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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación: Artículo 1.- Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.- Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.- Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.- Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.- Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.- Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.- Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.- Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.- Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.- Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.- 1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.- Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.- 1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.- 1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.- 1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.- 1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.- 1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.- Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.- Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.- 1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación. Artículo 21.- 1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.- Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.- 1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.- Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.- 1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.- 1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.- 1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.- Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.- 1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.- Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración. 1 Nombres: _________________________________________________ _________________________________________________________ Apellidos: _________________________________________________ _________________________________________________________ DNI: ____________________________________________________ Domicilio: _________________________________________________ __________________________________________________________ Institución educativa: _________________________________________ __________________________________________________________ Correo electrónico: __________________________________________ _________________________________________________________ AritméticA Matemática Impreso en el perÚ / prInted In peru La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación. título de la obra ® matemátIca delta 1, secundaria aritmética © derechos de autor reservados y registrados mauro enrIque matto muzante © derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley delta edItores s.a.c. edIcIón, 2020 coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante diseño, diagramación y corrección: Delta Editores s.A.C. Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores s.A.C. delta edItores s.a.c. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314, 332 6667 Correo electrónico: informes@eactiva.pe www.eactiva.pe Tiraje: 4500 ejemplares Impresión: FINIshING s.A.C. Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos Lima - Perú Tels. 265 3974 251 7191 IsBn n.o 978-612-4354-29-8 proyecto editorial n.o 31501051900810 ley n.o 28086 Hecho el depósito legal en la Biblioteca nacional del perú n.o 2019-10443 proHIBIda la reproduccIón total o parcIal leY de lucHa contra la pIraterÍa leY 28289 puBlIcada el 20 de JulIo de 2004 tÍtulo vII delItos contra los derecHos Intelectuales capÍtulo I delItos contra los derecHos de autor Y conexos Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor. artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito. La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno. MateMática Delta 1 - aritMética 3 Presentación Estimado estudiante, en esta nueva etapa en tu vida escolar, seguiremos siendo tu apoyo académico, continuaremos por el mismo camino y en la misma dirección. Si bien es cierto, esta etapa es diferente; sin embargo, nuestra forma de trabajar no ha cambiado. Esta nueva colección permitirá desarrollar, aún más, las competencias matemáticas, afianzar la forma de resolver problemas empleando, en muchos casos, estrategias nuevas, utilizando siempre el razonamiento lógico y en base a situaciones de la vida real o simuladas, con el único objetivo de que estas sean aplicadas cuando las requieras. Todo el contenido teórico que debes conocer para fortalecer tus capacidades y competencias han sido distribuidos en estos libros: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás los estándares de aprendizaje que el Ministerio de Educación ha designado para este nivel. Al mismo tiempo, complementamos lo planteado con algunos ejercicios que han sido tomados de exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés preparado desde ahora. Comencemos este año escolar con la mejor disposición para adquirir nuevos conocimientos y mantengamos el mismo espíritu durante todo el año. Delta Editores Apertura En esta sección encontrarás temas novedosos que propiciarán sostener una relación cercana con la Matemática. se aborda el desarrollo del tema, donde encontrarás las definiciones organizadas siguiendo una secuencia didáctica. Marco teórico Conoce tu libro 26 Tema Multiplicación y división de números naturales Leyes de la multiplicación Multiplicación en La multiplicación, así como la adición, es una de las principales operaciones que se realiza en Matemática. Está muy relacionada con la adición, porque si sumas 7 + 7 + 7 + 7, es lo mismo que 4 veces 7 o 4 por 7. La multiplicación consiste en que dados dos números naturales «A» y «B» llamados multiplicando y multiplicador, respectivamente, relacionados a través de esta operación, se obtiene un resultado «P» denominado producto, que resulta de sumar el mismo sumando «A» el cual aparece «B» veces. 6 × 5 × 8 = (6 × 5) × 8 = 30 × 8 = 240 6 × 5 × 8 = 6 × (5 × 8) = 6 × 40 = 240 6 × 5 × 8 = (6 × 8) × 5 = 48 × 5 = 240 Clausura El producto que resulta de multiplicar dos números naturales, es también un número natural. ∀ a, b ∈ , (a × b) ∈ Ejemplo: 6 y 13 ∈ ⇒ 6 × 13 = 78 ∈ Conmutativa En una multiplicación de dos números naturales, el orden de los factores no altera el producto. a × b = b × a Ejemplo: 7 y 12 ∈ Entonces: 7 × 12 = 12 × 7 84 = 84 Asociativa La forma cómo asociemos los factores de la multiplicación, no altera el producto. ∀ a, b, c ∈ , se cumple que: a × b × c = a × (b × c) a × b × c = (a × b) × c a × b × c = (a × c) × b Ejemplo: 6; 5 y 8 ∈ Entonces: Donde: A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto A y B también se denominan factores ∀ A, B ∈ A + A + A + ... + A = P «B» sumandos a = b A × B = P Elemento neutro En la multiplicación, el número 1 es el elemento neutro. La multiplicación de cualquier número natural por 1, da como resultado el mismo número natural. ∀ a ∈ Se cumple que: a × 1 = 1 × a = a Ejemplos: ● 2358 × 1 = 1 × 2358 = 2358 ● 1469 × 1 = 1 × 1469 = 1469 2 Import a nt e La multiplicación se representa con una aspa (×) o un punto (●). Sin embargo, usar el aspa(x) no es aconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Título del tema Para una mejor organización, los temas están numerados. Comentarios y/o lecturas que refuerzan el desarrollo del tema 4 Ejercicios resueltos se muestran ejercicios que están resueltos didácticamente, los mismos que servirán para el análisis del estudiante. Síntesis Contenido del tema, que incluye teoremas, postulados, fórmulas, propiedades, leyes, etc., resumido en organizadores gráficos para tener un panorama general del contenido. Modela y resuelve Los problemas con numeración impar serán resueltos por el docente, mientras que los pares serán resueltos por el estudiante siguiendo la secuencia realizada por el educador. 