Vetores na Física

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FÍSICA I
PRÉ-VESTIBULAR 297SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
VETORES06
GRANDEZAS ESCALARES E 
VETORIAIS
Existem, na Física, certas grandezas, tais como massa e volume, 
que precisam apenas do valor numérico e da unidade, para fi carem 
bem defi nidas. Quando necessitamos de alguma informação sobre 
a massa de um objeto, basta conhecer o seu valor, não existe 
uma noção de direção e sentido. As grandezas físicas deste tipo, 
que precisam do valor numérico (módulo) acompanhado de sua 
unidade para fi carem bem defi nidas, recebem o nome de grandezas 
escalares. 
Chamamos de grandezas vetoriais todas aquelas grandezas 
que para fi carem bem defi nidas necessitam, além do módulo e 
da unidade, que se conheça sua direção e sentido. Velocidade é 
um exemplo de grandeza vetorial. O aluno, ao saber que um móvel 
está com velocidade de 10 m/s, ainda pode perguntar: em que 
direção? Suponhamos que a resposta seja na direção horizontal, 
uma pergunta ainda persiste: em que sentido? Outros exemplos de 
grandezas vetoriais são: aceleração, força, impulso etc.
VETOR
Vetor é um segmento de reta orientado. O vetor possui três 
características da: módulo, direção e sentido.
Representa-se um vetor da seguinte forma: AB

, sendo “A” a 
origem e “B” a extremidade. Outra forma consiste em utilizar uma 
letra: a

. 
MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO
Como já foi dito, em alguns casos, uma informação não é 
sufi ciente para entendermos bem uma grandeza. E, assim sendo, 
devemos fazer outras perguntas. 
Por exemplo, consideremos um indivíduo em um ponto 
qualquer do plano. Sabe-se que este indivíduo se desloca 5 m em 
linha reta. Apesar desta informação, não sabemos qual é a direção. 
Suponhamos que agora é sabido que o indivíduo se desloca em 
uma trajetória perpendicular à horizontal. Ainda pode haver uma 
pergunta: para cima ou para baixo? A resposta é para cima e agora, 
a grandeza está defi nida.
O módulo de um vetor corresponde ao comprimento do vetor, 
no caso 5 m. O módulo de um vetor é representado da seguinte 
forma: AB

 ou a

. 
Retas determinam uma direção. Retas paralelas indicam uma 
mesma direção. No caso, a direção é perpendicular à horizontal. 
Em uma dada direção, existem dois sentidos possíveis. Na direção 
vertical, os dois sentidos são para cima ou para baixo. Na direção 
horizontal, os dois sentidos são para direita ou para esquerda.
Denomina-se VERSOR, de um dado vetor v

, o vetor que 
possui módulo unitário, isto é, módulo igual a 1 (um) e tem a 
mesma direção e sentido de v

.
PROEXPLICA
OPERAÇÃO COM VETORES
VETOR OPOSTO
Dado um vetor v

, denomina-se vetor oposto (-v

) aquele que 
possui mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto. 
ADIÇÃO VETORIAL
Dados dois vetores a

 e b

:
Existem duas regras que podem ser utilizadas para se obter o 
vetor soma (s)

, sendo
s a b= +
  
+
REGRA DA POLIGONAL
A partir da extremidade de um vetor traçamos outro. Em 
seguida, unimos a origem do primeiro vetor traçado com a 
extremidade do último. 
a
� b
�
s
�
A regra da poligonal deve ser utilizada na soma de mais de dois 
vetores. Mesmo que se troquem a ordem dos vetores, a soma não 
se altera.
Exemplo:
Determine o vetor: s a b c= + +
   
a
�
b
�
c
�
s
�
a
�
b
�
c
�
+ +
PRÉ-VESTIBULAR298
FÍSICA I 06 VETORES
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
REGRA DO PARALELOGRAMA
Esta regra somente deve ser utilizada na soma de dois vetores. 
Utilizaremos os mesmos vetores a

 e b

, do caso anterior. Coloca-
se a origem de um vetor junto com a origem do outro vetor. Em 
seguida, traçam-se paralelas dos dois vetores nas extremidades, 
assim, forma-se um paralelogramo; para se obter o vetor soma, 
deve-se traçar a diagonal do paralelogramo a partir das origens 
dos vetores. 
a
�
b
�
s
�
�
Para se obter o módulo do vetor soma, utilizaremos a lei dos 
cossenos. Sendo θ o ângulo formado por dois vetores de módulos 
a

 e b

, o módulo do vetor soma será: 
2 2 2
s a b 2 a b cos= + + ⋅ ⋅ ⋅ θ
    
CASOS PARTICULARES
O valor máximo da soma de dois vetores acontece quando eles 
possuem o mesmo sentido. O valor mínimo ocorre quando os dois 
vetores possuem sentidos opostos. 
Exemplos:
a b s a b� � � �
� � � � �
���������� ����� ����������
O tamanho desse vetor
é a soma de a + b
s a b= +
  
a b s a b� � � �
� � � � �
���������� ������� ����������
O tamanho desse vetor
é a subtração de a + b
�
s a b= −
  
