Matemática Básica (MMB002)

Prévia do material em texto

https://www.youtube.com/channel/UCbIWfnLHG4IuEYsT82cDuTg
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Números Naturais 
 
Números Naturais 
Denotaremos por 𝑵 ao conjunto dos números 
Naturais. 
𝑵 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … 
Os números naturais surgiram da necessidade 
do homem em contar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os Símbolos Egípcios 
 
Os Símbolos Egípcios 
 
Os Símbolos Romanos 
 
´ 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Sistema de Numeração 
Posicional 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 
Sistema de Numeração 
Posicional 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 = 4×10+5 
 
Sistema de Numeração 
Posicional 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 = 4×10+5 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 = 4×10+5 
 
Dezena Unidade 
Sistema de Numeração 
Posicional 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 = 4×10+5 
 
Dezena Unidade 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 = 4×10+5 
 
Dezena Unidade 
45 ≠ 54 
Sistema de Numeração 
Posicional 
É quando a posição que um símbolo 
ocupa em um número, define o seu valor. 
Ex. No sistema Indo-Arábico 
 45 = 4×10+5 
 
Dezena Unidade 
45 ≠ 54 
É quando cada símbolo tem um valor 
determinado independentemente da 
posição que ocupa na escrita do número 
 
Ex No sistema Egípcio 
 Ո ǀ ǀ = 10+1+1=12 
 ǀ Ո ǀ = 1+10+1=12 
 ǀ ǀ Ո = 1+1+10=12 
Sistema de Numeração não 
Posicional 
O sistema Indo-Arábico que utilizamos é um 
sistema de numeração decimal e posicional, 
com apenas estes dez símbolos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
Levando em conta a sua posição na escrita 
de um número, podemos escrever, de forma 
única, qualquer número natural. 
Tais símbolos são chamados algarismos 
(hoje também se utiliza a expressão dígito) 
Sistema Decimal 
O sistema decimal também é conhecido como um 
sistema na base dez, pois os números podem ser 
escritos como soma de múltiplos de potências de 
10, vejamos um exemplo: 
 
𝟐𝟑𝟖𝟕 = 𝟐. 𝟏𝟎𝟑 + 𝟑. 𝟏𝟎𝟐 + 𝟖. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕. 𝟏𝟎𝟎 
 
 Milhar Centena Dezena Unidade 
Sistema Decimal 
Base 2 (ou binário): Os símbolos 
utilizados são apenas 0 e 1 e os números 
são escritos como soma de múltiplos de 
potências de 2. 
Ex: 
𝟏𝟎𝟏𝟏 𝟐 = 𝟏. 𝟐
𝟑 + 𝟎. 𝟐𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟏 + 𝟏. 𝟐𝟎 = 
 
= 𝟖 + 𝟎 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟏 
 
Outros Sistemas 
Base 8 (ou Octal): Os símbolos utilizados 
são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, os números são 
escritos como soma de múltiplos de 
potências de 8. 
Ex: 
𝟏𝟑𝟎𝟒 𝟖 = 𝟏. 𝟖
𝟑 + 𝟑. 𝟖𝟐 + 𝟎. 𝟖𝟏 + 𝟒. 𝟖𝟎 = 
 
= 𝟓𝟏𝟐 + 𝟏𝟗𝟐 + 𝟎 + 𝟒 = 𝟕𝟎𝟖 
 
Outros Sistemas 
Base 16 (Ou Hexadecimal): Os símbolos 
utilizados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, 
D, E e F, os números são escritos como soma 
de múltiplos de potências de 16. 
Ex: 
𝑪𝑨𝑭𝑬 𝟏𝟔 = 
 
= 𝟏𝟐. 𝟏𝟔𝟑 + 𝟏𝟎. 𝟏𝟔𝟐 + 𝟏𝟓. 𝟏𝟔𝟏 + 𝟏𝟒. 𝟏𝟔𝟎 = 
 
= 𝟒𝟗𝟏𝟓𝟐 + 𝟐𝟓𝟔𝟎 + 𝟐𝟒𝟎 + 𝟏𝟒 = 𝟓𝟏𝟗𝟔𝟔 
 
Outros Sistemas 
Ex: Escreva o número 14 na base 3. 
𝟏𝟒 = 𝟏𝟎 + 𝟒 
O múltiplo de 3 mais próximo de 10 e 
menor que 10 é 9 
𝟏𝟒 = 𝟗 + 𝟓 
Agora 5 não é um símbolo permitido na 
base 3, o múltiplo de 3 menor que 5 e 
mais próximo de 5 é 3 
𝟏𝟒 = 𝟗 + 𝟑 + 𝟐 = 𝟏. 𝟑𝟐 + 𝟏. 𝟑𝟏 + 𝟐. 𝟑𝟎 
𝟏𝟒 = 𝟏𝟏𝟐 𝟑 
Outros Sistemas 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Números Naturais 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Operações no conjunto dos 
números Naturais 
Adição 
Um pastor Egípcio, possui ՈՈ
ǀǀǀ
ǀǀǀ
 ovelhas e 
recebe, após um negócio, mais 
ǀǀǀ
ǀǀǀ
 ovelhas. 
Qual é a quantidade de ovelhas que ele possui 
agora? 
ՈՈ
ǀǀǀ
ǀǀǀ
+
ǀǀǀ
ǀǀǀ
= ՈՈ
ǀǀǀǀǀ
ǀǀǀǀǀ
ǀǀ = ՈՈՈǀǀ 
Adição 
Vamos calcular uma soma com um pouco mais 
de detalhes. 
Calcule o valor de 𝟑𝟓 + 𝟕𝟖. 
𝟑𝟓 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
𝟕𝟖 = 𝟕. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟖. 𝟏𝟎𝟎 
temos: 
𝟑𝟓 + 𝟕𝟖 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟖. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟑. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟏. 𝟏𝟎𝟐 + 𝟏. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟑. 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟑 
Algoritmo da Adição 
Calcule a soma, 𝟒𝟓𝟖 + 𝟕𝟗 
Propriedades da Adição 
Para quaisquer números naturais, a, b, c, valem: 
1) 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 comutativa 
2) 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) associativa 
3) 𝒂 + 𝟎 = 𝒂 elemento neutro 
4) Se 𝒂 > 𝒃, então 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒄 
5) Se 𝒂 + 𝒃 = 𝒂, então 𝒃 = 𝟎 
Multiplicação 
Para números naturais o produto pode ser 
visto como uma soma, ou seja, dados 𝒂, 𝒃, 
números naturais, definimos o produto de 𝒂 
por 𝒃 como sendo a soma de uma quantidade 𝒂 
de números 𝒃. 
Ex: 
𝟑. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = 𝟔 
Algoritmo da Multiplicação 
Calcule a multiplicação 𝟐𝟑. 𝟒𝟕 
Propriedades da Multiplicação 
Para quaisquer números naturais, a, b, c, valem: 
1) 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂 comutativa 
2) 𝒂. 𝒃 . 𝒄 = 𝒂. (𝒃. 𝒄) associativa 
3) 𝒂. 𝟏 = 𝒂 elemento neutro 
4) Se 𝒂 > 𝒃, então 𝒂. 𝒄 ≥ 𝒃. 𝒄 
5) Se 𝒂. 𝒃 = 𝒂, então 𝒃 = 𝟏 ou 𝒂 = 𝟎 
Propriedade Distributiva 
Para quaisquer números naturais, a, b, c, vale: 
 
𝒂 + 𝒃 . 𝒄 = 𝒂. 𝒄 + 𝒃. 𝒄 
Proposição 
Para qualquer número natural 𝒂, 𝟎. 𝒂 = 𝟎. 
Demonstração: 
𝟎. 𝒂 = 𝟎 + 𝟎 . 𝒂 = 𝟎. 𝒂 + 𝟎. 𝒂 ⟺ 
 
⟺ 𝟎.𝒂 + 𝟎. 𝒂 = 𝟎. 𝒂 
Pela quinta propriedade da adição, temos: 
 
𝟎. 𝒂 = 𝟎 
 
 
Subtração 
Um pastor Egípcio, possui ՈՈՈǀǀ ovelhas e 
para pagar uma dívida ele oferece ǀǀǀ de suas 
ovelhas. 
Qual é a quantidade de ovelhas que ele possui 
após o pagamento da dívida? 
 