51MateMática Delta 1 - aritMética 2 Un buzo que se encontraba a 15 metros bajo el nivel del mar decide bajar unos 8 metros logrando atrapar un pez corvina. Luego, al subir 6 metros, el pez da un fuerte coletazo y escapa. Determina a qué distancia sobre el nivel del mar se encuentra el buzo. Ilustra la situación. Resolución: Se encuentra a 17 m bajo el nivel del mar. Para saber exactamente dónde se encuentra el buzo, efectuamos la operación: (–15) + (–8) + (+6) (–23) + (+6) –17 –15 –8 +6 nivel del mar 3 Resolución: Rpta. Al efectuar obtenemos 11 454. {(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19] } (4 – 3 × 9) { (+1992) + (+30) [(–12) + 6 (–15) + 19] } (4 – 27) { 1992 + 30 [(–12) + (–90) + 19] } (–23) { 1992 + 30 [–83] } (–23) { 1992 + (–2490) } (–23) {–498} (–23) +11 454 Efectúa. {(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19]} (4 – 3 × 9) Sea x un número entero mayor que –3, pero menor que 4; determina cuántos valores puede tomar x. –3 < x < 4 Resolución: Matematizando tendremos: En la recta numérica: Rpta. x toma 6 valores. x = –2; –1; 0; 1; 2; 3 ... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ... 1 Se denomina nivel del mar al que sirve como referencia para ubicar la altitud de las localidades y accidentes geográficos, excepto los accidentes submarinos que se miden por su profundidad. La unidad de medida en que suele medirse la altura sobre el nivel del mar es el metro. Se habla, pues, de metros sobre el nivel del mar, abreviado: m s.n.m. También se habla de metros bajo el nivel del mar, cuya abreviación es m b.n.m. ¿Sa bía s qu e.. .? Ejercicios resueltos Rpta. Se encuentra a 17 m bajo el nivel del mar. 79MateMática Delta 1 - aritMética 2 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor de a3 + b2 sabiendo que: A = {7a + 6; 2} , B = {26 – 3b; 41}. Resolución: 1 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor de a2 + b3 sabiendo que: A = {12a – 7; –2} B = {28 – 5b; 53}. Resolución: Rpta.Rpta. Conjuntos La palabra «conjunto» indica una colección de objetos reales o abstractos que están bien definidos y que se llaman elementos. Determinación Relación de pertenencia Relaciones Conjunto - Conjunto Conjunto potencia Conjuntos especiales Operaciones entre conjuntos Cardinal Por extensión Cuando sus elementos están escritos uno a uno. Ejemplo: B = {2; 3; 4; 5; 6; ...} Por comprensión Cuando se define la o las características que poseen los elementos del conjunto. Ejemplo: T = {2x – 1 / x ∈ ; 5 < x < 9} Número de elementos del conjunto. Ejemplo: Sea M = {8; 6; 8; 8} # M = n(M) = 2 Entre un elemento y un conjunto. • Unitario • Vacío • Universal Unión A B A – B A B A B Intersección Diferencia Diferencia simétrica Complemento Inclusión Ejemplo: A = {2; 3; 6; 8; 9} B = {3; 6; 8} Entonces: B ⊂ A Conjuntos iguales A = {5; 8; 3} B = {8; 5; 3} Entonces A = B Formado por todos los subconjuntos. Ejemplo: A = {2; 3} P(A) = {∅; {2}; {3}; {2; 3}} n[P(A)] = 2n = 22 = 4 A B B B B A A A A Síntesis Modela y resuelve Nombre de la sección Preguntas y/o situaciones problemáticas reales o simuladas, planteadas de acuerdo al tema. Algoritmo de resolución del problema planteado. Organizador visual Enunciado del problema o de la situación planteada. Espacio para resolver el problema. Nombre de la sección Nombre de la sección 5MateMática Delta 1 - aritMética Practica y demuestra se plantean preguntas que han sido organizadas por niveles de complejidad y de elección múltiple, en las cuales el estudiante demostrará lo aprendido durante la sesión. Test Esta evaluación incluye preguntas del contenido de los temas desarrollados en la unidad y son de elección múltiple. 6 Nombre de la sección Número de test Preguntas planteadas, estas pueden ser situaciones reales o simuladas. Alternativas Espacio para realizar anotaciones de resolución Alternativas Preguntas y/o situaciones problemáticas reales o simuladas, planteadas de acuerdo a la unidad. 105MateMática Delta 1 - aritMética Calcula el numerador de una fracción equivalente a 3 5 , sabiendo que la diferencia de los cuadrados de sus términos es 1024. 1 Encuentra una fracción equivalente a 126 336 , tal que la suma de sus términos esté comprendida entre 199 y 219. Dar como respuesta la diferencia de sus términos. 2 Halla la suma de los numeradores de aquellas fracciones de la forma n 24 , la cual es una fracción propia e irreductible mayor que 3 7 . 3 A 16 B 24 C 32 D 56 E 42 A 97 B 76 C 95 D 100 E 90 A 60 B 72 C 70 D 66 E 83 En un instituto hay 690 alumnos. Si dos quintas partes de ellos han participado en el concurso de fotografía y un tercio del resto en el de dibujo, ¿cuántos alumnos no han participado en ninguno de los dos concursos? 4 A un congreso de Medicina han acudido 125 pediatras, 100 dermatólogos, 200 neurólogos y m cirujanos. Si los cirujanos y dermatólogos representan los siete veinteavos del total de asistentes al congreso, ¿qué fracción del total representan los cirujanos? 5 Un libro tiene cierta cantidad de páginas. El primer día leemos 1 4 ; el segundo, 2 5 y el tercero, 4 7 del resto de hojas. Si aún quedan 12 páginas por leer, ¿cuántas páginas leímos el tercer día? 6 A 7 24 B 3 20 C 5 24 D 9 20 E 7 20 A 12 B 14 C 16 D 18 E 20 A 284 B 272 C 276 D 268 E 288 Nivel I Practica y demuestra Nombre: n.° de orden: Sección: Test n.° 4 175MateMática Delta 1 - aritMética Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o naranjas y, además, sea la mayor cantidad posible. Halla el número de frutas que debe contener cada caja. 6 Si el número 25aa9 es divisible por 7 y a2an es divisible por 4. Calcula la suma de los valores correspondientes de a × n. 3 56A 72 64B 80DC Si el número a8a3aa es divisible por 3, encuentra los valores que puede tomar a. Da como respuesta la suma de dichos valores. 2 11A 13 12B 14DC Determina qué valores puede tomar a para que el número ab52a sea divisible por 4. Da como respuesta la suma de dichos valores. 1 12A 15 14B 16DC 4 Si el número a4a3a8 es divisible por 11; abbabb es divisible por 9 y 6cabn es divisible por 4. Determina los valores correspondientes de b × n. Da como respuesta la suma de dichos valores. 18A 24C 20 28D B 5 Un faro se enciende cada 36 segundos, otro cada 48 segundos y un tercero cada minuto; si a las 6:10 p. m. los tres coinciden, calcula cuántas veces volverán a coincidir hasta las 7:00 p. m. 3 vecesA 5 veces 4 vecesB 6 vecesDC 230A 124 160B 62DC 7MateMática Delta 1 - aritMética 1 3 2 4 R es ue lv e pr ob le m as d e ca nt id ad Traduce cantidades a expresiones numéricas. los números naturales10 Números naturales Relación de orden Operaciones con números naturales multiplicación y división de números naturales 26 Multiplicación en División en los números enteros 45 Relación de orden Operaciones con números enteros signos de agrupación y prioridad de las operaciones teoría de conjuntos 66 Definiciones Determinación de un conjunto Operaciones entre conjuntos Fracciones 91 Números fraccionarios Clasificación de las fracciones Operaciones con fracciones números decimales 109 Definiciones Clasificación de los números decimales Operaciones con números decimales Aproximación con decimales divisibilidad 131 Divisores y múltiplos de un número Criterios de divisibilidad máximo común divisor y mínimo común múltiplo 145 Máximo común divisor Mínimo común múltiplo razones 161 Definiciones unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones. Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo. Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones. Índice Al hablar de «Teoría de conjuntos», es inevitable mencionar a Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, o simplemente Georg Cantor, un matemático cuyo origen se remonta al antiguo imperio ruso. Este hombre, nacido en San Petersburgo el año 1845, estudió en la Universidad de Zúrich y, tras la muerte de su padre, se trasladó a la Universidad de Berlín donde concluyó su carrera especializándose en Matemática, Física y Filosofía. Años después de hacer su doctorado en 1867, comenzó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. Es ahí donde realiza varios estudios, entre ellos, su trabajo en la teoría de conjuntos que fue publicado en 1874, lo cual lo hizo conocido en el ambiente académico; en él, habla acerca del tamaño de los conjuntos infinitos. Cuando Cantor dio a conocer sus estudios sobre los infinitos, pocas fueron las personas que vieron con buenos ojos aquellos trabajos; una de las personas a las que no le agradaran estos fue a Leopold Kronecker, quien anteriormente había sido su mentor en la Universidad de Berlín, y luego pasó a considerarlo como un carbunclo matemático. Kronecker sostenía que desconocía qué predominaba en la teoría de Cantor, si la filosofía o la teología, pero que estaba seguro que lo que ahí no había era matemática. En cierto sentido, Kronecker tenía razón, las ideas de Cantor coqueteaban con la filosofía y ponía en cuestionamiento los fundamentos de las matemáticas. La carrera