... 
Solução: 
 
1ª etapa: Igualar a incógnita a x: 
 
 
𝑥 = 1,232323232323 …. 
 
2ª etapa: Iremos multiplicar por100 ambos os 
membros da igualdade, pois, só temos duas casas 
decimais após a vírgula no período. 
 
100𝑥 = 123,232323232323 … 
 
3ª e 4ª etapa: Iremos subtrair a primeira equação 
da segunda e isolar a incógnita x: 
 
100𝑥 = 123,2323232323 … 
−x = 1,23232323232323 … 
122 
99x = 122 => x = 99 
Assim, 122/99 é a fração geratriz da dízima 
1,23232323232323... 
 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
Os Números Irracionais são números 
decimais, infinitos e não-periódicos que não 
podem ser representados por meio de frações. 
Exemplos de irracionais: 
 √3 = 1,732050807568.... 
 √5 = 2,236067977499... 
 √7 = 2,645751311064... 
 √p , onde p é primo 
 
Números Reais 
 
O conjunto dos números Reais IR é composto pela 
união entre o conjunto dos números Racionais (Q) 
com os números Irracionais (I). 
 
IR= Q U I 
 
 
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Os conjuntos numéricos relacionam-se uns com os 
outros. Em referência aos números reais, podemos 
fazer as seguintes afirmações: 
 
 
 Todo número natural é ao mesmo tempo 
um número real, pois os números naturais 
também são números inteiros e como todo 
inteiro é racional, todo natural é real; 
 
 Todo número inteiro é ao mesmo tempo 
um número real, pois os números inteiros 
também são números racionais; 
 
 Todo número decimal é ao mesmo tempo 
um número real, pois os números 
decimais pertencem ao conjunto dos 
números racionais ou dos números 
irracionais; 
 
Questões 
1- (COPEVE-2018) 
Texto 1 
 
Lei nº 4.090, de 13 de Julho de 1962. 
 
Institui a Gratificação de Natal para os 
Trabalhadores. 
 
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA: Faço saber 
que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a 
seguinte Lei: 
 
Art. 1º - No mês de dezembro de cada ano, a todo 
empregado será paga, pelo empregador, uma 
gratificação salarial, independentemente da 
remuneração a que fizer jus. 
 
§ 1º - A gratificação corresponderá a 1/12 avos da 
remuneração devida em dezembro, por mês de 
serviço, do ano correspondente. 
 
§ 2º - A fração igual ou superior a 15 (quinze) dias 
de trabalho será havida como mês integral para os 
efeitos do parágrafo anterior. 
 
§ 3º - A gratificação será proporcional: (Incluído 
pela Lei nº 9.011, de 1995) 
I - na extinção dos contratos a prazo, entre estes 
incluídos os de safra, ainda que a relação de 
emprego haja findado antes de dezembro; e 
(Incluído pela Lei nº 9.011, de 1995) 
 
II - na cessação da relação de emprego resultante 
da aposentadoria do trabalhador, ainda que 
verificada antes de dezembro. (Incluído pela Lei 
nº 9.011, de 1995) 
 
[...] 
 
 
Texto 2 
 
Se a legislação da gratificação natalina for 
modificada no corrente ano e as frações de mês 
passarem a ser pagas proporcionalmente, 
considerando um mês de trinta dias, um servidor 
público que trabalhar apenas quatro meses e 
quatro dias no ano de 2019 terá direito a uma 
gratificação natalina nesse ano correspondente a 
 do salário a que fizer jus. 
 
Que fração preenche corretamente a lacuna do 
texto 2? 
 
A) 31/ 90 
B) 2/ 93 
C) 1/ 90 
D) 1/ 3 
E) 7/ 15 
 
 
2. (COPEVE-2017) Tire suas dúvidas sobre 
torneiras e acerte na escolha 
 
[...] 
 