Outro caso particular ocorre quando os vetores formam um ângulo 
de 90o, ou seja, são perpendiculares. Nesse caso, podemos calcular o 
módulo do vetor resultante utilizando o teorema de Pitágoras. 
= +
  2 2 2
s a b
SUBTRAÇÃO VETORIAL
A subtração vetorial consiste em um processo muito similar 
à adição vetorial. As regras são as mesmas, pois ocorre, na 
subtração, o mesmo processo que o da adição com o vetor oposto. 
d a b d a ( b)= − → = + −
     
a
�
b
�
–b
�
–d
�
No cálculo do módulo do vetor diferença, utilizaremos as 
mesmas expressões vistas em adição vetorial, já que o módulo do 
vetor oposto é o mesmo do vetor original.
PRODUTO DE UM VETOR POR UM 
ESCALAR
Dado um vetor v

, se o multiplicarmos por um número real k
qualquer, resultará um outro vetor que, nos exemplos, chamaremos 
de u

 e este terá familiaridades com o vetor v

 com as seguintes 
alterações: 
Módulo - o módulo do vetor u

 será o módulo de v

 multiplicado 
por k. 
Direção - é a mesma de v

.
Sentido - se o número real k for positivo, o sentido de v

 se 
mantém, do contrário (sinal negativo), o sentido inverte. 
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM 
UM PAR DE EIXOS
Na resolução e no estudo de sistemas físicos, que possuem 
vetores, é muito comum a decomposição de vetores em um par 
de eixos. Esses vetores, resultantes da decomposição, serão 
chamados de projeções ou componentes. O processo utilizado para 
essa decomposição consiste na formação de um paralelogramo e 
utilização de relações trigonométricas. Veja a fi gura:
As componentes foram chamadas de ax (projeção no eixo 
x) e ay (projeção no eixo y), e θ é o ângulo que o vetor faz com a 
hori zontal. Pela trigonometria, sabemos que: 
PRÉ-VESTIBULAR
06 VETORES
299
FÍSICA I
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
Podemos representar qualquer vetor, no plano cartesiano, 
através de suas componentes, usando versores  x e y .
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Trace na imagem abaixo as componentes x yV  e V
 
 do vetor V

e calcule o módulo V do vetor. Considere que a unidade dos eixos 
x e y é o metro.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
y
v
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
x
02. Trace na imagem as componentes dos vetores e expresse os 
vetores usando os versores x̂ e ̂y .
a) Adote o módulo do vetor v 100 m=

, ( ) ( )sen 0,6 ecos 0,8β = β =
b) Adote: módulo do vetor v 200 m / s=

, ( ) ( )sen 0,8 ecos 0,6β = β =
.
c) Adote: módulo do vetor v 200 2 m / s=

, 45β = ° .
03. Calcule o módulo da soma vetorial R A B C= + +
   
 sabendo que o 
lado do quadrado possui medida de 20 metros.
04. Calcule o módulo da soma vetorial R A B C D E= + + + +
     
sabendo que o lado do quadrado possui medida de 10 metros.
PRÉ-VESTIBULAR300
FÍSICA I 06 VETORES
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
05. Calcule o módulo da soma vetorial R A B C D= + + +
    