de Cantor no fue reconocida sino hasta principios del siglo XX, cuando fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres. Este ilustre matemático falleció de un ataque al corazón el 6 de enero de 1918 en una clínica psiquiátrica. Georg Cantor: Teoría de conjuntos 8 Muchas personas creen que Cantor fue un adelantado a su época. Durante los años en que realizó sus trabajos de investigación, nos dejó también algunas frases con las que defendía dichos estudios: El miedo al infinito es una forma de miopía que destruye la posibilidad de ver el infinito real, a pesar de que en su forma más elevada nos ha creado y sostenido. Mi teoría se mantiene tan firme como una roca; cada flecha dirigida contra ella regresará rápidamente a su arquero. La visión –del infinito– que considero la única correcta y compartida por pocos. Aunque posiblemente yo sea el primero en la historia en tomar esta posición explícitamente, ¡estoy seguro de que no seré el último! Fuente: www.bbc.com Actualmente se considera a Cantor como padre de la teoría de conjuntos. En un chiste de matemáticos, un profesor le pregunta a la clase cuál es el número más grande. «Un trillón de billones», responde Jorge. «¿Y si es un trillón de billones y uno?», replica el profesor. «Bueno, estaba cerca», dice Jorge. Los números no tienen fin. Dame un número y te daré uno más grande. De ahí partimos para conocer la infinidad de los números. Desempeños • Establece relaciones entre datos y las transforma a expresiones numéricas que incluyen las cuatro operaciones básicas con números enteros, fracciones o decimales. • Comprueba si el modelo planteado representó las condiciones del problema: datos, acciones y condiciones. • Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico, su comprensión del valor posicional de las cifras de un número, de la fracción, del significado de los signos de los números enteros, de las propiedades de las operaciones con números enteros y expresiones decimales para interpretar un problema según su contexto. • Selecciona y emplea estrategias de cálculo, estimación y procedimientos para realizar operaciones con los datos indicados anteriormente. • Plantea afirmaciones sobre las propiedades de los números y de las operaciones con números enteros y expresiones decimales, y sobre las relaciones inversas entre las operaciones. Las justifica o sustenta con ejemplos y propiedades de los números y de las operaciones. Infiere relaciones entre estas. Reconoce errores en sus justificaciones y en las de otros, y las corrige. 9MateMática Delta 1 - aritMética 10 Tema Los números en la historia Los números naturales Relación de orden Todos los números naturales (en la recta numérica) escritos a la derecha del 0 (cero) cumplen lo siguiente: «Aquel número natural que esté más cercano del 0, será de menor valor que aquel que está más alejado del 0». Los elementos del conjunto pueden representarse en la recta numérica como la que aparece en la siguiente figura. En la recta numérica se elige un punto cualquiera sobre ella y se le llama 0 (cero). Enseguida, se selecciona otro punto a la derecha del 0 y se le llama 1. La distancia que hay entre 0 y 1 nos da una unidad de medida que se utilizará para localizar los otros puntos que se llamarán 2; 3; 4; ...; y así sucesivamente. Números naturales Un número natural es cualquiera de los números que se usa para contar y determinar la ausencia o presencia de los objetos. Al conjunto de los números naturales los representaremos con el símbolo . = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} 0 1 2 3 4 5 6 Recta numérica El símbolo proviene del latín Numerus, para ello se tomó la primera letra de esta palabra. El término Numerus se refiere a un signo o conjunto de signos. ... + ∞ Ejemplo: El número 4 es menor que el número 6, frase que escribiremos como: Del mismo modo, decir que 4 es menor que 6, implica decir que 6 es mayor que 4, frase última que escribiremos como: El símbolo < se lee: es menor que. a = b 4 < 6 El símbolo > se lee: es mayor que. a = b 6 > 4 Algunos símbolos matemáticos son: ∀ : para todo ˅ : o ˄ : y ⇔ : si y solo si ⇒ : entonces ∴ : por lo tanto Recu e rda 1 ¿Sa bía s qu e.. .? 11MateMática Delta 1 - aritMética Operaciones con números naturales Adición en La adición es la operación matemática que consiste en reunir o agrupar dos números naturales para convertirlos en uno solo que llamaremos suma. Donde: a y b son sumandos y S es la suma. Ejemplo: 24 + 16 = 40 • 24 y 16 son los sumandos. • 40 es la suma. ∀ a, b ∈ a + b = S Los axiomas de Peano son: 1. El 0 es un número natural. 2. Si «n» es un número natural su sucesor será «n + 1» y también es natural. 3. El 0 no es sucesor de ningún número natural. 4. Si hay dos números naturales con el mismo sucesor, entonces ambos son el mismo número natural. 5. Si 0 pertenece a un conjunto A; además, dado un número natural cualquiera (a) y el sucesor de ese número (a + 1), que también pertenece al conjunto A, entonces todos los elementos de dicho conjunto pertenecen a . Import a nt e Leyes de la adición Clausura La suma de dos números naturales es también un número natural. ∀ a, b ∈ (a + b) ∈ Ejemplo: 7 y 13 ∈ ⇒ 7 + 13 = 20 ⇒ 20 ∈ Conmutativa El orden de los sumandos no altera el valor de la suma. ∀ a, b ∈ a + b = b + a Ejemplo: 16 + 7 = 7 + 16 ⇒ 23= 23 Asociativa La forma cómo se agrupan los sumandos, no altera la suma. ∀ a, b, c ∈ a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b Ejemplo: 9 + 12 + 21 (9 + 12) + 21 = 9 + (12 + 21) = (9 + 21) + 12 21 + 21 = 9 + 33 = 30 + 12 42 = 42 = 42 Elemento neutro Cuando a un número natural le adicionamos el 0, se obtiene como resultado el mismo número natural. El 0 es el elemento neutro en la adición. ∀ a ∈ a + 0 = 0 + a = a Ejemplo: 34 + 0 = 0 + 34 = 34 Uniformidad Si sumamos los primeros miembros de dos igualdades, y luego los segundos miembros, se obtiene otra igualdad. ∀ a, b, c, d ∈ Si a + b = c y d = d Entonces: a + b + d = c + d Ejemplo: Se tienen: 6 + 9 = 15 y 7 = 4 + 3 Entonces: 6 + 9 + 7 = 15 + 4 + 3 22 = 22 Cancelativa Si en ambos miembros de una igualdad se tiene el mismo sumando, entonces podemos cancelar este sumando luego del cual obtendremos otra igualdad. ∀ a, b, c, d ∈ Si a + b + d = c + d Entonces: a + b + d = c + d (cancela d) Se obtiene: a + b = c Ejemplo: 5 + 12 + 9 = 17 + 9 5 + 12 + 9 = 17 + 9 (cancela 9) 5 + 12 = 17 Sustracción en La sustracción es una operación en la que dada la suma de dos números naturales y uno de los sumandos, debemos calcular el otro sumando. De allí decimos que la sustracción es la operación inversa de la adición. A la sustracción también se le conoce como resta. Si S + D = M, entonces: Ahora partimos de la sustracción: M – S = D es la sustracción Siempre y cuandoa = b M – S = D a = b S + D = M 12 Teniendo en cuenta los datos del cuadro, contesta: (a) Utilizando el símbolo < ordena los sueldos de los cuatro presidentes latinoamericanos que ganan menos, indicando el país al que pertenecen. País Presidente Sueldo mensual Uruguay José Mujica $ 12 500 $ 10 000 $ 15 042 $ 2842 $ 5500 $ 18 000 $ 10 000 $ 20 409 $ 8587 $ 7000 $ 6188 $ 11 764 $ 4400 Cristina Fernández Michelle Bachelet Evo Morales Ollanta Humala Otto Pérez Molina Juan Manuel Santos Enrique Peña Nieto Horacio Cortés Rafael Correa Nicolás Maduro Dilma Rousseff Juan Orlando Hernández Argentina Chile Bolivia Perú Guatemala Colombia México Paraguay Ecuador Venezuela Brasil Honduras SUELdOS mENSUALES RECibidOS pOR LOS pRESidENtES LAtiNOAmERiCANOS (EN dóLARES) A pesar de ser países vecinos, el sueldo mensual de los presidentes de las naciones latinoamericanas oscila considerablemente. El cuadro siguiente muestra cuáles fueron estos sueldos en el año 2015. 2 Al comparar números naturales con los símbolos < o > en cada pareja de números que se presenta, justifica tu respuesta. Todo número natural que tenga más cifras que otro, siempre será mayor que este otro. (a) 3001 > 234 ... (b) 672 < 682 .... Ambos tienen igual cantidad de cifras y también al 6 como primera cifra. Ahora, para determinar quién es mayor o menor suprimimos la cifra 6 (672 y 682) y comparamos los números que aún quedan. Como observamos, 72 < 82 corresponde el signo <. (c) 1234 < 1243 .... Ambos tienen igual cantidad de cifras; tienen también al 12 como sus dos primeras cifras. Ahora, para determinar quién es mayor o menor suprimimos 12 (1234 y 1243) y comparamos los números que quedan. Como observamos, 34 < 43 corresponde el signo <. 