MAPA - PROGRAMACAO E CALCULO NUMERICO

Prévia do material em texto

M.A.P.A. – PROGRAMAÇÃO E CÁLCULO NUMÉRICO
	Nome: 
	R.A.: 
	
	Data: 
INFORMAÇÕES GERAIS
Olá, estudante!
 
Iniciamos agora a atividade M.A.P.A. da disciplina de Programação e Cálculo Numérico. Prepare-se para colocar em prática os conceitos estudados durante a disciplina!
Caso surjam dúvidas, não hesite em contatar os professores da disciplina. Desejamos sucesso na sua atividade!
INSTRUÇÕES DE ENTREGA
Este é um trabalho INDIVIDUAL.
 
Sobre o seu preenchimento, é necessário o cumprimento das seguintes diretrizes:
 
- Não serão aceitas respostas que constem apenas o resultado numérico, sem que seja demonstrado o raciocínio que o levou a encontrar àquela resposta.
- Toda e qualquer fonte e/ou referência utilizada para responder aos questionários deve ser citada ao final da questão.
- Após inteiramente respondido, o Template deve ser enviado para correção através do Studeo.
- O Template pode ter quantas páginas você precisar para respondê-lo, desde que siga a estrutura proposta.
- O Template deve ser enviado única e exclusivamente pelo Studeo, no campo destinado a esta atividade da disciplina. Toda e qualquer outra forma de entrega não será considerada.
 
A qualidade do trabalho será considerada na hora da avaliação, então preencha tudo com cuidado, explique o que está fazendo, responda às perguntas e mostre sempre o passo a passo das resoluções e deduções. Quanto mais completo seu trabalho, melhor!
Problemas frequentes a evitar:
 
- Coloque um nome simples em seu arquivo para não haver confusão no momento do envio.
- Se você usa OPEN OFFICE ou MAC, transforme o arquivo em .pdf para evitar incompatibilidades.
- Verifique se você está enviando o arquivo correto! É a Atividade M.A.P.A. da disciplina? Ele está preenchido adequadamente?
 
Como enviar o arquivo:
 
- Acesse, no Studeo, o ambiente da disciplina e clique no botão “M.A.P.A.”. No final da página há uma caixa tracejada de envio de arquivo. Basta clicar nela e, então, selecionar o arquivo de resposta (template) da sua atividade.
- Antes de clicar em FINALIZAR, certifique-se de que tudo está certo, pois uma vez finalizado não será possível modificar o arquivo. Sugerimos que clique no link gerado da atividade e faça o download para conferir se está de acordo com o arquivo entregue.
 
Sobre plágio e outras regras:
 
- Trabalhos copiados da internet ou de outros alunos serão zerados!
A equipe de mediação está à disposição para o atendimento das dúvidas por meio do “Fale com o Mediador” no Studeo. Aproveite essa ferramenta!
PROBLEMATIZAÇÃO
Cálculo Numérico e a Engenharia
Problemas de engenharia podem ser resolvidos através de diferentes metodologias, sendo que a solução por métodos numéricos proporciona uma série de pontos positivos que colaboram para uma melhor compreensão dos fenômenos com um bom balanceamento entre tempo, custo e qualidade.
Os métodos numéricos são aplicações de algoritmos pelas quais é possível formular e resolver problemas matemáticos usando operações aritméticas menos complexas. Estes também são conhecidos como métodos indiretos. A análise numérica idealiza e concebe métodos para “aprovar” de forma eficiente as soluções de problemas expressados matematicamente.
 O objetivo principal da análise numérica é encontrar soluções “aproximadas” para problemas complexos.
 
Fonte:
 https://www.esss.co/blog/metodos-numericos-para-simulacao-na-engenharia. 
Acesso em: 13 fev. 2023.
 
