Relatório 5 - Fisexp 3

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Relatório: Experimento 5
Circuitos RC e Filtro de Frequência
Nome: Gabriela Belarmino Macedo DRE: 120167255
Nome: José Hailton Gomes Ferreira DRE: 120170062
Turma: EQ4 Horário: Ter (13:00h - 15:00h)
Questão 1 (1,0 ponto): Apresente os valores medidos e calculados para o filtro passa-alta na
Tabela 1. Os valores sugeridos para a frequência são: 200 Hz, 500 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 5 kHz, 10
kHz, 20 kHz e 50 kHz. Apresente também a expressão utilizada para calcular σAPA.
Tabela 1
f ± σf (Hz) log (f/Hz) V0 ± σV0 (V) V0R ± σV0R (V) APA ± σAPA (exp.) APA (modelo)
200 ± 4 2,30 4,0 ± 0,1 0,12 ± 0,02 0,03 ± 0,01 0,03
500 ± 25 2,70 4,0 ± 0,1 0,28 ± 0,02 0,07 ± 0,01 0,07
1.000 ± 35 3,00 4,0 ± 0,1 0,52 ± 0,02 0,13 ± 0,01 0,14
2.000 ± 140 3,30 4,0 ± 0,1 1,05 ± 0,05 0,26 ± 0,01 0,28
5.000 ± 175 3,70 4,0 ± 0,1 2,3 ± 0,1 0,58 ± 0,03 0,59
10.000 ± 400 4,00 4,0 ± 0,1 3,2 ± 0,1 0,80 ± 0,03 0,83
20.000 ± 400 4,30 4,0 ± 0,1 3,7 ± 0,1 0,92 ± 0,03 0,95
50.000 ± 2.500 4,70 4,0 ± 0,1 3,9 ± 0,1 0,98 ± 0,04 0,99
100.000 ± 4.000 5,00 4,0 ± 0,1 4,0 ± 0,1 1,00 ± 0,04 1,00
● A frequência foi medida por meio do período ( ) observado nas imagens do AVA, e,𝑓 = 1 ÷ 𝑇
portanto, as incertezas das frequências foram calculadas utilizando a fórmula .σ
𝑓
= 𝑓 ·
σ
𝑇
𝑇
● Como V0 e V0R foram medidas diretas utilizando a rede de gratículas do osciloscópio, suas
incertezas foram calculadas como sendo 10% da escala vertical.
● Expressão utilizada para calcular σAPA: Sabendo que , temos que𝐴𝑃𝐴 = 𝑉0𝑅 / 𝑉0 
.σ
𝐴𝑃𝐴
= 𝐴
𝑃𝐴
·
σ
𝑉0𝑅
𝑉
0𝑅
( )2 + σ𝑉0𝑉
0
( )2
● Expressão para o cálculo de APA (modelo): , sendo .𝐴𝑃𝐴 =
ω · 𝑅 · 𝐶
1+(ω · 𝑅 · 𝐶)2
ω = 2 · π · 𝑓
Questão 2 (0,5 ponto): Anote os valores medidos para R e C.
De acordo com as informações disponibilizadas no AVA, temos:
R = (2,21 ± 0,01)kΩ
C = (10,58 ± 0,01)nF
Questão 3 (1,0 ponto): Apresente os valores medidos e calculados para o filtro passa-baixa na
Tabela 2. Os valores sugeridos para a frequência são: 200 Hz, 500 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 5 kHz, 10
kHz, 20 kHz e 50 kHz.
Tabela 2
f ± σf (Hz) log (f/Hz) V0 ± σV0 (V) V0C ± σV0C (V) APB ± σAPB (exp.) TPB (dB)
200 ± 4 2,30 4,0 ± 0,1 4,0 ± 0,1 1,00 ± 0,04 - 0,003
500 ± 9 2,70 4,0 ± 0,1 3,99 ± 0,10 0,99 ± 0,04 - 0,02
1.000 ± 35 3,00 4,0 ± 0,1 3,9 ± 0,1 0,98 ± 0,04 - 0,09
2.000 ± 280 3,30 4,0 ± 0,1 3,8 ± 0,1 0,95 ± 0,03 -0,36
5.000 ± 175 3,70 4,0 ± 0,1 3,2 ± 0,1 0,80 ± 0,03 -1,87
10.000 ± 400 4,00 4,0 ± 0,1 2,2 ± 0,1 0,55 ± 0,03 -4,99
20.000 ± 400 4,30 4,0 ± 0,1 1,25 ± 0,05 0,31 ± 0,01 -9,84
50.000 ± 1.000 4,70 4,0 ± 0,1 0,52 ± 0,02 0,13 ± 0,01 -17,40
100.000 ± 4.000 5,00 4,0 ± 0,1 0,26 ± 0,01 0,06 ± 0,01 -23,36
● A frequência foi medida por meio do período ( ) observado nas imagens do AVA, e,𝑓 = 1 ÷ 𝑇
portanto, as incertezas das frequências foram calculadas utilizando a fórmula .σ
𝑓
= 𝑓 ·
σ
𝑇
𝑇
● Como V0 e V0C foram medidas diretas utilizando a rede de gratículas do osciloscópio, suas
incertezas foram calculadas como sendo 10% da escala vertical.
