GEOMETRIA 5 exercícios propostos

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1. Prove que, se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles. 
SOLUÇÃO: 
Considere os triângulos: 
 
( ) ( )
B C
C B ALA I II Definição AB BC
AB BC
 

      
 

 
Então o triângulo ABC é isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2. Em cada grupo de triângulos, verificar os congruentes e indicar o caso de congruência. 
 
SOLUÇÃO: 
a) I II   caso oLAA . 
b) I III   caso LAL . 
 
3. Prove que, se um triângulo tem os três ângulos congruentes entre si, então ele é 
equilátero. 
SOLUÇÃO: 
Considere os triângulos: 
 
( ) ( )
A B
B A ALA I II Definição AB AC BC AB AC BC
AB BA
 

          
 

 
Então o triângulo ABC é equilátero. 
 
 
 
 
3 
 
4. Sobre os lados de um triângulo equilátero, tomam-se três pontos D, E e F conforme figura. 
Sendo AD ≡ BE ≡ CF, prove que o triângulo DEF é equilátero 
 
SOLUÇÃO: 
 
( ) ( )
A B C
AD BE CF LAL I II III Definição DE EF DF
AB AC BC AF BD CE
  

         
     

 
Então o triângulo ADE é equilátero. 
 
5. Na figura, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcular x e y. 
 
 
 
 
 
4 
 
SOLUÇÃO: 
( )
2 3 8( )
2 ( )
( ) ( ) 2 2 3 8 4 3 8 8
( ) 2 8 16
16 8
x y I
x y II
II I y y y y y
II x
x y
= +

=
  = +  = +  =
 =  =
=  =
 
 
6. Considere o triângulo isósceles ABC da figura. Seja os segmentos BD e CE sobre a base 
BC congruentes entre si. Prove que o triangulo ADE é isósceles. 
 
SOLUÇÃO: 
 
( ) ( )
B C
ABC
AB AC
ABD ACE
BD CE LAL I II Definição AD AE
AB AC
 
 

 

      
 

 
Então o triângulo ADE é isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
7. Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y 
 
 
SOLUÇÃO: 
18 3 3 3 15 5
2 6 12 2 6 3
3 5
y y y
x x x
x y
= +  =  =

− =  =  =
=  =
 
 
8. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine os valores de x, y e 
a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Como os triângulos I e III são congruentes, temos: 
5 15 10
3 2 2 7 3 2 7 2 9
10 9
x x
y y y y y
x y
+ =  =

− = +  − = +  =
=  =
 
Os triângulos PCA e PBD são congruentes, então possuem o mesmo perímetro, logo a 
razão entre eles é 1. 
 
 
 
 
 
6 
 
9. Prove que a bissetriz relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana e altura. 
SOLUÇÃO: 
 
Considere os triângulos ACD e BCD. 
0( ) ( ) 90
( )
A B
ACD BCD ALA I II Definição AD BD ADC BDC
AD comum
 

         =


 
Então o AD é mediana e altura do triângulo ABC. 
 
10. Na figura, sendo BF=CD, ABC EDF e BEC DEF , prove que AC=EF. 
 
SOLUÇÃO: 
Como BF=CD e FC é comum a BC e DF, temos que BC=DF. Como a soma dos ângulos 
internos de um triângulo é 180º, ACB EFD , portanto, pelo caso ALA, os triângulos ABC e 
EDF são congruentes, implicando AC=EF. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
11. Prove o caso especial de congruência 
SOLUÇÃO: 
Este caso é uma consequência do Teorema de Pitágoras implicando o caso LLL. 
 
12. Prove o caso ALA. 
SOLUÇÃO: 
Seja os triângulos ABC e CDF tal que A D B E AB DE    = . Como a soma dos ângulos 
internos de um triângulo é 180º, C F , portanto, pelo caso oLAA , os triângulos ABC e 
DEF são congruentes, implicando o caso ALA. 
 
13. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um undecágono convexo. 
SOLUÇÃO: 
Um undecágono é um polígono com 11 lados e 11 ângulos. Como a soma dos ângulos 
internos iS de um polígono convexo com n lados é calculada usando-se a fórmula 
( ) 02 180iS n= − 
temos: 
( )
( )
0
0 0
2 180
11 11 2 180 9 180 1620
i
i
S n
n S
= −
=  = − =  =
 
 
14. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1080º. Calcule o número de 
diagonais desse polígono. 
SOLUÇÃO: 
( )
( )
02 180
1080 1080 2 180 180 360 1080
1440
180 1080 360 1440 8
180
i
i
S n
S n n
n n
= −
=  = −  − =
= + =  = =
 
Como o número de diagonais d de um polígono convexo com n lados é calculada usando-
se a fórmula 
( )3
2
n n
d
−
= 
temos: 
( )
( )
3
2
8 8 3 40
8 20
2 2
n n
d
n d
−
=
−
=  = = =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
15. Na figura, os ângulos a, b, c e d medem, respectivamente, 
3
, 2 , ,
2 2
x x
x x . O ângulo e é reto. 
Qual é a medida do ângulo f? 
 
SOLUÇÃO: 
Como o polígono cujos ângulos são a, b, c e d é um quadrilátero podemos afirmar que: 
0
3
360 2 360
2 2
720
4 3 2 720 10 720 72
10
x x
a b c d x x
x x x x x x
+ + + =  + + + =
+ + + =  =  = =
 
O ângulo oposto pelo vértice ao ângulo d mede então 072d = e: 
090 72 180 18f f+ + =  = 
 
16. Num polígono regular convexo ABCDE..., o ângulo BAD mede 18◦. Calcule o número de 
lados do polígono. 
SOLUÇÃO: 
 
 
Como o polígono é regular, o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles, portanto: 
0
18 18 360 2 360 36
324
2 324 162
2
  
 
+ + + =  = −
=  = =
 
 
9 
 
( )
( )
2 180
162
162 2 180 162 180 360
360
18 360 20
18
i
i
S n
S n
n n n n
n n
= −

=
= −  = −
=  = =
 
 
17. Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. 
Determine o ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos. 
SOLUÇÃO: 
 
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º e a soma dos ângulos internos 
de um quadrilátero é 360º podemos, baseado na figura acima, montar o sistema: 
( )
( )
0
180 180 ( )
2 2 360 2 360( )
190( )
( ) ( ) 2 180 360( )
( ) ( ) 190 360 2 360
190
2 190 95
2
d c d c I
c d c d II
III
I II IV
III IV
 
   
 
  

 
+ + =  + = −

+ + + =  + + + =

+ =
→  + + − =
→  + − =
=  = =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
18. Seja ABCDE...um polígono regular. Calcule o número de diagonais desse polígono 
sabendo que as diagonais AC e BD formam um ângulo de 20º. 
SOLUÇÃO: 
 
Observando a figura e considerando que o polígono é regular, temos que: 
180 20 160
180 160
10
2
180 20 10 150
150 10 160
BXC
XBC XCB
ABX
ABC
= − =
−
= = =
= − − =
= + =
 
Portanto cada ângulo interno do polígono regular mede 160º. 
( )
( )
2 180
160
160 2 180 160 180 360
360
20 360 18
20
i
i
S n
S n
n n n n
n n
= −

=
= −  = −
=  = =
 
Como o número de diagonais de um polígono é dado por 
( )3
2
n n
d
−
= 
 
Temos: 
( )
( )
3
2
18
18 18 3
9 15 135
2
n n
d
n
d d
−
=
=
−
=  =  =
 
 
 
 
 
 
11 
 
19. (Modificado) Os lados de um pentágono regular, são prolongados para formar uma 
estrela. Determine o número de graus em cada vértice da estrela. 
SOLUÇÃO: 
Nossa estrela fica assim: 
 
A soma dos ângulos internos de um pentágono é: 
( )
( )
2 180
5
5 2 180 540
i
i
S n
n
S
= −
=
= − =
 
Como o pentágono é regular, cada um deles mede 0540 5 108 = , portanto observando a 
figura o ângulo interno da estrela é 36º. 
 
20. Na figura, determine a soma das medidas dos ângulos A B C D E F+ + + + + . 
 
SOLUÇÃO: 
No triângulo ABJ temos que: 
( )180J A B= − + 
No triângulo CDI temos que: 
( )180I C D= − + 
 
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No triângulo EFH temos que: 
( )180H E F= − + 
No quadrilátero GHIJ temos que: 
( ) ( ) ( )
( )
0
120 360
120 180 180 180 360
120 540 360
120 540 360
300
H I J
E F C D A B
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
+ + + =
+ − + + − + + − + =
+ − + + + + + =
+ + + + + = + −
+ + + + + =