Matrizes: Definição, Tipos e Operações

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Capítulo V Matrices- Ingeniería Industrial 
SESIÓN 10 
Definición: Matrices 
Es una colección de números reales o complejos bien definidos ordenados por medio de 
filas y columnas. 
Su nomenclatura es: 
 
Ejemplos de matrices: 
 
 
 
 𝐷2𝑥2 = (
1 −3
6 −7
)
2𝑥2
 
 𝐸5𝑥1 =
(
 
 
0
8
2
1
9)
 
 
5𝑥1
 
 
 
Matemáticamente, una matriz de 𝑚 filas y 𝑛 columnas con elementos en el cuerpo 𝕂 es 
un rectángulo de elementos de 𝕂 (es decir números). El elemento 𝑎𝑖𝑗 está en la fila 𝑖 la 
columna 𝑗. Notaremos por 𝑀𝑚𝑥𝑛(𝕂) al conjunto de todas estas matrices. Las matrices 
son reales cuando 𝕂 = ℛ y complejas cuando 𝕂 = ℭ. 
Tipos de Matrices 
1. Matriz Cuadrada 
Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas, es 
decir 𝑚 = 𝑛. Su nomenclatura es: 
𝐴𝑛 = 𝐴𝑛𝑥𝑛 
Por ejemplo, son matrices cuadradas: 
𝐷2 = 𝐷2𝑥2 = (
1 −3
6 −7
)
2𝑥2
 
 
Característica de las matrices cuadradas 
1. Toda matriz cuadrada tiene una diagonal principal y otra secundaria: 
𝐴2 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) 
𝐴3 = (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
) 
 
 
 
 
 
2. Matriz Nula 
Son aquellas matrices cuadradas o rectangulares (𝑚 ≠ 𝑛) cuyos elementos son todos 
ceros. 
Su nomenclatura: 
Θ2 = (
0 0
0 0
) 
Θ3𝑥4 = (
0 0
0 0
0 0
 
0 0
0 0
0 0
) 
3. Matriz Identidad 
Son aquellas matrices cuadradas cuya diagonal principal tiene elementos de valor uno, y 
el resto de elementos son ceros. 
Su nomenclatura: 
𝐼2 = (
1 0
0 1
) 
𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
4. Matriz Triangular Superior 
Son aquellas matrices cuadradas donde son ceros los elementos que están por debajo de 
la diagonal principal. 
𝐴2 = (
𝑎 𝑏
0 𝑐
) 
 
𝐴3 = (
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑑 𝑒
0 0 𝑓
) 
5. Matriz Triangular Inferior 
Son aquellas matrices cuadradas donde son ceros los elementos que están por encima de 
la diagonal principal. 
𝐴2 = (
𝑎 0
𝑏 𝑐
) 
𝐴3 = (
𝑎 0 0
𝑏 𝑐 0
𝑑 𝑒 𝑓
) 
6. Matriz Fila 
Son aquellas matrices rectangulares que tiene una sola fila (𝑚 = 1) 
𝐴1𝑥4 = (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) 
7. Matriz Columna 
Son aquellas matrices rectangulares que tiene una sola columna (𝑛 = 1) 
𝐴5𝑥1 =
(
 
 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒)
 
 
 
8. Matriz Opuesta 
Son aquellas matrices en los cuales los elementos son de signo contrario a la matriz 
original. 
Sea 𝐴2𝑥3 = (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
), su matriz opuesta es −𝐴2𝑥3 = (
−𝑎 −𝑏 −𝑐
−𝑑 −𝑒 −𝑓
) 
9. Matriz Transpuesta 
Son aquellas matrices donde las filas se convierten en columnas. Su nomenclatura es: 
𝐴𝑇 . 
 