Levando em consideração essa abrangência dos Métodos Numéricos, avalie e resolva os 4 problemas a seguir que dizem respeito a questões envolvendo custos, análise de projetos, determinação de propriedades e discussões acerca da importância da programação.
DEMANDA I – CONTROLE DE CUSTOS
Uma empresa comprou uma peça de equipamento de $ 60.000 sem entrada e pagando $ 15.000 por ano por seis anos. Qual a taxa de juros que você está pagando? A fórmula que relaciona o valor atual P, os pagamentos anuais A, o número de anos n e a taxa de juros i é:
Fonte: o autor.
​De posse dessas informações, responda o que se pede indicando 4 casas decimais nas respostas e indicando os erros de cada aproximação.
 
a) Considerando que o método escolhido foi o da bisseção, qual o resultado da aproximação encontrada (apresente também o erro) para a taxa de juros?
Considere:
Intervalo = [0,10;0,90]
Realize até a iteração i = 10
 
Resposta: 
Para encontrar a taxa de juros i, precisamos resolver a equação abaixo para i usando o método da bisseção:
Onde 
P = $60.000
A = $15.000 
n = 6.
Iteração i = 0
Iteração i = 1
Iteração i = 2
Iteração i = 3
Iteração i = 4
Iteração i = 5
	
Iteração i = 6
Iteração i = 7
Iteração i = 8
Iteração i = 9
Iteração i = 10
	i
	ai
	bi
	xi
	ei
	f(xi)*f(ai)
	f(xi)
	f(ai)
	0
	0,1
	0,9
	0,5
	0,2
	-6,0795E-03
	2,9812E-01
	-2,0393E-02
	1
	0,1
	0,5
	0,3
	0,1
	-2,6183E-03
	1,2839E-01
	-2,0393E-02
	2
	0,1
	0,3
	0,2
	0,05
	-1,0340E-03
	5,0706E-02
	-2,0393E-02
	3
	0,1
	0,2
	0,15
	0,025
	-2,9033E-04
	1,4237E-02
	-2,0393E-02
	4
	0,1
	0,15
	0,125
	0,0125
	6,7708E-05
	-3,3202E-03
	-2,0393E-02
	5
	0,125
	0,15
	0,1375
	0,0063
	-1,7927E-05
	5,3993E-03
	-3,3202E-03
	6
	0,125
	0,1375
	0,1313
	0,0031
	-3,4019E-06
	1,0246E-03
	-3,3202E-03
	7
	0,125
	0,1313
	0,1281
	0,0016
	3,8235E-06
	-1,1516E-03
	-3,3202E-03
	8
	0,1281
	0,1313
	0,1297
	0,0008
	7,4188E-08
	-6,4423E-05
	-1,1516E-03
	9
	0,1297
	0,1313
	0,1305
	0,0004
	-3,0914E-08
	4,7985E-04
	-6,4423E-05
	10
	0,1297
	0,1305
	0,1301
	0,0002
	-1,3378E-08
	2,0766E-04
	-6,4423E-05
Resultado ecnontrado da aproximação:
b) Considerando que o método escolhido foi o das cordas, qual o resultado da aproximação encontrada (apresente também o erro) para a taxa de juros?
Considere:
Intervalo = [0,10;0,90]
Realize até a iteração i = 5
 