 sabendo 
que o lado do quadrado possui medida de 1 metro.
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (UEL) Considere as seguintes grandezas físicas mecânicas: 
TEMPO, MASSA, FORÇA, VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, 
têm caráter vetorial apenas 
a) força e velocidade.
b) massa e força.
c) tempo e massa.
d) velocidade e trabalho.
e) tempo e trabalho.
02. Observe os vetores abaixo representados e identifi que a 
alternativa correta:
a) Os vetores C e D têm a mesma direção.
b) Os vetores B e F têm o mesmo sentido.
c) Os vetores A e D têm o mesmo comprimento.
d) Os vetores F e E são iguais.
03. (PUC-RJ) Um pequeno avião acelera, logo após a sua 
decolagem, em linha reta, formando um ângulo de 45° com o 
plano horizontal.Sabendo que a componente horizontal de sua 
aceleração é de 6,0 m/s², calcule a componente vertical da mesma.
(Considere g = 10 m/s²)
a) 6,0 m/s²
b) 4,0 m/s²
c) 16,0 m/s²
d) 12,0 m/s²
e) 3,0 m/s²
04. (EEAR) Dois vetores V1 e V2 formam entre si um ângulo 
θ e possuem módulos iguais a 5 unidades e 12 unidades, 
respectivamente. Se a resultante entre eles tem módulo igual a 13 
unidades, podemos afi rmar corretamente que o ângulo θ entre os 
vetores V1 e V2 vale: 
a) 0°
b) 45°
c) 90°
d) 180°
05. (EEAR) Sobre uma mesa sem atrito, um objeto sofre a ação 
de duas forças F1=9 N e F2=15 N, que estão dispostas de modo 
a formar entre si um ângulo de 120°. A intensidade da força 
resultante, em newtons, será de 
a) 3 24 b) 3 19 c) 306 d) 24
06. (UNESP) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de 
mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores 
deslocamentos d1 e d2 ilustrados na fi gura.
Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda 
entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao fi nal da segunda 
entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto 
de partida é 
a) 4 km.
b) 8 km.
c) 2 19 km.
d) 8 3 km.
e) 16 km.
07. (IFPE) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores 
A 4·i 3· j
→ →→
= + e B 1·i 1· j
→→
= − + , em que i
→
 e j
→
 são vetores unitários?
a) 
2
10
−
b) 
10
2
−
c) 
2
10
d) 
10
2
e) 0
PRÉ-VESTIBULAR
06 VETORES
301
FÍSICA I
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
08. (EEAR) A adição de dois vetores de mesma direção e mesmo 
sentido resulta num vetor cujo módulo vale 8. Quando estes 
vetores são colocados perpendicularmente, entre si, o módulo 
do vetor resultante vale 4 2. Portanto, os valores dos módulos 
destes vetores são 
a) 1 e 7. b) 2 e 6. c) 3 e 5. d) 4 e 4.
09. (UNIFESP) Na figura, são dados os vetores a

, ω

 e v

.
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se 
afirmar que o vetor g

 = a

 - ω

 + v

 tem módulo
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido 
horário.
e) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido 
anti-horário.
10. (CFTCE) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, 
obtenha o módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e
a) zero
b) 20
c) 1
d) 2
e) 52
11. (FATEC) Dados os vetores A, B e C, representados na figura em 
que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade 
de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
12. (UFC) Na figura a seguir, onde o reticulado forma quadrados 
de lados ℓ=0,5cm, estão desenhados 10 vetores contidos no plano 
xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros:
a) 0,0. b) 0,5. c) 1,0. d) 1,5. e) 2,0.
13. (MACKENZIE)
Uma partícula move-se do ponto P1 ao P4 em três deslocamentos 
vetoriais sucessivos a, b

 e d.

