Aula-14 Ondas Eletromagneticas

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Aula 14
Ótica Eletromagnética
Prof. Daniel Papoti
daniel.Papoti@ufabc.edu.br
Universidade Federal do ABC
BC 1519 - Circuitos elétricos e fotônica
1o Quadrimestre Suplmentar - 2021
1
Conteúdo da aula
➢ Equações de Maxwell
2
➢Ondas Eletromagnéticas
➢ Fluxo de energia e vetor de Poynting
3
A equação de onda eletromagnética
http://www.astronomynotes.com/light/emanim.gif
➢ Campo eletromagnético 
Especificado por dois vetores:
E = Vetor campo elétrico 
[E] = volts/metro
H = Vetor campo magnético 
[H] = ampères/metro
Ondas eletromagnéticas: Visão Geral
4
Revisão: Lei de Gauss
➢O fluxo líquido de Campo elétrico 𝐸 atravessando qualquer 
superfície fechada (superfície gaussiana) é igual a carga 
líquida no interior da superfície.
5
Revisão: Lei de Gauss para o campo magnético
➢O fluxo total de campo magnético 𝐵 atravessando qualquer 
superfície fechada é igual a 0 → Ausência de monopólios 
magnéticos.
6
Revisão: Lei de Faraday
➢ A variação do fluxo magnético através de uma superfície induz uma 
f.e.m. em qualquer caminho fechado que limita a superfície, e a 
variação de campos magnéticos induz campos elétricos circulantes.
7
Revisão: Lei de Ampére-Maxwell
➢ Uma corrente elétrica ou variação do fluxo elétrico através de uma 
superfície produz um campo magnético circulante ao redor de qualquer 
caminho fechado que limita a superfície.
Corrente de deslocamento 
de Maxwell
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Lei de Gauss
Lei de Faraday
Lei de Gauss para o campo magnético
(Ausência de monopolos magnéticos)
Lei de Ampére-Maxwell
Equações de Maxwell na forma integral
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Equações de Maxwell na forma diferencial
Utilizando os teoremas do divergente e do rotacional (Stokes), pode-se 
escrever as equações de Maxwell na forma diferencial.
Teor. do Divergente. Teor. do Rotacional.
∇ ∙ D = ρ
∇ × E = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∇ ∙ B = 0
∇ × H = Jc +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
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Hipóteses:
=0 =0 (Jc=0)
➢ Espaço livre (vácuo) 
sem cargas livres
➢ Meio não condutor 
sem perdas 
7
0 4 .10 /H m 
−=
12
0 8,854.10 /F m
−=
Permeabilidade do vácuo
Permissividade do vácuo
D E=  B H=  
E – campo elétrico (V/m)
H – campo magnético (A/m)
D- densidade de fluxo elétrico (C/m2) 
B – densidade de fluxo magnético
(Wb/m2)
A equação de onda eletromagnética
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➢ Calculando:
0 2
0 0 0 0 2
( )
( )
t
t t t

   
 
      = − = − = −
  
E
H E
E
➢Usando a identidade matemática:
2( ) ( )  =  −E E E
➢Obtém-se:
2
2
0 0 2
0
t
 

 − =

E
E
➢De forma análoga, pode-se obter para o 
campo magnético:
2
2
0 0 2
0
t
 

 − =

H
H
A equação descreve uma onda que se 
propaga a uma velocidade v tal que 
velocidade da luz no vácuo !
. 0 =Ee
A equação de onda eletromagnética
Luz é uma onda 
eletromagnética!
002
1
=
v
m/s103
1 8
00
==

v
12
Equações de Maxwell
...e fez-se a luz!
On Faraday´s Lines of Force
by
James Clerck Maxwell, 1865
13
Equações de Maxwell
...e fez-se a luz!
Sugestão de vídeo: Cosmos – Ep 10 – “Os visionários da eletricidade”
https://www.facebook.com/watch/?v=592885351055375
https://vimeo.com/180957021
https://www.facebook.com/watch/?v=592885351055375
https://vimeo.com/180957021
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➢Exemplo: Bloco de vidro
μ0 → μ (permeabilidade magnética do meio)
ε0 → ε (permissividade elétrica do meio)
➢Neste caso, a velocidade de propagação da luz é dada por
1
v

=
➢ Permissividade relativa (ou constante dielétrica): K = ε/ε0.
➢ Permeabilidade relativa: Km = μ/μ0
→A maioria dos materiais óticos transparentes são não magnéticos (Km ≈ 1)
➢ Índice de refração n:
0 00 0
c
n K
v
  
