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Universidade Federal do Ceará 
Centro de Ciências Agrárias 
Departamento de Economia Agrícola 
Disciplina: Matemática para Economia Ecológica 
Prof. Me. Eucinete de Menezes Albuquerque 
 
Aula 2: Classificação em Máximos, Mínimos e Sela 
 
INTRODUÇÃO 
 Agora vamos dicutir, como determinar o máximo e o mínimo de uma função com duas 
variáveis. 
 
DEFINIÇÕES 
 Considere uma função diferenciável f. O plano tangente a superfície é dado por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) no 
ponto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0), com 𝑧0 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0), é definido pela equação 
𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0). (𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0). (𝑦 − 𝑦0) 
 Se o plano tangente é paralelo ao plano (𝑥, 𝑦), ou seja, se 
𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 0 e 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), 
então dizemos: 
▪ O ponto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) é um ponto estacionário da superfície; 
▪ O ponto (𝑥0, 𝑦0), no domínio de f, é um ponto estacionário ou ponto crítico de f, se uma das 
derivadas parciais não existir. 
Os pontos estacionários de uma superfície são geralmente classificados como: 
▪ Máximo – que pode ser interpretado como topo de uma montanha; 
▪ Mínimo – que pode ser interpretado como o fundo de um vale; 
▪ Ponto de sela – que pode ser interpretado como uma passagem entre montanhas; 
 
1. Definição: Máximo Global e Local. Seja uma função 𝑓: 𝐷 → ℝ tem 
▪ valor máximo absoluto ou máximo global em c, se 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) para todo x e y em D. 
▪ valor máximo relativo ou máximo local de f se existe um 𝑟 > 0, tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) para 
todo x e y próximo de c. 
 
EXEMPLO: O campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 satisfaz 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑓(0,0) para 
qualquer (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. Logo, (0,0) é um máximo absoluto de f em ℝ2. 
 
 
2. Definição: Mínimo Global e Local. Seja uma função 𝑓: 𝐷 → ℝ tem 
▪ valor mínimo absoluto ou mínimo global em c, se 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) para todo x e y em D. 
▪ valor mínimo relativo ou mínimo local de f se existe um 𝑟 > 0, tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) para 
todo x e y próximo de c. 
 
EXEMPLO: O campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2. Note que, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑓(0,0), para 
qualquer (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. Logo, (0,0) é um mínimo absoluto de f em ℝ2. 
 
 
EXEMPLO: Esboce o gráfico de uma função com as seguintes 
propriedades: 
a. Máximo absoluto em 3, mínimo absoluto em 2, mínimo 
local em 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 2, máximo 
local em 3 e mínimo local em 2 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 
c. Não tem máximos ou mínimos locais, mas 2 e 4 são 
números críticos. 
 
 
 
 
3. Definição: Valor extremo. Um número que é um máximo ou um mínimo local é chamado 
de valor extremo de f. 
▪ Teorema: se f é diferenciável e tem um valor extremo num ponto c no interior de seu 
domínio, então devemos ter ∇𝑓(𝑐) = 0. 
 
No entanto, podemos encontrar exemplos no qual ∇𝑓(𝑐) = 0, mas f não tem valor extremo em c. 
 
4. Definição: Ponto de Sela. Um ponto estacionário c de uma função diferenciável f é um 
ponto de sela se qualquer bola aberta B de centro c contém pontos x e y tais que 𝑓(𝑥) <
(𝑓(𝑐) < 𝑓(𝑦). 
Obs: bola aberta de centro c é um conjunto de todos os pontos do espaço métrico X que estão a uma 
distância menor que r do ponto c, isto é 𝐵(𝑐, 𝑟) = {𝑐 ∈ 𝑋 ∶ 𝑑 < 0} 
 
 O conceito de ponto de sela é análogo à noção de ponto de inflexão para um função 𝑓: ℝ → ℝ. 
 