Sea 𝐴3𝑥2 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
), entonces su matriz transpuesta es: 𝐴2𝑥3
𝑇 = (
𝑎 𝑐 𝑒
𝑏 𝑑 𝑓) 
10. Matriz Diagonal 
Es toda matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal diferentes y no son 
todos unos, y el resto de elementos son ceros. 
𝐴2 = (
𝑎 0
0 𝑏
) 
𝐴3 = (
𝑎 0 0
0 𝑏 0
0 0 𝑐
) 
11. Matriz Escalar 
Es toda matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son iguales y diferente 
de uno, y el resto de elementos son ceros. 
𝐴2 = (
𝑎 0
0 𝑎
) 
𝐴3 = (
𝑎 0 0
0 𝑎 0
0 0 𝑎
) 
12. Matriz Simétrica 
Son aquellas matrices cuadradas donde se cumple: 𝐴 = 𝐴𝑇 
𝐴2 = (
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
) = 𝐴2
𝑇 = (
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
) ∴ 𝐴2 es simétrica 
𝐴3 = (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑏 𝑑 𝑒
𝑐 𝑒 𝑓
) = 𝐴3
𝑇 = (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑏 𝑑 𝑒
𝑐 𝑒 𝑓
) ∴ 𝐴3 es simétrica 
13. Matriz Antisimétrica 
Son aquellas matrices cuadradas donde se cumple: 𝐴 = −𝐴𝑇 
𝐴2 = (
0 𝑎
−𝑎 0
) → 𝐴2
𝑇 = (
0 −𝑎
𝑎 0
) = −(
0 𝑎
−𝑎 0
) = −𝐴2 ∴ 𝐴2 es antisimétrica 
 
𝐴3 = (
0 𝑎 𝑏
−𝑎 0 𝑐
−𝑏 −𝑐 0
) → 𝐴3
𝑇 = (
0 −𝑎 −𝑏
𝑎 0 −𝑐
𝑏 𝑐 0
) = −(
0 𝑎 𝑏
−𝑎 0 𝑐
−𝑏 −𝑐 0
) = −𝐴3 
∴ 𝐴3 es antisimétrica 
14. Matriz Conjugada 
Son aquellas matrices complejas en la cual se cambia de signo a la parte compleja. 
𝐴2𝑥3 = (
𝑎 𝑏 + 𝑐. 𝑖 𝑖
−𝑑 − 𝑒. 𝑖 −𝑓 −𝑔. 𝑖
) donde 𝑖 = √−1: Número imaginario 
𝐴̅2𝑥3 = (
𝑎 𝑏 − 𝑐. 𝑖 −𝑖
−𝑑 + 𝑒. 𝑖 −𝑓 𝑔. 𝑖
) es la conjugada de la matriz 𝐴2𝑥3 
15. Matriz Hermítica 
Es aquella matriz compleja cuadrada que cumple: (𝐴 ̅)𝑇 = 𝐴 
𝐴2 = (
𝑎 𝑏. 𝑖
−𝑏. 𝑖 𝑎
) → 𝐴̅2 = (
𝑎 −𝑏. 𝑖
𝑏. 𝑖 𝑎
) → (𝐴̅2)
𝑇 = (
𝑎 𝑏. 𝑖
−𝑏. 𝑖 𝑎
) = 𝐴2 
∴ 𝐴2 es hermítica. 
𝐴3 = (
𝑎 𝑐 + 𝑖 𝑑. 𝑖
𝑐 − 𝑖 0 𝑒 + 𝑓. 𝑖
−𝑑. 𝑖 𝑒 − 𝑓. 𝑖 𝑏
) → 𝐴̅3 = (
𝑎 𝑐 − 𝑖 −𝑑. 𝑖
𝑐 + 𝑖 0 𝑒 − 𝑓. 𝑖
𝑑. 𝑖 𝑒 + 𝑓. 𝑖 𝑏
) → 
→ (𝐴̅3)
𝑇 = (
𝑎 𝑐 + 𝑖 𝑑. 𝑖
𝑐 − 𝑖 0 𝑒 + 𝑓. 𝑖
−𝑑. 𝑖 𝑒 − 𝑓. 𝑖 𝑏
) = 𝐴3 
∴ 𝐴3 es hermítica. 
Operaciones con Matrices 
1. Adición/Sustracción 
Sean 𝐴 𝑦 𝐵 dos matrices del mismo orden, y sea 𝛼, 𝛽 ∈ ℛ escalares (números reales), 
entonces: 
Para 𝐴2𝑥3 = (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
), 𝐵2𝑥3 = (
𝑔 ℎ 𝑖
𝑗 𝑘 𝑚
) 
𝛼. 𝐴2𝑥3 ± 𝛽.𝐵2𝑥3 = 𝛼. (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
) ± 𝛽. (
𝑔 ℎ 𝑖
𝑗 𝑘 𝑚
) = 
 