ՈՈՈǀǀ = ՈՈ
ǀǀǀǀǀ
ǀǀǀǀǀ
ǀǀ ⇒ 
 
⇒ ՈՈ
ǀǀǀǀǀ
ǀǀǀǀ
 
 
Subtração 
Dados dois números naturais 𝒂 ≤ 𝒃 o número 
natural 𝒙 tal que 𝒂 + 𝒙 = 𝒃 é chamado a 
diferença entre 𝒃 e 𝒂 e será denotado por 𝒃 − 𝒂. 
Também podemos dizer que 𝒃 − 𝒂 é a 
subtração da quantidade 𝒂 da quantidade 𝒃. 
 
Algoritmo da Subtração 
Qual é a diferença entre os números 𝟖𝟑 𝐞 𝟓𝟕? 
As operações em outra base 
Dados 𝟐𝟓 𝟔 e 𝟒𝟑 𝟔, vamos calcular sua soma, 
seu produto e sua diferença na base 6. 
 
𝟐𝟓 𝟔 = 𝟐. 𝟔
𝟏 + 𝟓. 𝟔𝟎 
𝟒𝟑 𝟔 = 𝟒. 𝟔
𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 
 
𝟐𝟓 𝟔 + 𝟒𝟑 𝟔 = 𝟐. 𝟔
𝟏 + 𝟓. 𝟔𝟎 + 𝟒. 𝟔𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 = 
= 𝟔. 𝟔𝟏 + 𝟖. 𝟔𝟎 = 𝟔. 𝟔𝟏 + 𝟔. 𝟔𝟎 + 𝟐. 𝟔𝟎 = 
= 𝟏. 𝟔𝟐 + 𝟏. 𝟔𝟏 + 𝟐. 𝟔𝟎 = 
= 𝟏𝟏𝟐 𝟔 
 
As operações em outra base 
𝟐𝟓 𝟔 = 𝟐. 𝟔
𝟏 + 𝟓. 𝟔𝟎 𝐞 𝟒𝟑 𝟔 = 𝟒. 𝟔
𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 
 
𝟐𝟓 𝟔. 𝟒𝟑 𝟔 = 𝟐. 𝟔
𝟏 + 𝟓. 𝟔𝟎 . (𝟒. 𝟔𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎) = 
= 𝟖. 𝟔𝟐 + 𝟔. 𝟔𝟏 + 𝟐𝟎. 𝟔𝟏 + 𝟏𝟓. 𝟔𝟎 = 
= 𝟔. 𝟔𝟐 + 𝟐. 𝟔𝟐 + 𝟔. 𝟔𝟏 + 𝟔. 𝟔𝟏 + 𝟔. 𝟔𝟏 + 𝟔. 𝟔𝟏 + 
+𝟐. 𝟔𝟏 + 𝟔. 𝟔𝟎 + 𝟔. 𝟔𝟎 + 𝟑. 𝟔𝟎 = 
= 𝟏. 𝟔𝟑 + 𝟔. 𝟔𝟐 + 𝟒. 𝟔𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 = 
= 𝟐. 𝟔𝟑 + 𝟒. 𝟔𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 = 
= 𝟐𝟎𝟒𝟑 𝟔 
 
As operações em outra base 
𝟒𝟑 𝟔 − 𝟐𝟓 𝟔 = 𝟒. 𝟔
𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 − 𝟐. 𝟔𝟏 + 𝟓. 𝟔𝟎 = 
 
= 𝟒. 𝟔𝟏 − 𝟐. 𝟔𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 − 𝟓. 𝟔𝟎 = 
 
= (𝟑. 𝟔𝟏 + 𝟏. 𝟔𝟏) − 𝟐. 𝟔𝟏 + 𝟑. 𝟔𝟎 − 𝟓. 𝟔𝟎 = 
 
= 𝟑. 𝟔𝟏 − 𝟐. 𝟔𝟏 + 𝟔. 𝟔𝟎 + 𝟑. 𝟔𝟎 − 𝟓. 𝟔𝟎 = 
 
= 𝟏. 𝟔𝟏 + 𝟒. 𝟔𝟎= 
 
= 𝟏𝟒 𝟔 
 
Usando os Algoritmos das 
operações em outras bases 
Calcule a soma 𝟑𝟒 𝟓 + 𝟐𝟑 𝟓 
Usando os Algoritmos das 
operações em outras bases 
Calcule o produto 𝟐𝟑 𝟒. 𝟑𝟏 𝟒 
Potência Natural 
Dados dois números naturais 𝒂 e 𝒃 definimos a 
potência de base 𝒂 e expoente 𝒃, como sendo 
o número natural: 
 
𝒂𝒃 = 
𝒂. 𝒂…𝒂
𝒃 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔
, 𝒔𝒆 𝒃 ≠ 𝟎
𝟏, 𝒔𝒆 𝒂 ≠ 𝟎 𝒆 𝒃 = 𝟎
 
 
Obs: No caso 𝒂 = 𝒃 = 𝟎 é indeterminado. 
Potência Natural 
Exemplos: 
 
𝟐𝟑 = 𝟐. 𝟐. 𝟐 = 𝟖 
 
𝟔𝟎 = 𝟏 
 
𝟎𝟒 = 𝟎. 𝟎. 𝟎. 𝟎 = 𝟎 
Problema: 
Como dividir um total de 109 balas em 
saquinhos, com 3 e 7 balas em cada um? 
Queremos encontrar números naturais 𝒙 𝐞 𝒚 
tais que, 
𝟑𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟏𝟎𝟗 
Como 𝟏𝟎𝟗 = 𝟒𝟗 + 𝟔𝟎, 𝟒𝟗 = 𝟕. 𝟕 𝐞 𝟔𝟎 = 𝟑. 𝟐𝟎, 
temos uma primeira solução que é: 
 
𝒙 = 𝟐𝟎 𝐞 𝒚 = 𝟕 
Exemplo: 
Mas não existe só essa solução, 
 
𝟏𝟎𝟗 = 𝟑𝟗 + 𝟕𝟎, 𝟑𝟗 = 𝟑. 𝟏𝟑 𝐞 𝟕𝟎 = 𝟕. 𝟏𝟎 
Assim também podemos escolher, 
 
𝒙 = 𝟏𝟑 𝐞 𝒚 = 𝟏𝟎 
Exemplo: 
Como encontrar outras soluções? 
A primeira solução que encontramos foi 
𝒙 = 𝟐𝟎 𝒆 𝒚 = 𝟕, a partir desta podemos 
encontrar outras soluções com o seguinte 
procedimento: 
 
