Problemas de Cálculo Multivariável

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MAT023
1er semestre de 2015
pauta certamen 1: 06 de mayo
1. Determine los puntos de R3 en los cuáles la recta tangente a la curva definida
por la intersección de las superficies
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x− 2 cos
(z
3
)
= 0
}
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : y − 2 sen
(z
3
)
= 0
}
es paralela a la recta L : x = 0, y = −2t, z = 3t con t ∈ R.
Desarrollo. Sea (x0, y0, z0) el punto en la curva intersección para el cual la
recta tangente es paralela a L : x = 0, y = −2t, z = 3t entonces, si
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x− 2 cos
(z
3
)
= 0
}
=
{
(x, y, z) ∈ R3 : H1 (x, y, z) = 0
}
y
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : y − 2 sen
(z
3
)
= 0
}
=
{
(x, y, z) ∈ R3 : H2 (x, y, z) = 0
}
se debe cumplir
∇H1 (x0, y0, z0)×∇H2 (x0, y0, z0) = α (0,−2, 3)
pero
∇H1 (x0, y0, z0) =
(
1, 0,
2
3
sen
(z0
3
))
∇H2 (x0, y0, z0) =
(
0, 1,
−2
3
cos
(z0
3
))
se sigue (
1, 0,
2
3
sen
(z0
3
))
×
(
0, 1,
−2
3
cos
(z0
3
))
=
(
−2
3
sen
1
3
z0,
2
3
cos
1
3
z0, 1
)
= (0,−2α, 3α)
igualando
−2
3
sen
(z0
3
)
= 0
2
3
cos
(z0
3
)
= −2α
3α = 1
1
de la tercera ecuación α = 1
3
reemplazando en la segunda y primera
−2
3
sen
(z0
3
)
= 0
2
3
cos
(z0
3
)
= −2
3
luego z0 debe cumplir cos
(
z0
3
)
= −1 y sen
(
z0
3
)
= 0 se sigue
z0 = 3 (2n+ 1) π con n ∈ Z
como (x0, y0, z0) ∈ S1 ∩ S2 se sigue
x0 = 2 cos
(z0
3
)
= −2
y0 = 2 sen
(z0
3
)
= 0
luego los puntos son (−2, 0, 3 (2n+ 1) π) con n ∈ Z.
2. Sea F : R2 → R, (u, v) → F (u, v) una función con derivadas parciales
continuas que cumple F (0, 2) = 0 y ∇F (0, 2) = (1, 3). Demuestre que la
ecuación
F
(
x2 − z, y2 + z
)
= 0
define implı́citamente una función z = g (x, y) en una vecindad V del punto
(x, y) = (1, 1), esta función cumple g (1, 1) = 1 y
y
∂g
∂x
− x∂g
∂y
= 2xy en V
calcular el valor de ∇g (1, 1) y use esta información para estimar el valor de
g
(
11
10
, 9
10
)
.
Desarrollo. Definamos
H (x, y, z) = F
(
x2 − z, y2 + z
)
entonces H es de clase C1 y
H (1, 1, 1) = F
(
12 − 1, 12 + 1
)
= F (0, 2)
= 0
además
∂H
∂z
(x, y, z) = Fuuz + Fvvz
= Fu
(
x2 − z, y2 + z
)
(−1) + Fu
(
x2 − z, y2 + z
)
(1)
se sigue
∂H
∂z
(1, 1, 1) = −Fu (0, 2) + Fu (0, 2) = −1 + 3 = 2 6= 0
pues ∇F (0, 2) = (1, 3). Por el teorema de la función implı́cita existe una
función definida implı́citamente por H (x, y, z) = 0, digamos z = g (x, y) de
2
clase C1 definida en una vecindad V de (1, 1) la cual cumple g (1, 1) = 1,
además
∂g
∂x
(x, y) =
−∂H
∂x
(x, y, z)
∂H
∂z
(x, y, z)
=
− (Fuux + Fvvx)
Fv − Fu
= −2x Fu
Fv − Fu
∂g
∂x
(1, 1) = −21
2
= −1
∂g
∂y
(x, y) =
−∂H
∂y
(x, y, z)
∂H
∂z
(x, y, z)
=
− (Fuuy + Fvvy)
Fv − Fu
= −2y Fv
Fv − Fu
∂g
∂y
(1, 1) = −23
2
= −3
se sigue∇g (1, 1) = (−1,−3) y
y
∂g
∂x
− x∂g
∂y
= −2xy Fu
Fv − Fu
+ 2xy
Fv
Fv − Fu
= 2xy
Fv − Fu
Fv − Fu
= 2xy
ası́, se cumple
y
∂g
∂x
− x∂g
∂y
= 2xy
para estimar el valor de g
(
11
10
, 9
10
)
tenemos
g (x, y) ≈ g (1, 1) +∇g (1, 1) · (x− 1, y − 1)
para (x, y) ≈ (1, 1), de esto obtenemos
g
(
11
10
,
9
10
)
≈ 1 + (−1,−3) ·
(
1
10
,
−1
10
)
≈ 1− 1
10
+
3
10
≈ 6
5
3. Sea f : R2 → R, (x, y) → f (x, y) una función de clase C2 que cumple fxx +