= (
𝛼. 𝑎 𝛼. 𝑏 𝛼. 𝑐
𝛼. 𝑑 𝛼. 𝑒 𝛼. 𝑓
) ± (
𝛽. 𝑔 𝛽. ℎ 𝛽. 𝑖
𝛽. 𝑗 𝛽. 𝑘 𝛽.𝑚
) = 
= (
𝛼. 𝑎 ± 𝛽. 𝑔 𝛼. 𝑏 ± 𝛽. ℎ 𝛼. 𝑐 ± 𝛽. 𝑖
𝛼. 𝑑 ± 𝛽. 𝑗 𝛼. 𝑒 ± 𝛽. 𝑘 𝛼. 𝑓 ± 𝛽.𝑚
) = 𝐶2𝑥3 
Ejemplo 
Sean 𝐴3𝑥3 = (
5 −7 9
−8 13 5
0 11 −2
), 𝐵3𝑥3 = (
−8 1 −10
2 6 8
−12 11 −5
). Calcular: 
a) 3. 𝐴3𝑥3 − 4.𝐵3𝑥3 
Solución 
3. 𝐴3𝑥3 − 4.𝐵3𝑥3 = 
= 3(
5 −7 9
−8 13 5
0 11 −2
) − 4(
−8 1 −10
2 6 8
−12 11 −5
) = 
= (
15 −21 27
−24 39 15
0 33 −6
) − (
−32 4 −40
8 24 32
−48 44 −20
) = 
= (
15 − (−32) −21 − 4 27 − (−40)
−24 − 8 39 − 24 15 − 32
0 − (−48) 33 − 44 −6 − (−20)
) = (
47 −25 67
−32 15 −17
48 −11 14
) 
b) 7. 𝐴3𝑥3 + 9.𝐵3𝑥3 − 5 
Solución 
7. 𝐴3𝑥3 + 9. 𝐵3𝑥3 − 5 = 
 
= 7. (
5 −7 9
−8 13 5
0 11 −2
) + 9. (
−8 1 −10
2 6 8
−12 11 −5
) − 5. (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) = 
 
= (
35 −49 63
−56 91 35
0 77 −14
) + (
−72 9 −90
18 54 72
−108 99 −45
) − (
5 0 0
0 5 0
0 0 5
) = 
= (
−42 −40 −27
−38 140 107
−108 176 −64
) 
2. Multiplicación 
Para multiplicar dos matrices, deben de cumplir la siguiente condición: 
 
Procedimiento 
Probaremos con las siguientes matrices: 
𝐴3𝑥2 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
); 𝐵2𝑥4 = (
𝑔 ℎ
𝑘 𝑙
 
𝑖 𝑗
𝑚 𝑛
) 
Vamos a calcular: 
 𝐴3𝑥2 . 𝐵2𝑥4 = 𝐶3𝑥4, si cumple la condición. 
 
= (
(𝑎). (𝑔) + (𝑏). (𝑘) (𝑎). (ℎ) + (𝑏). (𝑙) (𝑎). (𝑖) + (𝑏). (𝑚)
 
(𝑎). (𝑗) + (𝑏). (𝑛)
) 
 
 
 
= (
(𝑎). (𝑔) + (𝑏). (𝑘) (𝑎). (ℎ) + (𝑏). (𝑙) (𝑎). (𝑖) + (𝑏). (𝑚)
(𝑐). (𝑔) + (𝑑). (𝑘) (𝑐). (ℎ) + (𝑑). (𝑙) (𝑐). (𝑖) + (𝑑). (𝑚) 
(𝑎). (𝑗) + (𝑏). (𝑛)
(𝑐). (𝑗) + (𝑑). (𝑛)) 
 