1 Import a nt e La sustracción (M – S) en los números naturales solo es posible cuando el minuendo M es mayor que el sustraendo S, y la diferencia D. Es decir: M – S = D Solo es posible en el caso que M S. Además: M : minuendo S : sustraendo D : diferencia de M y S La historia del cero no es sencilla. Los antiguos griegos y romanos, no lograron dar un nombre a «la nada». Ellos no contaban «nada». El sistema de numeración hindú- arábigo que incluyó el cero, fue promulgado en occidente por Fibonacci en su Liber-Abaci (libro del ábaco), publicado en 1202. ¿Sa bía s qu e.. .? Ejercicios resueltos 13MateMática Delta 1 - aritMética La palabra minuendo proviene del latín MINUENDUS (disminuir) y la palabra sustraendo, del latín SUBSTRAHENDUS (sustraer). Resolución: Bolivia Honduras Perú Venezuela $ 2842 < $ 4400 < $ 5500 < $ 6188 Resolución: Resolución: Sobre la recta numérica, primero ubicamos a los valores extremos 5400 y 9800. (b) Ordenando de mayor a menor, escribe los sueldos de los cuatro presidentes latinoamericanos que más ganan, indicando el país al que pertenecen. (c) Sobre la recta numérica, ubica los sueldos de los presidentes latinoamericanos que estén comprendidos entre $ 5400 y $ 9800. México Guatemala Chile Uruguay $ 20 409 > $ 18 000 > $ 15 042 > $ 12 500 0 5400 5500 6188 7000 8587 9800 Perú Venezuela Ecuador Paraguay Rolando gastó S/ 98 en comprar un libro de Comunicación, S/ 24 más que el precio anterior en un libro de Matemática y S/ 75 en un libro de Inglés. Por otro lado, Miguel gastó S/ 104 en comprar un libro de Ciencia y Ambiente, S/ 38 menos en un libro de Personal Social y S/ 84 en un buzo escolar. Determina quién gastó más, y cuánto más. Resolución: Como son dos personas que gastan dinero, entonces calcularemos cuánto gastaron en total cada uno. Organizamos los datos en cuadros de doble entrada. Como 295 > 254, decimos que Rolando tiene un mayor gasto que Miguel. Para determinar cuánto má s gastó, restamos el menor del mayor 295 – 254 = 41. Rpta. Rolando gastó S/ 41 más que Miguel. Gasto de Rolando = 98 + 122 + 75 = 295 Gasto de Miguel = 104 + 66 + 84 = 254 Rolando Artículo Precio (S/) 98 98 + 24 75 L. Comunicación L. Matemática L. Inglés Miguel Artículo Precio (S/) 104 104 – 38 84 L. Ciencia L. Personal Social Buzo escolar 3 ¿Sa bía s qu e.. .? 14 El dólar estadounidense es la moneda oficial de Estados Unidos. El dólar es una moneda fiduciaria ya que su valor está respaldado únicamente por la confianza que le otorga los usuarios. El Euro es una moneda de la Unión Europea. Thomas Alva Edison nació el mismo año que Alexander Graham Bell, y murió 9 años más tarde que Bell, quién inventó el teléfono en 1876, con 29 años de edad y murió 46 años más tarde. ¿En qué año nació y murió Edison? 4 Los tres últimos movimientos de la cuenta bancaria de mi madre han sido: S/ 72, la factura de energía eléctrica; S/ 33; la del servicio de agua potable y S/ 1300, su pago de haberes. Si finalmente quedó un total de S/ 18 227 en su cuenta bancaria, ¿cuánto dinero tenía inicialmente? 5 Roentgen descubrió los rayos X en 1895 cuando tenía 50 años y 28 años más tarde, murió. ¿En qué año nació y en qué año murió? 6 Resolución: • Bell tenía 29 años en 1876: 1876 – 29 = 1847 → año en que nació Bell y Alva. • Bell murió 46 años después de 1876: 1876 + 46 = 1922 → año en que murió Bell. • Alva murió 9 años después del fallecimiento de Bell. 1922 + 9 = 1931 Resolución: • La cantidad de dínero que tenía inicialmente es desconocida: x • S/ 72 es el pago de la factura de energía eléctrica; por lo tanto, se resta de la cantidad inicial. • S/ 33 es el pago de la factura del servicio de agua potable; también se resta del monto inicial. • S/ 1300 es un ingreso de su sueldo; este monto se suma a la cantidad inicial. • S/ 18 227 es la cantidad final. x – 72 – 33 + 1300 = 18 227 x + 1195 = 18 227 x = 17032 Resolución: • Roentgen tenía 50 años en 1895, entonces: 1895 – 50 = 1845 → año de nacimiento. • Se sabe que Roentgen falleció 28 años después de 1895, entonces: 1895 + 28 = 1923 → año en que murió. Rpta. Concluimos que mi madre tenía inicialmente S/ 17 032. Rpta. Por lo tanto, Thomas Alva Edison nació en 1847 y falleció en 1931. Rpta. Por lo tanto, Roentgen nació en 1845 y falleció en 1923. ¿Sa bía s qu e.. .? 15MateMática Delta 1 - aritMética Para señalar la desigualdado igualdad de dos números se recurre a los siguientes signos. > : Mayor que < : Menor que = : Igual a ≥ : Mayor o igual a ≤ : Menor o igual a ≠ : Desigual o diferente Determina el valor de a2 + c2 + b2, sabiendo que abc + abc + ab = 888.8 Adela tenía en su cuenta bancaria S/ 1187, pero ha pagado con la tarjeta S/ 385 por la compra de un abrigo y S/ 163, por un vestido. ¿Cuánto le queda en su cuenta? 7 En una empresa de 50 trabajadores, se han obtenido los siguientes datos de una encuesta: � 22 juegan lotería, 25 son aficionados al fútbol y 28 están casados. � 11 son aficionados al fútbol y además juegan lotería, 12 son casados y juegan lotería, y 14 son casados y aficionados al fútbol. � 7 son casados, aficionados al fútbol y juegan lotería. ¿Cuántos solteros, no son aficionados al fútbol y no juegan lotería? 9 1187 = 385 + 163 + x 1187 – 385 – 163 = x 639 = x 2a = 8 → a = 4 2b + a = 8 → b = 2 2c + b = 8 → c = 3 6 + 4 + 7 + 7 + 7 + 5 + 9 + x = 50 x = 50 – 45 x = 5 2 2 2 2 2 2∴ a + b + c = (4) + (2) + (3) = 16 + 4 + 9 = 29 Rpta. Por lo tanto, concluimos que a Adela le queda S/ 639 en su cuenta bancaria. Rpta. El valor de a2 + b2 + c2 es 29. Rpta. 5 trabajadores son solteros no aficionados al fútbol y tampoco juegan lotería. a b c a b c + a b 8 8 8 74 7 75 6 9 Tenía = S/ 1187 Abrigo = S/ 385 Vestido = S/ 163 Queda = x x L (22) F (25) U = 50 C (28) ¿Sa bía s qu e.. .? Resolución: Resolución: Resolución: 16 1 1 2En la batalla de Ayacucho, ocurrida el 9 de diciembre de 1824, se enfrentó el ejército libertador que contaba con 6000 soldados y el ejército realista con 9320 hombres. Luego de la batalla, el primer ejército quedó con 5630 soldados y el segundo con 7520. ¿Cuántos soldados murieron en total? Resolución: En la batalla de Junín, ocurrida el 6 de agosto de 1824, se enfrentó el ejército libertador que contaba con 7900 soldados de infantería y 1000 de caballería, mientras que el ejército realista contaba con 1300 jinetes y 7000 infantes. Luego de la batalla, el primer ejército quedó con 8752 soldados y el segundo con 8046. ¿Cuántos soldados murieron en total? Resolución: Rpta. Rpta. Sustracción Sea: a1 + a2 + a3 + ... + an = S Se tiene que: a1; a2; a3; ... ; an son sumandos y S es la suma. Propiedades - Clausura : 7 y 13 ∈ ⇒ 7 + 13 = 20 ∈ - Conmutativa : 16 + 7 = 7 + 16 ⇒ 23 = 23 - Asociativa : (9 + 12) + 21 = 9 + (12 + 21) - Elemento neutro : 34 + 0 = 34 - Uniformidad : 6 + 9 = 15 ∧ 7 = 4 + 3 ⇒ 6 + 9 + 7 = 15 + 4 + 3 - Cancelativa : 5 + 12 + 9 = 17 + 9 ⇒ 5 + 12 = 17 Sea: M – S = D Se tiene que: • M es minuendo • S es sustraendo • D es diferencia Además: S + D = M Adición Síntesis Modela y resuelve 17MateMática Delta 1 - aritMética Rpta. 5 6Sofía compró un teléfono celular en S/ 257 y lo vendió en S/ 239. ¿Cuánto ganó o perdió en esta transacción comercial? Resolución: Mayra compró un equipo de sonido en S/ 345 y lo vendió en S/ 381. ¿Cuánto ganó o perdió en esta transacción comercial? Resolución: Recuerda • Cuando se compra un objeto y se vende, luego, a un valor menor que el valor de compra, se perderá dinero. O también: Si Valor de venta < Valor de compra entonces se perderá. Recuerda • Cuando se compra un objeto y se vende, luego, a un valor mayor que el valor de compra, se ganará dinero. Es decir: Si Valor de venta > Valor de compra entonces se ganará. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 3 4Sergio tiene ahorrado S/ 2567 y le falta S/ 433 para comprar una cama de dos plazas en madera tornillo. Si dentro de dos días recibirá S/ 269 como parte de su sueldo, y su hermano Javier ha prometido prestarle lo que falta; ¿cuánto cuesta la cama? ¿Cuánto deberá prestarle su hermano Javier? Resolución: Rodrigo tiene ahorrado S/ 2784 y le falta S/ 578 para comprar un TV LED de 58 pulgadas. Si dentro de dos días recibirá S/ 345 como parte de su sueldo, y su hermano Miguel ha prometido prestarle lo que falta; ¿cuánto cuesta la TV LED?