PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-58

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coordenadas son: −5.04,−1.04, −4.29,−0.29, 1.16,5.16, y a la asíntota: y  x − 4, en tres puntos
simétricos de los anteriores con relación al origen. La determinatriz (III) corresponde a la asíntota: y  0,
estando dada la posición de la curva por y  x  −x2 , luego es imaginaria. La determinatriz (IV)
corresponde a las tangentes en el origen, cuyas pendientes m vienen dadas por la ecuación:
4m4 − m3  3m2 − 5m  2  0, cuyas raíces son imaginarias, por lo que el origen es un punto aislado. La
recta y  x, paralela a las asíntotas, pasa por dicho punto aislado y corta a la curva en  34 ,
 3
4 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B
Y=X+4
Fig C
Y=X-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B
Y=X+4
Fig C
Y=X-4
El dibujo de la curva es el siguiente:
-10 10
-10
10
E 141- Dibujar la curva y − 3x3x2y2 − x3y  y − 3xxy − 2x2  y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota:
x  0, estando dada la posición de la curva, por x2  −1
y4
, luego es imaginaria. La determinatriz (II) se
refiere a la asíntota general de dirección: y − 3x  0; añadiendo la primera paralela (monomio 5), se tiene:
y − 3x  3 13 ; añadiendo la segunda paralela (monomios 6, 7), se obtiene la posición de la curva, que
viene dada por yc − ya  −1
9 3 9 x
(figura B). La determinatriz (III) corresponde a la asíntota: y  0,
estando dada la posición de la curva por yc − ya   −227x3
(figura C). La determinatriz (IV) se refiere a
la tangente en el origen: y  0, estando dada la posición de la curva por y  2x2 (figura D).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig D
Y=0
Fig B
Y=3X+1/
Fig C
Y=0
33
1
2
3
4
5
6
7
8
9
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig D
Y=0
Fig B
Y=3X+1/
Fig C
Y=0
33 33
172
El dibujo de la curva es el siguiente:
-1 1
-2
2
E 142- Dibujar la curva y − xx2y − y3 − y2x − yx2  x3  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer, (figura A), corresponde a la rama
parabólica según el eje YY ′: y  x2 (figura A). La determinatriz (II) corresponde a la asíntota general de
dirección: y  x; añadiendo la primera paralela, se tiene la asíntota: y  x  2, y la posición de la curva,
dada por yc − ya  8x (figura C). La determinatriz (III) se refiere a la asíntota: y  1, siendo la posición
de la curva la indicada en la figura D. Ambas asíntotas se cortan entre sí en −1,1, punto de la curva,
cuya tangente es la asíntota: y  x  2. La determinatriz (IV) se refiere a la tangente en el origen, cuya
pendiente m viene dada por la ecuación: m3  m2  m − 1  0, siendo su raíz real m  0.54.
1
2
3
4
5
6
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B Fig C
Y=X+2
Fig D
Y=11
2
3
4
5
6
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B Fig C
Y=X+2
Fig D
Y=1
El dibujo de la curva es el siguiente:
-5 5 10
10
E 143- Dibujar la curva y − x3x2y2 − x3y  y  xxy − 2x2 − y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota:
x  0, estando dada la posición de la curva, por xc − xa   1y4
(figura B). La determinatriz (II) se
173
refiere a la asíntota general de dirección: y − x  0; añadiendo la primera paralela, se tiene la asíntota:
y  x  1; añadiendo la segunda paralela, se tiene la posición de la curva, dada por yc − ya  −23x (figura
C). La determinatriz (III) se refiere a la asíntota: y  0, estando dada la posición de la curva, por
yc − ya   −2x3
(figura D). La determinatriz (IV) corresponde a la tangente en el origen: y  0; la
posición de la curva está dada por yc − yt  −2x2 (figura E).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
( I )
( II )
( III )( IV )
Fig A Fig E
Y=0
Fig B
X=0 Y=X+1
Fig C Fig D
Y=0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
( I )
( II )
( III )( IV )
Fig A Fig E
Y=0
Fig B
X=0 Y=X+1
Fig C Fig D
Y=0
El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2
-2
2
E 144- Dibujar la curva y − x3xy2 − y − xxy − 2x2 − y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota:
x  0, estando dada la posición de la curva, por y   4 1x (figura B). La determinatriz (II) corresponde a
la asíntota general: y − x  0; añadiendo las dos paralelas siguientes, se tiene la posición de la curva, dada
por yc − ya  3 2x (figura C). Esta asíntota corta a la curva en el origen y en
−1
2 ,
−1
2 . La
determinatriz (III) se refiere a la asíntota: y  0, estando dada la posición de la curva, por y2  −2
x2
, luego
la asíntota es imaginaria. La determinatriz (IV) corresponde a la tangente en el origen: y  0, estando
dada la posición de la curva, por y  −2x2 (figura D).
1
2
3
45
6
7
8
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig C
Y=X
Fig B
X=0
Fig D
Y=0
1
2
3
45
6
7
8
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig C
Y=X
Fig B
X=0
Fig D
Y=0
174