● Expressão utilizada para calcular σAPB: Sabendo que , temos que𝐴𝑃𝐴 = 𝑉0𝐶 / 𝑉0 
.σ
𝐴𝑃𝐵
= 𝐴
𝑃𝐵
·
σ
𝑉0𝐶
𝑉
0𝐶
( )2 + σ𝑉0𝑉
0
( )2
● Expressão utilizada para calcular a transmitância .𝑇
𝑃𝐵
(ω) = 1 / 1 + (ω · 𝑅 · 𝐶)2
Questão 4 (2,0 pontos): Utilizando o retículo milimetrado, apresente os gráficos de APA versus
log(f/Hz) e APB versus log(f/Hz) (coloque as 2 curvas no mesmo gráfico). Adicione a este
gráfico também os valores de APA calculados a partir do modelo. Identifique claramente no
gráfico cada uma das curvas. Explique por que os circuitos utilizados podem ser vistos como
filtros de passa-alta e passa-baixa.
Grá�ico 1
É possível a�irmar que os circuitos funcionam como �iltros de frequências, pois, observando o
grá�ico, a função tracejada preta (APA) cresce conforme aumenta a frequência, o que signi�ica que
para valores pequenos de frequência, APA → 0, ou seja: o sinal é quase que totalmente atenuado
(elimina frequências baixas - se comporta como um �iltro de passa-alta). Em contrapartida, a
função sólida preta (APB) decresce com o aumento da frequência, o que signi�ica que para valores
grandes de frequência, APB → 0, ou seja: o sinal é quase que totalmente atenuado (elimina
frequências altas - se comporta como um �iltro de passa-baixa).
Questão 5 (1,0 ponto): A partir do gráfico da questão Q4, determine as frequências de corte
para os filtros passa-alta e passa-baixa e estime suas incertezas; explique como foi
estimada/calculada a incerteza.
Sabendo que na frequência de corte APA e APB sempre tem o mesmo valor, sendo APA = APB ≅ 0,707.
Basta analisar em cada função do grá�ico o valor de Log(f/Hz) para APA = APB ≅ 0,707.
Assim, temos:
Para APA ≅ 0,707 ⟶ Log(f/Hz)≅ 3,86 ⟶ fCPA = 103,86 = 7.244,36 Hz
Para APB ≅ 0,707 ⟶ Log(f/Hz)≅ 3,84 ⟶ fCPB = 103,84 = 6.918,31 Hz
Agora, como a medida da frequência foi feita de maneira direta pelo grá�ico, sua incerteza deverá
ser 10% da menor unidade medida por ele, (nesse caso 0,1).
σ
𝐴𝑃𝐴
= σ
𝐴𝑃𝐵
= 0, 1 · 10% = 0, 01
fcPA = (7.244,36 ± 0,01)Hz
fcPB = (6.918,31 ± 0,01)Hz
Questão 6 (1,0 ponto): Determine o valor nominal da frequência de corte ( fcnominal ) e sua
respectiva incerteza a partir da equação 5.9, utilizando os valores medidos de R e C. Coloque
todos os valores medidos e calculados na Tabela 3, calculando o erro relativo e discrepância
relativa. Faça também uma comparação entre os valores.
Sabendo que 𝑓
𝐶
= 12π·𝑅·𝐶 =
1
2π· 2,21 · 10,58 = 0, 006806787𝑀𝐻𝑍 ≃ 6806, 79 𝐻𝑧
Expressão utilizada para calcular σfcNominal:
 σ
𝑓
𝑐
= 12π −
1
𝑅2
· 1𝐶 . σ𝑅( )
2
+ − 1
𝐶2
· 1𝑅 · σ𝐶( )
2
 σ
𝑓
𝑐
= 12π −
1
(2,21 𝑘Ω)2
· 110,58 𝑛𝐹 . 0, 01 𝑘Ω( )2 + − 1(10,58 𝑛𝐹)2 · 12,21 𝑘Ω · 0, 01 𝑛𝐹( )
2
 ⇒ σ
𝑓
𝑐
≈ 3, 14647 · 10−5 𝑀𝐻𝑧 = 31, 46 𝐻𝑧
fcNominal = ( ± ) Hz6807 31
Tabela 3
Frequência fc ± σfc (Hz) σfc / fc (%) Discrep. Rel. (%)
fcPA 7.244,36 ± 0,01 0, 000138% 6, 43 %
fcPB 6.918,31 ± 0,01 0, 000144% 1, 63 %
fcNominal ±6807 31 0, 45% _
Para o cálculo da incerteza relativa tem-se: Para o cálculo da discrepância relativa tem-se:
ξ
%
= 
σ
𝑥
𝑥 𝐷% = 
 |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜| 
 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 · 100% 
ξ
%1
= 0,017244,36 · 100% = 0, 000138% 𝐷%1 =
|6807 −7.244,36|
6807 · 100% ≈ 6, 43 % 
ξ
%2
= 0,016918,31 · 100% = 0, 000144% 𝐷%2 =
|6807 −6.918,31|
6807 · 100% ≈ 1, 63 % 
0,45%ξ
%3
= 316807 · 100% = 
Sabendo-se que, quanto menor for a incerteza relativa de uma medida, maior será a precisão dela,
e, quanto menor a discrepância relativa de uma medida, maior a exatidão (acurácia) dela,
conclui-se que:
Como < < , a medida de fcPA é a mais precisa;0, 000138% 0, 000144% 0, 45%
Como o valor encontrado para fcNominal foi utilizado como valor de
