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Teste de Conhecimento avalie sua aprendizagem Seja o sólido limitado pelos planos e pelo paraboloide . Sabe-se que sua densidade volumétrica de massa é dada pela equação . Marque a alternativa que apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Lupa DGT0234_202201308044_TEMAS Aluno: FRANCINEI DA SILVA CARVALHO Matr.: 202201308044 Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL 2023.1 FLEX (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. INTEGRAIS TRIPLAS 1. Data Resp.: 18/05/2023 21:27:29 Explicação: z = 9 z = 25 − x2 − y2 δ (x, y, z) = x2y2 4 ∫ 0 √16−x2 ∫ 0 25−x2−y2 ∫ 0 (x2 + y2)x2y2dzdydx 4 ∫ −4 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 x2y2dxdydz 5 ∫ −5 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 (x2 + y2)x2y2dxdydz 4 ∫ 0 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 0 (x2 + y2)x2y2dzdydx 4 ∫ −4 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 (x2 + y2)x2y2dzdydx javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:diminui(); javascript:aumenta(); Determine o valor de Determine a derivada direcional da função , na direção do vetor no ponto (x,y) = (1,1). Seja a função . Determine a soma de no ponto (x,y,z) = ( 0,0,2). A resposta correta é: 2. 70 50 40 30 60 Data Resp.: 18/05/2023 21:47:35 Explicação: A resposta correta é: 40 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS 3. Data Resp.: 18/05/2023 21:53:54 Explicação: A resposta correta é: 4. 96 -48 144 -96 -144 Data Resp.: 18/05/2023 21:23:23 4 ∫ −4 √16−x2 ∫ −√16−x2 25−x2−y2 ∫ 9 (x2 + y2)x2y2dzdydx 1 ∫ 3 1 ∫ −1 2 ∫ 0 (x + 2y − 3z)dxdydz f(x, y) = + 52x 2 y ( , − )√3 2 1 2 2√3 − 1 2√3 + 1 2√3 1 − √3 √3 + 1 2√3 + 1 h(x, y, z) = 2z3e−2xsen(2y) fxyz + ∂3f ∂z∂y∂z A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla é: Explicação: A resposta correta é: -144 INTEGRAIS DUPLAS 5. . . . . . Data Resp.: 18/05/2023 21:53:06 Explicação: Substituindo por coordenadas polares: E Resolvendo por integral: ∫ a −a ∫ √a2−x2 0 (x 2 + y2) 3/2 dydx a6π 5 a4π 5 a2π 5 a3π 5 a5π 5 ∫ a −a ∫ √a2−x2 0 (x2 + y2) dydx −a ≤ x ≤ ae0 ≤ y ≤ √a2 − x2 3 2 r, θ 0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a y = √a2 − x2 y2 + x2 = a2 ∫ a −a ∫ √a2−x2 0 (x2 + y2) dydx = ∫ π 0 ∫ a 0 (a2) rdrdθ = ∫ π 0 ∫ a 0 r4drdθ = ∫ π 0 [ ] ∣ ∣ ∣ a 0 dθ ∫ a −a ∫ √a2−x2 0 (x2 + y2) dydx = ∫ π 0 dθ = ∣ ∣ ∣ π 0 = 3 2 3 2 r5 5 3 2 a5 5 a5θ 5 a5π 5 A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos. Seja determine o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide . Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo escalar, quando se depende de várias variáveis. Considere a curva C parametrizada por , onde , o valor de é: 6. . . . . . Data Resp.: 18/05/2023 21:53:41 Explicação: O volume o que �ca embaixo dessa função até o plano vai ser: Onde é aquela região da função onde : Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio . Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares. O intervalo de integração, para um círculo de raio será: Integrando: INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS 7. a > 0 S z = 0 z = a − x2 − y2 3πa2 2 a2 2 πa 2 πa2 2 πa2 3 xy V = ∬ D zdxdy = ∬ D (a − x2 − y2) dxdy = D z = 0 z = a − x2 − y2 0 = a − x2 − y2 x2 + y2 = a √a x = r cos θ y = r sen θ J = r √a D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π} V = ∫ 2π0 ∫ √a 0 [a − (r cos θ) 2 − (r sen θ)2] rdrdθ = ∫ 2π0 ∫ √a 0 [ar − r 3] drdθ V = ∫ 2π 0 − ∣ ∣ ∣ r=√a r=0 dθ = ∫ 2π 0 [( − )] dθ = ∫ 2π 0 ( − ) dθ V = ∫ 2π 0 dθ = ∣ ∣ ∣ 2π 0 = (2π − 0) = ar2 2 r4 4 a√a 2 2 √a 4 4 a2 2 a2 4 a2 4 a2θ 4 a2 4 a2π 2 →σ = (e−t, sen( )), 1 ≤ t ≤ 2π t →F = 2xcos(y), −x2sen(y) ∫ C = F . dr e2cos(2) − 1 e2cos(2) + 1 Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo vetorial, quando se depende de várias variáveis. Considere C o círculo unitário com centro na origem, percorrido no sentido anti-horário, o valor das integrais de linha de é: Data Resp.: 18/05/2023 21:30:23 Explicação: 8. 2 0 1 -1 -2 Data Resp.: 18/05/2023 21:53:20 Explicação: e2cos(1) + 1 e2cos(1) − 1 e2cos(1) − 2 ∮ C [sen(xy) + xycos(xy)]dx + (x2cos(xy))dy Qual é o valor de para que a função seja contínua em t = 0? A área de�nida pela equação , para o intervalo 0 < < , com > 0, vale . Qual é o valor de ? FUNÇÕES VETORIAIS 9. Data Resp.: 18/05/2023 21:22:43 Explicação: A resposta certa é 10. Data Resp.: 18/05/2023 21:44:05 Explicação: →G (0) →G (t) = ⟨ , , ⟩e t t+1 √t+1 −1 t 2 sen t t ⟨1, 2, 1 ⟩ ⟨1, 0, 0 ⟩ ⟨2, − , 1 ⟩1 2 ⟨0, , 2⟩1 2 ⟨1, , 2⟩1 2 ⟨1, , 2⟩1 2 ρ = cos 3θ θ κ κ π 16 κ π 16 π 32 π 2 π 8 π 4 A resposta correta é Não Respondida Não Gravada Gravada Exercício inciado em 18/05/2023 21:18:00. π 4
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