Quadriláteros: definições e propriedades

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Quadriláteros
Pedro Lucas Lima da Silva
pedrolucass52
Vamos considerar quatro pontos A, B, C e D distribuídos, de modo que, a reta que contém dois deles não passa por nenhum dos outros dois.
C
D
B
A
C
B
A
D
A
B
C
D
Cada uma das seis retas contém apenas dois pontos.
O que é quadrilátero?
C
D
B
A
A
B
C
D
C
B
A
D
Se considerarmos os segmentos AB, BC, CD e DA, teremos formado uma linha poligonal fechada, com 4 lados, também chamada quadrilátero ABCD.
Dados quatro pontos A, B, C e D, dos quais não há três colineares, chama-se quadrilátero ABCD a reunião dos segmentos AB, BC, CD e DA.
Com frequência, você tem contato com figuras que apresentam formas de quadriláteros.
Veja como os quadriláteros estão em toda parte.
Nos prédios, nas construções, nos móveis, paredes, quadros, cerâmicas, portas, nos eletrodomésticos, ... etc.
Num quadrilátero AEOU da figura, podemos destacar os seguintes elementos:
As pontos A, E, O, U são vértices.
Os ângulos Â, Ê, Ô e Û são ângulos internos. 
As segmentos AE, EO, OU, UA são lados.
Os segmentos AO e EU são diagonais.
Perímetro
É a soma de todos os lados 2p = AE + EO + OU + UA
 Nesse quadrilátero, temos:
vértices opostos: A e O ; E e U
lados opostos: AE e OU ; AU e EO
ângulos internos opostos: Â e Ô ; Ê e Û
A
E
O
U
Elementos de um quadrilátero
Quadrilátero convexo e côncavo
Observe os quadriláteros abaixo:
R
S
T
U
No quadrilátero ABCD, as retas AB, BC, CD e DA não cortam nenhum lado do quadrilátero.
ABCD é um quadrilátero convexo.
No quadrilátero RSTU, a reta TU corta o lado RS.
RSTU é um quadrilátero côncavo.
C
D
B
A
Soma dos ângulos de um quadrilátero
Teorema: Em todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é igual a 360°.
Quadriláteros notáveis
A
D
C
B
J
L
M
N
Q
P
M
N
AB // CD
JL // MN
PQ // MN
Observe os quadriláteros das três figuras. Eles tem algo em comum. Você descobriu?
Eles apresentam apenas um par de lados paralelos.
Quadriláteros assim são chamados de trapézios e os lados opostos paralelos são chamados de bases do trapézio.
Trapézios
Observe o trapézio ABCD:
altura
AB // CD
AB é a base menor.
CD é a base maior.
*A soma dos ângulos A e D é 180°.
*A soma dos ângulos B e C é 180°.
*A soma dos ângulos A, B, C e D é 360°.
A
B
C
D
 
altura
A
B
C
D
A
B
C
D
Propriedades do trapézio isósceles:
1. Em todo trapézio isósceles os ângulos das bases são congruentes.
Portanto:
*o ângulo A é congruente ao ângulo B e
*o ângulo C é congruente ao ângulo D
Em todo trapézio isósceles, as diagonais são congruentes.
Portanto:
AC BD
 
 
Observe, agora, o trapézio DEFG:
altura
DG // EF
DG é a base menor.
EF é a base maior .
*A soma dos ângulos D e E é 180°.
*A soma dos ângulos F e G é 180°.
*A soma dos ângulos D, E, F e G é 360°
A distância entre as bases é denominada altura do trapézio.
Neste trapézio o lado DE é perpendicular às bases, por isso, esse trapézio recebe o nome de trapézio retângulo
G
F
E
D
Base média do trapézio
 O segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos é denominado base média do trapézio.
 A base média de um trapézio é paralela às bases do trapézio e sua medida é igual à metade da soma das medidas das bases do trapézio.
A
B
C
D
N
M
M é ponto médio do lado AD.
N é ponto médio do lado BC.
MN é a base média do trapézio.
MN // AB e MN // CD.
 
 
1ª Propriedade dos paralelogramos:
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
 
 
 
*Como a e u são medidas de ângulos colaterais internos, eles são suplementares. Então, temos:
 a + u = 180° u = 180° - a (1)
 *Como a e e são medidas de ângulos colaterais internos, temos:
 a + e = 180° e = 180° - a (2)
Comparando (1) e (2), temos:
 u = e Ê = Û
A
E
O
U
a
e
o
u
Em todo paralelogramo, os ângulos consecutivos são suplementares.
Paralelogramos
2ª propriedade:
Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Traçando a diagonal AC, temos:
 a = c ( ângulos alternos internos)
 b = d ( ângulos alternos internos)
 AC lado comum aos dois triângulos
 Então temos, ABC congruente ao ACD
 
 Como consequência:
 
 m(AB) = m(CD)
 m(BC) = m(AD)
 
 
 
A
B
C
D
a
b
d
c
D
C
B
A
a
b
c
d
M
3ª propriedade:
Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
Traçando as diagonais AC e BD, temos:
 a = c ( ângulos alternos internos)
 b = d ( ângulos alternos internos)
 m(AB) = m(CD) (lados opostos)
Então, temos:
 AMB congruente ao CMD
Como consequência:
 m(AM) = m(MC)
 m(BM) = m(MD) 
Paralelogramos especiais
 
A
B
C
D
A
B
C
D
Retângulo é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes (retos).
 