 
Exemplo: 
 
𝒙 = 𝟐𝟎 − 𝟕𝒌
𝒚 = 𝟕 + 𝟑𝒌 
, 𝒌 ∈ 𝑵 
 
Para 𝒌 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒆 𝒚 = 𝟕 
Para 𝒌 = 𝟏 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟑 𝒆 𝒚 = 𝟏𝟎 
Para 𝒌 = 𝟐 ⇒ 𝒙 = 𝟔 𝒆 𝒚 = 𝟏𝟑 
 
𝟑. 𝟔 + 𝟕. 𝟏𝟑 = 𝟏𝟖 + 𝟗𝟏 = 𝟏𝟎𝟗 
 
Equação Diofantina 
Uma equação do tipo que resolvemos no 
exemplo anterior é conhecida como Equação 
Diofantina, neste exemplo em particular, as 
variáveis eram números naturais. 
Veremos mais sobre estas equações nas 
próximas aulas. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Operações no conjunto dos 
números Naturais 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
Exercícios 
1) O número 𝟑𝟒 𝟖 é representado na base 16 
por: 
a) 𝟏𝟕 𝟏𝟔 
b) 𝟔𝟒 𝟏𝟔 
c) 𝟏𝑪 𝟏𝟔 
d) 𝟐𝑭 𝟏𝟔 
e) 𝟐𝟐 𝟏𝟔 
 
Exercícios 
𝟑𝟒 𝟖 = 𝟑. 𝟖
𝟏 + 𝟒. 𝟖𝟎 = 𝟐𝟖 
 
𝟐𝟖 = 𝟏𝟔 + 𝟏𝟐 = 
 
= 𝟏. 𝟏𝟔𝟏 + 𝑪. 𝟏𝟔𝟎 = 
 
= 𝟏𝑪 𝟏𝟔 
 
Alternativa c) 
 
Exercícios 
2) Você quer comprar um produto em um site no 
valor de R$ 124,00, mas você só possui moedas 
digitais nos valores de R$7,00 e R$12,00, a 
quantidade mínima de moedas digitais que você 
irá usar é: 
a) 10 
b) 12 
c) 9 
d) 8 
e) 13 
 
Exercícios 
Temos uma equação Diofantina: 
 
𝟏𝟐𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟏𝟐𝟒 
 
𝟏𝟐𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟏𝟐 + 𝟒 
 
𝟏𝟐𝟒 = 𝟗. 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 
 
𝟏𝟐𝟒 = 𝟖. 𝟏𝟐 + 𝟐𝟖 
 
 
 
Exercícios 
Vamos procurar outras soluções: 
 
 
𝒙 = 𝟖 − 𝟕𝒌
𝒚 = 𝟒 + 𝟏𝟐𝒌 
, 𝒌 ∈ 𝑵 
Para 𝒌 = 𝟎 ⇒ 𝐱 = 𝟖 𝐞 𝐲 = 𝟒 ⇒ 𝐱 + 𝐲 = 𝟏𝟐 
Para 𝒌 = 𝟏 ⇒ 𝐱 = 𝟏 𝐞 𝐲 = 𝟏𝟔 ⇒ 𝐱 + 𝐲 = 𝟏𝟕 
 
Alternativa b) 12 moedas digitais. 
 
 
 
Exercícios 
3) Considere as operações: 
 
𝟐 + 𝟒 = 𝟔
𝟐. 𝟒 = 𝟏𝟏
 
Determine, caso exista, uma base na qual 
ambas as operações sejam verdadeiras. 
 
Vamos começar pela adição, 𝟐 + 𝟒 = 𝟔 é 
vardadeiro para qualquer sistema com base 
maior que 6. 
 
Exercícios 
No caso do produto, queremos 𝟐. 𝟒 = 𝟏𝟏 
Como sabemos 
𝟐. 𝟒 = 𝟖 = 𝟏. 𝒙𝟏 + 𝟏. 𝒙𝟎 
em que 𝒙 representa a base do Sistema 
procurado. Logo 
𝒙 = 𝟖 − 𝟏 = 𝟕 
De fato 𝟖 = 𝟏. 𝟕𝟏 + 𝟏. 𝟕𝟎 = 𝟏𝟏 𝟕 
Logo as duas operações são verdadeiras no 
sistema de base 7 
 
Exercícios 
4) Dados os números 37 e 95, encontre um 
número natural 𝒙 tal que 𝟑𝟕 + 𝒙 = 𝟗𝟓. 
𝟑𝟕 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕. 𝟏𝟎𝟎 
𝟗𝟓 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
Vamos supor que 𝒙 = 𝒂. 𝟏𝟎𝟏 + 𝒃. 𝟏𝟎𝟎, então 
𝟑𝟕 + 𝒙 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕. 𝟏𝟎𝟎 + 𝒂. 𝟏𝟎𝟏 + 𝒃. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 . 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕 + 𝒃 . 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟗𝟓 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
Assim temos o seguinte sistema na base 10: 
Exercícios 
 
𝟑 + 𝒂 = 𝟗
𝟕 + 𝒃 = 𝟓
 
Vamos começar pela unidade, 𝟕 + 𝒃 = 𝟓, como 
𝒃 é um algarismo entre 0 e 9 e 𝟕 > 𝟓 esta 
equação não teria solução, mas o algarismo 𝒃 
representa a unidade do número 95, logo 𝟕 + 𝒃 
pode ser um número cuja unidade é 5. 
Sendo 𝒃 um número entre 0 e 9, temos que a 
única possibilidade é 𝒃 = 𝟖, pois 𝟕 + 𝟖 = 𝟏𝟓 
Exercícios 
Dessa forma nossa soma ficaria: 
𝟑𝟕 + 𝒙 = 𝟑 + 𝒂 . 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕 + 𝟖 . 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 . 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 = 
= 𝟑 + 𝒂 + 𝟏 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
e nosso sistema: 
 
𝟑 + 𝒂 + 𝟏 = 𝟗
𝟓 = 𝟓
⇒ 𝒂 = 𝟓 
Logo 𝒙 = 𝟓𝟖 
 
Exercícios 
5) Na soma abaixo, cada letra representa um 
algarismo e letras diferentes representam 
algarismos diferentes. Determine os números 
envolvidos nesta soma e em que base eles 
estão escritos, sabendo que é uma base menor 
que 10. 
D A C B 
B D 4 C 
 D A C D D 
Exercícios 
D A C B 
B D 4 C 
 D A C D D 
Como letras diferentes correspondem a 
algarismos diferentes e temos 4 letras 
distintas, A, B, C e D, e o algarismo 4, a base é 
maior ou igual a 5. 
Exercícios 
D A C B 
B D 4 C 
 D A C D D 
D só pode ser 1, pois os dois números que 
estamos somando possuem 4 algarismo e a 
soma possui 5 algarismos, dessa forma temos: 
1 A C B 
B 1 4 C 
 1 A C 1 1 
 
