Certamen 1 - Matemáticas III (2005-2) Stgo

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Pauta Certamen 1-Mat 023
30 de Agosto de 2005
Problema 1: Sean f : R2 −→ R definida por f(x, y) =
√
|xy|+ 3 + ex(y−1)2 y
g : R2 −→ R dada por
g(x, y) =

(y − 1)2 sen(x)
x2 + (y − 1)2
; (x, y) 6= (0, 1)
0 ; (x, y) = (0, 1)
Si h : R2 −→ R es definida por h(x, y) = f(x, y) + ∂g
∂y
(x, y)
1. Determine h(0, 1).
2. ¿h es continua en (0,1)? Justifique.
Solución:
1. Calculemos
∂g
∂y
(0, 1) = lim
h→0
g(0, 1 + h)− g(0, 1)
h
= 0
Por lo tanto, h(0, 1) = f(0, 1) +
∂g
∂y
(0, 1) =
√
3 + 1.
2. Notar que
∂g
∂y
(x, y) =

2x2(y − 1) sen(x)
[x2 + (y − 1)2]2
; (x, y) 6= (0, 1)
0 ; (x, y) = (0, 1)
Si consideramos el camino x = 0, entonces
lim
(x,y)→(0,1)
∂g
∂y
(x, y) = 0
Ahora, considere el camino y − 1 = x, entonces
lim
(x,y)→(0,1)
∂g
∂y
(x, y) = lim
x→0
2x2x sen(x)
[x2 + x2]2
= lim
x→0
2x3 sen(x)
[2x2]2
= lim
x→0
sen(x)
2x
=
1
2
Lo que muestra que la función h(x, y) no es continua en (0,1).
Problema 2:
1. f : R2 −→ R continuamente diferenciable tal que w = f(x, x2y). Calcule ∂w
∂x
.
2. Sea f : R2 −→ R continuamente diferenciable tal que
f(1, 1) = 1, fx(1, 1) = a, fy(1, 1) = b
Si g(x) = f(x, f(x, f(x, x))), calcule g′(1).
Solución:
1. wx = fx(x, x2y) + fy(x, x2y)(2xy)
2.
∂g
∂x
=
∂f
∂x
+
∂f
∂y
(
∂f
∂x
+
∂f
∂y
(
∂f
∂x
+
∂f
∂y
∂y
∂x
))
= a + b(a + b(a + b))
Problema 3: Sea f(x, y, z) = z(x− y)5 + xy2z3
1. Hallar la derivada direccional de f en el punto (2,1,-1) en la dirección normal hacia afuera a la
esfera x2 + y2 + z2 = 6.
2. ¿En que dirección la derivada direccional de f en (2,1-1) es máxima?
Solución: El vector normal a la esfera es v =
1√
6
(x, y, z). Si x0 = (2, 1,−1), obtenemos
f ′(x0, v) = ∇f(x0) · v = (−6, 1, 7) · (2, 1,−1)
1√
6
= −3
√
6
La derivada direccional es máxima en la dirección del gradiente, es decir, u = (−6, 1.7).
Problema 4: Una empresa fabrica tres productos distintos. La fabricación de x, y, z miles de unidades,
respectivamente, le reporta unos beneficios de P (x, y, z) = 3x + 6y + 6z miles de euros. Ciertas
limitaciones del proceso de producción imponen la restricción 2x2 + y2 + 4z2 ≤ 8800. Determine el
máximo beneficio posible para esta empresa.
Solución: Note que ∇P (x, y, z) = (3, 6, 6) 6= 0 para todo punto (x, y, z) en el interior de la región
2x2 + y2 + 4z2 < 8800. Por lo tanto, los puntos extremos estan en el borde de la región, es decir,
2x2 + y2 + 4z2 = 8800. Usamos multiplicadores de Lagrange para resolver el problema, definamos
F (x, y, z, λ) = 3x + 6y + 6z + λ(2x2 + y2 + 4z2 − 8800)
y obtenemos el sistema
Fx = 3 + 4λx = 0
Fy = 6 + 2λy = 0
Fz = 6 + 8λz = 0
Fλ = 2x2 + y2 + 4z2 − 8800 = 0
cuya solución es x = 20, y = 80, z = 20.