  
= = = 
Equações de Maxwell em um meio dielétrico 
homogêneo e isotrópico
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Na ilustração da figura : 12 nn 
n1 n2 n1
z
Frequência (cor)
2f  = 2f  = 2f  =
Velocidade de fase
1 1v c n= 2 2v c n=
Comprimento de onda
101 n = 101 n =2 0 2n =
Constante de propagação
1011 2 nkk ==  1011 2 nkk == 2 2 0 22k k n = =
1 1v c n=
Refração e Ondas
16
Exemplo
Exemplo 2: Qual é a constante de propagação k no ar (n = 1) e no 
vidro (n = 1,5) de uma onda com comprimento de onda no espaço livre 
de λ0 = 0,82 μm?
l1 = l0 / nar Þ l1 = 0,82´10
-6 m
k = 2p / l
k1 = 2p / l1 = 2p / 820´10
-9( ) = 7,66´106 rad / m
k2 = 2p / l2 = 2p / 573´10
-9( ) =11, 49´106 rad / m
l2 = l0 / nvidro Þ l2 = 0,573´10
-6 m
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➢Define-se um vetor S chamado de vetor de Poynting como:
[S] = volt/m x ampère/m = watt/m2
Unidade de potência: watt = joule/segundo (energia/tempo)
= S E H
➢O vetor S representa a energia do campo eletromagnético por unidade de 
tempo por unidade de área
➢Considerando ondas eletromagnéticas harmônicas planas:
➢Vetor de Poynting:
cos( )t=  −0E E k r e cos( )t=  −0H H k r
)(cos2 t−= rkHES 00valor instantâneo:
sendo:
John Henry Poynting (1852-1914)
Vetor de Poynting
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➢Tomando-se o valor médio do vetor de Poynting: 
Lembrando que: 21)(cos
2 =− trk
➢A partir da geometria dos vetores:
0 0 0 0
1 ˆ ˆ
2
E H I=  = =S E H
1
 k k
2
Fluxo de energia
➢ especifica a magnitude I e direção do fluxo de energia:
f t( ) =
1
T
f t( )dt
0
T
ò
Valor médio de uma 
função periódica
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➢ A irradiância I é definida como: 
00
2
1
HEI = [ I ] = watt/metro2
➢Como H0 é proporcional a E0, a irradiância I é proporcional ao quadrado da 
amplitude do campo elétrico:
➢Representa a energia média por unidade de área e por unidade de tempo 
(em óptica, é a “quantidade” de luz iluminando uma superfície)
Þ I =
1
2cm
E
0
2H
0
=
1
cm
E
0
Lembrando que:
Irradiância
20
Exemplo
Exemplo 3: Considere uma onda de rádio plana, propagando-se no espaço 
livre, com frequência de 10 MHz. A amplitude do campo elétrico é de 0,08 V/m.
(a) Determine o período e o comprimento de onda da onda EM.
(b) Determine a densidade de fluxo de potência da onda EM.
21
2
0
2
02
r
EI
P
c c
= =
➢A onda eletromagnética transporta quantidade de movimento ( p=E/c) e exerce uma 
pressão de radiação (Pr) sobre as superfícies onde incide. 
[ I ] = energia/(s.m2) 
[ I /c] = quantidade de movimento/(s.m2) = Força/m2 = Pressão
[N/m2 ou pascal (Pa)] 
➢ Pressão atmosférica= 105 Pa
➢ Energia EM do sol na atmosfera terrestre: 1400W/m2
➢ Pressão da radiação solar na atmosfera, supondo absorção total: 4,7.10-6 N/m2
(para completa absorção)
Pressão de Radiação 
22
➢ Propulsão espacial
(pressão de radiação do 
sol e estrelas utilizada 
para mover espelhos 
delgados e de grande 
dimensão).
Nota: A pressão de 
radiação solar deve ser 
considerada no cálculo 
das trajetórias de naves 
espaciais...
https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_sail
➢ Levitação óptica
(pressão de radiação de um 
laser utilizada para fazer 
levitar objetos 
minúsculos (nano 
diamante)
http://www.gizmag.com/levitate-
diamond-free-space-lasers/28724/http://www.robolase.ucsd.edu/SciAmerican.pdf
➢ Tesouras e pinças de 
laser (pressão de 
radiação do laser 
utilizada para 
manipulação genética 
em células)
Exemplos de aplicação
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Exemplo
Exemplo 4: Uma lanterna de 3V/0,25 A converte 1% da potência elétrica 
consumida em luz (λ = 550 nm). Sabe-se que o feixe de luz tem uma seção 
transversal de 10 cm2 e é aproximadamente cilíndrico. Calcule:
(a)Quantos fótons são emitidos por segundo;
(b)Quantos fótons ocupam cada metro cúbico do feixe;
(c)Qual é a irradiância do feixe ao ser emitido pela lanterna;
(d)Qual é a pressão de radiação exercida pelo feixe de luz?
Obrigado pela 
atenção
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