Exercícios 
1 A C B 
B 1 4 C 
 1 A C 1 1 
Seja 𝒙 a base, como 𝟏 + 𝑩 = 𝟏𝑨 𝒙, temos 𝑨 = 𝟎 
ou 𝑨 = 𝟏, o que não pode ocorrer pois 𝑫 = 𝟏. 
Assim temos 𝑨 = 𝟎 
Exercícios 
1 0 C B 
B 1 4 C 
 1 0 C 1 1 
Como 𝟎 + 𝟏 = 𝑪 e 𝑪 ≠ 𝟏, então 𝑪 + 𝟒 = 𝟏𝟏 𝒙, 
assim 𝑪 = 𝟎 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟐, logo temos: 
Exercícios 
1 0 2 B 
B 1 4 2 
 1 0 2 1 1 
Agora, 𝑩 + 𝟐 = 𝟏𝟏 𝒙 e 𝟏 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟏𝟏 𝒙, logo 
𝑩 + 𝟐 = 𝟕 ⟹ 𝑩 = 𝟓, dessa forma a base é 6 e: 
1 0 2 5 
5 1 4 2 
 1 0 2 1 1 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
MATEMÁTICA BÁSICA 
Divisão
Divisão
Podemos entender de forma prática a divisão entre 
dois números naturais e , com , como uma 
distribuição da quantidade de objetos para a 
quantidade de pessoas ou lugares de maneira que 
cada pessoa ou lugar recebam a mesma quantidade 
destes objetos. 
Vejamos um exemplo:
Divisão
Vamos distribuir 15 balas para 6 crianças.
Começamos dando uma bala a cada criança, no final 
desta primeira rodada sobraram 15-6=9 balas e 
podemos repetir o processo, dando mais uma bala a 
cada criança, pois 9>6. 
No final da segunda rodada sobraram 9-6=3 balas e 
não podemos mais repetir o processo, pois 3<6.
Cada criança ganhou 2 balas e restaram 3 balas. 
Algoritmo da Divisão
Algoritmo da Divisão
Algoritmo da Divisão
Algoritmo da Divisão
Algoritmo da Divisão
Resto Quociente
Algoritmo da Divisão
Divisor
Assim , sendo 
Exemplos:
pois , pois 
Já não é divisor de , pois .
Número primo
é um 
número primo, se os únicos divisores de 
forem e o próprio .
São exemplos de números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 
13, 17, 19, 23, 29, 31 
Múltiplo
Um número natural é um múltiplo do número 
natural , se existir um natural tal que,
Obs: Se , então é múltiplo de se, e 
somente se, . 
Múltiplo
Os múltiplos de são os números da forma 
, em que . Que são chamados
números pares. 
Os múltiplos de são os números da forma 
, em que .
Conjunto dos Divisores
Quais são os divisores do número ?
é divisor, pois 
é divisor, pois 
é divisor, pois 
é divisor, pois 
é divisor, pois 
Critérios de Divisibilidade
Um número é divisível por; 
- Terminar em ou .
- A soma de seus algarismos for múltiplo de .
- Terminar em ou .
- Se for divisível por e .
- A soma de seus algarismos for múltiplo de .
10- Terminar em .
Exemplo:
O número 1736 é divisível por 7?
Multiplique por 2 o último algarismo, 
Subtraia este valor do número inicial sem o 
último algarismo. 
O resultado deve ser múltiplo de 7. 
é múltiplo de 7?
Exemplo:
Repita o processocom o resultado, 161
Multiplique por 2 o último algarismo, 
Subtraia este valor do número inicial sem o 
último algarismo. 
O resultado deve ser múltiplo de 7. ( )
Logo 1736 é divisível por 7.
Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum, MDC, de um 
conjunto finito de números naturais, é o maior 
divisor comum a todos os números deste 
conjunto.
Vamos ver algumas maneiras de encontrá-lo.
Máximo Divisor Comum
Encontre o MDC dos números e .
Primeiro modo:
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
36 54 
 
 
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
36 54 2
 
 
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
36 54 2
18 27
 
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
36 54 2
18 27 2
 
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
36 54 2
18 27 2
9 27 3
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
36 54 2
18 27 2
9 27 3
 3 9 3
 1 3 3
 1 1 
Algoritmo de Euclides
Algoritmo de Euclides
Quociente
Resto
Algoritmo de Euclides
Quociente
Resto
Algoritmo de Euclides
Quociente
Resto
Algoritmo de Euclides
Quociente
Resto
Algoritmo de Euclides
Quociente
Resto
Números primos entre si
Dizemos que um conjunto finito de números 
naturais são primos entre si, se o MDC destes
números for 
Exemplos:
a) e são primos entre si.
b) e são primos entre si.
Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum, MMC, de um 
conjunto finito de números naturais, é o menor 
múltiplo, não nulo, comum a todos os números 
deste conjunto.
Vamos ver como encontrá-lo.
Mínimo Múltiplo Comum
Encontre o MMC dos números e .
Primeiro modo:
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
Máximo Divisor Comum
Segundo modo.
MMC e MDC
Proposição. Relação entre o MDC e o MMC.
Dados dois números naturais e vale:
MATEMÁTICA BÁSICA 
Números Inteiros
Números Inteiros
Determine a solução da equação , 
para:
a) 
Não existe solução, pois para todo natural, 
.
b) assumindo valor negativo
A solução é , pois .
Números Inteiros
Exemplos:
a) Você tem um saldo de R$ em sua
conta bancária e é efetivado um débito
automático no valor de R$ . 
Seu saldo passa a ser de R$ .
b) No mês passado a temperature média no 
Canada foi de .
Números Inteiros
Denotaremos por o conjunto dos números
Inteiros.
Elemento Oposto
Dado , existe um , tal que 
O número é chamado o oposto de e é 
denotado por .
Exemplos:
a) é o oposto de , pois .
b) é o oposto de , pois .
Valor absoluto (ou módulo)
Dado um número inteiro , definimos por seu
valor absoluto (ou módulo) ao número natural 
defenido do seguinte modo:
Exemplos:
Adição nos Inteiros 
Dados dois números inteiros e definimos
sua soma da seguinte forma:
- Se e tem o mesmo sinal efetuamos a 
soma dos valores absolutos de e e 
mantemos o mesmo sinal.
- Se e possuem sinais contrários, 
calculamos a diferença entre seus valores
absolutos e mantemos o sinal daquele que 
possui o maior valor absoluto.
Adição nos Inteiros
Exemplos:
a) 
b)
c) 
d)
Multiplicação nos Inteiros 
Dados dois números inteiros e definimos 
seu produto da seguinte forma:
- Se e tem o mesmo sinal,
- Se e possuem sinais contrários,
Multiplicação nos Inteiros
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
Propriedades
Adição: Além das 5 propriedades que vimos
para a adição de números naturais, também
temos a existência do elemento oposto.
Subtração: Com a definição do elemento
oposto, podemos identificar a subtração
como sendo a soma do número com o 
oposto do número .
Propriedades
Multiplicação: Das 5 propriedades que vimos
para a multiplicação de números naturais, 
deixa de valer a propriedade 4:
4) Se , então
Exemplo: , mas 
A propriedade 4 passa a ser escrita da seguinte
forma:
4´) Se , então
Divisão
Divisão: Valem as leis dos sinais da 
multiplicação.
- A divisão de por é exata (resto zero)
Exemplos:
a) 
b) 
Divisão
- A divisão de por não é exata.
Exemplo: Na divisão de por temos:
ou
Existem 2 restos possíveis, ou , como
também 2 possíveis quocientes, ou .
Obs: Note que .
Algoritmo da Divisão
Dados dois números inteiros e , com , 
existem inteiros e , com , tais
que:
Os valores de e podem não ser únicos.
Se e são os possíveis restos, 
então
MDC e MMC
Dados dois números inteiros e , não nulos, 
temos que:
Equação Diofantina
Determine números inteiros e , tais que 
Sol.
Se a equação , não
tem solução inteira, pois não é multiplo de .
Se a equação tem
como solução .
Assim temos nossa primeira solução que é:
Equação Diofantina
Usando esta solução, vamos procurar outras.
Para 
Para 
Para 
…
Equação Diofantina
Quando existe solução de uma equação 
Diofantina?
A equação Diofantina , possui 
solução se, e só se, divide .
Exemplos:
a) A equação possui solução, pois 
que divide .
b) A equação não possui solução, 
pois que não divide .
Identidade de Bézout
Dados dois números inteiros e existem 
números inteiros e tais que:
Potência Inteira.
Dados dois números inteiros e com , 
definimos:
Potência Inteira.
Exemplos:
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
Exercícios 
1) Seja 𝒙 ∈ 𝑵, se 𝑴𝑫𝑪 𝟏𝟖𝟎; 𝒙 = 𝟒 e 
𝑴𝑴𝑪 𝟏𝟖𝟎; 𝒙 = 𝟏𝟒𝟒𝟎, então o valor de 𝒙 é: 
 