EXEMPLO: Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 cujo gráfico é o paraboloide hiperbólico (sela). 
Observe que o gradiente de f é ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦). Logo, ∇𝑓(0,0) = (0,0). Porém (0,0) não é um 
extremo de f. Com efeito, considerando (𝑥1, 𝑦1) no primeiro quadrante e (𝑥2, 𝑦2) no segundo 
quadrante, concluímos que 𝑓(𝑥2, 𝑦2) < 𝑓(0,0) < (𝑥1, 𝑦1). 
 
 
EXEMPLO: Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 3𝑥𝑦2 cujo gráfico é também possui ponto de sela na 
origem. 
 
 
EXEMPLO: Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2 cujo gráfico é possui um mínimo absoluto na origem 
porque 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(0,0) para qualquer (𝑥, 𝑦). 
 
 
5. Definição: Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que ou 
𝑓′(𝑐) = 0 ou 𝑓′(𝑐) = 𝑐. 
 
EXEMPLO: Encontre os números críticos da função: 
a. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 4𝑥. 
Temos que um número crítico de uma função é o x, quando 𝑓′(𝑥) = 0. Sabendo disso basta 
derivar e igualar a zero. 
𝑓′(𝑥) = 10𝑥 + 4 
10𝑥 + 4 = 0 → 10𝑥 = −4 → 𝑥 = −
4
10
=
2
5
 
 
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 
3𝑥2 + 2𝑥 − 1 
∆= 22 − 4.3. (−1) = 16 
𝑥 =
−2 ± √16
2.3
 
𝑥′ = −1 𝑒 𝑥′′ =
1
3
 
 
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 36𝑥 
𝑓′(𝑥) = 10𝑥 + 4 
10𝑥 + 4 = 0 → 10𝑥 = −4 → 𝑥 = −
4
10
=
2
5
 
 
Através da matriz Hessiana conseguimos definir em uma função, se o ponto é sela, máximo ou 
mínimo, ou ainda, se “não podemos afirmar nada”. 
 
6. Matriz Hessiana: A matriz 𝑛 × 𝑛 com as derivadas de segunda ordem de um campo escalar 
𝑓: 𝑆 ⊆ ℝ𝑛é chamada matriz Hessiana e denotada por 𝐻(𝒙). Formalmente, a matriz Hessiana de f 
em 𝒙 
𝐻(𝒙) = [(
𝐷11𝑓(𝑥)
𝐷21𝑓(𝑥)
⋮
𝐷𝑛1𝑓(𝑥)
 
𝐷12𝑓(𝑥)
𝐷22𝑓(𝑥)
⋯
𝐷1𝑛𝑓(𝑥)
𝐷21𝑓(𝑥)
⋮ ⋱ ⋮
𝐷𝑛2𝑓(𝑥) ⋯ 𝐷𝑛𝑛𝑓(𝑥)
)] 
se todas as derivadas parciais de segunda ordem existirem. 
 
EXEMPLO: Determine o vetor gradiente e a matriz Hessiana da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 no 
ponto (0,0). 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (−2𝑥, −2𝑦) → ∇𝑓(0,0) = (0,0) 
𝐻(𝑥, 𝑦) = [
−2 0
0 −2
] → 𝐻(𝑥, 𝑦) = [
−2 0
0 −2
] 
 
7. Teste de Segunda Derivada: Seja 𝑓: 𝑆 ⊆ ℝ2 → ℝ um campo escalar com derivadas de 
segunda ordem contínuas numa bola aberta que contém um ponto estacionário (𝑎, 𝑏) de f. Denote o 
determinante da matriz Hessiana em (𝑎, 𝑏) por D, ou seja 
𝐷 = [
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦
] = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦
2). 
Nesse caso, têm-se 
▪ Se 𝐷 > 0 e 𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏) > 0, 𝑓 tem um mínimo relativo em (𝑎, 𝑏). 
▪ Se 𝐷 > 0 e 𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏) < 0, 𝑓 tem um máximo relativo em (𝑎, 𝑏). 
▪ Se 𝐷 < 0, é um ponto de sela de 𝑓. 
▪ Se 𝐻 = 0, nada podemos afirmar (falha no teste).