¿Cuánto deberá prestarle su hermano Miguel? Resolución: 18 Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 7 8Un tráiler proveniente de la sierra central llega con un cargamento de papa para ser distribuido en cuatro puestos del mercado central. En el puesto de Ana dejó 4840 kg, en el puesto de Beatriz dejó 748 kg más que en el puesto anterior; en el tercer puesto (Carmen) dejó tanto como en los dos puestos anteriores, y en el puesto de Domitila dejó 10 026 kg menos de lo que descargó en los puestos de Ana y Carmen juntos; terminando así con toda la carga. ¿Cuántos kilogramos de papa descargó el tráiler? Resolución: Un tráiler distribuyó su mercadería en cuatro puestos. En el puesto de Adriana dejó 5240 kg, en el puesto de Vilma dejó 824 kg más que en el puesto anterior, en el tercer puesto (Camila) dejó tanto como en los otros dos puestos anteriores, y en el puesto de Dora dejó 10 428 kg menos de lo que descargó en los puestos de Adriana y Camila juntas; terminando así con toda la carga. ¿Cuántos kilogramos de mercadería descargó el tráiler? Resolución: 9 10Sabiendo que he comprado un televisor LED de 42 pulgadas a un precio de S/ 2458 y una computadora por S/ 1746; determina si gané o perdí al vender la computadora en S/ 1957 y el televisor en S/ 2396. Resolución: Sabiendo que he comprado un televisor LED de 50 pulgadas a un precio de S/ 2584 y una computadora por S/ 1849; determina si gané o perdí al vender la computadora en S/ 2015 y el televisor en S/ 2487. Resolución: 19MateMática Delta 1 - aritMética 11 12La suma de los términos de una sustracción es 1524. Si el sustraendo es 343, calcula el valor de la diferencia. Resolución: La suma de los términos de una sustracción es 1628. Si el sustraendo es 547, calcula el valor de la diferencia. Resolución: 13 14Encuentra el valor de bac + bca + acb, sabiendo que abc + cab + cba = 2b5a. Resolución: Sabiendo que abc + cab + cba = 1c7a, encuentra el valor de bac + bca + cab. Resolución: Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 20 15 16Calcula el valor de cba + bac + bca, sabiendo que a + b + c = 16 y abc + cba + acb = 2046. Resolución: Calcula el valor de bac + cba + bca, sabiendo que a + b + c = 19 y abc + cba + acb = 1839. Resolución: 17 18En una sustracción, si el minuendo aumenta en 87 unidades, halla en cuánto debe aumentar el sustraendo para que la diferencia disminuya en 59 unidades. Resolución: En una sustracción, si el minuendo aumenta en 128 unidades, halla en cuánto debe aumentar el sustraendo para que la diferencia disminuya en 67 unidades. Resolución: Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 21MateMática Delta 1 - aritMética 19 20 21 22 En una sustracción de un número de tres cifras abc con otro que se obtiene de invertir el orden de sus cifras cba se cumple que al sumar las cifras extremas de la diferencia se obtiene 9, y la cifra central de la diferencia es 9, ejemplos: En una sustracción de un número de tres cifras abc con otro que se obtiene de invertir el orden de sus cifras cba se cumple que al sumar las cifras extremas de la diferencia se obtiene 9, y la cifra central de la diferencia es 9, ejemplos: Calcula el mayor valor de a2 + b2 + m2, sabiendo que abc + cba = xm74 y abc – cba = xy8. Calcula el valor de a2 + c2 + m2, sabiendo que abc + cba = b1my y abc – cba = 4nx. Resolución: Resolución: En una sustracción el sustraendo es el triple de la diferencia. Si la suma de sus tres términos es 1576, encuentra el valor del sustraendo. Resolución: En una sustracción el sustraendo es el cuádruple de la diferencia. Si la suma de sus tres términos es 1690, encuentra el valor del sustraendo. Resolución: Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 652 256 396 582 285 297 921 129 792 721 127 594580 085 495 610 016 594 – – – –– – 22 A S/ 15 B S/ 14 C S/ 12 D S/ 13 E S/ 16 A S/ 6185 B S/ 6183 C S/ 6187 D S/ 6193 E S/ 6173 A S/ 72 y S/ 36 B S/ 56 y S/ 28 C S/ 72 y S/ 12 D S/ 72 y S/ 28 E S/ 76 y S/ 14 A 205 y 343 B 250 y 334 C 215 y 323 D 215 y 423 E 205 y 433 A Les falta S/ 1 B Les sobra S/ 3 C Les sobra S/ 1 D Les falta S/ 2 E Les sobra S/ 2 Ana le ha prestado a su hermano Javier S/ 16 que le faltaban para comprarse un patinete y le ha quedado a ella S/ 56. Si Ana tiene después del préstamo tiene el doble de dinero que Javier, ¿cuánto dinero tenía cada uno? 1 En una granja había 630 animales entre gallinas, patos y pavos. El número de gallinas era 250 y el de patos, 75 unidades menos que el de gallinas. ¿Cuántos pavos había en la granja? ¿Cuántos animales quedaron en la granja si se vendieron 100 gallinas, 32 patos y 65 pavos? 2 Juan tiene S/ 25; su hermano Luis, S/ 12 más que Juan, y su hermana Lucía, S/ 8 menos que Luis. Entre los tres quieren comprar un regalo a sus padres que cuesta S/ 90. ¿Tienen suficiente dinero? En caso afirmativo, calcula cuánto les sobra y en caso negativo, cuánto les falta. 3 Tres amigos han juntado S/ 40 para comprar un regalo a otro amigo. El primero puso S/ 12 y el segundo, S/ 3 más que el primero. ¿Cuánto puso el tercero? 4 Un trabajador autónomo ganó, en enero, S/ 2056; en febrero, S/ 136 menos, y en marzo, S/ 287 más que en febrero. ¿Cuánto ganó el primer trimestre del año? 5 A S/ 6980 B S/ 6860 C S/ 6940 D S/ 7120 E S/ 6920 Un contador ha anotado las operaciones que realizó en un día. ¿De cuánto es el saldo a favor? - Primero, recibió depósitos de Juan por S/ 1970; de Pedro, S/ 2480; de José, S/ 470, y de Jazmín, S/ 2010. - Segundo, tuvo que pagar los montos de S/ 1640 y S/ 380. - Por último, recibió un depósito de Rosa por S/ 2030. 6 Practica y demuestra Nivel I 23MateMática Delta 1 - aritMética A 3880 g B 3895 g C 3925 g D 3455 g E 3960 g Un pepinillo mediano pesa 850 g más que uno pequeño y 1155 g menos que uno grande. Cuánto pesan los tres, si el mediano con el grande pesan 3255 g. 11 Si se sabe que aa + bb + 443 = aba, calcula el valor de a2 + b2. 7 Encuentra el valor de (a × c + b2), sabiendo que ab + bc + dd = (c – 1)dd . 9 Nivel II A 65 B 85 C 73 D 74 E 80 A 10 B 12 C 56 D 66 E 72 En una maratón internacional se han inscrito 187 corredores europeos, 145 americanos y 158 asiáticos. El resto, hasta un total de 612 participantes, son africanos. ¿Cuántos participantes son africanos? 12 A 125 B 135 C 118 D 108 E 122 Sabiendo que a8a + 5bb + 64c = 165a, halla el valor de a × b + c. 8 A 34 B 20 C 26 D 38 E 16 Determina el valor de a2 + c × b, sabiendo que 4b7 + 8bc + a5a = 1b6a. 10 A 31 B 23 C 28 D 19 E 35 24 De tres números se sabe que: � Su suma es 100. � El primero es 10 unidades mayor que el segundo. � El segundo es 15 unidades más que el tercero. Calcula el número mayor. 13 A 50 B 65 C 35 D 45 E 55 Luis se compró una bicicleta por S/ 318 y la pagó en tres cuotas mensuales de igual valor. Por pagar en cuotas le recargaron S/ 21 al valor original de la bicicleta. ¿Cuánto pagó en cada cuota? 14 A S/ 113 B S/ 120 C S/ 106 D S/ 127 E S/ 119 Para comprar un televisor de S/ 540 me faltan S/ 156. ¿Cuánto dinero tengo? 15 A S/ 384 B S/ 618 C S/ 648 D S/ 658 E S/ 696 A 1564 y 1632 B 1574 y 1648 C 1573 y 1632 D 1564 y 1642 E 1573 y 1642 Kepler nació 7 años más tarde que Galileo y murió 12 años antes. Si Kepler murió con 59 años en 1630, ¿en qué año nació y en qué año murió Galileo? 16 A S/ 6680 B S/ 6930 C S/ 6870 D S/ 7170 E S/ 6810 Tres hermanos: Alex, Carlos y Enrique, recibieron una herencia de S/ 19 250. Según el testamento, Carlos recibiría S/ 1770 más que Alex y Enrique, S/ 1280 más que Alex. ¿Cuánto recibió Carlos? 18 Mi madre tiene 6 años menos que mi padre y 22 años más que yo. ¿Cuántos años tiene mi madre, si la suma de nuestras edades es 89 años? A 31 años B 32 años C 33 años D 34 años E 35 años 17 25MateMática Delta 1 - aritMética Sabiendo que abe + ace + ade = 2011, encuentra el valor de (a × e + b + c + d). 20 A 58 B 61 C 73 D 47 E 63 Un comerciante compró dos bicicletas gastando en total S/ 278. La primera bicicleta le costó S/ 58 más que la segunda. Si la primera la vendió en S/ 201, ¿a cuánto debe vender la segunda para ganar en total S/ 102? 19 A S/ 183 B S/ 197 C S/ 179 D S/ 181 E S/ 191 Nivel III Calcula el valor de (ac + db), sabiendo que aab + ccb + ddb = acdb y b ≠ 5. 21 A 69 B 98 C 78 D 99 E 87 Sabiendo que aaa + aaa + b = cba, halla el valor de (c × b + a2). 22 A 51 B 57 C 44 D 58 E 49 Determina el valor de (bc + ad), sabiendo que abcd + bcd + cd + d = dcc8; además d < 7. 23 Encuentra el valor de (a × b + n × c), sabiendo que 97na + 692 + aaaa = nabc2. 