Aula 2 - Conc_Armado

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AULA 2 – Dimensionamento de Lajes Maciças
Prof. Pabllo da Silva Araujo
Eng. Civil, Me.
Campina Grande-PB
Setembro de 2022
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
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Lajes
▪ São elementos estruturais laminares, submetidos a cargas
predominantemente normais à sua superfície média e que têm
a função de resistir às cargas de utilização atuantes na
estrutura.
▪ Sob o ponto de vista estrutural, lajes são placas de
concreto (item 14.4.2.1, ABNT NBR 6118:2014) de superfície
plana, em que a dimensão perpendicular à superfície,
usualmente chamada espessura, é relativamente pequena
comparada às demais e sujeitas principalmente a ações
normais a seu plano.
▪ Elementos pré-moldados ou moldados no local.
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▪ O pavimento moldado no local pode ser composto de uma única laje, sem vigas, ou de um
conjunto de lajes, maciças ou nervuradas, apoiadas em vigas.
▪ As cargas são comumente perpendiculares ao plano da laje, e podem ser divididas em
distribuídas na área, distribuídas linearmente ou forças concentradas.
▪ Segundo o item 14.7 da ABNT NBR
6118:2014, as lajes podem ser
classificadas conforme a natureza de
seus apoios e a configuração estrutural
em:
✓ Maciças; Nervuradas; Lisas e Cogumelo.
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Tipos de Lajes
▪ Lajes Maciças: é aquela onde toda a espessura é composta
por concreto, contendo armaduras longitudinais de flexão e
eventualmente armaduras transversais, e apoiada em vigas
ou paredes ao longo do seu contorno (bordas). Lajes com
uma ou mais bordas livres são casos particulares de lajes
maciças.
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▪ Lajes Nervuradas: são as lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de
tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado
material inerte. Podem ser unidirecionais e bidirecionais.
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▪ Lajes Lisas e Cogumelo: Lajes-cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com
capitéis, enquanto lajes lisas ou planas são apoiadas nos pilares sem capitéis.
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Steel deck Bubble deck Alveolar
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Hipóteses simplificadoras
▪ O peso próprio da laje (PPlaje) é tomado como uma carga uniformemente distribuída em toda a
superfície da laje (kN/m² ou kgf/m²).
▪ A sobrecarga de utilização, carga acidental ou de serviço é uma carga distribuída uniformemente
na superfície da laje. Os valores mínimos a serem adotados para essas cargas são
estabelecidos pela ABNT NBR 6120:2019.
▪ As lajes são calculadas, em geral, como peças laminares isoladas, por meio de uma
decomposição virtual que as separa de suas vigas do bordo, de modo a aproveitar as teorias de
cálculo próprias (teoria das placas).
▪ As vigas de bordo das lajes são consideradas apoios indeslocáveis. Verificação rigorosa dos
deslocamentos das vigas de apoio conforme o item 13.3 da ABNT NBR 6118:2014.
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▪ As cargas transmitidas pelas lajes às vigas, que são as reações de apoio nos bordos, são
admitidas como uniformemente distribuídas por unidade de comprimento das vigas (kN/m).
▪ Em duas lajes de mesmo nível adjacentes, apoiadas de forma contínua sobre uma viga com a
qual são moldadas monoliticamente, esse bordo é admitido no cálculo como um engastamento
perfeito para ambas as lajes.
▪ De acordo com o item 14.7.2.2 da ABNT NBR 6118:2014, quando os apoios puderem ser
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser
calculado pela seguinte expressão:
▪ Os valores de a1 e a2 em cada bordo dependem das larguras t1 e t2 das vigas e da espessura
da laje, adotando-se o menor dos dois valores: ai ≤ 0,5ti e 0,3h. Para estruturas usuais, é
comum tomar o vão teórico como a distância de centro a centro dos apoios.
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Classificação das lajes quanto a armação
▪ Para fins de cálculo, as lajes retangulares são classificadas em lajes em cruz (ou calculadas em
duas direções) e lajes calculadas em uma só direção. Considerando lx o vão menor e ly o vão
maior.