Tecnologias do momento 
 
– No quesito usabilidade, os metais também 
evoluíram. Você se lembra da anilha? Esse 
reparo – mais conhecido como courinho ou 
borrachinha, conforme a matéria-prima – já 
foi muito frequente na vedação das torneiras. 
Porém, como se deteriorava facilmente e exigia 
trocas constantes, os fabricantes começaram a 
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substituí-lo pelo cartucho de vedação, cujo 
desgaste é mínimo e, portanto, dá adeus ao 
pinga-pinga. ―Os modelos com o mecanismo 
antigo precisam de várias voltas para abrir e 
fechar. Os dotados de cartucho cerâmico, por 
sua vez, são acionados com apenas 1/2 volta ou 
1/4 de volta‖, detalha o engenheiro hidráulico 
Fernando Marques, de Bauru, SP. Como o 
sistema permite iniciar e interromper a 
corrente de água sem ter de girar totalmente o 
manípulo, acaba se revelando mais confortável 
e ajuda a poupar água. 
 
Disponível 
em:<http://casa.abril.com.br/materiais- 
construcao/tire-suas-duvidas-sobre-torneiras-e- 
acerte-na-escolha/> . Acesso em: 12 mar. 2017. 
 
 
Para uma torneira de 1/4 de volta que está 
fechada ser aberta completamente, o seu 
manípulo deve ser girado de um ângulo de: 
 
A) (1/4)º. 
B) 45°. 
C) 90°. 
D) 180°. 
E) 360°. 
 
 
3. (COPEVE-2014) Dados os itens sobre os 
conjuntos numéricos, 
 
I. Existem números reais que não são racionais. 
II. Existem números racionais que não são 
inteiros. 
III. Existem números inteiros que não são 
naturais. 
Verifica-se que está (ão) correto(s) 
A) II e III, apenas. 
B) I, II e III. 
C) III, apenas. 
D) I e II, apenas. 
E) I, apenas. 
 
 
4. (COPEVE-2015) Dadas as afirmativas 
quanto aos conjuntos numéricos, 
I. A união do conjunto dos números inteiros com 
o conjunto dos números reais é igual ao conjunto 
dos números reais. 
 
II. A interseção entre os conjuntos dos números 
reais, naturais e inteiros é igual ao conjunto dos 
números naturais. 
 
III. A diferença entre o conjunto dos inteiros e o 
conjunto dos naturais é o conjunto vazio. 
 
Verifica-se que está(ão) correta(s) 
 
A) I, apenas. 
B) III, apenas. 
C) I e II, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) I, II e III. 
 
 
5- (COPEVE-2017) A população de uma cidade 
é constituída de seis dezenas de japoneses, oito 
iraquianos, duas dezenas de milhar de 
brasileiros e quatro centenas de italianos. O 
total de moradores dessa cidade é: 
A) 2 468. 
B) 2 648. 
C) 6 824. 
D) 20 468. 
E) 20 648. 
 
 
6- (COPEVE-2017) Dadas as afirmativas sobre 
números naturais, 
 
I. O antecessor de um número ímpar positivo é 
divisível por 2. 
 
II. O resto da divisão do sucessor de um número 
par positivo por 2 é igual a 1. 
 
III. A soma de dois quadrados perfeitos é um 
quadrado perfeito. 
 
Verifica-se que está (ão) correta(s) 
 
A) II, apenas. 
B) III, apenas. 
C) I e II, apenas. 
D) I e III, apenas. 
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28 
 
 
 
E) I, II e III. 
 
 
7- ( COPEVE- 2016) Sucessor O sucessor 
de um número natural é o número natural que 
vier após ele. Obtêm-se o sucessor de um 
número natural acrescentando uma unidade a 
esse número. [...] Antecessor O antecessor 
de um número natural é o número natural 
anterior a ele. Obtêm-se o antecessor de um 
número natural subtraindo uma unidade desse 
número. 
Disponível em:http://alunotop.com/sucessor-e- 
antecessor-de-um-numero-natural/. Acesso em: 
14 maio 2016. 
Dadas as afirmativas sobre os números 
naturais, 
I. Existe um número natural que não tem 
sucessor. II. Existe um número natural que não 
tem antecessor. III. O sucessor de um número 
natural que possui três ordens possui quatro 
ordens. 
Verifica-se que está(ão) correta(s) 
A) I, apenas. 
B) II, apenas. 
C) I e III, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) I, II e III. 
 