24 A 63 B 87 C 94 D 79 E 83 A 21 B 27 C 48 D 51 E 270 26 Tema Multiplicación y división de números naturales Leyes de la multiplicación multiplicación en La multiplicación, así como la adición, es una de las principales operaciones que se realiza en Matemática. Está muy relacionada con la adición, porque si sumas 7 + 7 + 7 + 7, es lo mismo que 4 veces 7 o 4 por 7. La multiplicación consiste en que dados dos números naturales «A» y «B» llamados multiplicando y multiplicador, respectivamente, relacionados a través de esta operación, se obtiene un resultado «P» denominado producto, que resulta de sumar el mismo sumando «A» el cual aparece «B» veces. 6 × 5 × 8 = (6 × 5) × 8 = 30 × 8 = 240 6 × 5 × 8 = 6 × (5 × 8) = 6 × 40 = 240 6 × 5 × 8 = (6 × 8) × 5 = 48 × 5 = 240 Clausura El producto que resulta de multiplicar dos números naturales, es también un número natural. ∀ a, b ∈ , (a × b) ∈ Ejemplo: 6 y 13 ∈ ⇒ 6 × 13 = 78 ∈ Conmutativa En una multiplicación de dos números naturales, el orden de los factores no altera el producto. a × b = b × a Ejemplo: 7 y 12 ∈ Entonces: 7 × 12 = 12 × 7 84 = 84 Asociativa La forma cómo asociemos los factores de la multiplicación, no altera el producto. ∀ a, b, c ∈ , se cumple que: a × b × c = a × (b × c) a × b × c = (a × b) × c a × b × c = (a × c) × b Ejemplo: 6; 5 y 8 ∈ Entonces: Donde: A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto A y B también se denominan factores ∀ A, B ∈ A + A + A + ... + A = P «B» sumandos a = b A × B = P Elemento neutro En la multiplicación, el número 1 es el elemento neutro. La multiplicación de cualquier número natural por 1, da como resultado el mismo número natural. ∀ a ∈ Se cumple que: a × 1 = 1 × a = a Ejemplos: ● 2358 × 1 = 1 × 2358 = 2358 ● 1469 × 1 = 1 × 1469 = 1469 2 Import a nt e La multiplicación se representa con una aspa (×) o un punto (●). Sin embargo, usar el aspa (x) no es aconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. 27MateMática Delta 1 - aritMética distributiva Con respecto a la adición El producto de un número natural por una adición, es igual a sumar el producto de este número natural con cada uno de los sumandos de dicha adición. ∀ a, b, c ∈ , se cumple que: a × (b + c) = a × b + a × c Ejemplo: 9 × (5 + 8) = 9 × 5 + 9 × 8 9 × 13 = 45 + 72 117 = 117 Con respecto a la sustracción El producto de un número natural por una sustracción, es igual a restar el producto de este número natural con el minuendo menos el producto del mismo número natural con el sustraendo. ∀ a, b, c ∈ , se cumple que: a × (b – c) = a × b – a × c Ejemplo: 8 × (8 – 3) = 8 × 8 – 8 × 3 8 × 5 = 64 – 24 40 = 40 Uniformidad Si multiplicamoslos primeros miembros de dos igualdades y luego los segundos miembros, se obtiene otra igualdad. ∀ a, b, c, d ∈ , si a = b y c = d ⇒ a × c = b × d Ejemplo: Si 6 + 8 = 14 y 5 = 3 + 2 Entonces: (6 + 8) × 5 = 14 × (3 + 2) 14 × 5 = 14 × 5 70 = 70 Elemento absorbente El 0 es el elemento absorbente de la multiplicación de cualquier número natural por 0, da como resultado 0. Ejemplo: ∀ a ∈ , se cumple que: a × 0 = 0 × a = 0 1359 × 0 = 0 × 1359 = 0 Cancelativa Si en ambos miembros de una igualdad aparece un mismo factor, diferente de 0, entonces este mismo factor puede cancelarse. ∀ a, b, c ∈ , c ≠ 0 Si a × c = b × c Ejemplo: Entonces: a × c = b × c a = b Si 6 × 9 × 8 = 2 × 8 × 27 6 × 9 × 8 = 2 × 8 × 27 6 × 9 = 2 × 27 54 = 54 división en La división es la operación inversa de la multiplicación. La división es una operación en la que dado un producto de dos números naturales y uno de los factores, debemos hallar el otro factor. Sea P = a × b y conociendo «a», definimos la división como: P ÷ a = b. Sea ahora la división: Generalmente, la división la escribiremos usando los siguientes símbolos: Donde: D es el dividendo d es el divisor q es el cociente ÷ es el símbolo que identifica a la división cumpliéndose que P ÷ a = b, debe cumplirse que a × b = P. Formas de expresar la división exacta Cualquiera sea la forma de expresar la división exacta, debe cumplirse que: a = b D ÷ d = q D d = q D d 0 q q D d 0 a = b D ÷ d = q a = b d × q = D a = b d × q = D Usando la ley asociativa podemos apresurar nuestros cálculos, sobre todo cuando multiplicamos un número que termina en cifra 5 con un número par. A = 6 × 8 × 15 × 15 = (6 × 15)(8 × 15) = 90 × 120 = 10 800 B = 14 × 12 × 5 × 15 = (14 × 15)(12 × 5) = 210 × 60 = 12 600 Recu e rda Un error frecuente que se comete al usar la ley cancelativa ocurre cuando algunas personas creen que en una igualdad se puede cancelar el cero llegándose a absurdos. 6 × 0 = 7 × 0 6 × 0 = 7 × 0 cancelan el cero y obtienen que 6 = 7 ¡Absurdo! 5 × (3 × 2 – 6) = 8 (5 × 3 – 15) 5 × 0 = 8 × 0 5 × 0 = 8 × 0 Cancelan el cero ¡Absurdo! ¡No o lv id e s qu e.. .! 28 A una fiesta asistieron 18 niños y 14 niñas; al finalizar la fiesta, los niños recibieron en su caja de sorpresas 15 caramelos, 4 chocolates y 3 cajitas de refresco. Por otra parte, las niñas recibieron 6 caramelos, 12 chocolates y 2 cajitas de refresco. Determina cuántos caramelos, chocolates y cajitas de refresco se repartieron en total. Organizamos los datos en un cuadro de doble entrada. Rpta. Se repartieron 354 caramelos, 240 chocolates y 82 cajitas de refresco. Resolución: 18 niños 18 × 15 = 270 18 × 4 = 72 18 × 3 = 54 14 × 6 = 84 14 × 12 = 168 14 × 2 = 28 354 240 82 14 niñas total n.° de caramelos repartidos n.° de chocolates repartidos n.° de cajitas de refresco 1 Un comerciante compró 78 polos a S/ 13 cada uno, y 56 pantalones a S/ 24 por unidad. Si luego logra vender 64 polos a S/ 18 cada uno, y 48 pantalones a S/ 31 por unidad; determina si con los ingresos por ventas ¿ganó o perdió? y ¿cuánto? Para determinar si ganó o perdió, calculamos la suma de todos los gastos realizados al comprar, y después sumamos todos los ingresos que obtuvo al vender; para finalmente comparar ambas sumas. Observamos que Gasto total < Ingreso total, por consiguiente ganó. Su ganancia se calcula restando: 2640 – 2358 = 282 Rpta. En esta operación comercial ganó S/ 282. Resolución: polo 78 56 2358 S/ 13 78 × 13 = 1014 56 × 24 = 1344S/ 24pantalón Gasto total Artículo Cantidad Compra precio unit. Gasto polo 64 48 2640 S/ 18 S/ 31 64 × 18 = 1152 48 × 31 = 1488pantalón Ingreso total Artículo Cantidad Venta precio unit. ingreso 2358 2640< 2 Para resolver ejercicios de multiplicación debemos tener presente las siguientes leyes: • Clausura • Conmutativa • Asociativa • Elemento neutro • Distributiva • Elemento absorbente • Uniformidad • Cancelativa Recu e rda Ejercicios resueltos 29MateMática Delta 1 - aritMética Se ha determinado que trabajando con 24 personas se puede asfaltar una calle en cierto plazo, si trabajasen 8 horas al día. ¿Cuántas personas serán necesarias para asfaltar la misma calle, si la jornada de trabajo diario se aumentara en 4 horas y se pretende terminar en el mismo plazo? Resolución: Rpta. Serán necesarias 16 personas. 3 • Como cada una de las personas debería trabajar 8 horas diarias, entonces podemos determinar el número total de «horas diarias» que se debería trabajar para asfaltar la calle en el plazo fijado. 24 personas, c/u trabajando 8 horas diarias: 24 × 8 = 192 «horas diarias» son necesarias. • Finalmente, se decidió trabajar 12 horas diarias (4 horas más) por persona. Para saber cuántas personas deben trabajar dividiremos: personas que trabajarán 12 horas diarias cada una. Un anciano dejó al morir S/ 684 para cada uno de sus hijos. Pero días antes del reparto fallece uno de ellos, y la herencia de este se repartió entre los demás, recibiendo entonces cada uno S/ 912. ¿Cuánto dejó de herencia el anciano? Resolución: Rpta. La herencia fue S/ 2736. 4 Para resolver este problema, bastará calcular el número de hijos. Llamaremos n al número de hijos beneficiados. • Son n hijos, cada uno recibirá S/ 684, entonces: 684 × n = herencia • Fallece uno de ellos, ahora son (n – 1) beneficiados, cada uno recibirá S/ 912. Entonces: 912 × (n – 1) = herencia • Ahora, igualamos: 684 × n = 912(n – 1) 684 × n = 912 × n – 912 912 = 228 × n 4 = n • Finalmente la herencia que dejó el anciano se calcula como: 4 hijos, cada uno recibirá S/ 684; entonces: 4 × 684 = 2736 192 12 72 0 16 30 5 Dos secretarias tienen que copiar y pegar 540 cartas cada una. La primera copia y pega 15 cartas por minuto y la segunda, 12 cartas. Cuando una de ellas haya terminado su tarea, ¿cuántas cartas le faltará copiar y pegar a la otra? Resolución: Rpta. Le faltará copiar y pegar 108 cartas. Fotografía de dos secretarias La primera persona copia y pega más cartas por hora. Calcularemos entonces cuánto tiempo emplea. 