Aula 13 - Sistemas com 2 GDL - Parte 1_3

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III. TEORIA DE SISTEMAS COM N GDL’S
3.1. Sistemas com 2 GDL
3.2. Equação Matricial do Movimento
3.3. Equações de Lagrange
3.4. Determinação de Frequências naturais e Formas Modais
3.5. Vibração Forçada de Sistemas com 2 GDL
3.6. Neutralizador (Absorvedor) de Vibração
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TEORIA DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE
➢ Estudamos vibrações em sistemas em que apenas
uma coordenada era suficiente para descrever a
posição destes sistemas.
➢ Contudo, muitos sistemas mecânicos podem não ser
modelados com precisão com apenas um grau de
liberdade.
➢ Nestes casos, o modelo deverá ter mais de um grau
de liberdade (ou seja, serão necessárias mais de uma
coordenada para descrever o movimento do
sistema).
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Exemplo de Modelagem Física:
Sistema Real
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Exemplos de Modelagem por MEF
Rotor de uma 
turbina Francis
Pá de uma 
turbomáquina
Rotor de uma 
máquina rotativa
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3.1. SISTEMAS COM 2 GDL
Sistemas com dois graus de liberdade são aqueles que
requerem duas coordenadas independentes para descrever seus
movimentos.
Exemplo:
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➢ Existem duas equações diferenciais do movimento para um
sistema com dois graus de liberdade.
➢ O sistema com dois GDL possui duas freqüências naturais.
➢ O movimento livre do sistema com dois GDL, em qualquer
uma das coordenadas, envolve as duas freqüências
naturais.
Características de Sistemas com 2 GDL’s:
Ex:
)cos()cos()( 221211111  tAtAtx
)cos()cos()( 222211212  tAtAtx
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➢Durante a vibração livre do sistema em uma das freqüências
naturais, as amplitudes das duas coordenadas possuem uma
configuração específica de movimento.
➢Esta configuração é chamada de modo normal, modo principal,
ou modo natural de vibração.
➢Os conceitos acima servem para sistemas com mais de dois graus 
de liberdade, ou seja:
Possui N Equações do Movimento
Possui N Freqüências Naturais
Possui N Modos de Vibração
Sistema com N GDL 
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3.2. EQUAÇÕES DO MOVIMENTO PARA VIBRAÇÃO FORÇADA
(Equação Matricial do Movimento) 
Diagrama de Corpo Livre (supondo x2 > x1):
)(1 tF )(2 tF
)( 122 xxk 11xk 23xk
1m 2m
Aplicando a 2ª Lei de Newton, vem:
2 2 1( )c x x 3 2c x1 1c x
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Estas são as Equações do Movimento ou Modelo 
Matemático do Sistema
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( )m x c c x c x k k x k x F t      
2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2( ) ( ) ( )m x c x c c x k x k k x F t      
              ( )M x C x K x F t  
1 2 2 1 2 21 1 1 1 1
2 2 3 2 2 32 2 2 2 2
 0 ( )
 0 ( )
c c c k k km x x x F t
c c c k k km x x x F t
               
             
               
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3.3. EQUAÇÕES DE LAGRANGE
➢As leis de Newton-Euler foram formuladas para uma única
partícula extendidas para sistemas de partículas e corpos rígidos.
➢Na descrição do movimento, são empregadas coordenadas
físicas e forças, que podem ser representadas por vetores. Por
esta razão, esta abordagem é referida como mecânica vetorial.
➢A principal desvantagem desta abordagem é que esta
considera separadamente cada componente individual do
sistema, o que pode tornar o procedimento um tanto trabalhoso
para sistemas com muitos corpos rígidos conectados entre si.
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➢Uma diferente abordagem, referida como mecânica analítica,
considera o sistema como um todo, sem a necessidade de
diagramas de corpos livres.
➢Esta abordagem (atribuída a Leibnitz e Lagrange) formula os
problemas de mecânica em termos de duas funções escalares (a
energia cinética e a energia potencial) e uma expressão
infinitesimal, o trabalho virtual associado às forças não-
conservativas.
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A formulação de Lagrange para a determinação das equações do
movimento é descrita por:
i = 1, 2, .., N
Sendo:
T = Energia Cinética
U = Energia Potencial
D = Energia Dissipativa
qi = Coordenadas Generalizadas
Qi = Forças Externas Generalizadas
Para sistemas conservativos:
i
i i i i
d T T U D
Q
dt q q q q
    
    
    
0
i i i
d T T U
dt q q q
   
   
   
2 2 2
1 2
1 1 1
: ou ...
2 2 2
Ex T mx T mx mx   
2 2 2
1 1 2
1 1 1
: ou ( ) ...
2 2 2
Ex U kx U kx k x x    
2 2 2
1 1 2 1 2
1 1 1
: ou ( ) ...
2 2 2
Ex D cx D c x c x x    
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Exemplo 1:
m1 m2
k
( ) ( ), 1, 2i iq t x t i 
2 2
1 2
1 1
( ) ( )
2 2
T mx t mx t   
2
1 2
1
( ) ( )
2
U k x t x t 
1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0m x t kx t kx t  
 1 2
1
( ) ( )
U
k x t x t
x

 

Determinação da 1ª Equação do movimento:
1 1
1
1 1
1
( )
( )
T
m x t
x
d T
m x t
dt x



 
 
 
1
0
T
x



De modo análogo:
2 2 2 1( ) ( ) ( ) 0m x t kx t kx t  
0
i i i
d T T U
dt q q q
   
   
   
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Exercício: Determine os modelos matemáticos dos sistemas abaixo