 
8-(COPEVE-2014) Se A, B e C são algarismos 
não nulos distintos, e o inteiro 1A2B3C é 
múltiplo de nove, então o menor valor da soma 
dos inteiros representados por A, B e C é 
A) 0. 
B) 3. 
C) 6. 
D) 9. 
E) 12. 
 
e a soma dos pontos desses dois times foi 85. O 
narrador, também afeito às questões 
matemáticas, deduziu logo que o número de 
pontos do último colocado no campeonato foi: 
A) Igual ao número de pontos do primeiro 
colocado. 
B) A metade do número de pontos do primeiro 
colocado. 
C) A terça parte do número de pontos do primeiro 
colocado. 
D) A quarta parte do número de pontos do 
primeiro colocado. 
E) A quinta parte do número de pontos do 
primeiro colocado. 
10-(COPEVE-2014) Uma das citações oriundasda linguagem matemática mais ouvidas no dia a 
dia é: “a ordem dos fatores não altera o produto”. 
Essa afirmação é decorrente da propriedade 
comutativa da multiplicação de números reais: 
quaisquer que sejam os números reais a e b tem- 
se a . b = b . a. 
I. A ordem das parcelas não altera a soma. II. A 
ordem dos minuendo e subtraendo não altera a 
subtração. III. A ordem dos dividendo e divisor 
não altera a divisão. 
verifica-se que está(ão) correto(s) apenas 
A) I. 
B) II. 
C) III. 
D) I e II. 
 
Razões 
Na matemática, a razão estabelece 
uma comparação entre duas grandezas, sendo o 
quociente entre dois números. As razões 
estabelecem uma comparação entre as duas 
grandezas relacionadas. 
Notação: 
 
 
 
9-(COPEVE-2014) Um comentarista esportivo, 
que aprecia ilustrar seus comentários com a 
linguagem matemática, ao comentar o 
resultado de campeonato passado afirmou: a 
diferença entre os números de pontos do 
campeão e do último colocado foi de 51 pontos 
𝑎 
𝑏 𝑐𝑜𝑚 G 0 
Obs: a é chamado de antecedente e b de 
consequente. 
Exemplos: 
 Qual a razão entre 40 e 20? 
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29 
 
 
 
 
 
 Em uma sala existem 25 Alunos, sendo 
que 15 são homens e 10 são mulheres, 
sendo assim, a razão entre o número de 
mulheres e o número de homens é igual a: 
 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 
= 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
𝑅 
 
15 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠. 
P1: O produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. Sendo a seguinte igualdade entre 
razões, uma proporção, 
 
Sendo assim: 
 
 
Exemplo: 2 = 
10 
=> 2 𝑥 15 = 3 𝑥 10 => 
3 15 
30=30 
 
 
Proporções 
 
 
Definição: Chamaremos de proporção a igualdade 
entre duas razões equivalentes, ou seja, duas 
razões equivalentes. 
𝑎 = 
𝑐 
= k ,onde chamaremos k de constante de 
𝑏 𝑑 
proporcionalidade. 
Legenda para proporções: 
 
 a está para b na mesma razão que c está 
para d; 
 a está para b assim como c está para d; 
 a e b são proporcionais a c e d. 
 
 
Na proporção: 
P2: A soma (ou subtração) dos denominadores aos 
numeradores de suas razões, não altera a 
proporção. 
Assim, verificamos que se: 
 
 Então é válido que: 
 
 
Na primeira razão, somamos ou 
subtraímos o denominador b, e, na segunda razão, 
somamos ou subtraímos o denominador d. 
 