Então o vetor de deslocamento d

 é
a) c (a b)− +
 
b) a b c+ +
 
c) (a c) b+ −
 
d) a b c− +
 
e) c a b− +
 
14. (UFC) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e 
DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a 
relação vetorial correta.
a) CB + CD + DE = BA + EA
b) BA + EA + CB = DE + CD
c) EA - DE + CB = BA + CD
d) EA - CB + DE = BA - CD
e) BA - DE - CB = EA + CD
PRÉ-VESTIBULAR302
FÍSICA I 06 VETORES
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
15. (cftce) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada 
pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre 
a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é:
a) 
1
3
b) 
2
3
c) 1
d) 3
2
e) 2
16. (MACKENZIE) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, 
construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor 
resultante desses 6 vetores é:
a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero
17. (UPE-SSA 1) Um robô no formato de pequeno veículo 
autônomo foi montado durante as aulas de robótica, em uma 
escola. O objetivo do robô é conseguir completar a trajetória de um 
hexágono regular ABCDEF, saindo do vértice A e atingindo o vértice 
F, passando por todos os vértices sem usar a marcha ré. Para 
que a equipe de estudantes seja aprovada, eles devem responder 
duas perguntas do seu professor de física, e o robô deve utilizar as 
direções de movimento mostradas na fi gura a seguir:
Suponha que você é um participante dessa equipe. As perguntas 
do professor foram as seguintes:
I. É possível fazer a trajetória completa sempre seguindo as 
direções indicadas?
II. Qual segmento identifi ca o deslocamento resultante desse 
robô?
Responda às perguntas e assinale a alternativa CORRETA. 
a) I – Não; II – AF
b) I – Não; II – CB
c) I – Não; II – Nulo
d) I – Sim; II – FC
e) I – Sim; II – AF
18. (FAC. PEQUENO PRÍNCIPE - MEDICI) Em determinadas 
situações, os pilotos de aviões fi cam sujeitos a condições 
desfavoráveis de vento durante o processo de aterrissagem. A 
fotografi a mostra um avião se aproximando da pista de pouso 
enquanto tem que enfrentar um forte vento lateral. Para compensar 
o vento, o piloto tem que aproximar o avião da pista obliquamente 
em relação à direção da pista, de modo que o avião possa 
prosseguir paralelamente a ela. Suponha uma situação similar, 
na qual, durante a aproximação da pista de pouso, um piloto 
mantém um ângulo de 30° entre o eixo longitudinal do avião e a 
direção da pista, conforme esquematizado na fi gura. Se o módulo 
da velocidade do avião em relação à pista for v=80 km/h, qual é o 
módulo da velocidade do vento transversal (Vt)?
a) 30 km/h
b) 40 km/h
c) 46 km/h
d) 55 km/h
e) 69 km/h
19. (IFSUL) Uma partícula de certa massa movimenta-se sobre 
um plano horizontal, realizando meia volta em uma circunferência 
de raio 5,00 m. Considerando π=3,14, a distância percorrida e o 
módulo do vetor deslocamento são, respectivamente, iguais a: 
a) 15,70 m e 10,00 m
b) 31,40 m e 10,00 m
c) 15,70 m e 15,70 m
d) 10,00 m e 15,70 m
PRÉ-VESTIBULAR
06 VETORES
303
FÍSICA I
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
20. (IFSUL) Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm 
de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio 
do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem 
no centro do relógio e direção variável. 
O módulo da soma vetorial dos três vetores determinados pela 
posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 
horas, 12 horas e trinta minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos 
é, em cm, igual a 
a) 30
b) ( )10 1 3+
c) 20
d) 10
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UFPR) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte 
trajeto: partindo de um certo ponto, caminhou 3 km no sentido 
norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte 
novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Após esse 
percurso, a que distância a pessoa se encontra do ponto de onde 
iniciou o trajeto?
02. (UFPE) Um barco de comprimento L = 80 m, navegando no 
sentido da correnteza de um rio, passa sob uma ponte de largura D 
= 25 m, como indicado na figura.
Sabendo-se que a velocidade do barco em relação ao rio é vB = 14 
km/h, e a velocidade do rio em relação às margens é vR = 4 km/h, 
determine em quanto tempo o barco passa completamente por 
baixo da ponte, em segundos.
 
03. (UFPE) Dois trens idênticos trafegam em sentidos contrários 
na mesma linha férrea retilínea e horizontal, em rota de colisão. 
Um trem partiu da estação A, e outro saiu da estação B. Ambos 
partiram do repouso no mesmo instante. A distância entre as 
estações e D = 4 km, e o intervalo de tempo até a colisão é ∆t = 5 
minutos. Supondo que as resultantes das forças que atuam nos 
trens são constantes e tem módulos iguais, determine a velocidade 
relativa de aproximação dos trens, no instante da colisão, em km/h. 
04. (CFTCE) Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo 
de 60° e possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos 
deslocamentos A + B, A - B e B - A e desenhe-osna figura.
05. Observe a figura a seguir:
(UEL) Em uma brincadeira de caça ao tesouro, o mapa diz que 
para chegar ao local onde a arca de ouro está enterrada, deve-
se, primeiramente, dar dez passos na direção norte, depois doze 
passos para a direção leste, em seguida, sete passos para o sul, e 
finalmente oito passos para oeste.
A partir dessas informações, responda aos itens a seguir.
a) Desenhe a trajetória descrita no mapa, usando um diagrama 
de vetores.
b) Se um caçador de tesouro caminhasse em linha reta, desde o 
ponto de partida até o ponto de chegada, quantos passos ele 
daria?
Justifique sua resposta, apresentando os cálculos envolvidos 
na resolução deste item.
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. A
02. B
03. A
04. C
05. B
06. C
07. A
08. D
09. B
10. E
11. A
12. E
13. A
14. D
15. D
16. B
17. E
18. C
19. A
20. D
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. 2 13Km
02. 21 s
03. 96 km/h
04. 8m
05. 
a) 
Os vetores pretos representam os passos dados nas direções sugeridas, sendo o 
ponto de partida à esquerda do diagrama, sendo 10 passos no sentido norte, doze no 
sentido leste, sete para o sul e oito para oeste.
b) Em linha reta do ponto de partida até o ponto de chegada está representado no 
diagrama com a cor vermelha e representa a soma vetorial de todos os passos 
dados e representados em preto, ou seja, o vetor resultante. O seu cálculo é realizado 
usando o teorema de Pitágoras entre o início e o final do trajeto:
2 2R 4 3 R 5 passos.= + ∴ = 
 
PRÉ-VESTIBULAR304
FÍSICA I 06 VETORES
SISTEMA PRODÍGIO DE ENSINO
ANOTAÇÕES