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Lajes armadas em uma direção
▪ No caso de laje armada em uma só direção, a distribuição de cargas acontece apenas sobre os
apoios nos bordos maiores. Momentos calculados na direção paralela ao menor vão, dos quais
se obtém a armadura principal.
▪ Na direção paralela ao vão maior, a armadura não é calculada, mas fixada como parcela da
principal e denominada armadura de distribuição.
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Lajes armadas em cruz (ou calculadas em duas direções)
▪ Na laje armada em cruz, os momentos fletores são significativos nas duas direções.
▪ As vigas do vão maior recebem um trapézio de carga e as vigas do vão menor, um triângulo, ou
seja, a forma de ruptura mostra como a laje apoia-se em cada direção.
▪ A determinação da carga em cada direção resume-se a calcular a área de carga sobre cada viga
(triângulo ou trapézio) e distribuí-la ao longo da viga.
Vão menor
Vão maior
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Classificação das lajes quanto a armação
▪ A espessura das lajes deve ser fixada no início do projeto, pois é necessária para a obtenção do
peso próprio, responsável por parcela substancial da carga total em edificações usuais, junto
com os revestimentos superior e inferior.
▪ No pré-dimensionamento de uma painel de lajes, tomam-se as mais desfavoráveis, quanto aos
vãos, cargas e condições de apoio, e fixa-se um valor de espessura igual ou superior ao mínimo
da ABNT NBR 6118:2014.
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▪ Segundo o item 13.2.4.3 da ABNT NBR 6118:2014, para a espessura de Lajes pré-moldadas,
aplica-se a ABNT NBR 9062:2017. No caso uso de Lajes alveolares protendidas, deve ser
obedecido o que estabelece a ABNT NBR 14861:2022.
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▪ A altura útil (d) de uma laje é definida como a distância da fibra mais comprimida ao centro de
gravidade da armadura de maior área, chamada principal. Assim, “d” é função da altura total (h),
da espessura do cobrimento nominal do concreto (cnom) e da bitola (Φ) das barras da armadura
principal.
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Cargas nas lajes
▪ As cargas atuantes nas lajes (kN/m²) das edificações podem ser classificadas como cargas
permanentes (peso próprio, revestimentos, enchimentos, alvenarias) e cargas acidentais (uso da
edificação).
Peso Próprio (PPlaje): Usar γconc= 25 kN/m³.
Revestimento: Nas situações atuais, com pisos cerâmicos ou tacos de madeira, pode-se adotar
peso do revestimento de 0,8 kN/m² a 1,0 kN/m².
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Paredes apoiadas diretamente sobre as lajes: Alguns pesos específicos conforme a ABNT NBR
6120:2019, tijolos cerâmicos furados (13 kN/m³), tijolos cerâmicos maciços (18 kN/m³).
✓ Para lajes armadas em cruz: quando a parede estiver afastada da região central, ou quando
existirem várias paredes distribuídas sobre toda a extensão da laje, o peso total das paredes
pode ser distribuído uniformemente pela área da laje (kN/m²).
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✓ Para lajes armadas em uma direção (parede paralela ao vão maior): a carga da parede deve ser
considerada como uma força concentrada (P) na viga que representa a laje, sendo P o peso da
parede relativo a 1 m de comprimento.
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✓ Para lajes armadas em uma direção (parede paralela ao vão menor): a carga é considerada
uniformemente distribuída numa região de influência da parede e acrescida à carga total na laje.
A largura da região de influência pode ser tomada como metade do vão menor.
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(1º) Baseado nas informações e adaptações
a seguir, determine as cargas atuantes na
laje L1 (380cm x 690cm) e suas respectivas
reações nas vigas de borda. Dados: a laje
possui 10 cm de espessura e tem uso para
escritório (2 kN/m²). Considere uma carga de
revestimento de 1 kN/m², γconc= 25 kN/m³.