a) 4 
b) 18 
c) 32 
d) 64 
e) 180 
 
 
 
 
Exercícios 
Sebemos que 
 
𝑴𝑫𝑪 𝟏𝟖𝟎; 𝒙 . 𝑴𝑴𝑪 𝟏𝟖𝟎; 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎. 𝒙 
Dessa forma, 
 
𝟒. 𝟏𝟒𝟒𝟎 = 𝟏𝟖𝟎. 𝒙 ⇔ 𝒙 = 𝟒. 𝟖 = 𝟑𝟐 
 
Resposta correta é 𝒙 = 𝟑𝟐 
Alternativa c) 
Exercícios 
2) O conjunto solução da equação 𝒙 + 𝟐 = 𝟓 é: 
 
a) 𝑺 = 𝟑 
b) 𝑺 = 𝟎 
c) 𝑺 = 𝟑, 𝟕 
d) 𝑺 = −𝟑, −𝟕 
e) 𝑺 = 𝟑, −𝟕 
 
 
 
 
Exercícios 
𝒙 + 𝟐 = 𝟓 ⟺ 𝐱 + 𝟐 = ±𝟓 
 
𝒙 + 𝟐 = 𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟑 
Ou 
𝒙 + 𝟐 = −𝟓 ⟹ 𝒙 = −𝟕 
 
𝑺 = 𝟑, −𝟕 
 
Resposta correta, alternativa e) 
 
 
 
 
Exercícios 
3) O 1º dia de 2020 foi uma quarta-feira, em que 
dia da semana cairá o 108º dia? 
Solução: 
Temos uma sequência bem definida nos dias 
da semana; 4ª, 5ª, 6ª, Sáb, Dom, 2ª e 3ª... 
Vamos examinar o que acontece nas primeiras 
semanas de 2020. 
 
 
 
 
Exercícios 
Considere a tabela: 
 Dia 
𝟒𝒂 𝟓𝒂 𝟔𝒂 𝑺𝒂𝒃 𝑫𝒐𝒎 𝟐𝒂 𝟑𝒂 
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 
´ 
Exercícios 
Considere a tabela: 
 Dia 
𝟒𝒂 𝟓𝒂 𝟔𝒂 𝑺𝒂𝒃 𝑫𝒐𝒎 𝟐𝒂 𝟑𝒂 
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 
𝟖 𝟗 𝟏𝟎 𝟏𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟏𝟒 
⋮ 
 
´ 
Exercícios 
Considere a tabela: 
 Dia 
𝟒𝒂 𝟓𝒂 𝟔𝒂 𝑺𝒂𝒃 𝑫𝒐𝒎 𝟐𝒂 𝟑𝒂 
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 
𝟖 𝟗 𝟏𝟎 𝟏𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟏𝟒 
⋮ 
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟎 
 Resto 
´ 
Exercícios 
Dividindo 𝟏𝟎𝟖 por 𝟕 obtemos 𝟏𝟓 e resto 𝟑. 
 
𝟏𝟎𝟖 = 𝟏𝟓. 𝟕 + 𝟑 
 
Pela tabela anterior, como o resto na divisão 
por 𝟕 é 𝟑, temos que o 𝟏𝟎𝟖° dia de 2020 será 
uma sexta-feira. 
 
 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟑 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟏 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟒𝟒 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟒𝟒 = 𝑴𝑴𝑪 
 
Exercícios 
4) Determine o MDC e o MMC dos números 𝟏𝟔, −𝟔 e 𝟏𝟖. 
𝟏𝟔 𝟔 𝟏𝟖 𝟐 ⟹ 𝑴𝑫𝑪 = 𝟐 
 𝟖 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟒 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 
 𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 
 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟒𝟒 = 𝑴𝑴𝑪 
 
Exercícios 
5) Determine todos os divisores positivos de 𝟐𝟓𝟐. 
 𝟐𝟓𝟐 𝟐 
 𝟏𝟐𝟔 𝟐 
 𝟔𝟑 𝟑 
 𝟐𝟏 𝟑 
 𝟕 𝟕 
 𝟏 
 
Logo 𝟐𝟓𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟐. 𝟕 
 
 
Exercícios 
𝟐𝟓𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟐. 𝟕 
𝑫 𝟐𝟓𝟐 
𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟔, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟒, 𝟏𝟖, 𝟐𝟏, 𝟐𝟖, 𝟑𝟔, 𝟒𝟐, 𝟔𝟑, 𝟖𝟒, 𝟏𝟐𝟔, 𝟐𝟓𝟐 
𝟐𝟓𝟐 = 𝟐𝒊. 𝟑𝒋. 𝟕𝒌 com 𝟎 ≤ 𝒊, 𝒋 ≤ 𝟐 e 𝟎 ≤ 𝒌 ≤ 𝟏 
Combinações possíveis: 
Fixado o 𝒊 temos 𝟑. 𝟐 possibilidades para 𝒋 e 𝒌. 
Como temos 𝟑 possibilidades para 𝒊, o total de 
possibilidades é 
𝑵 = 𝟑. 𝟑. 𝟐 = 𝟏𝟖 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Números Racionais 
Números Racionais 
Um ancião deixou como herança a seus três 
filhos 𝟓𝟎 camelos. 
Quantos camelos cada filho recebeu? 
Efetuando a divisão de 𝟓𝟎 por 𝟑 obtemos 𝟏𝟔 e 
resto 𝟐. 
𝟓𝟎 = 𝟏𝟔. 𝟑 + 𝟐 
Assim, cada filho recebeu 𝟏𝟔 camelos e mais 
uma terça parte dos 𝟐 camelos que restaram. 
 
𝟓𝟎
𝟑
= 𝟏𝟔 +
𝟐
𝟑
 
Números Racionais 
Conjunto dos números racionais. 
 