Retângulo
Losango
 Losango ou rombo é o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes.
Propriedades dos losangos:
 Além das propriedades dos paralelogramos, os losangos apresentam:
*As diagonais perpendiculares:
 AC BD
 
*As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
A
B
C
D
Quadrado
Quadrado é o paralelogramo que tem quatro lados congruentes e quatro ângulos congruentes.
Propriedades do quadrado:
 Além das propriedades dos paralelogramos, o quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. 
P
Q
S
R
Assim, o quadrado:
*As diagonais são congruentes
*As diagonais são perpendiculares
* As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
20
Analise o diagrama dos conjuntos dos quadriláteros notáveis.
Vamos tomar R para retângulos, Q para quadrados, L para losangos, P para paralelogramos, T para trapézios e D para quadriláteros. 
Assim podemos dizer que: 
 
Atividades de revisão.
1. Após este estudo sobre os quadriláteros notáveis, faça o que se pede:
* analise cada um dos quadriláteros deste painel.
* forme grupos de acordo com as características que você observou. 
* descreva as características de cada grupo.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
120°
95°
130°
x
2. Leia, reflita e responda:
 O tatu bola Tubiu saiu da sua toca no ponto A e foi em frente até o ponto B. Girou para a esquerda 130° e andou em frente até o ponto C. Tubiu girou novamente para esquerda 95° e foi em frente até o ponto D. Girou 120° para a esquerda e andou até voltar a sua toca.
Observe o esquema e determine o valor do ângulo A.
A
B
C
D
Resolução:
O ângulo C mede: 180° - 95° = 85°;
O ângulo D mede: 180° - 120° = 60°;
O ângulo B mede: 180° - 130° = 50°;
 Se a soma dos quatro ângulos de um quadrilátero mede 360°, então:
A + B + C + D = 360°
A + 50° + 85° + 60° = 360°
 A = 360° - 195°
 A = 165 ° 
3. Sabendo-se que o tatu Tubui percorreu, neste percurso, 50 m e que a distância de A para B é de (x – 2)m ; a distância entre B e C é de (2x - 4) m; a distância entre C e D é de (x + 4) m e a distância entre D e A é de (x + 2)m , determine o valor de x.
Resolução: 
O perímetro do quadrilátero (percursofeito pelo tatu) é 50m. Então:
x – 2 + 2x – 4 + x + 4 + x + 2 = 50
 5x = 50 
 x = 10 m
4. Analise as proposições e julgue-as V(verdadeira) ou F(falsa):
( ) todo losango é paralelogramo.
( ) todo retângulo é paralelogramo
( ) todo paralelogramo é trapézio.
( ) todo quadrado é retângulo e losango
( ) todo losango é quadrado.
( ) todo paralelogramo é retângulo.
( ) todo retângulo é quadrado.
( ) se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo.
( ) se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo.
( ) se dois lados opostos de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo.
( ) um ângulo agudo e um ângulo obtuso de um paralelogramo são sempre suplementares.
( ) se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, então ele é um losango. 
V
V
V 
V
F
F
F
F
F
 V
 V
 V 
5. As diagonais de um retângulo formam, entre si, um ângulo de 110°. Calcule os ângulos que cada uma delas forma com os lados.
110°
x
y
70°
x
A
B
C
D
M
Resolução:
*No triângulo AMD, temos:
 x + x + 70° = 180°
 2x = 180° - 70° 
 x = 55°
* Como x + y = 90°, então;
 y = 90 – 55°
 y = 35°
6. Se ABCD é um paralelogramo, qual é a medida do ângulo A?
a + 70°
2a
B
A
D
C
Resolução:
*Como em todo paralelogramo os ângulos opostos são congruente, então:
2a = a + 70° 2a - a = 70° a = 70° 
*Como os ângulos agudo e obtuso são suplementares, temos: 
2a + Â = 180° 2. 70° + Â = 180° Â = 180° - 140°
 Â = 40°
7. No losango ABCD, determine:
as medidas x e y indicadas
as medidas dos quatro ângulos
 do losango
Resolução:
Sabendo-se que as diagonais do losango são perpendiculares, então:
x + 37° = 90°
 x = 53°
Sendo as diagonais bissetrizes dos ângulos, temos:
 ângulo B = 2x
 ângulo B = 106°
Sabendo-se que A + B + C + D = 360°, e que os ângulos opostos são congruentes, temos:
106° + 106° + 2y + 2y = 360°
 4y = 360° - 212°
 4y = 148°
 y = 37°
A
B
C
D
x+37°
x
y
Logo as medidas dos ângulos do
losango são: 106°, 106°, 74° e 74°.
8.Sabendo que ABCD é um trapézio, P é ponto médio de AD e Q é ponto médio de BC, calcule x, y, z e o perímetro de ABCD. 
A
B
Q
C
D
P
26 cm
10 cm
x
10 cm
13 cm
y
z
110°
120°
 
9. Meu irmão e eu compramos um sítio, na forma de um losango com o lado medindo 500 m. Dividimos o sítio na direção das diagonais, uma medindo 600 m e a outra 800 m . Dessa forma, o sítio ficou dividido em quatro partes iguais. Quantos metros de arame farpado são necessários para cercar uma dessas partes, desse terreno, com três fios de arame?
500 m
500 m
500 m
500 m
800 m
600 m
Resolução:
As diagonais dividem-se ao meio, então cada parte deste terreno é um triângulo assim:
500 m
300 m
400 m
Uma volta de arame mede:
400 + 300 + 500 = 1200 m
Então três voltas de arame são: 1200m x 3 = 3600m