derivada-funcao

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Universidade Federal Fluminense/ Departamento de Análise 
GAN00145 – Matemática para Economia 1/ Professora Ana Maria Luz / 2001.1 
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A Derivada de uma Função 
 
 Na aula passada vimos como calcular a derivada de uma função f em um número fixo x=a. 
 
f ′(a) = 
0∆x
lim
→ ∆x
f(a)∆x)f(a −+
 
 
 
Se fizermos ∆x tender a zero, o ponto Q 
se moverá sobre a curva y = f(x) e 
tenderá ao ponto P. Além disso, a reta 
secante s irá girar em torno de P e 
tenderá para a reta tangente t. Logo, 
quando ∆x tende a zero, o coeficiente 
angular de s tende para o coeficiente 
angular de t, ou seja, 
 
mt = 
0∆x
lim
→ ∆x
f(a)∆x)f(a −+
 
 
 
 
 
Vamos mudar nosso ponto de vista e vamos variar o número “a”. Se substituirmos “a” na expressão 
acima por x, podemos escrever a seguinte definição: 
 
Definição 2.3: Dada uma função f(x), a função definida por 
 
 f ′(x) = 
0∆x
lim
→ ∆x
f(x)∆x)f(x −+
 é chamada de (função) derivada de f(x) 
 
 
 Exemplo 3.6 : a) Determine a derivada de f(x) = x2. 
 b) Determine a derivada de f(x) = x3. 
 
 Observações: 
 
1 – O limite indicado na definição de derivada pode existir para alguns valores de x e deixar de 
existir para outros. Se o limite existe (é finito) para x = a, dizemos que a função é derivável 
(diferenciável) em a. Uma função derivável (diferenciável) é aquela que é derivável em cada ponto 
de seu domínio. O domínio de f ´ é o conjunto {x, f ´(x) existe) e pode ser menor que o domínio de 
f. 
 
2 – A notação f ′usada na definição anterior tem a vantagem de enfatizar que a derivada de f é uma 
outra função de x que está associada de certa maneira com a função f dada. Se a função é 
apresentada na forma y = f(x), com a variável dependente explícita, então o símbolo y′ é usado em 
lugar de f ′(x). A derivada de y = f(x) é também indicada por 
dx
dy
e algumas vezes por Dx y. 
 
 
 
 2
Interpretação Geométrica: 
 
A derivada f ′(x) expressa o coeficiente angular da reta tangente à 
curva y = f(x) em função da coordenada x do ponto de tangência 
(desde que o limite exista). 
 
Tendo em mente a interpretação geométrica da função derivada a 
partir do gráfico de uma função f podemos esboçar o gráfico da 
derivada f ´. 
 
Ao lado temos o gráfico de f(x)=x3 e abaixo da sua derivada 
f(x)=3x2 
 
 
 
 
Taxa de Variação: A derivada f ′(x) expressa a taxa de variação 
(instantânea) de y = f(x) em relação a x. 
 
 Em Economia, o termo “marginal” é freqüentemente 
usado como um sinônimo de “derivada de” ou “taxa de variação instantânea de”. Por exemplo, se C 
é a função custo tal que C(x) é o custo da produção de x unidades de uma mercadoria, C′(x) é 
chamado de custo marginal da produção de x unidades e C′ de função custo marginal. Desse 
modo, o custo marginal é a taxa de variação do custo da produção em relação ao número de 
unidades produzidas. 
 
Lembremos do exemplo da aula passada: 
 
Suponha que o custo semanal, em reais, para a fabricação de x geladeiras seja dado pela 
função C(x) = 8.000 + 400x – 0,2x2 com 0 ≤ x ≤ 400. Determine a taxa de variação da função custo 
em relação a x quando x = 250. 
 
 Solução: Queremos determinar a taxa de variação de C(x) em relação a x quando x = 250 
 
0 x
lim
→∆ x
C(250) x) C(250
∆
−∆+ = 
0 x
lim
→∆ x
500.95x)250(2,0 x) 400(250 8.000 2
∆
−∆+−∆++ = 
 
0 x
lim
→∆ x
500.95x0,2x100500.12x 400 100.000 8.000 2
∆
−∆−∆−−∆++ = 
 
0 x
lim
→∆ x
x0,2 x 300 2
∆
∆−∆ = 
0 x
lim
→∆
 
x
x)20, x(300
∆
∆−∆ = 
0 x
lim
→∆
x)2,0300( ∆− = 300 
 
Resposta: O custo aumenta R$300,00 por geladeira quando estão sendo fabricadas 250 
geladeiras. 
 
A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada derivação ou diferenciação e 
pode ser efetuada aplicando-se a definição de derivada. No entanto, como esse processo é 
usualmente demorado, precisamos de algumas regras (teoremas que são provados a partir da 
definição de derivada) que possibilitem encontrar a derivada de certas funções mais facilmente. 
 
 3
 
Regras básicas de derivação 
 
 Sendo c ∈ IR, n ∈ Q e u e v funções reais de variável x. 
 
1) Regra da constante: Se f(x) = c então f ′(x) = 0 
 
2) Regra da identidade: Se f(x) = x então f ′(x) = 1 
 
3) Regra da potência: Se f(x) = xn então f ′(x) = n.xn – 1 
 
4) Regra da soma: Se f(x) = u + v então f ′(x) = u′ + v′ 
 
5) Regra do produto: Se f(x) = uv então f ′(x) = u′v + uv′ 
 
6) Regra do produto por uma constante: Se f(x) = c.u então f ′(x) = c.u′ 
 
7) Regras do quociente: a) Se f(x) = 
v
u
 e v ≠ 0 então f ′(x) = 
2
''
v
uv vu −
 
 
b) Se f(x) = 
v
c
 e v ≠ 0 então f ′(x) = 
2
'
v
cv −
 
 
Exemplos 3.7: 
 
1) f(x) = 5x4 – 2x3 + x2 – 3x 
 
2) f(x) = 3x + 4 x 
 
3) f(x) = (2x + 1)(3x2 + 5x) 
 
4) f(x) = 
x
1
 
5) f(x) = 3 2x5
7
 
 
6) f(x) = 
1 2x 
7 5x 
−
+
 
 
7) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 – 2x no ponto (– 1, 1). 
 
8) Seja C(x) = 110 + 4x + 0,02x2 o custo de produção de x brinquedos. Determine o custo marginal 
quando x = 50 
 
9) Se C(x) = 75x + 1250 e R(x) = – x3 + 30x2 são, respectivamente, as funções custo e receita para x 
unidades de um produto fabricado e vendido por uma empresa, determine a função lucro marginal