Resposta: 
Iteração i = 0
Iteração i = 1
Iteração i = 2
Iteração i = 3
Iteração i = 4
Iteração i = 5
	i
	a
	b
	xi
	erro
	f(x)*f(a)
	f(a)
	f(x)
	f(b)
	0
	0,1
	0,9
	0,1236
	0,4
	8,6825E-05
	-2,0393E-02
	-4,2577E-03
	6,6955E-01
	1
	0,1236
	0,9000
	0,1286
	0,3882
	3,6406E-06
	-4,2577E-03
	-8,5506E-04
	6,6955E-01
	2
	0,1286
	0,9000
	0,1295
	0,3857
	1,4566E-07
	-8,5506E-04
	-1,7035E-04
	6,6955E-01
	3
	0,1295
	0,9000
	0,1297
	0,3852
	5,7726E-09
	-1,7035E-04
	-3,3886E-05
	6,6955E-01
	4
	0,1297
	0,9000
	0,1298
	0,3851
	2,2833E-10
	-3,3886E-05
	-6,7382E-06
	6,6955E-01
	5
	0,1298
	0,9000
	0,1298
	0,3851
	9,0278E-12
	-6,7382E-06
	-1,3398E-06
	6,6955E-01
Resultado ecnontrado da aproximação:
c) Se a dívida for renegociada de forma que os juros anuais sejam de 8% mantendo-se a parcela anual, em quanto tempo essa dívida será paga? Utilize o método das Cordas com:
Intervalo = [1,6]
Realize até a iteração i = 10
Resposta:
	i
	a
	b
	xi
	erro
	f(x)*f(a)
	f(a)
	f(x)
	f(b)
	0
	1
	6
	5,8050
	2,5
	-0,0232
	0,8300
	-0,0280
	-0,0337
	1
	1,0000
	5,8050
	5,6484
	2,4025
	-1,9155E-02
	0,8300
	-0,0231
	-0,0280
	2
	1,0000
	5,6484
	5,5226
	2,3242
	-1,5730E-02
	0,8300
	-0,0190
	-0,0231
	3
	1,0000
	5,5226
	5,4217
	2,2613
	-1,2863E-02
	0,8300
	-1,5498E-02
	-0,0190
	4
	1,0000
	5,4217
	5,3406
	2,2108
	-1,0483E-02
	0,8300
	-1,2630E-02
	-0,0155
	5
	1,0000
	5,3406
	5,2756
	2,1703
	-8,5178E-03
	0,8300
	-1,0262E-02
	-0,0126
	6
	1,0000
	5,2756
	5,2233
	2,1378
	-6,9049E-03
	0,8300
	-8,3192E-03
	-0,0103
	7
	1,0000
	5,2233
	5,1814
	2,1117
	-5,5866E-03
	0,8300
	-6,7308E-03
	-0,0083
	8
	1,0000
	5,1814
	5,1478
	2,0907
	-4,5128E-03
	0,8300
	-5,4371E-03
	-0,0067
	9
	1,0000
	5,1478
	5,1208
	2,0739
	-3,6407E-03
	0,8300
	-4,3864E-03
	-0,0054
	10
	1,0000
	5,1208
	5,0991
	2,0604
	-2,9340E-03
	0,8300
	-3,5350E-03
	-0,0044
Iteração i = 0
Iteração i = 1
Iteração i = 2
Iteração i = 3
Iteração i = 4
Iteração i = 5
Iteração i = 6
Iteração i = 7
Iteração i = 8
Iteração i = 9
Iteração i = 10
Resultado ecnontrado da aproximação:
A divida será paga em aproximadamente 5,0991 anos
DEMANDA II – AVALIAÇÃO DE DADOS
Umestudo de engenharia de transporte foi conduzido para determinar um projeto adequado de faixas para bicicleta. Foram coletados dados sobre a largura das faixas para bicicleta e a distância média entre as bicicletas e os carros trafegando. Os dados de nove ruas são:
	Distância (m)
	2,2
	1,5
	2,4
	1,9
	1,8
	2,9
	1,3
	3
	1,7
	Largura da faixa (m)
	2,7
	2
	2,3
	2,1
	1,8
	2,6
	1,5
	2,9
	1,5
Fonte: o autor.
​a) Trace os dados.
Resposta: 
Para visualizar os dados coletados, podemos criar um gráfico de dispersão, com a distância média entre as bicicletas e os carros trafegando no eixo x e a largura das faixas para bicicletas no eixo y.
Aqui está o gráfico com os dados plotados:
b) Ajuste uma reta aos dados, por regressão linear. Acrescente essa reta ao gráfico.
Resposta: 
	Distância (m)
	Largura da faixa (m)
	x²
	xy
	2,2
	2,7
	4,84
	5,94
	1,5
	2
	2,25
	3
	2,4
	2,3
	5,76
	5,52
	1,9
	2,1
	3,61
	3,99
	1,8
	1,8
	3,24
	3,24
	2,9
	2,6
	8,41
	7,54
	1,3
	1,5
	1,69
	1,95
	3
	2,9
	9
	8,7
	1,7
	1,5
	2,89
	2,55
	SOMATÓRIO
	18,7
	19,4
	41,69
	42,43
Equação
c) Se a distância mínima média segura entre as bicicletas e os carros trafegando for igual a 2 m, qual será a largura mínima da faixa correspondente? (Considere duas casas decimais).
Resposta: 
· Largura mínima da faixa	
d) Ajuste uma parábola aos dados. Com a parábola ajustada, se a distância mínima média segura entre as bicicletas e os carros trafegando for igual a 2 m, qual será a largura mínima da faixa correspondente (considere duas casas decimais).
Resposta: 
· Usando o excel:
Largura mínima da faixa:
· Usando Interpolação quadrática
	Distância (m)
	2,2
	1,5
	2,4
	1,9
	1,8
	2,9
	1,3
	3
	1,7
	Largura da faixa (m)
	2,7
	2
	2,3
	2,1
	1,8
	2,6
	1,5
	2,9
	1,5
 