 
P3: A soma de seus antecedentes esta para a soma 
de seus consequentes, assim como qualquer 
antecedente está para seu respectivo consequente. 
 
 
 
𝑎 𝑐 
= 
𝑎 + 𝑐 
= 
Propriedades de proporção: 𝑏 𝑑 𝑏 + 𝑑 
= 𝑘, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 é 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐i𝑜𝑛𝑎𝑙i𝑑𝑎𝑑𝑒. 
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30 
 
 
= = 
= 
 
Exemplo: 2 
4 
2+4 
 
 
 
3 6 3+6 
Se certa quantia H for dividida em duas partes, x 
que é inversamente proporcional a a e y que é 
inversamente proporcional a b, teremos: 
Divisão proporcional: 
 
 
Diretamente proporcional 
 
 
Se certa quantia H for dividida em duas partes, x 
que é diretamente proporcional a a e y que é 
diretamente proporcional a b, teremos: 
 
𝑥 𝑦 
= 
 
𝑎 𝑏 
= 𝑘, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 é 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐i𝑜𝑛𝑎𝑙i𝑑𝑎𝑑𝑒. 
 
 
Exemplo: A quantia de 500 mil reais deve ser 
dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 
e 6. A menor dessas partes corresponde a: 
Solução: 
Primeiro vamos chamar de x a parte diretamente 
proporcional a 4, y a parte diretamente 
proporcional a 5 e z a parte diretamente 
proporcional a 6. Sendo assim, teremos: 
 
 
𝑥 
= 
𝑦 
= 
𝑧 
= 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 4
 5 6 4 + 5 + 6 
Agora note que x+y+z = 500.000 , assim: 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 500000 
= = = = 
4 5 6 4 + 5 + 6 15 
 
𝑥 𝑦 
1 
= 
1 
𝑎 𝑏 
= 𝑘, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 é 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐i𝑜𝑛𝑎𝑙i𝑑𝑎𝑑𝑒. 
Exemplo: Suponha que queiramos dividir 740 mil 
em partes inversamente proporcionais a 4, 5. 
 
 
Solução: 
Considere que os 740.000 foi dividido em duas 
partes, uma x inversamente proporcional a 4 e 
uma y inversamente proporcional a 5. Sendo 
assim, teremos: 
 
 
𝑥 = 𝑦 = 𝑥 + 1𝑦 
1 1 + 1 
4 5 4 5 
= 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 é 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐i𝑜𝑛𝑎𝑙i𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
 
 
𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑦 740000 
 1 1 
= 
1 1 
= 
9 => 4𝑥 
4 5 4 + 5 20 
= 14.800.000 => 𝑥 
 
9 
= 411.111,111 … 
 
 
QUESTÕES 
𝑥 𝑦 𝑧 100000 𝑥 100000 
= = = => = =>𝑥 
4 5 6 3 4 3 
400000 
= 3 = 133.333,33 … 
 
Divisão inversamente proporcional 
1.(COPEVE-2019) Em 2017, num certo país, o 
consumo de vinho foi de 500 bilhões de taças de 
200 ml cada uma. No ano seguinte, o consumo 
de vinho naquele país aumentou em 1/5 do 
consumo do ano anterior. 
De acordo com os dados acima, qual foi o 
consumo aproximado de vinho do mesmo país, 
em 2018? 
A) 100 bilhões de litros. 
B) 12 bilhões de litros. 
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C) 10 bilhões de litros. 
D) 20 bilhões de litros. 
E) 120 bilhões de litros. 
 
 
2.(COPEVE-2019) Sabendo que A é 
inversamente proporcional a B+2 e que A=3 
quando B=8, quanto vale A quando B=1? 
A) 1/10. 
B) 3/8. 
C) 28. 
D) 4/3. 
E) 10. 
 