referência, a discrepância relativa dele não pode ser considerada. Nesse caso, como 1, 63 %
< , o valor encontrado para fcPB é o mais exato.6, 43 %
Para comparar a compatibilidade entre os valores encontrados para fcPA, fcPB e fcNominal
será utilizado o seguinte parâmetro:
𝑍 = 
𝑌
1
−𝑌
2
(σ
𝑌1
)2 + (σ
𝑌2
)2 
|
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|
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Se Z ≤ 1: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑖𝑠;
Se 1 < Z ≤ 3: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠;
Se Z > 3: 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠;
𝑍 = 6807−7.244,36
(31)2 + (0,01)2 
|
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|
= 14, 10
 𝑍 > 3: 𝑓𝑐𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒 𝑓𝑐𝑃𝐴 𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠;
𝑍 = 6807−6.918,31
(31)2 + (0,01)2 
|
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= 3, 59
 𝑍 > 3: 𝑓𝑐𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒 𝑓𝑐𝑃𝐵 𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠;
𝑍 = 7.244,36−6.918,31
 (0,01)2 + (0,01)2 
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= 23055, 2
 𝑍 > 3: 𝑓𝑐𝑃𝐵 𝑒 𝑓𝑐𝑃𝐴 𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠;Questão 7 (1,0 ponto): Apresente no retículo milimetrado abaixo o diagrama de Bode (gráfico
de TPB (em dB) versus log[ωRC] para o circuito passa-baixa.
Gráfico 2
Questão 8 (1,0 ponto): A partir do gráfico da questão Q7, determine a frequência angular de
corte ωcPB e a inclinação α da curva para ω >> ωc (esta última pode ser calculada graficamente
ou utilizando um dos programas de ajuste linear). Anote abaixo os valores obtidos e uma
estimativa das incertezas. Compare os valores obtidos com os valores esperados, calculando
as discrepâncias relativas e apontando as prováveis causas para possíveis discrepâncias.
ωcPB = (±)
α = (±)
Expressão utilizada para calcular σωcPB: xxxxx
Expressão utilizada para calcular σα: xxxxx
Comparação entre os valores: xxxxx
Questão 9 (1,0 ponto): Vamos agora estimar o efeito da resistência interna do gerador de
funções no comportamento de um filtro passa-alta.
a) Escreva a impedância Z de um circuito RC alimentado por um gerador com resistência
interna RG.
𝑍 = 𝑅2 + 𝑋
𝐶
2 = (𝑅 + 𝑅
𝐺
)2 + 𝑋
𝐶
2
b) A partir da equação 5.4, escreva a expressão para V0R levando em conta a resistência RG.
𝑉
0𝑅
=
ω·(𝑅+𝑅
𝐺
)·𝐶
1+(ω·(𝑅+𝑅
𝐺
)·𝐶)2
c) Calcule o valor de APA no limite ω→∞. Calcule o valor numérico de APA neste limite,
considerando R = 1 kΩ, C = 100 nF e RG = 50 Ω. Compare este valor com o que foi
observado no gráfico de APA versus log(f/Hz) na questão Q4.
d) Lembrando que ωc é a frequência angular que satisfaz Rtotal = XC (com Rtotal = R + RG),
encontre a expressão para a frequência de corte. Encontre também a expressão de APA
para ω = ωc. Para os valores de R, C e RG utilizados no item c, encontre os valores
numéricos para ωc , fc e para APA(ω = ωc).
Questão 10 (0,5 ponto): A partir do princípio de funcionamento de filtros utilizando circuitos
RC, como podemos utilizar filtros passa-alta e passa-baixa para montar um filtro passa-banda?
Desenhe o diagrama do circuito.
Combinando os dois �iltros (acoplando um no outro), vai ter a atuação dos dois �iltros, de modo que
o �iltro passa-baixa vai atenuar sinais com frequências altas e o �iltro de passa-alta vai atenuar sinais
com frequências baixas, deixando passar somente sinais dentro de uma faixa de frequência.
Diagrama de um �iltro Passa-Banda
Anexos Tinkercad
Aluna Gabriela
Circuito RC (�iltro passa-baixa)
Circuito RC (�iltro passa-alta)
Aluno José
Circuito RC (�iltro passa-baixa)
Circuito RC (�iltro passa-alta)