𝑸 =
𝒂
𝒃
 𝐭𝐚𝐢𝐬 𝐪𝐮𝐞, 𝒂, 𝒃 ∈ 𝒁 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
𝟏
𝟐
∈ 𝑸 
 
−
𝟑
𝟒
∈ 𝑸 
 
𝟖 ∈ 𝑸 
 
 
Operações nos Racionais 
Dados números racionais 
𝒂
𝒃
 𝐞 
𝒄
𝒅
, definimos: 
 
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
=
𝒂.
𝑴𝑴𝑪(𝒃; 𝒅)
𝒃
+ 𝒄.
𝑴𝑴𝑪(𝒃; 𝒅)
𝒅
𝑴𝑴𝑪(𝒃; 𝒅)
 
 
𝒂
𝒃
.
𝒄
𝒅
=
𝒂. 𝒄
𝒃. 𝒅
 
Para 𝐜 ≠ 𝟎 
𝒂
𝒃
÷
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
=
𝒂. 𝒅
𝒃. 𝒄
 
 
 
 
Operações nos Racionais 
Exemplos: 
𝟑
𝟒
+
𝟓
𝟔
= 
 
=
𝟑.
𝟏𝟐
𝟒
+ 𝟓.
𝟏𝟐
𝟔
𝟏𝟐
= 
 
=
𝟑. 𝟑 + 𝟓. 𝟐
𝟏𝟐
=
𝟏𝟗
𝟏𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operações nos Racionais 
Exemplos: 
 
𝟑
𝟒
.
𝟓
𝟕
=
𝟑. 𝟓
𝟒. 𝟕
=
𝟏𝟓
𝟐𝟖
 
 
𝟑
𝟒
÷
𝟓
𝟕
=
𝟑
𝟒
.
𝟕
𝟓
=
𝟐𝟏
𝟐𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elemento Inverso 
Dado 𝒙 ∈ 𝑸, não nulo, existe 𝒚 ∈ 𝑸, tal que: 
 
𝒙. 𝒚 = 𝟏 
 
O número racional 𝒚, definido pela equação 
acima, é chamado inverso do número 𝒙 e pode 
ser denotado por: 
 
𝒚 =
𝟏
𝒙
= 𝒙−𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elemento Inverso 
Exemplos: 
𝒚 =
𝟏
𝟐
 é o inverso de 𝟐, pois 𝟐.
𝟏
𝟐
= 𝟏. 
 
𝒚 =
𝟑
𝟓
 é o inverso de 
𝟓
𝟑
, pois 
𝟑
𝟓
.
𝟓
𝟑
=
𝟏𝟓
𝟏𝟓
= 𝟏. 
 
Com este conceito podemos entender a 
divisão de 𝒙 por 𝒚,como sendo o produto de 𝒙 
pelo inverso de 𝒚. 
 
𝒙
𝒚
= 𝒙.
𝟏
𝒚
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Decimais 
A fração 
𝟏
𝟏𝟎
= 𝟏𝟎−𝟏 é chamada um décimo. 
A fração 
𝟏
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟎−𝟐 é chamada um centésimo. 
A fração 
𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟏𝟎−𝟑 é chamada um milésimo. 
 
Podemos usar estas frações para escrever 
alguns números racionais. 
Vejamos dois exemplos. 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 
 
𝟑 𝟐 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 
 
𝟑 𝟐 
 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 
 
𝟑 𝟐 
 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 
 
𝟑 𝟐 
 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 
 
𝟑 𝟐 
 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 
 
𝟑 𝟐 
 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 
𝟎 
Logo 
𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟓 = 𝟏. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟓. 𝟏𝟎−𝟏 
 
 Um inteiro e cinco décimos 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟏𝟎 𝟎, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟓 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟓 
𝟐 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟓 
𝟐𝟎 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐 
𝟐𝟎 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐 
𝟐𝟎 
 𝟒 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐 
𝟐𝟎 
 𝟒𝟎 
 
 
Números Decimais 
Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 
 
𝟓 𝟖 
 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 
𝟐𝟎 
 𝟒𝟎 
 𝟎 
𝟓
𝟖
= 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟔. 𝟏𝟎−𝟏 + 𝟐. 𝟏𝟎−𝟐 + 𝟓. 𝟏𝟎−𝟑 
 
Seiscentos e vinte e cinco milésimos 
Operações nos Decimais 
Exemplos. 
𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 =
𝟑
𝟐
+
𝟓
𝟖
=
𝟑. 𝟒 + 𝟓. 𝟏
𝟖
=
𝟏𝟕
𝟖
= 𝟐, 𝟏𝟐𝟓 
 
 
Operações nos Decimais 
Exemplos. 
𝟏, 𝟓 . 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 =
𝟑
𝟐
.
𝟓
𝟖
=
𝟑. 𝟓
𝟐. 𝟖
=
𝟏𝟓
𝟏𝟔
= 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 
 
 
Dízimas Periódicas 
Exemplos. 
𝟏𝟎
𝟑
= 𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑… = 𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 
 Dízima periódica simples 
 
𝟕𝟏
𝟗𝟎
= 𝟎, 𝟕𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖… = 𝟎, 𝟕𝟖𝟖𝟖𝟖 
 Dízima periódica 
composta 
Dízimas Periódicas 
Encontre uma fração que resulta na dízima 
periódica 𝒙 = 𝟐, 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖. 
Sol: 
𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟒, 𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖 
 
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟒𝟕𝟖, 𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖 
 
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟐𝟒𝟒 ⇔ 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟐𝟒𝟒 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 =
𝟐𝟑𝟐𝟒𝟒
𝟗𝟗𝟎𝟎
∈ 𝑸 
Dízimas Periódicas 
Sejam 𝒙 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 e 𝒚 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 , calcule: 
a) 𝒙 + 𝒚 
𝒙 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 =
𝟒
𝟑
, 𝒚 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 =
𝟐𝟓
𝟗
 
Logo, 
𝒙 + 𝒚 =
𝟒
𝟑
+
𝟐𝟓
𝟗
=
𝟏𝟐 + 𝟐𝟓
𝟗
=
𝟑𝟕
𝟗
= 𝟒, 𝟏𝟏𝟏𝟏 
 
Dízimas Periódicas 
b) 𝒙. 𝒚 
𝒙 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 e 𝒚 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 
 
𝒙. 𝒚 =
𝟒
𝟑
.
𝟐𝟓
𝟗
=
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟕
= 𝟑, 𝟕𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑 
 
Frações Equivalentes 
Exemplos: 
 
𝟗
𝟏𝟐
=
𝟑. 𝟑
𝟒. 𝟑
=
𝟑
𝟒
.
𝟑
𝟑
=
𝟑𝟒
 
 
𝟔
𝟏𝟖
=
𝟏. 𝟔
𝟑. 𝟔
=
𝟏
𝟑
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Números Racionais 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Números Reais 
Números Reais 
Um quadrado tem lados medindo 𝟏𝒎, qual é a 
medida de sua diagonal? 
 
