Pruebas de hipótesis de media

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PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA
CON VARIANZA CONOCIDA
N(µ,σ2) 				Zc=  - µo
					 σ / √n
Existen tres tipos de contrastes:
I – bilateral				Ho: 	µ=µo
					Ha: 	µ≠µo
II- unilateral derecha		Ho: 	µ≤µo
					Ha: 	µ˃µo	
III- unilateral izquierda		Ho: 	µ≥µo
					Ha: 	µ˂µo
	
			
Se rechaza Ho
I – Si |Zc| ˃ Z α/2 		se rechaza Ho
I I– Si Zc ˃ Z α 		se rechaza Ho
III – Si Zc ˂ -Z α 		se rechaza Ho
EJEMPLO
La duración de las bombillas de 100 watt que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas.
Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas.
a) Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?
b) ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II si el tiempo medio de vida de las bombillas es 790 horas?
.n=50 Zc=  - µo
			 σ / √n
 
.μ=800 h
.σ=120 h
.α=0.01		Z=2.575
.=750
a) Ho: no cumplir garantía
b) P(error tipo II con 790 h)
a) Ho: μ≥ 800
Ha: μ<800
N(μ; σ/√n)= N(800; 120/√50)=N(800; 16.97)
Zc=750-800/16.97=-2.95
-2.95 < -2.575 SE RECHAZA LA Ho
b) N(μ; σ/√n)= N(790; 120/√50)=N(790 ; 16.97)
Zc= -790/ 16.97=2.575	=-2.575(16.97)+790=746.3
c <  se rechaza Ho 
Ejercicio 1 
Una empresa eléctrica fabrica baterías de celular que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Una muestra aleatoria de 30 baterías tiene una duración promedio de 785 horas.
a) ¿Muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media es menor a 800? Utilice un nivel de significación del 5%.
b) ¿Cuál es la probabilidad de decidir que la media es de 800 horas cuando en realidad es 780 horas?
.μ=800
.σ=40
.n=30 
Z= 1.96
Ho: μ<=800
Ha: μ>800
N(800; 40/√30)=N(800; 7.30)
Zc= (-800)/7.30= -1.96
= 785.69
Se rechaza la Ho
Z=(785.69-800)/7.3=-1.96
Ejercicio 2
Se sabe que la media del consumo de energía eléctrica en cierta provincia es de 721 kwh.
Una empresa tecnológica de la región cree que sus empleados consumen más que el promedio provincial. Recoge información sobre los consumos de 20 empleados escogidos al azar, y obtiene los siguientes datos:
710	774	814	768	823
732	675	755	770	660
654	757	736	677	797
760	718	774	747	796
 
Si la distribución del consumo mensual de energía eléctrica es normal:
a) ¿Hay evidencias para afirmar que el promedio del consumo de energía eléctrica hogareño de los empleados de la empresa es superior a la media del consumo a nivel provincial? Usar un nivel de significación del 10%.
b) ¿Cuál es el valor p de la decisión?
.n=20 t=(-μ) s/√n
.=744.85=745
.μ=721
.t=1.3277
a) Ho:  ≥ 721
 Ha:  < 721
.S= 49.63
.t=( 745-721)/(49.63/√20)=2.16
Se rechaza Ho porque 2.16 mayor a 1.3277
b) p=2.16
Valor _p=0.0175 la probabilidad es del 1.75% del consumo del mes 
Prueba de hipótesis para una proporción
Proporción muestral P
Cuando el objetivo del muestreo es evaluar la validez de una afirmación con respecto a la proporción de una población, es adecuado utilizar una prueba de una muestra. La metodología  de prueba depende de si el número de observaciones de la muestra es grande o pequeño.
 Las pruebas de grandes muestras de medias y proporciones son bastante semejantes. 
Proporción muestral P
De este modo, los valores estadísticos de prueba miden la desviación de un valor estadístico de muestra a partir de un valor propuesto.
Y ambas pruebas se basan en la distribución normal estándar para valores críticos. 
Quizá la única diferencia real entre las ambas radica en la forma corno se obtiene la desviación estándar de la distribución de muestreo.
Proporción muestral P
Bernoulli B(1,p) 		 Zc= P - po
					 √(po(1-po)/n)
P=ΣXi / n Xi=1 éxito Xi=0 fracaso
po- proporción de la muestra
A – 			Ho: 	p=po Bilateral
			Ha: 	p≠po
B- 			Ho: 	p≤po Unilateral der
			Ha: 	p˃po	
C- 			Ho: 	p≥po Unilateral izq
			Ha: 	p˂po
EJEMPLO para una muestra
En un estudio se afirma que 3 de 10 estudiantes universitarios trabajan. 
Pruebe esta aseveración, a un nivel de significación de 0,025, respecto a la alternativa de que la proporción real de los estudiantes universitarios trabajan es mayor de lo que se afirma, si una muestra aleatoria de 600 estudiantes universitarios revela que 200 de ellos trabajan. 
La muestra fue tomada de 10000 estudiantes.
 Zc= P - po
		 √(po(1-po)/n)
.po=3/10=0.3	p=200/600=0.333 q=0.667
.α=0.025	1-0.025/2=0.95	Z=1.96
N=10000
X=200
Ho: p <= po
Ha: p >po
n/N%=600/10000%= 6% mayor al 5%
Zc=(0.333-0.3)/√(0.333)(0.667)/10000)
Zc= 7 como es mayor a 1.96 la Ho se acepta, es verdad que el 3% de los estudiantes trabajan.
Proporción dos muestras
El objetivo de una prueba de dos muestras es determinar si las dos muestras independientes fueron tomadas de dos poblaciones, las cuales presentan la misma proporción de elementos con determinada característica. 
La prueba se concentra en la diferencia relativa (diferencia dividida entre la desviación estándar de la distribución de muestreo) entre las dos proporciones muestrales. 
Proporción dos muestras
Diferencias pequeñas denotan únicamente la variación casual producto del muestreo (se acepta H0), en tanto que grandes diferencias significan lo contrario (se rechaza H0). 
El valor estadístico de prueba (diferencia relativa) es comparado con un valor tabular de la distribución normal, a fin de decidir si H0 es aceptada o rechazada. 
Una vez más, esta prueba se asemeja considerablemente a la prueba de medias de dos muestras