 
3.(COPEVE-2019) Numa reunião de família, 
Valentim escondeu 3/7 de sua idade, dizendo 
ter 36 anos. 
Qual a idade de Valentim? 
A) 84. 
B) 77. 
C) 70. 
D) 56. 
E) 63. 
 
distância entre os extremos dos dedos das duas 
mãos igual a 28 m. Se a réplica deve ter 3 m e 
as proporções devem ser mantidas, essas duas 
últimas medidas da réplica serão, 
respectivamente, iguais a 
A) 1,06 m e 9,33 m. 
B) 32 cm e 2,8 m. 
C) 10,6 cm e 93,3 cm. 
D) 3,2 m e 28 cm. 
E) 3,2 cm e 2,8 m. 
 
 
6.(COPEVE-2011) Sílvia foi à feira comprar 
exatamente 2,4 quilos de arroz para sua receita 
de arroz doce. Ao chegar a uma das barracas, o 
vendedor informou que o arroz era embalado 
em sacos com 50, 150 ou 500 gramas. Qual a 
menor quantidade de sacos que Sílvia pode 
comprar? 
A) 6 
B) 5 
C) 4 
D) 7 
E) 8 
 
 
 
 
 
4.(COPEVE-2015) Em um posto de saúde de 
uma determinada localidade, são 
diagnosticados três vezes mais casos de febre 
Zika do que casos de dengue. Se no mês de 
agosto de 2015 o posto atendeu 1000 pacientes, 
sendo 400 pacientes com patologias diversas e 
os demais com casos de Zika e dengue, os 
números de casos de febre Zika e dengue 
atendidos no posto naquele mês foram, 
respectivamente, iguais a: 
A) 150 e 450. 
B) 250 e 750. 
C) 450 e 150. 
D) 480 e 120. 
E)750 e 250. 
 
 
5.(COPEVE-2015) Um artista decidiu construir 
em sua cidade uma réplica da estátua ―Cristo 
Redentor‖ que tem 30 m de altura, mãos com 
cerca de 3,2 m de comprimento, sendo a 
7.(CESPE-2021) Considere que Arnaldo, em 
2020, tenha completado a idade que sua mãe 
tinha em 1985, e que, em 2025, ele terá 1/3 da 
idade de seu pai. Admitindo-se que o pai de 
Arnaldo tenha 5 anos de idade a mais que a 
mãe de Arnaldo, é correto afirmar que 
Arnaldo completou em 2020: 
A) 10 anos de idade. 
B) 30 anos de idade. 
C) 15 anos de idade. 
D) 20 anos de idade. 
E) 25 anos de idade. 
 
 
8.(CESPE-2020) Em certa escola estão 
matriculados 270 alunos. A cada dia, ao 
prepararem a merenda para os alunos, as 
merendeiras preparam 10 merendas a mais do 
que a quantidade de alunos presentes na escola. 
No último dia de aula, 1/3 dos alunos 
matriculados não compareceu à escola. 
Nessa situação hipotética, a quantidade de 
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32 
 
 
 
 
merendas preparadas pelas merendeiras no 
último dia de aula foi igual a: 
A) 90. 
B) 100. 
C) 180. 
D) 190. 
E) 280. 
 
 
9.(CESPE-2020) Um servidor deve digitalizar 
72.000 documentos de uma página cada. Os 
documentos a seremdigitalizados devem ser 
distribuídos em 3 máquinas digitalizadoras 
com velocidades de digitalização diferentes. 
Para digitalizar a mesma quantidade de 
documentos, uma das máquinas menos rápidas 
gasta o triplo do tempo da mais rápida, 
enquanto a outra gasta seis vezes o tempo da 
máquina mais rápida. 
 