540 cartas 15 cartas/minuto = 36 minutos Ahora, calculamos cuántas cartas copia y pega la segunda en 36 minutos. 12 cartas/minuto × 36 minutos = 432 cartas Entonces, le faltarán 540 – 432 = 108 6 En un supermercado se ofrece la oferta compre 3 y pague 2. Marcia decide comprar los siguientes productos: 8 bolsas de pañales cuyo precio es de S/ 24 por bolsa, 3 six packs de leche que está a S/ 15 cada paquete y 7 botellas de yogur de dos litros que cuestan S/ 8 cada una. Calcula cuánto paga Marcia. Resolución: Rpta. Marcia paga S/ 214. Fotografía de oferta 3 x 2 o de supermercado Elaboramos un cuadro para mostrar los precios y las cantidades que lleva. Cantidad Artículo Precio Oferta 8 bolsas pañal S/ 24 2 3 six packs leche S/ 15 1 7 bot. (2 L) yogur S/ 8 2 El pago a realizar es: 144 + 30 + 40 = 214 Calculamos el pago que debe realizar. • En pañales hay 2 ofertas, quedan 2 bolsas. • En leche hay una oferta. • En yogur hay dos ofertas, queda una botella. Artículo Precio Pago pañal S/ 24 2 × (2 × 24) + 2 × 24 = 144 llevo 3, pago 2 leche S/ 15 1 × (2 × 15) = 30 llevo 3, pago 2 yogur S/ 8 2 × (2 × 8) + 1 × 8 = 40 llevo 3, pago 2 31MateMática Delta 1 - aritMética 7 8 Un parque de diversiones recibe, en promedio, 1560 personas al día en primavera, 2580 en verano, 1120 en otoño y 345 en invierno. Calcula cuántos visitantes se espera tener en un año. Resolución: Sumando tenemos 504 450 v. Rpta. Se espera tener 504 450 visitantes en un año. Fotografía de parque de diversiones El dueño de una pollería pagó el mes pasado a su proveedor S/ 11 664 poruna compra de 1296 kilogramos de carne de pollo. Si este mes, que termina hoy, ha pagado S/ 10 116, determina cuántos kilogramos menos de carne pidió este mes que el anterior. Resolución: Rpta. El dueño pidió 172 kg menos que el mes anterior. Calcularemos cuál es el pago que realiza por cada kg de carne de pollo. Ahora que sabemos el precio por kg, calculamos cuántos kg de carne de pollo se compró este mes. Este mes se compró menos carne que el mes anterior: 1296 – 1124 = 172 S/ 11 664 1296 kg = S/ 9 S/ 10 116 S/ 9 = 1124 kg (Considera que cada estación dura 90 días) En primavera: 1560 × 90 d = 140 400 vv d En verano: 2580 × 90 d = 232 200 vv d En otoño: 1120 × 90 d = 100 800 vv d En invierno: 345 × 90 d = 31 050 vv d 32 En un salón que tiene matriculados a 24 estudiantes, el profesor planeó entregar 15 chocolates a cada estudiante para darles la bienvenida. Ese día faltaron 6 estudiantes. Determina cuántos chocolates más recibió cada estudiante, si todos recibieron por igual. • En primer lugar, calculamos el número total de chocolates que había planeado. • Luego, repartimos (dividimos) equitativamente los 360 chocolates entre los 18 estudiantes, pues faltaron 6. • Si hubieran asistido todos, cada uno hubiera recibido 15 chocolates. Pero como algunos faltaron, recibieron 20 chocolates. Resolución: 24 estudiantes a 15 chocolates cada uno se expresa: 24 × 15 = 360 chocolates 20 chocolates para cada uno. Rpta. Cada estudiante recibió 5 chocolates más de lo planeado. 360 18 0 20 9 El dueño de un restaurante pagó el mes pasado a su proveedor S/ 1776 por una compra de 148 kilogramos de carne de res. Si este mes, que termina hoy, ha pagado S/ 2196, determina cuántos kilogramos de carne pidió este mes más que el anterior. Resolución: 10 Albert Einstein Se cuenta que cuando Albert Einstein empezaba a ser conocido por su Teoría de la Relatividad era muy solicitado para dar conferencias. Después de muchas conferencias Einstein le comentó a su chofer lo aburrido que era repetir lo mismo una y otra vez. «Si quiere, –le dijo su chofer– lo puedo sustituir por una noche. He oído su conferencia tantas veces que la puedo recitar palabra por palabra». Einstein estuvo de acuerdo y antes de llegar al lugar de la siguiente conferencia intercambiaron sus ropas. Afortunadamente, ningún presente conocía a Einstein y el chofer expuso la conferencia. Al final, un profesor de la audencia le hizo una pregunta. El chofer no tenía ni idea de cuál podía ser la respuesta y le contestó: «La pregunta que me hace es tan sencilla que dejaré que mi chofer que se encuentra al final de la sala se la responda». Dato histórico • Calcularemos cuál es el pago que realiza por cada kg de carne. Rpta. El dueño del restaurante pidió 35 kg más que el mes anterior. • Ahora que sabemos el precio por kg, calculamos cuántos kg de carne se compró este mes. Este mes se compró más carne que el mes anterior: 183 – 148 = 35 S/ 1776 148 kg = S/ 12 S/ 2196 S/ 12 = 183 kg La división puede ser exacta o inexacta. División exacta Cuando el residuo es cero. Recu e rda 15 5 0 3 15 = 5 × 3 División inexacta Cuando el residuo es mayor que cero. 17 5 2 3 17 = 5 × 3 + 2 En general: D d r q D = d × q + r D es el dividendo d es el divisor q es el cociente r es el residuo 3 15 5 0 3 17 5 2 q D d r o o o 33MateMática Delta 1 - aritMética A × B = P donde: A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto Se lee: B veces A es igual a P. Ejemplo: 98 × 99 = 9702 Se lee 99 veces 98 es igual a 9702. multiplicación división A de m ás • Exacta D = d . q donde: D es el dividendo d es el divisor q es el cociente • Inexacta D = d × q + r donde: r es el residuo r < d rmáx = d – 1 1 2Un agricultor sembró y cosechó tomates que transportó al mercado mayorista para venderlos. Los tomates llegaron en 184 cajas, cada caja con 248 tomates; luego de descargar se observó que había 8 tomates malogrados por caja, los cuales fueron retirados. ¿Cuántas cajas con tomate se podrá vender, si los compradores exigen que cada caja contenga 230 tomates en buen estado? Resolución: Un agricultor sembró y cosechó manzanas que transportó al mercado mayorista para venderlos. Las manzanas llegaron en 192 cajas, cada caja con 236 manzanas; luego de descargar se observó que había 7 manzanas malogradas por caja, las cuales son retiradas. ¿Cuántas cajas con manzanas se podrá vender, si los compradores exigen que cada caja contenga 229 manzanas en buen estado? Resolución: Rpta. Rpta. Síntesis Modela y resuelve 34 3 4Entre 12 personas deben juntar S/ 3888 aportando por igual. Pero resulta que 4 de ellas solo pueden aportar la tercera parte de lo que les corresponde, obligando de esta manera a que cada uno de los restantes aporte cierta cantidad adicional. ¿Cuánto será el aporte de cada uno de los restantes? Resolución: Entre 16 personas deben juntar S/ 5088 aportando por igual. Pero resulta que 6 de ellas solo pueden aportar la tercera parte de lo que les corresponde, obligando de esta manera a que cada uno de los restantes aporte cierta cantidad adicional. Calcula de cuánto será el aporte de cada uno de los restantes. Resolución: Rpta. Rpta. 5 6Al multiplicar dos números se obtiene cierto producto; pero al aumentar 18 unidades al multiplicador, el nuevo producto difiere del anterior en 954 unidades. Halla el valor del multiplicando. Resolución: Al multiplicar dos números se obtiene cierto producto; pero al aumentar 23 unidades al multiplicador, el nuevo producto difiere del anterior en 2047 unidades. Halla el valor del multiplicando. Resolución: Rpta. Rpta. 35MateMática Delta 1 - aritMética 7 8El producto de un número de cuatro cifras por el mayor número de tres cifras termina en 2013. Determina la suma de cifras del producto. Resolución: El producto de un número de tres cifras por el mayor número de dos cifras termina en 053. Determina la suma de cifras del producto. Resolución: Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 9 10Sabiendo que al multiplicar un número de tres cifras por 87, se obtiene en el producto como sus tres últimas cifras a 639. Encuentra el producto de las cifras del número de tres cifras. Resolución: Sabiendo que al multiplicar un número de tres cifras por 97, se obtiene en el producto como sus tres últimas cifras a 099. Encuentra el valor de la suma de cifras del producto. Resolución: 36 11 12Para una instalación de luz en un edificio, un electricista pidió S/ 35 por cada punto de luz, incluyendo el material y la mano de obra, calculando ganar S/ 345; pero por tratarse de su compadre hizo una rebaja de S/ 14 por cada punto de luz y no ganó más que S/ 79. Calcula cuánto es el costo del material eléctrico. Resolución: Para una instalación de luz en un edificio, un electricista pidió S/ 28 por cada punto de luz, incluyendo el material y la mano de obra, calculando ganar S/ 288; pero