= (
(𝑎). (𝑔) + (𝑏). (𝑘) (𝑎). (ℎ) + (𝑏). (𝑙) (𝑎). (𝑖) + (𝑏). (𝑚)
(𝑐). (𝑔) + (𝑑). (𝑘) (𝑐). (ℎ) + (𝑑). (𝑙) (𝑐). (𝑖) + (𝑑). (𝑚)
(𝑒). (𝑔) + (𝑓). (𝑘) (𝑒). (ℎ) + (𝑓). (𝑙) (𝑒). (𝑖) + (𝑓). (𝑚)
 
(𝑎). (𝑗) + (𝑏). (𝑛)
(𝑐). (𝑗) + (𝑑). (𝑛)
(𝑒). (𝑗) + (𝑓). (𝑛)
) 
 𝐵2𝑥4 . 𝐴3𝑥2 = ∄, no cumple la condición. 
Ejemplos 
Sean las matrices: 
𝐴3𝑥2 = (
−6 9
−8 4
−5 2
), 𝐵2𝑥2 = (
12 −11
4 −10
), 𝐶3𝑥3 = (
2 4 7
3 12 0
8 10 5
), 
𝐷2𝑥3 = (
−4 −2 −8
−5 −9 −6
), 𝐸3𝑥3 = (
0 9 4
7 10 12
5 1 2
), 𝐹3𝑥3 = (
−2 5 −9
11 4 13
10 9 12
) 
Se pide, calcular: 
a) 3𝐹 − 4𝐶 + 7𝐸 − 9 
b) Hallar la matriz "𝑋": 5𝐸 + 3𝑋 = 2(𝐹 − 3𝐶 + 𝑋) − 15 
c) 𝐴. 𝐵 
d) 𝐵.𝐷 
e) 𝐶. 𝐴 
 
 
Solución 
a) 3𝐹 − 4𝐶 + 7𝐸 − 9 = 
= 3. (
−2 5 −9
11 4 13
10 9 12
) − 4. (
2 4 7
3 12 0
8 10 5
) + 7. (
0 9 4
7 10 12
5 1 2
) − 9. (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) = 
= (
−6 15 −27
33 12 39
30 27 36
) − (
8 16 28
12 48 0
32 40 20
) + (
0 63 28
49 70 84
35 7 14
) − (
9 0 0
0 9 0
0 0 9
) = 
= (
−23 62 −27
70 25 123
33 −6 21
) 
b) 5𝐸 + 3𝑋 = 2(𝐹 − 3𝐶 + 𝑋) − 15 
Despejando "𝑋": 
5𝐸 + 3𝑋 = 2𝐹 − 6𝐶 + 2𝑋 − 15 
𝑋 = 2𝐹 − 6𝐶 − 5𝐸 − 15 
𝑋 = 2. (
−2 5 −9
11 4 13
10 9 12
) − 6. (
2 4 7
3 12 0
8 10 5
) − 5. (
0 9 4
7 10 12
5 1 2
) − 15. (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
𝑋 = (
−4 10 −18
22 8 26
20 18 24
) − (
12 24 42
18 72 0
48 60 30
) − (
0 45 20
35 50 60
25 5 10
) − (
15 0 0
0 15 0
0 0 15
) 
𝑋 = (
−31 −59 −80
−31 −129 −34
−53 −47 −31
) 
c) 𝐴. 𝐵 
𝐴3𝑥2 . 𝐵2𝑥2 = (
−6 9
−84
−5 2
) . (
12 −11
4 −10
) = (
−72 + 36 66 − 90
−96 + 16 88 − 40
−60 + 8 55 − 20
) = (
−36 −24
−80 48
−52 35
) 
d) 𝐵.𝐷 
𝐵2𝑥2 . 𝐷2𝑥3 = (
12 −11
4 −10
) . (
−4 −2 −8
−5 −9 −6
) = (
−48 + 55 −24 + 99 −96 + 66
−16 + 50 −8 + 90 −32 + 60
) 
= (
7 75 −30
34 82 28
) 
 
 
e) 𝐶. 𝐴 
𝐶3𝑥3 . 𝐴3𝑥2 = (
2 4 7
3 12 0
8 10 5
) . (
−6 9
−8 4
−5 2
) = (
−12 − 32 − 35 18 + 16 + 14
−18 − 96 + 0 27 + 48 + 0
−48 − 80 − 25 72 + 40 + 10
) = 
= (
−79 48
−114 75
−153 122
)