Nessa situação, para que as três máquinas, 
funcionando simultaneamente, demorem o 
mesmo tempo para digitalizar os 72.000 
documentos, devem ser colocados na máquina 
mais rápida: 
 
A) 8.000 documentos. 
B) 16.000 documentos. 
C) 24.000 documentos. 
D) 32.000 documentos. 
E) 48.000 documentos. 
 
necessariamente incluirá pelo menos uma 
mulher, e todo grupo formado com 21 
servidores, necessariamente incluirá pelo 
menos um homem. Se a quantidade de 
servidores, homens e mulheres, nesse 
departamento for a maior possível nessas 
condições, então, nesse departamento, a 
proporção entre o número de homens e de 
mulheres, respectivamente, será de: 
A) 13:21. 
B) 13:34. 
C) 3:8. 
D) 3:5. 
E) 1:2. 
 
 
12.(CESPE-2018) A quantia de R$ 360.000 
deverá ser repassada às escolas A, B e C para 
complemento da merenda escolar. A 
distribuição será em partes diretamente 
proporcionais às quantidades de alunos de 
cada escola. Sabe-se que a escola A tem 20% a 
mais de alunos que a escola B e que a escola C 
tem 20% a menos de alunos que a escola B. 
Nesse caso, a escola A deverá receber: 
A) R$ 140.000. 
B) R$ 144.000. 
C) R$ 168.000. 
D) R$ 192.000. 
E) R$ 216.000. 
 
 
 
 
10.(CESPE-2019) Um grupo de técnicos do 
TJ/PR é composto por estudantes 
universitários: a metade dos estudantes cursa 
administração; um quarto deles cursa direito; e 
o restante, em número de quatro, faz o curso de 
contabilidade. Nesse caso, a quantidade de 
estudantes desse grupo é igual a: 
A) 12. 
B) 16. 
C) 20. 
D) 24. 
E) 32. 
13.(CESPE-2011) O trajeto de 5 km percorrido 
por um carteiro é formado por 2 trechos. Sabe- 
se que os comprimentos desses trechos, em 
metros, são números diretamente 
proporcionais a 2 e 3. Nesse caso, a diferença, 
em metros, entre os comprimentos do maior 
trecho e do menor trecho é igual a: 
A) 600. 
B) 1.400. 
C) 1.200. 
D) 1.000. 
E) 800. 
 
 
11.(CESPE-2018) Em um departamento, todo 
grupo formado com 13 servidores, 
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33 
 
 
Nesse caso, na figura 1 Observamos um triângulo 
acutângulo, ele possui todos os ângulos internos 
menores que 90°; na Figura 2. Podemos observar 
um triângulo retângulo, este polígono de três 
lados possui um ângulo de 90°; e na figura 3. 
Temos um triângulo obtusângulo, ele recebe este 
nome por possuir um ângulo interno obtuso, ou 
seja, maior que 90°. 
 
 
Geometria 
Geometria é a área da Matemática que 
explora as figuras geométricas, sendo dividida em 
Geometria Plana (figuras com duas dimensões) e 
Geometria Espacial (figuras em três dimensões). 
Geometria Plana 
As figuras geométricas planas ou figuras 
bidimensionais recebem esse nome por 
apresentarem apenas duas medidas em sua 
composição: comprimento e largura. Dentro dessa 
área, compreendemos os polígonos, figuras 
geométricas planas e que são fechadas, entre os 
principais, encontramos: 
 
- Triângulo: Formado por três lados unidos nos 
vértices, que pode ser classificado de acordo com 
a medida dos lados ou dos ângulos internos, 
 
- Quadrado: Chama-se de quarado o polígono 
formado por quatro lados e que possui todos os 
ângulos internos iguais (congruentes), medido 90º, 
isto é, ângulos retos. 
 
 
Retângulo: Polígono formado por quatro lados, 
com os lados opostos congruentes e paralelos. 
Quanto aos seus ângulos internos, são congruentes 
e retos. 
 