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Vinculação nas bordas
▪ Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes torna-se necessário
estabelecer os vínculos da laje com os apoios, sejam eles pontuais como os pilares, ou lineares
como as vigas de borda. Devido à complexidade do problema devem ser feitas algumas
simplificações, de modo a possibilitar o cálculo manual.
▪ Existem, basicamente, três tipos de vinculação: borda livre, borda simplesmente apoiada e borda
engastada.
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▪ O apoio simplessurge nas bordas externas, ou nas bordas internas, onde não existe ou não se
admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas. O apoio pode ser uma parede de
alvenaria ou uma viga rígida de concreto (pequena rigidez à torção). Lajes rebaixadas, admite-se
a condição de apoio simples.
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▪ O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises, varandas, etc. É
considerado também nas bordas onde há continuidade entre duas lajes vizinhas. Quando duas
lajes contínuas têm espessuras muito diferentes, pode ser mais adequado considerar a laje de
menor espessura (L2) engastada na de maior espessura (L1), mas a laje com maior espessura
pode ser considerada apenas apoiada na borda comum as duas lajes.
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▪ No caso onde as lajes não têm continuidade ao longo de toda a borda comum, o critério
simplificado para se considerar a vinculação é o seguinte:
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▪ No caso de apoios intermediários de lajes contínuas surgem momentos fletores negativos devido
à continuidade das lajes. A ponderação feita entre os diferentes valores dos momentos fletores
que surgem nesses apoios conduz ao engastamento elástico. No entanto, para efeito de cálculo
inicial dos momentos fletores ML1 e ML2, as lajes que apresentam continuidade devem ser
consideradas perfeitamente engastadas nos apoios intermediários.
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(2º) Para o painel de lajes da figura abaixo, estabeleça os vínculos das lajes com
os apoios e a classificação quando a direção da armação.
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Métodos de Cálculo para as Lajes
▪ Há basicamente dois métodos de cálculo para as lajes maciças: o elástico e o de ruptura. O
primeiro se baseia na análise do comportamento do elemento sob cargas de serviço e concreto
íntegro (não fissurado). O segundo procedimento se baseia nos mecanismos de ruptura das
lajes.
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▪ Cálculo no regime elástico: os esforços e deslocamentos em lajes maciças são calculados a partir
da solução de uma equação diferencial, denominada de Lagrange, estabelecida pela teoria das
placas.
a) Métodos clássicos: Teoria das Grelhas ou dos Quinhões de Carga, que consiste na divisão da
laje em faixas ortogonais de largura unitária, nas direções x e y, paralelas aos bordos.
b) Métodos baseados na Teoria da Elasticidade: Integração por Séries Trigonométricas (Kalmanok,
Czérni e Barés) e Integração Numérica (Diferenças Finitas e dos Elementos Finitos).
c) Métodos mistos: Métodos de Marcus (o mais tradicional e mais utilizado no Brasil).
▪ Cálculo no regime rígido-plástico: baseia-se na configuração de equilíbrio da laje imediatamente
antes da ruptura, após a fissuração e plastificação dos materiais: esmagamento do concreto e
escoamento do aço.
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Cálculo de momentos nas lajes em
uma direção
▪ Lajes isoladas: Os momentos fletores são
calculados considerando faixas de largura
unitária, paralelas à menor direção,
admitidas como vigas apoiadas nos bordos
maiores. A armadura principal é calculada
apenas para os momentos do vão menor,
positivos e negativos. Na direção maior, é
disposta uma armadura de distribuição,
fração da armadura principal.
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Cálculo de momentos nas lajes em uma
direção
▪ Lajes contínuas: Neste caso, a laje pode ser
calculada como uma viga contínua de largura
unitária. Entretanto, deve-se fazer um segundo
cálculo, engastando os apoios intermediários.
Neste segundo cálculo, cada painel é considerado
uma laje isolada. Os momentos fletores positivos
nos vãos, a serem utilizados no dimensionamento
da laje, são os maiores valores obtidos nos dois
cálculos. Se a diferença entre os vãos não
ultrapassar 20% do maior, podemos usar um
processo aproximado para calcular os momentos.
