Pauta Certamen 1

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Certamen 1 MAT 023
9 abril, 2016
Nombre :
1. Considerar los planos
H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y + 2z = 0}
H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + z = 0}
Encuentre una transformación lineal T : R3 → R3 tal que T (H1) = H2 .
solución:
Observar que:
H1 = 〈(1, 0,−1) , (0, 2, 1)〉
H2 = 〈(1, 0,−1) , (0, 1, 2)〉
Para resolver basta elegir una base apropiada. Tomar:
B = {(1, 0,−1) , (0, 2, 1) , (0, 0, 1)}
base de R3 .
Y definir en la base B , de modo de asegurar que se cumpla lo que se desea.
T (1, 0,−1) = (1, 0,−1) ; T (0, 2, 1) = (0, 1, 2) ; T (0, 0, 1) = (0, 0, 1)
Aśı se obtiene:
T (H1) = 〈T (1, 0,−1) , T (0, 2, 1)〉 = 〈(1, 0,−1) , (0, 1, 2)〉 = H2
Haciendo los cálculos se tiene:
T (x, y, z) =
(
x ,
y
2
,
y + 2z
2
)
Observar que queda mucha libertad en la forma de definir la imagen de estos
3 vectores de la base. Solo se debe asegurar que una base de H1 tenga como
imagen una base de H2 .
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2. Sea
A = {(x, y) ∈ R2 : |y| < x2 } ∪ {(0, 0)}
y sea f : A → R tal que:
f(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2
(x, y) 6= (0, 0)
1 (x, y) = (0, 0)
Probar que f es continua en (0,0) .
solución:
Para probar la continuidad basta hacer:
0 ≤
∣∣∣∣x2 − y2x2 + y2 − 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ −2y2x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 2y2x2 ≤ 2y2|y| ≤ 2|y|
y esta ultima expresión tiende a cero cuando el par (x,y) tiende a (0,0) .
Por lo tanto f es continua en (0,0) .
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3. Considerar la función
f(x, y) =

1
x
sen(x2 + x2y2) x 6= 0
0 x = 0
a) Pruebe que f es continua en todo R2 .
b) Encuentre fx(0, 0) y fy(0, 0) .
c) Determine si f es diferenciable en (0,0) .
solución:
a) Observar que f es continua en R2 − {(0, y) ∈ R2} , pues se trata del cuociente de dos
funciones continuas donde el denominador nunca se anula.
Para puntos (0 , b) se tiene:
ĺım
(x,y)→(0,b)
1
x
sen(x2 + x2y2) = ĺım
(x,y)→(0,b)
x2 + x2y2
x
· sen(x
2 + x2y2)
x2 + x2y2
= ĺım
(x,y)→(0,b)
(x+ xy) · ĺım
(x,y)→(0,b)
sen(x2 + x2y2)
x2 + x2y2
= 0 · 1 = 0
Por lo tanto f es continua en todo R2 .
b)
fx(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
sen(t2)
t
= 1
fy(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= 0
c)
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y)− f(0, 0)− fx(0, 0) · x− fy(0, 0) · y√
x2 + y2
= ĺım
(x,y)→(0,0)
1
x
sen(x2 + x2y2) − x√
x2 + y2
= ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + x2y2)− x2
x
√
x2 + y2
= 0
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En efecto, en polares:
ĺım
(x,y)→(0,0)
[
sen(x2 + x2y2)− x2
x
√
x2 + y2
= ĺım
(x,y)→(0,0)
x2 + x2y2
x
√
x2 + y2
sen(x2 + x2y2)
x2 + x2y2
− x√
x2 + y2
]
= ĺım
(x,y)→(0,0)
[(
x(1 + y2)√
x2 + y2
) (
sen(x2 + x2y2)
x2 + x2y2
)
− x√
x2 + y2
]
= ĺım
r→0
[(
r cos(θ)(1 + r2 sen2(θ))
r
) (
sen[r2 cos2(θ)(1 + r2 sen2(θ))]
r2 cos2(θ)(1 + r2 sen2(θ))
)
− r cos(θ)
r
]
= 0
Por tanto f es diferenciable en el cero.
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4. Considerar las superficies
S1 : x
3y3 + z3x2 = 2
S2 : xyz − x2y3z2 = 0
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva intersección S1 ∩ S2 en el punto (1,1,1) .
solución:
Observar que la recta tangente a la curva S1∩S2 en el punto (1,1,1) debe estar en los planos
tangentes a las superficies en el punto.
Sean f(x, y, z) = x3y3 + z3x2 y g(x, y, z) = xyz − x2y3z2 ambas de clase C∞(R3) . El
vector director de la recta corresponde a
−→v = ∇ f(1, 1, 1)×∇ g(1, 1, 1)
Haciendo los cálculos
∇ f(1, 1, 1) × ∇ g(1, 1, 1) = (5, 3, 3) × (−1,−2,−1) = (3, 2,−7)
Por lo tanto la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva S1 ∩S2 en el punto (1,1,1)
es
(x, y, z) = (1, 1, 1) + t(3, 2,−7)
con t en R .
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