 
- Círculo e circunferência: Na geometria plana, 
chamamos de círculo uma figura plana limitada 
pela circunferência, correspondendo ao espaço 
dentro do conjunto de todos os pontos do plano, já 
a circunferência pode ser entendida como esse 
 
conjunto de pontos que possuem a mesma 
distância de onde estão até o centro, segmento que 
pode ser chamado de raio. 
vejamos: 
Na figura 1 temos um triângulo equilátero, ou 
-seTjar,iâtnogduoslo:osFolramdaodso 
epoârntgruêslolsadionsteurnnoidsosdensotes pvoérltíigcoenso, 
quseãopodceonsegrrrucelnastessif;icaJdáo dnea 
acfoigrduoracom2, 
aencmoendtriadma odsosa lraedporseseonutaçdãoos 
dâenguuumlos triniâtenrgnuolso, 
isósceles, este polígono de três lados possui dois 
lados e dois ângulos internos congruentes; e na 
figura 3, temos um triângulo escaleno, no qual 
todas as medidas internas são diferentes. 
vejamos: 
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https://matematicabasica.net/triangulo-retangulo/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-isosceles/
https://matematicabasica.net/triangulo-escaleno/
34 
 
 
 
 
 
 
 
- Trapézio: Apresenta duas bases paralelas e com 
medidas diferentes, sendo classificados de acordo 
com a medida dos lados e ângulos internos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Losango: Polígono formado por quatro lados, 
com lados opostos paralelos e lados e ângulos 
congruentes (iguais). 
Área e Perímetro 
Outros conceitos básicos de Geometria Plana são: 
- Perímetro: A medida do comprimento de um 
contorno de uma figura plana. 
- Área: A medida do comprimento do tamanho de 
uma superfície. A fim de fazer o cálculo da área 
usamos as medidas de comprimento e largura das 
figuras geométricas (ou polígonos). Observe a 
seguir as fórmulas para o cálculo do perímetro e 
área das principais figuras geométricas planas: 
 
 
 
Onde: 
P = perímetro 
A = área 
L = lado 
h = altura 
abc = lado qualquer 
D = diagonal maior 
d = diagonal menor 
B = base maior 
b = base menor 
l‟ = lado 1 
l” = lado 2 
r = raio (diâmetro = 2 . r) 
Geometria Espacial 
De modo geral, a Geometria Espacial são 
figuras com três dimensões (figuras 
tridimensionais), que além do comprimento e da 
largura também possuem a altura, permitindo, 
ainda, o estudo em torno do conceito de volume, 
medida de capacidade dos sólidos geométricos. 
As figuras são divididas em corpos redondos e 
poliedros, como veremos a seguir, já com a sua 
fórmula para cálculo da área e do volume. 
Ao observar as figuras acima, temos que na figura 
1, encontramos um trapézio retângulo, que 
apresenta dois ângulos internos de 90°; na figura 2 
obtemos um trapézio isósceles, que é quando os 
lados das bases não são iguais (congruentes); e na 
figura 3 temos o trapézio escaleno, quando todos 
os lados têm medidas diferentes. 
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35 
 
 
Fórmulas: 
Área total: Alateral + Abase | Volume: 1/3 Abase . 
h 
 
- Poliedros: Os poliedros são figuras formadas 
por três elementos básicos: vértices, arestas e 
faces. Seus principais representantes são as 
pirâmides e os prismas: 
 
valores. Essa relação ficou conhecida como 
Relação de Euler: 
 
 
 
Entre outras figuras geométricas espaciais, 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os poliedros recebem nomes especiais, que 
variam de acordo com o número de faces, 
vejamos: 
 
• Tetraedro: quatro faces; 
• Pentaedro: cinco faces; 
• Hexaedro: seis faces; 
• Heptaedro: sete faces; 
• Octaedro: oito faces; 
• Decaedro: dez faces; 
• Dodecaedro: doze faces; 
• Icosaedro: vinte faces. 
 
Além disso, esses poliedros podem ser 
classificados em: 
 
- Convexos: quando os poliedros se encontram 
totalmente no semiespaço que essa face 
determina. 
- Côncavos: quando