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1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 SEMESTRE 2018-II PRÁCTICA 2 12 DE NOVIEMBRE DE 2018 Nombre:___________________________________________________________________________ Sección:___________________ No se puede consultar ningún tipo de documentación. Cuando solicites reclamo, debes adjuntar la solución publicada. 1. (11p) La siguiente figura muestra cómo llega la energía eléctrica a cierta ciudad. Por una parte, se tiene una ciudad que demanda energía. La energía que demanda cada hora se puede modelizar como una normal de media 15 unidades y desviación típica 5. Su función de distribución se representa más abajo. Por otra parte, se tiene un parque eólico que ofrece (genera) energía eléctrica. Su capacidad máxima horaria es de 20 unidades de energía, que sólo se obtendría si el viento soplase con suficiente velocidad. Por tanto, en general, suministrará menos de dicha capacidad máxima. Para modelizar que la generación de energía eólica puede variar con el viento, multiplicaremos su capacidad máxima por un factor 𝑘 ∈ [0,1] que se modeliza como una distribución beta Beta(5,2), que se muestra más abajo. Si el parque eólico genera más energía de la que demanda la ciudad, el excedente se almacena en un sistema de baterías. De esta forma, cuando la ciudad demande más energía de la que genera el parque eólico, el sistema de baterías podrá suministrar la energía que falte, hasta agotar su energía almacenada. Sólo si la energía suministrada por el parque y las baterías fuese insuficiente para satisfacer la demanda, la ciudad se abastecería por otros medios. Simula 10 horas de este sistema utilizando los números aleatorios para la oferta eólica y la demanda de energía que se suministran en la tabla siguiente. Inicialmente, las baterías se encuentran sin carga. Escribe una tabla donde se vea claramente cada paso del ejercicio de simulación. Cada fila será una hora, y las columnas mostrarán las variables que se van simulando o calculando. A partir de estas simulaciones calcula: a. Cantidad total de energía que ha demandado la ciudad en esas 10 horas. (2p) b. Cantidad total de energía que ha generado el parque eólico en esas 10 horas. (2p) c. Porcentaje de horas que el parque eólico (sin las baterías) no puede satisfacer la demanda. (2p) d. Porcentaje de energía suministrada que procede del sistema de baterías. (2p) e. Porcentaje de días que el sistema de parque+baterías no puede satisfacer la demanda. (3p) U(0,1) Demanda ciudad 0.19 0.09 0.22 0.56 0.34 0.85 0.48 0.20 0.94 0.36 Generación Parque 0.61 0.01 0.10 0.04 0.25 0.83 0.78 0.88 0.93 0.53 Tabla de números aleatorios para el Problema 1 (Este problema está basado en una aplicación real en el que se usó la simulación para dimensionar el sistema de baterías) 2 SOLUCIÓN: La siguiente tabla recoge las 10 simulaciones con los números aleatorios propuestos. Los valores mostrados son valores exactos usando las distribuciones mencionadas. Los que se obtengan usando los gráficos serán, obviamente, ligeramente diferentes. Hora Demanda energía Oferta eólica Balance Déficit suministro si=1 Baterias Energia entregada total Balance Final U2 Demanda U1 Oferta O-D Disponible inicial Energía entregada Disponible final O+B-D 1 0.19 10.6 0.61 15.6 5.0 0 5.0 0.0 5.0 10.6 0.0 2 0.09 8.3 0.01 5.9 -2.4 1 5.0 2.4 2.6 8.3 0.0 3 0.22 11.1 0.10 9.8 -1.3 1 2.6 1.3 1.3 11.1 0.0 4 0.56 15.8 0.04 8.0 -7.8 1 1.3 1.3 0.0 9.3 -6.5 5 0.34 12.9 0.25 12.3 -0.6 1 0.0 0.0 0.0 12.3 -0.6 6 0.85 20.1 0.83 17.5 -2.7 1 0.0 0.0 0.0 17.5 -2.7 7 0.48 14.7 0.78 17.0 2.3 0 2.3 0.0 2.3 14.7 0.0 8 0.20 10.8 0.88 17.9 7.1 0 9.4 0.0 9.4 10.8 0.0 9 0.94 22.7 0.93 18.5 -4.2 1 9.4 4.2 5.2 22.7 0.0 10 0.36 13.2 0.53 15.0 1.8 0 7.0 0.0 7.0 13.2 0.0 SUMA 140.2 137.3 60% 9.2 130.4 -9.8 a. Energía demandada por la ciudad: ≈ 140 unidades b. Energía generada por el parque eólico: ≈ 137 c. Porcentaje de días que el parque