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▪ Cálculo da flecha no centro da laje: observar o item 13.3 (Deslocamentos-limites) da ABNT NBR
6118:2014.
Rigidez à flexão da laje: coeficiente de Poisson de 0,2.
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▪ Momentos Positivos: K= 11 (vão extremo) e K= 15 (vão interno).
▪ Momentos Negativos: em dois vãos, K= 8 (no apoio entre dois vãos extremos); em mais de dois
vãos K= 8 (primeiro e último apoios) e K= 9 (demais).
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▪ Cálculo do hmín da laje:
Para lajes não em balanço
Para lajes em balanço
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Cálculo de momentos em lajes retangulares em duas direções (em cruz)
▪ Lajes isoladas (Método de Marcus): O Método
de Marcus é uma adaptação da teoria das Grelhas
para o cálculo de placas. Inclui os efeitos da
torção da laje. Devido à rigidez à torção, os
momentos fletores positivos e a flecha da laje
ficam reduzidos em relação aos valores
fornecidos pela teoria das grelhas.
▪ Pelas Tabelas de Marcus é possível obter os
resultados das expressões para o cálculo das
lajes por meio da teoria das grelhas.
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▪ Condições de contorno das lajes retangulares:
▪ Condições de contorno das lajes retangulares:
o Flecha no centro da laje (Wc);
o Momentos positivos nos centro laje (Mx e My);
o Momentos negativos nos engastes (Mxe e Mye);
o Momento torsor (Mxy);
o Reações de apoio simples (Rx e Ry);
o Reações de apoio para engaste (Rxe e Rye).
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▪ Cálculo do hmín da laje: o valor de “l” será o do menor vão. Coletar dados nas Tabelas do
Apêndice 2 do livro José Milton, Vol. 2.
▪ Momentos positivos no centro da laje nas direções dos vãos (kN.m/m):
▪ Reações de apoio por unidade de comprimento nos vãos, quando for apoio simples (kN/m):
▪ Flecha no centro da laje (cm):
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▪ Momentos negativos nos engastes nas direções dos vãos (kN.m/m):
▪ Reações de apoio por unidade de comprimento nos vãos, quando for um engaste (kN/m):
▪ Momento torsor nos cantos simplesmente apoiados (kN.m/m):
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Cálculo de momentos em lajes retangulares em duas direções (em cruz)
▪ Lajes contínuas: O cálculo é efetuado como lajes isoladas, por meio de decomposição virtual,
em que se consideram engastadas entre si as lajes em que há continuidade sobre o bordo
comum. Consideram-se apoios simples os bordos onde não houver continuidade.
▪ Nas lajes calculadas como isoladas, obtêm-se dois valores do momento negativo num bordo
comum com continuidade, que podem ser diferentes, em função dos vãos e cargas. Entretanto,
sendo a estrutura monolítica, o momento fletor negativo no bordo tem valor único, o que exige
um processo para uniformização dos momentos calculados isoladamente.
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Dimensionamento de Lajes Maciças Retangulares
▪ As é dado em cm²/m. O valor de “b” (largura) será equivalente a 1 metro.
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Armadura mínima para lajes de concreto armado
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Detalhamento das Armaduras de Lajes
▪ Recomendações básicas:
a) Em cada planta de armadura de lajes, desenham-se, no máximo, duas barras representativas
para cada direção, positiva ou negativa.
b) Todas as barras de mesma bitola, comprimento e formato recebem um número de ordem ou
posição, no quadro analítico de armação.
c) São informações essenciais da planta de armadura de lajes: a resistência característica do
concreto (fck), as classes de aço empregadas e respectivos quadros de armadura analítico e
resumo.