fyy = 0 para todo (x, y) ∈ R2. Demostrar que g : R2 → R definida por
g (s, t) = f (t sen θ + s cos θ, t cos θ − s sen θ)
cumple gss + gtt = 0 para todo (s, t) ∈ R2.
Desarrollo. Usaremos la regla de la cadena para calcular las derivadas
gs = fxxs + fyys
= fx cos θ − fy sin θ
derivando
gss = (fx)s cos θ − (fy)s sin θ
= (fxxxs + fxyys) cos θ − (fyxxs + fyyys) sin θ
= (fxx cos θ − fxy sin θ) cos θ − (fyx cos θ − fyy sin θ) sin θ
= fxx cos
2 θ − 2 sin θ cos θfxy + fyy sin2 θ
3
de manera similar
gt = fxxt + fyyt
= fx sin θ + fy cos θ
derivando
gtt = (fx)t sin θ + (fy)t cos θ
= (fxxxt + fxyyt) sin θ + (fyxxt + fyyyt) cos θ
= (fxx sin θ + fxy cos θ) sin θ + (fyx sin θ + fyy cos θ) cos θ
= fxx sin
2 θ + 2 cos θ sin θfxy + fyy cos
2 θ
se sigue
gss + gtt = fxx
(
cos2 θ + sin2 θ
)
+ 0 + fyy
(
sin2 θ + cos2 θ
)
= fxx + fyy
= 0
4. Un huevo puede ser modelado por el elipsoide sólido
x2
2
+
y2
4
+
z2
8
≤ 1
Si la temperatura de este huevo en cada punto corresponde a T (x, y, z) =
x2 + y2 + z2 − xy entonces:
a) Determine los puntos de mayor y menor temperatura en el huevo.
b) ¿Cuál es la menor temperatura en la cáscara?.
Desarrollo. Vamos a determinar los extremos de la función continua T (x, y, z) =
x2 + y2 + z2 − xy en el compacto
K =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x
2
2
+
y2
4
+
z2
8
≤ 1
}
buscamos puntos crı́ticos al interior
∇T (x, y, z) = ∇
(
x2 + y2 + z2 − xy
)
= (2x− y, 2y − x, 2z)
= (0, 0, 0)
implica
2x = y
2y = x
z = 0
se sigue x = y = z = 0 el el único punto crı́tico al interior. Ahora buscamos
en el borde usando multiplicadores de Lagrange
(2x− y, 2y − x, 2z) = λ
(
x,
y
2
,
z
4
)
x2
2
+
y2
4
+
z2
8
= 1
4
obtenemos el sistema
2x− y = λx⇒ (2− λ)x = y
2y − x = λ
2
y ⇒
(
2− λ
2
)
y = x
2z =
λ
4
z ⇒
(
2− λ
4
)
z = 0
x2
2
+
y2
4
+
z2
8
= 1
de la tercera ecuación z = 0 o λ = 8.
Si λ = 8 entonces
(2− 8)x = y(
2− 8
2
)
y = x
x2
2
+
y2
4
+
z2
8
= 1
las primeras dos implican x = y = 0, de la tercera se obtienen soluciones(
0, 0,±
√
8
)
Si z = 0 entonces
(2− λ)x = y(
2− λ
2
)
y = x
x2
2
+
y2
4
= 1
notamos que de las primeras dos se obtiene solución no nula si y solo si∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ
2
∣∣∣∣ = 0
esto es λ =
√
3+3 o bien λ = 3−
√
3 (para otros valores de λ los valores
de x e y son cero lo que contradice la ecuación tres).
Notemos que
(2− λ)x = y
implica (
1
2
+
(2− λ)2
4
)
x2 = 1
se sigue
x =
±2√
2 + (2− λ)2
⇒ y = ± (2 (2− λ))√
2 + (2− λ)2
se obtienen los puntos crı́ticos ±2√
2 + (2− λ)2
,± (2 (2− λ))√
2 + (2− λ)2
, 0
 para λ = 3±√3
5
evaluamos la función:
T
(
0, 0,±
√
8
)
= 8
T (0, 0, 0) = 0
luego
T
 ±2√
2 + (2− λ)2
,± (2 (2− λ))√
2 + (2− λ)2
, 0

=
4
2 + (2− λ)2
+
4 (2− λ)2
2 + (2− λ)2
− 4 (2− λ)
2 + (2− λ)2
= 4
1 + (2− λ)2 − (2− λ)
2 + (2− λ)2
=
se sigue
4
(
1 +
(
2−
(√
3 + 3
))2 − (2− (√3 + 3))
2 +
(
2−
(√
3 + 3
))2
)
= 3 +
√
3
4
(
1 +
(
2−
(
−
√
3 + 3
))2 − (2− (−√3 + 3))
2 +
(
2−
(
−
√
3 + 3
))2
)
= 3−
√
3
En resumen, en el huevo completo el máximo se alcanza en los puntos(
0, 0,±
√
8
)
que son además puntos de la cáscara. El mı́nimo valor en el
huevo es en (0, 0, 0) pero en la cáscara es en los puntos ±2√
2 + (2− λ)2
,± (2 (2− λ))√
2 + (2− λ)2
, 0

con λ = 3−
√
3.
6