Largura mínima da faixa:
DEMANDA III – AVALIAÇÃO DE PROCESSO
A taxa de resfriamento de um corpo pode ser expressa por:
 Fonte: o autor.
​em que T é a temperatura do corpo (°C), Ta é a temperatura do meio ao redor (°C) e k é uma constante de proporcionalidade (por minuto). Logo, essa equação (chamada de lei de resfriamento de Newton) especifica que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ao redor. Se uma bola de metal aquecida a 80°C for jogada na água que possui uma temperatura mantida constante em Ta = 20°C, a temperatura da bola muda da seguinte forma:
	Tempo (min)
	0
	5
	10
	15
	20
	25
	Temperatura (°C)
	80
	46
	32
	25
	22
	20
​Qual a constante “k” para esse caso?
Resposta: 
Dados:
Equação inicial
Aplicando integral
Aplicando log
Em t = 0
Encontrando k em t = 5
Aplicando ln
O valor da constante k é 0,1674 e a equação é:
DEMANDA IV – PROGRAMAÇÃO
As disciplinas de programação fazem parte do ciclo básico da Engenharia e, consequentemente, temos que aprender a falar a “linguagem das máquinas” logo nos primeiros semestres, sem entender muito bem como aquilo pode ter alguma relevância. Algoritmos, linguagens de programação (Python, C, C++, Java, R e outras) se misturam e podem dar um nó na cabeça de muita gente.
Contudo, esse processo é essencial para a formação. Na verdade, a linguagem em si não importa muito, mas a lógica de programação faz toda a diferença. Entender a lógica pode contribuir para a sua formação como engenheiro(a)	 e para a resolução de problemas cotidianos (principalmente os que envolvem lógica). Atribuir uma sequência de tarefas para uma máquina, na ordem certa, exige que você entenda o problema e saiba o passo a passo para resolvê-lo.
Fonte: https://engenharia360.com/saber-programar-na-engenharia. Acesso em: 13 fev. 2023.
Inspirado pela reportagem apresentada, utilize seus conhecimentos sobre Programas, Softwares, Bancos de Dados e Bibliotecas para indicar como tarefas rotineiras podem ser executadas, analisadas e otimizadas com a utilização da programação e o uso de algoritmos.
Resposta: 
A programação e o uso de algoritmos podem ser úteis em diversas tarefas rotineiras, tais como:
Automatização de tarefas repetitivas: Com o uso da programação, é possível automatizar tarefas repetitivas e rotineiras, como a organização de arquivos, atualização de planilhas e envio de e-mails, por exemplo.
Análise de dados: A programação pode ser utilizada para analisar grandes volumes de dados e extrair informações relevantes, como padrões e tendências, por exemplo. Isso pode ser feito por meio de linguagens de programação especializadas em análise de dados, como Python e R, ou por meio do uso de bibliotecas específicas para análise de dados.
Otimização de processos: Com a programação, é possível otimizar processos e torná-los mais eficientes. Isso pode ser feito por meio da criação de algoritmos que permitam a realização de tarefas de forma mais rápida e precisa, ou por meio do desenvolvimento de softwares específicos para automatizar processos.
Gerenciamento de bancos de dados: A programação também pode ser utilizada para gerenciar bancos de dados, permitindo a organização e acesso mais eficiente a grandes volumes de informações. Isso pode ser feito por meio de linguagens de programação especializadas em bancos de dados, como SQL, ou por meio do uso de bibliotecas específicas para acesso a bancos de dados.
A programação e o uso de algoritmos podem ser ferramentas valiosas para a resolução de problemas cotidianos, permitindo a automatização de tarefas, a análise de dados, a otimização de processos e o gerenciamento de bancos de dados, entre outras aplicações. 
Gráfico
Largura da faixa (m)	2.2000000000000002	1.5	2.4	1.9	1.8	2.9	1.3	3	1.7	2.7	2	2.2999999999999998	2.1	1.8	2.6	1.5	2.9	1.5	
Gráfico
Largura da faixa (m)	
2.2000000000000002	1.5	2.4	1.9	1.8	2.9	1.3	3	1.7	2.7	2	2.2999999999999998	2.1	1.8	2.6	1.5	2.9	1.5	
Gráfico
Largura da faixa (m)	
2.2000000000000002	1.5	2.4	1.9	1.8	2.9	1.3	3	1.7	2.7	2	2.2999999999999998	2.1	1.8	2.6	1.5	2.9	1.5