Ayudantía 11 pauta

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Universidad Técnica
Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Ayudant́ıa 11
1 Semestre 2020
Coordinación MAT-023
1. Considere un sistema masa-resorte con los siguientes parámetros.
masa = 2kg.
constante de amortiguación = 8Kg/s
constante del resorte = 10N/m
Supongamos que en el instante t = 0s la masa se encuentra en posición de equilibrio y tiene velocidad 0, 1m/s.
Determine la posición de la masa en todo instante t.
Solución:
Sea y(t) la posición, en metros, de la masa respecto de la posición de equilibrio, como función del tiempo t,
medido en segundos. Sabemos que la ecuación respectiva que modela este tipo de problemas es:
my′′ + cy′ + ky = 0,
donde, por las condiciones del problema se tiene que m = 2, c = 8, k = 10.
Es decir, la ecuación a resolver será:
2y′′ + 8y′ + 10y = 0,
la cual tiene ecuación auxiliar 2r2 + 8r + 10 = 0 que tiene por raćes,
r =
−4±
√
−4
2
,
con lo cual la solución general de la ecuación diferencial será
y(t) = C1e
−2t cos(t) + C2e
−2t sen(t),
imponiendo las condiciones iniciales del problema,
y(0) = 0, y′(0) = 0
obtenemos que
y(t) = 0, 1e−2t sen(t).
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2. Una sistema masa-resorte verifica la EDO
my′′ + cy′ + ky = 0,
donde m, c, k son constantes positivas. Supongamos que c < 2
√
mk. Es posible que el siguiente gráfico represente
una solución particular y = y(t)?
Solución:
Las soluciones de la ecuación son de la forma
y(t) = Ce−rt cos(wt− α), o y(t) = Ce−rt sen(wt− α),
en particular se tiene los pasos por la posición de equilibrio y = 0 estan igualmente espaciados, respecto de la
variable t, situación que no se presenta en el gráfico. Luego no es posible que sea el gráfico de una solución
particular.
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3. Existe algún valor de w para el cual la ecuación,
y′′ + 7y = sen(wx),
posea al menos una solución no acotada?
Solución:
La respuesta es si, esto es conocido como el fenómeno de resonancia. Si w =
√
7 se tiene que la solución es
y(t) =
t
2
√
7
cos(
√
7x),
la cual es una solución no acotada.
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4. Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones
a) f(x) = sin2(2x)
b) g(x) = e−xx cos(2x)
Solución:
a) Sabemos que la función f(x) se puede escribir de la siguiente forma
sin2(2x) =
1
2
(1− cos(4t))
L
{
sin2(2x)
}
(s) =
1
2
L{(1− cos(4t))} (s)
=
1
2
L{(1)} (s)− L{cos(4t)} (s)
=
1
2
(1
s
− s
s2 + 16
)
=
8
s2(s2 + 16)
b) Primeros encontremos L{x cos(2x)}(s) = G(s)
L{x cos(2x)}(s) = − d
ds
L{cos(2x)}(s)
= − d
ds
( s
s2 + 4
)
=
s2 − 4
(s2 + 4)2
Aśı
G(s) =
s2 − 4
(s2 + 4)2
Por lo tanto
L{e−xx cos(2x)}(s) = G(s+ 1) = (s+ 1)
2 − 4
((s+ 1)2 + 4)2
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5. Obtenga la transformada inversa de la siguiente función
s2 − s
s3 + s2 + 9s+ 9
Solución:
Primero haremos una descomposción en fracciones parciales
s2 − s
s3 + s2 + 9s+ 9
=
s(s− 1)
(s+ 1)(s2 + 9)
s(s− 1)
(s+ 1)(s2 + 9)
=
1
5
1
s+ 1
+
4
5
s
s2 + 9
− 3
5
3
s2 + 9
Aplicando transformada inversa a ambos lados de la igualdad, se obtiene
L−1
{
s(s− 1)
(s+ 1)(s2 + 9)
}
=
1
5
L−1
{
1
s+ 1
}
+
4
5
L−1
{
s
s2 + 9
}
− 3
5
L−1
{
3
s2 + 9
}
L−1
{
s(s− 1)
(s+ 1)(s2 + 9)
}
=
1
5
e−t +
4
5
cos(3t)− 3
5
sin(3t)
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6. Encontrar la solución del problema con valor inicial
tx′′(t)− tx′(t) + x(t) = 2
x(0) = 2 x′(0) = −1
Solución:
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación se obtiene
− d
ds
(s2L{x(t)}(s)− 2s+ 1) + d
ds
(sL{x(t)}(s)− 2) + L{x(t)}(s) = 2
s
Reordenando
d
ds
L{x(t)}(s) = −2
s
L{x(t)}(s) + 2
s2
Notar que se obtiene una ecuación de primer orden lineal en el dominio de Laplace. La solución es de la forma
L{x(t)}(s) = C
s2
+
2
s
De forma que la función x(t) debe ser
x(t) = 2 + Ct
La condición inicial x′(0) = 1 determina C = −1, y entonces la solución es
x(t) = 2− t t ≤ 0
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7. Resolver el problema de valor inicial,
y′′ + 4y′ − 5y = tet, y(0) = 1, y′(0) = 0.
Solución:
Sea Y (s) = L(y(t)) y apliquemos transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación dada,
L(y′′)(s) + 4L(y′)(s)− 5Y (s) = 1
(s− 1)2
,
haciendo uso de las condiciones iniciales se tiene que
L(y′)(s) = sY (s)− y(0) = sY (s)− 1,
L(y′′)(s) = s2Y (s)− sy(0)− y′(0) = s2Y (s)− s,
reemplazando,
s2Y (s)− s+ 4[sY (s)− 1]− 5Y (s) = 1
(s− 1)2
,
a continuación factorizamos y despejamos para obtener,
Y (s) =
s3 + 2s2 − 7s+ 5
(s+ 5)(s− 1)3
,
y haciendo uso de fracciones parciales podemos descomponerlo como,
Y (s) =
35
216
1
s+ 5
+
181
216
1
s− 1
− 1
36
1
(s− 1)2
+
1
12
2
(s− 1)3
,
finalmente haciendo uso de la Transformada inversa,
y(t) =
35
216
e−5t +
181
216
et − 1
36
tet +
1
12
t2et.
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