𝟏 
 
𝟏 
𝒅 
 
 
𝒅𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐 
Números Reais 
Devemos encontrar um número 𝒅, tal que 
 
𝒅𝟐 = 𝟐 
 
𝟏𝟐 = 𝟏 𝒆 𝟐𝟐 = 𝟒 
Logo 𝒅 não é um número inteiro. 
Vamos supor que 𝒅 ∈ 𝑸, então existem inteiros 
𝒑 e 𝒒 ≠ 𝟎, com 𝑴𝑫𝑪 𝒑; 𝒒 = 𝟏, tais que: 
 
𝒅 =
𝒑
𝒒
 
Números Reais 
𝒅𝟐 = 𝟐 ⟹
𝒑
𝒒
𝟐
= 𝟐 ⟹ 
 
⟹
𝒑
𝒒
.
𝒑
𝒒
= 𝟐 ⟺
𝒑𝟐
𝒒𝟐
= 𝟐 ⟺ 
 
⟺ 𝒑𝟐 = 𝟐𝒒𝟐 
Logo 𝒑𝟐 é um número par, como 𝒑 é um 
número inteiro, 𝒑 também é par. 
Números Reais 
Dessa forma, 𝒑 = 𝟐𝒌 para algum 𝒌 ∈ 𝒁 e assim, 
substituindo na equação anterior, temos 
 
𝒑𝟐 = 𝟐𝒒𝟐 ⇔ 𝟐𝒌 𝟐 = 𝟐𝒒𝟐 ⇔ 
 
⇔ 𝟐𝒒𝟐 = 𝟒𝒌𝟐 ⇔ 𝒒𝟐 = 𝟐𝒌𝟐 
Logo 𝒒 também é par e assim 𝑴𝑫𝑪(𝒑; 𝒒) ≥ 𝟐, o 
que é um absurdo pois supomos 𝒑 e 𝒒 primos 
entre si. 
Assim, se 𝒙 é tal que 𝒙𝟐 = 𝟐, temos que 𝒙 ∉ 𝑸. 
 
Números Irracionais 
Os números que não são racionais recebem o 
nome de Irracionais. 
Como exemplo, o número 𝒙 tal que 𝒙𝟐 = 𝟐 é 
um número irracional. 
Outros exemplos: 
O número 𝝅 = 3,14159265358979323846... 
O número 𝒆 = 2,71828182845904523536028 … 
O número de ouro 𝝋 = 1.6180339 … . . 
Números Reais 
A reunião do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais é 
chamado conjunto dos números reais 𝑹. 
 
𝑹 
𝑸 
𝒁 
 𝑵 
Números Reais 
A reunião do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais é 
chamado conjunto dos números reais 𝑹. 
 
𝑹 
𝑸 
𝒁 
 𝑵 
Raiz n-ésima 
Dados um número real 𝒂 ≥ 𝟎 e um número 
natural 𝒏 > 𝟏, chamamos de raiz n-ésima de 𝒂 
ao número real 𝒙 tal que 
 
𝒙𝒏 = 𝒂 
Notação: 
𝒙 = 𝒂𝒏 = 𝒂
𝟏
𝒏 
Assim, 
𝒙 = 𝒂𝒏 = 𝒂
𝟏
𝒏 ⇔ 𝒙𝒏 = 𝒂 
Raiz n-ésima 
Como vimos, 𝟐 ∉ 𝑸. 
 
Se 𝒑 é um número primo, então 𝒑 é irracional. 
 
Se 𝒑 é um número primo, então 𝒑𝒏 é irracional. 
 
Se 𝒌 ∈ 𝑵 tal que 𝒌
𝒏
∉ 𝐍, então 𝒌
𝒏
 é irracional. 
Potência com expoente Racional 
Sejam 𝒂 > 𝟎 um número real e 
𝒑
𝒒
> 𝟎 um 
número racional, definimos: 
 
𝒂
𝒑
𝒒 = 𝒂𝒑
𝒒
 
ou seja, 
𝒙 = 𝒂
𝒑
𝒒 ⇔ 𝒙𝒒 = 𝒂𝒑 
 
Potência com expoente Real 
Sejam 𝒂 > 𝟎 e 𝜷 > 𝟎 números reais, então 
temos: 
 
𝒙 = 𝒂𝜷 ⇔ 𝜷 = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 
 
Uma forma de definirmos a potência de um 
número real, quando o expoente não for 
racional, é usando o conceito de limite. 
 
Propriedades nos Reais 
Adição: Sejam 𝒂, 𝒃 𝐞 𝒄 números reais. 
1) 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 comutativa 
2) 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) associativa 
3) 𝒂 + 𝟎 = 𝒂 elemento neutro 
4) Dado 𝒂 ∈ 𝑹, existe um único 𝒚 ∈ 𝑹 tal que 
𝒂 + 𝒚 = 𝟎, 𝒚 é chamado elemento oposto de 𝒂 e 
é denotado por −𝒂. 
 
Propriedades nos Reais 
Multiplicação: Sejam 𝒂, 𝒃 𝐞 𝒄 números reais. 
1) 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂 comutativa 
2) 𝒂. 𝒃 . 𝒄 = 𝒂. (𝒃. 𝒄) associativa 
3) 𝒂. 𝟏 = 𝒂 elemento neutro 
4) Dado 𝒂 ≠ 𝟎, existe um único 𝒙 ∈ 𝑹, tal que 
𝒂. 𝒙 = 𝟏, 𝒙 é chamado inverso de 𝒂 e será 
denotado por 
𝟏
𝒂
 ou 𝒂−𝟏 
Demais Propriedades 
Para quaisquer números reais, 𝒂, 𝒃 𝐞 𝒄, temos 
𝒂 + 𝒃 . 𝒄 = 𝒂. 𝒄 + 𝒃. 𝒄, propriedade distributiva. 
 
Para qualquer 𝒂 real, −𝒂 = −𝟏 . 𝒂 e −(−𝒂) = 𝒂 
 
Para todo 𝒂 > 𝟎, 𝒂𝒑. 𝒂𝒒 = 𝒂𝒑+𝒒 e 𝒂𝒑 𝒒 = 𝒂𝒑.𝒒 
 
Para todo 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒂. 𝒃 𝒑 = 𝒂𝒑. 𝒃𝒑 
 
Para todo 
𝒂
𝒃
> 𝟎, 
𝒂
𝒃
𝒑
 =
𝒂𝒑
𝒃𝒑
 
 
 
Exemplos 
Calcule: 
𝟖
𝟐𝟕
𝟑
−𝟐
=
𝟖
𝟑
𝟐𝟕
𝟑
−𝟐
=
𝟐
𝟑
−𝟐
=
𝟑
𝟐
𝟐
=
𝟗
𝟒
 
 
𝒙𝟐 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒
𝟏
𝟐 = 𝒙𝟐 𝒙𝟑 + 𝒙
𝟒
𝟐 = 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 
 
−𝟑. 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 = −𝟔𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 
Uma Representação dos Reais 
Costumamos representar o conjunto dos 
números reais como sendo uma reta. 
Escolhemos um ponto para representar o zero, 
que é chamado origem. 
A sua direita marcamos os números positivos 
e a sua esquerda os negativos. 
 
 
 −𝟐 − 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 
Marcando 𝟐 na reta real 
Considere um quadrado de lado 𝟏 com um de 
seus lados sobre a reta real e tendo como 
vértices os pontos que representam os 
números 𝟎 𝐞 𝟏. 
 
 
 
 
𝟎 𝟏 
 
 
 
 
 
Marcando 𝟐 na reta real 
Utilizando um compasso, com a ponta seca em 
𝟎 e abertura igual a diagonal do quadrado, 
trace um arco no sentido horário até encontrar 
o eixo real. 
 