por tratarse de su compadre hizo una rebaja de S/ 9 por cada punto de luz y no ganó más que S/ 63. ¿Cuánto es el costo del material eléctrico? Resolución: Rpta. Rpta. 13 14Al multiplicar 384 × 456 se obtiene cierto producto. Pero si disminuimos 12 unidades al multiplicador y aumentamos 12 unidades al multiplicando, encuentra el aumento o disminución del nuevo producto con respecto al producto original. Resolución: Al multiplicar 359 × 494, se obtiene cierto producto. Pero si disminuimos 13 unidades al multiplicador y aumentamos 13 unidades al multiplicando, encuentra el aumento o disminución del nuevo producto con respecto al producto original. Resolución: Rpta. Rpta. 37MateMática Delta 1 - aritMética 15 16Un ganadero tiene 420 ovejas que las puede alimentar durante60 días. Luego quiere que los alimentos duren 12 días más sin acortar la ración diaria. ¿Cuántas ovejas debe vender, si cada animal consume una ración de alimentación por día? Resolución: Un ganadero tiene 380 ovejas que las puede alimentar durante 45 días. Luego quiere que los alimentos duren 15 días más sin acortar la ración diaria. ¿Cuántas ovejas debe vender, si cada animal consume una ración de alimentación por día? Resolución: Rpta. Rpta. 17 Rpta. Rpta. 18Un parque de diversiones recibe, en promedio, 1560 personas al día en primavera; 2580, en verano; 1120, en otoño y 345, en invierno. Calcula cuántos visitantes se espera tener en un año. (Considera que cada estación dura 90 días) Resolución: Un zoológico recibe, en promedio, 1280 personas en el primer trimestre del año; 1970, en el segundo; 1040, en el tercero y 1690, en el cuarto trimestre. Calcula cuántos visitantes se espera recibir en un año. (Considera que cada trimestre dura 90 días) Resolución: 38 19 20Antonio y Arturo están encargados de recoger los huevos de gallina en la granja. Hoy, Antonio ha recogido 17 bandejas con huevos y Arturo, 7 bandejas más que Antonio. Si en una bandeja entran dos docenas y media de huevos, ¿cuántos huevos han recogido entre los dos? Resolución: Cristina y Mariana están encargadas de recoger los huevos de gallina en la granja. Hoy, Cristina ha recogido 27 bandejas con huevos y Mariana, 8 bandejas menos que Cristina. Si en una bandeja entran dos docenas y media de huevos, ¿cuántos huevos han recogido entre las dos? Resolución: Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 21 22Un comerciante mayorista compró 80 cajas de naranjas de 25 kg cada caja, pagando S/ 4000. El transporte le significa un gasto de S/ 120. Luego las selecciona y envasa en bolsas de 5 kg. En la selección de las naranjas, desecha unos 40 kg. Halla a cómo debe vender cada bolsa, si desea ganar en total S/ 584. Resolución: Un comerciante mayorista compró 95 cajas de manzanas de 30 kg cada caja, pagando S/ 5100. El transporte le significa un gasto de S/ 160. Luego las selecciona y envasa en bolsas de 6 kg. En la selección de las manzanas, desecha unos 60 kg. Halla a cómo debe vender cada bolsa, si desea ganar en total S/ 785. Resolución: MateMática Delta 1 - aritMética 39 Un apicultor tiene 187 colmenas con una producción de dos cosechas al año, a razón de 9 litros de miel por colmena en cada cosecha. La miel se envasa en tarros de medio litro y se comercializa en cajas de seis tarros que se venden a S/ 18 la caja. ¿Qué ingreso anual produce el colmenar? Nivel I Cada uno de los 28 alumnos de 1.º A han traído dos paquetes con seis dulces cada uno para el desayuno de Navidad, y los 21 alumnos de 1.º G, tres bolsas de siete dulces cada una. ¿Cuántos dulces menos que 1.º G ha traído 1.º A? 1 Las galletas de una determinada marca se envasan en paquetes de 6 unidades que luego se empaquetan en cajas que contienen 30 paquetes cada una. Un supermercado hizo un pedido de 15 cajas. ¿Cuántas docenas de galletas pidió en total? 2 A 115 B 105 C 102 D 112 E 124 A S/ 34,30 B S/ 34,36 C S/ 33,76 D S/ 35,20 E S/ 34,40 A 200 B 180 C 240 D 225 E 275 Un librero compró dos docenas y media de libros a S/ 24 cada libro. Luego, vendió 19 libros a S/ 18 cada uno. ¿A cuánto tiene que vender cada uno de los libros restantes para no perder dinero ni ganar? 4 A S/ 40 392 B S/ 30 294 C S/ 25 245 D S/ 45 441 E S/ 20 196 Se desea plantar árboles, con una separación de 24 metros, a lo largo de un sendero que tiene una longitud de dos kilómetros con 40 metros. ¿Cuántos árboles se necesitan? 5 6 A 80 B 82 C 84 D 88 E 86 Practica y demuestra Pablo ha comprado 13 cuadernos que le han costado S/ 4 cada uno, 9 bolígrafos de S/ 2 y una caja de colores por S/ 17. Ha pagado con un billete de S/ 100. ¿Cuánto recibirá de vuelto? 3 A S/ 17 B S/ 13 C S/ 19 D S/ 23 E S/ 11 40 Nivel II Al multiplicar dos números naturales se obtiene 2368, pero al aumentar 24 unidades al multiplicador, entonces el nuevo producto difiere del anterior en 888 unidades. Calcula la suma del doble del multiplicando con el triple del multiplicador. 9 A 236 B 266 C 242 D 272 E 282 Al multiplicar un número de tres cifras por 99 el producto tiene como sus tres últimas cifras a 355. Halla la suma de las cifras del producto. 10 A 18 B 19 C 20 D 21 E 22 En un partido de baloncesto, un jugador de 2,05 m de altura, encestó 12 canastas de dos puntos y 5 de tres puntos. ¿Cuántos puntos anotó? 12 A 29 B 34 C 39 D 51 E 85 El padre de Alicia tiene 8 gallinas. Durante toda la semana pasada recogió huevos que ha puesto en tres cartones de 2 docenas cada uno. Si todas las gallinas han puesto el mismo número de huevos, ¿cuántos habría puesto cada una de ellas la semana pasada? 11 A 5 B 6 C 7 D 8 E 9 El señor García ha comprado 570 latas de atún a S/ 2 cada lata y las quiere vender a S/ 3,50 cada una. Como no las vende según lo planeado, decide ofertar 3 latas por S/ 8. ¿Cuánto dinero dejaría de ganar de cumplir la oferta? 7 A S/ 475 B S/ 495 C S/ 375 D S/ 525 E S/ 425 Un turista camina a un ritmo de 72 pasos por minuto y avanza 85 cm en cada paso. ¿Qué distancia, en metros, recorre en una hora? A 9420 m B 1570 m C 4320 m D 5872 m E 3672 m 8 41MateMática Delta 1 - aritMética A S/ 10 554 B S/ 11 027 C S/ 12 351 D S/ 12 313 E S/ 11 473 A S/ 3420 B S/ 2835 C S/ 6255 D S/ 4380 E S/ 4545 Un barco pesquero ha conseguido S/ 9268 por la captura de 1324 kg de merluza. ¿Cuánto obtendrá otro barco que entra en puerto con 1759 kg de merluza de la misma calidad? 13 Un comerciante compra enciclopedias en CD-R a S/ 63 y las vende a S/ 76 cada una. Si compra 600 CD-R, vende 555 y regala el resto, ¿cuánto gana? 14 Un albañil y su ayudante cobraron S/ 1620 por 10 días de trabajo. Si el albañil le diera S/ 300, entonces ambos tendrían cantidades iguales. ¿Cuánto gana por día el ayudante? 15 A S/ 80 B S/ 51 C S/ 25 D S/ 45 E S/ 57 A S/ 120 B S/ 180 C S/ 210 D S/ 144 E S/ 108 Diez amigos tienen que pagar en partes iguales una deuda de S/ 960. Si 4 de ellos solo pueden pagar la cuarta parte de su cuota, determina cuánto pagaron cada uno de los amigos restantes para cubrir la deuda. 18 Un comerciante compra libros a S/ 53 cada uno. Por cada docena que compra le obsequian un libro, llevándose en total 780 libros. Si decide regalar 30 libros, calcula a qué precio debe vender cada libro para ganar S/ 6090. 16 A S/ 63 B S/ 61 C S/ 59 D S/ 57 E S/ 65 Un depósito lleno de gasolina cuesta S/ 4250. Luego de vender 72 galones, cuesta S/ 1224 menos. ¿Cuántos galones de gasolina contenía el depósito? A 148 B 173 C 216 D 250 E 236 17 42 Un comerciante compra cierta cantidad de pantalones a S/ 64 cada uno, pagando S/ 6656. Si pierde una docena de los pantalones comprados, halla a qué precio debe vender los restantes para ganar S/ 1164 en total. A S/ 87 B S/ 85 C S/ 83 D S/ 80 E S/ 78 19 Nivel III Un avión lleva 275 pasajeros. En primera clase viajan 80 personas y cada una pagó S/ 250; en segunda clase viajaron 125 personas y cada una pagó S/ 210. ¿Cuánto pagó cada persona que viajó en tercera clase, si la recaudación total fue S/ 58 850? 20 A S/ 190 B S/ 180 C S/ 200 D S/ 160 E S/ 150 En una feria se oferta regalar dos libros por cada docena comprada; el dueño de una librería pagó por una remesa de 48 libros a S/ 18,00 cada uno. ¿Cuánto gana por la venta de los libros, si vende todos los libros que llevó a S/ 17,50 cada uno? 21 A S/ 72 B S/ 106 C S/ 92 D S/ 142 E S/ 116 A S/ 16 B S/ 17 C S/ 18 D S/ 20 E S/ 24 Compré cierto número de libros por S/ 600. Vendí 40 y recibí S/ 320, perdiendo S/ 2 en cada libro vendido.
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