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▪ Arranjo de armaduras negativas:
a) Barras situadas junto à face superior da laje e, no caso mais geral, devem se estender para
cada, a partir do eixo da viga de apoio, de acordo com o diagrama deslocado de momentos.
b) Em bordos simplesmente apoiados, deve-se prever armaduras específicas junto às faces
superiores, para prevenir fissuras paralelas às vigas nesses bordos. As barras são normais à
viga, com espaçamento uniforme, e sua área uma fração (0,25) da armadura positiva paralela
ao bordo.
c) Nos cantos das lajes sem continuidade, é necessária uma armadura em ambas as faces para
combater os momentos volventes, originados da tendência de elevação da placa pela inversão
das reações nesses cantos, de cima para baixo, nos extremos das vigas de apoio. É
estabelecida como fração (0,75) da maior armadura positiva, com barras nas duas direções.
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▪ Ancoragem e aderência:
▪ Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que as forças a que estejam
submetidassejam integralmente transmitidas ao concreto, seja por meio de aderência ou de
dispositivos mecânicos ou por combinação de ambos (ABNT NBR 6118:2014 – Item 9.4.1).
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▪ Uma maneira eficiente para reduzir o comprimento de ancoragem consiste no emprego de
barras com ganchos de extremidade. Nessa caso, uma parcela da força na barra de aço é
transmitida ao concreto por meio das pressões de contato no trecho curvo da barra (ABNT NBR
6118: 2014 – Item 9.4.2.3).
▪ Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser:
a) Semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2∅;
b) Em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4∅;
c) Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8∅.
▪ Para as barras lisas, os ganchos deverão ser semicirculares. O diâmetro interno da curvatura do
dobramento dos ganchos das armaduras longitudinais de tração, exigido a fim de evitar fissuras
no aço, deve ser pelo menos, igual aos valores da Tabela 9.1.
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▪ Seja uma barra de aço solidária a um bloco de concreto e submetida a uma força de tração de
cálculo Rsd. Devido à aderência entre o concreto e o aço, surgem tensões tangenciais (τb) na
interface entre os dois materiais. Dessa maneira, a força de tração na barra de aço é transferida
ao concreto ao longo do comprimento lb (comprimento de ancoragem básico) sendo lb ≥ 25Φ.
Item 9.4.2.4 da ABNT NBR 6118:2014.
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▪ A resistência de aderência de cálculo entre a armadura e o concreto na ancoragem de
armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão (ABNT NBR 6118:2014 – Item
9.3.2.1):
▪ Sendo: fctd – resistência de cálculo à tração do concreto; fctk,inf – resistência característica à
tração inferior; fck – resistência média à tração do concreto.
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▪ Os coeficientes η tem seus valores dados por:
1 = 1,0 para barras lisas (CA-25 e CA-60 liso);
1 = 1,4 para barras entalhadas (CA-60 entalhado);
1 = 2,25 para barras nervuradas (CA-50 nervurado).
2 = 1,0 para situações de boa aderência;
2 = 0,7 para situações de má aderência.
3 = 1,0 para barras com  < 32 mm;
3 = (132 - )/100, para barras com  ≥ 32 mm.
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▪ Em situações em que a armadura existente (detalhada) em um determinado elemento é maior
que a necessária calculada, o comprimento de ancoragem necessário (lb,nec) pode ser reduzido
de acordo com o item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118:2014.
▪ Sendo:
▪ α= 1,0 para barras sem gancho; α= 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no
plano normal ao do gancho ≥ 3∅.
▪ As,calc: é a área da seção da armadura obtida no dimensionamento à flexão.
▪ As,efe: área efetivamente adotada, quando da escolha dos diâmetros das barras.
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(3º) Para o painel de lajes da figura a seguir, todas com a mesma espessura de 10
cm, calcule os momentos fletores, dimensione e detalhe as armaduras positivas e
negativas, para uma sobrecarga de cobertura em estrutura de madeira com telhas
cerâmicas de 0,85 kN/m² e impermeabilização de 2,7 kN/m². Dados: Fck= 25 MPa,
aços CA-50 e CA-60, cobrimento de 25 mm (ambientes urbanos secos). Desenhe
a planta de reações de apoio e de momentos fletores.
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Dúvidas???
Prof. Pabllo da Silva Araujo – Eng. Civil, Me. 040300196@prof.uninassau.edu.br
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