eólico no puede satisfacer la demanda: ≈ 6 10 =60% d. Porcentaje de energía suministrada que procede del sistema de baterías.9.2/130.4≈7% e. Porcentaje de días que el sistema de parque+baterías no puede satisfacer la demanda.3/10=30% 3 2. (9p) Para las siguientes distribuciones, genera 3 números aleatorios utilizando tanto el método de la inversa como el método de aceptación-rechazo. Utiliza los números aleatorios que se muestran en la tabla. Para cada variable y cada método, empieza por la esquina superior izquierda de la tabla, y sigue en horizontal. Justifica tu respuesta. a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2; 𝐹(𝑥) = 𝑥3 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 (1p+2p) b) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒− 𝑥2 2 ; 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒− 𝑥2 2 ; 𝑥 ≥ 0 (1p+2p) c) 𝑋 = resultado de lanzar un dado. (1p+2p) SOLUCIÓN: a) Inversa: 𝑥3 = 𝑢 ⇒ 𝑥 = 𝑢 1 3 𝒖 𝒙 0.56 0.82 0.02 0.27 0.53 0.81 Aceptación-Rechazo En este caso tenemos que 𝑎 = 0, 𝑏 = 1. La ecuación de 𝑓(𝑥) corresponde a una parábola orientada hacia arriba (convexa), por lo que el máximo está en 𝑥 = 1, por lo que 𝑀 = 3. Por tanto: 𝑥 ∼ 𝑈(0,1) = 𝑢1; 𝑦 ∼ 𝑈(0,3) = 3𝑢2 u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 0.56 0.56 0.02 0.06 0.94 SI 0.56 0.53 0.53 0.21 0.63 0.84 SI 0.53 0.07 0.07 0.03 0.09 0.01 NO 0.84 0.84 0.53 1.59 2.12 SI 0.84 b) Inversa: 1 − 𝑒− 𝑥2 2 = 𝑢 ⇒ ln(1 − 𝑢) = − 𝑥2 2 ⇒ 𝑥 = √−2 ln(1 − 𝑢) u x 0.56 1.28 0.02 0.20 0.53 1.23 Aceptación-rechazo En este caso 𝑎 = 0. Tomamos 𝑏 = 4 pues en ese caso 𝐹(𝑥) > 0.999, por lo que no va a alterar el resultado de forma apreciable. El máximo es: 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑒− 𝑥2 2 (1 − 𝑥2) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 ⇒ 𝑀 = 𝑒− 1 2 = 0.607 Por tanto: 𝑥 ∼ 𝑈(0,4) = 4𝑢1; 𝑦 ∼ 𝑈(0,0.607) = 0.607𝑢2 u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 0.5600 2.2400 0.0200 0.012 0.1823 SI 2.24 0.5300 2.1200 0.2100 0.128 0.2241 SI 2.12 0.0700 0.2800 0.0300 0.018 0.2692 SI 0.28 Si se tomase el valor de 𝑏 = 5, el resultado sería: 4 u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 0.5600 2.8000 0.0200 0.012 0.0556 SI 2.8 0.5300 2.6500 0.2100 0.128 0.0791 0.0700 0.3500 0.0300 0.018 0.3292 SI 0.35 0.8400 4.2000 0.5300 0.323 0.0006 0.6900 3.4500 0.1700 0.104 0.0090 0.8400 4.2000 0.6300 0.384 0.0006 0.3700 1.8500 0.9200 0.561 0.3342 0.5400 2.7000 0.0700 0.043 0.0705 SI 2.7 Si se tomase el valor b=3.5 u1 x u2 y f(x) 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)? 𝑋∗ 0.5600 1.9600 0.0200 0.012 0.2871 SI 1.96 0.5300 1.8550 0.2100 0.128 0.3320 SI 1.855 0.0700 0.2450 0.0300 0.018 0.2378 SI 0.245 (si ha usado otros números aleatorios y el procedimiento está bien, dar puntaje completo) c) Para el dado se tiene que su modelo de probabilidad es X p(X) F(X) 1 0.167 0.167 2 0.167 0.333 3 0.167 0.500 4 0.167 0.667 5 0.167 0.833 6 0.167 1.000 Inversa: u x 0.56 4 0.02 1 0.53 4 Aceptación-Rechazo: Al ser el resultado de un dado una variable aleatoria discreta, no se puede utilizar el mismo método que en las variables anteriores. No obstante, el método de aceptación-rechazo es muy fácil de implementar. Si el nº aleatorio es mayor que 6 se rechaza, en caso contrario se acepta. Por tanto, los valores simulados son: X=5,6,y 2. (Si ha intentado el método de aceptación-rechazo usando el mismo procedimiento que en las variables anteriores, está mal, pues esta variable es discreta) . TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS 56025 32107 03845 36917 84633 79254 07690 75427 07779 27303 52331 76008 85795 85994 44969 83365 05257 22491 35475 42669 51879 03532 25471 07773 13429 79776 46616 50293 87841 69421 82887 48575 39527 81770 08657 27774 95553 68234 57855 33019 38426 61937 Comienza por el primer número y sigue en horizontal. Usa una precisión de dos decimales. Ejem. 56 ⇒ 0.56; 02 ⇒ 0.02; 53 ⇒ 0.53 …
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