 
 
 
 
 𝟎 𝟏 𝟐 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Números Reais 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
Exercícios 
1) Se 𝒙 é o resultado da divisão de 𝟎, 𝟐𝟓 por 
𝟎, 𝟎𝟎𝟒, então a soma de seus algarismos é: 
 
a) 7 
b) 8 
c) 13 
d) 18 
e) 21 
Exercícios 
Vamos escrever a divisão como uma fração, 
temos: 
𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
 
 
Multiplicando por 1000 o denominador e o 
numerador, não alteramos o valor da fração, 
pois estaremos na verdade multiplicando por 
1 e dessa forma passamos a ter uma divisão 
entre números inteiros. 
 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 𝟔 
 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 𝟏 𝟔 
 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 𝟏𝟎 𝟔 
 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 𝟏𝟎 𝟔𝟐 
 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 𝟏𝟎 𝟔𝟐 
 𝟐 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 𝟏𝟎 𝟔𝟐, 
 𝟐𝟎 
Exercícios 
𝟎, 𝟐𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒
 
Assim, 
 𝟐𝟓𝟎 𝟒 
 𝟏𝟎 𝟔𝟐, 𝟓 
 𝟐𝟎 
 𝟎 
Logo 𝒙 = 𝟔𝟐, 𝟓 e 𝟔 + 𝟐 + 𝟓 = 𝟏𝟑 – alternativa c). 
Exercícios 
2) Assinale a alternativa verdadeira. 
 
a) 
𝟖
𝟐
 é um número irracional 
b) 𝟐 + 𝟑 é um número irracional 
c) Se 𝑰 denota o conjunto dos Irracionais, 
então 𝑸 ⊆ 𝑰 
d) 𝟓 + 𝟕 é um número racional 
e) 
𝟏
𝝅
 é um número racional 
 
Exercícios 
Vamos mostrar que b) é verdadeira: 
Suponha que 𝒂 = 𝟐 + 𝟑 é um número 
racional, então 𝒂𝟐 = 𝟐 + 𝟑
𝟐
 também é um 
número racional, mas 
 
𝒂𝟐 = 𝟐 + 𝟑
𝟐
= 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐. 𝟑 = 𝟓 + 𝟐 𝟔 ⇒ 
 
⇒ 𝟔 =
𝒂𝟐 − 𝟓
𝟐
 
 
Exercícios 
Como 𝒂𝟐 𝒆 𝟓 são racionais, 
𝒂𝟐−𝟓
𝟐
 também é 
racional, o que é um absurdo, pois 𝟔 ∉ 𝑵 e, 
portanto, é irracional. 
Logo 𝟐 + 𝟑 é irracional. 
Alternativa b) 
 
Vamos examinar as outras alternativas: 
Exercícios 
a) é falso pois, 
𝟖
𝟐
=
𝟖
𝟐
= 𝟒 = 𝟐 ∈ 𝑸 
c) é falso pois, 𝑸 ∩ 𝑰 = ∅ 
d) é falso pois, 𝟓 + 𝟕 é irracional. 
d) é falso pois, se 
𝟏
𝝅
 for racional, seu inverso 
também é racional, mas o inverso de 
𝟏
𝝅
 é 𝝅 que 
é irracional. 
 
Exercícios 
3) Um corredor desistiu de uma prova após 
correr 𝟒 décimos do percurso. Se ele corresse 
mais 𝟏, 𝟐 𝑲𝒎 teria alcançado a metade da prova. 
Qual é a metragem total da prova? 
Sol. 
Seja 𝒙 a metragem total da prova, temos: 
𝟒
𝟏𝟎
𝒙 + 𝟏, 𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒙 ⇔
𝟏
𝟐
𝒙−
𝟒
𝟏𝟎
𝒙 = 𝟏, 𝟐 ⇔ 
⇔
𝟏
𝟏𝟎
𝒙 = 𝟏, 𝟐 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟐 
O percurso era de 𝟏𝟐 𝑲𝒎 
 
 
Exercícios 
4) Encontre a fração geratriz da dízima 
periódica 𝒙 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 
Sol. 
Temos 
𝟏𝟎𝒙 = 𝟗, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 
Assim 
𝟏𝟎𝒙 − 𝒙 = 𝟗, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ⇔ 
⇔ 𝟗𝒙 = 𝟗 ⇒ 𝒙 = 𝟏 
Logo, 
𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟏 
 
Exercícios 
5) Sem o uso de uma calculadora, encontre 
uma boa aproximação para 𝟏𝟑 com duas 
casas decimais. 
Sol. 
Primeiramente observe que 𝟑 < 𝟏𝟑 < 𝟒, pois 
𝟑𝟐 = 𝟗 < 𝟏𝟑 e 𝟒𝟐 = 𝟏𝟔 > 𝟏𝟑 
Vamos procurar agora a melhor aproximação 
com uma casa decimal. 
Exercícios 
Temos: 
(𝟑, 𝟏)𝟐= 𝟗, 𝟔𝟏 < 𝟏𝟑 
(𝟑, 𝟐)𝟐= 𝟏𝟎, 𝟐𝟒 < 𝟏𝟑 
(𝟑, 𝟑)𝟐= 𝟏𝟎, 𝟖𝟗 < 𝟏𝟑 
(𝟑, 𝟒)𝟐= 𝟏𝟏, 𝟓𝟔 < 𝟏𝟑 
(𝟑, 𝟓)𝟐= 𝟏𝟐, 𝟐𝟓 < 𝟏𝟑 
(𝟑, 𝟔)𝟐= 𝟏𝟐, 𝟗𝟔 < 𝟏𝟑 
(𝟑, 𝟕)𝟐= 𝟏𝟑, 𝟔𝟗 > 𝟏𝟑 
Assim, 
𝟏𝟑 ≅ 𝟑, 𝟔 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Vamos procurar agora a melhor aproximação 
com duas casas decimais. 
 
(𝟑, 𝟔𝟏)𝟐= 𝟏𝟑, 𝟎𝟑𝟐𝟏 > 𝟏𝟑 
 
(𝟑, 𝟔)𝟐= 𝟏𝟐, 𝟗𝟔 < 𝟏𝟑 
 
𝟏𝟑 − 𝟏𝟐, 𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟒 𝒆 𝟏𝟑, 𝟎𝟑𝟐𝟏 − 𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟐𝟏 
 
Como 𝟎, 𝟎𝟑𝟐𝟏 < 𝟎, 𝟎𝟒, a melhor aproximação 
com duas casas decimais é 𝟏𝟑 ≅ 𝟑, 𝟔𝟏 
 
𝟏𝟑 = 𝟑, 𝟔𝟎𝟓𝟓𝟓𝟏𝟐𝟕𝟓𝟒𝟔𝟑𝟗𝟖𝟗… 
 
 
 
 
Exercícios 
6) Qual dos seguintes números é o maior 𝟒
𝟒
 ou 𝟓
𝟓
? 
Sol. 
Vamos escolher um múltiplo comum a 4 e 5. 
Como 𝒎𝒅𝒄 𝟒; 𝟓 = 𝟐𝟎, temos que: 
𝟒
𝟒 𝟐𝟎
= 𝟒
𝟐𝟎
𝟒 = 𝟒𝟓 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 
𝟓
𝟓 𝟐𝟎
= 𝟓
𝟐𝟎
𝟓 = 𝟓𝟒 = 𝟔𝟐𝟓 
Como 𝟏𝟎𝟐𝟒 > 𝟔𝟐𝟓 temos que: 
𝟒
𝟒
> 𝟓
𝟓
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Expressões Numéricas 
Expressões Numéricas 
Uma expressão numérica é uma combinação 
de números, operações e símbolos gráficos 
(parênteses, chaves e/ou colchetes). 
Exemplos: 
 
𝒙 = 𝟐 + 𝟔 ÷ 𝟐 + 𝟐. 𝟒𝟑 − 𝟏𝟔 
 
𝒙 = 𝟐. 𝟐𝟑 − 𝟐 𝟒𝟖 + 𝟐 𝟓−𝟐.𝟐 − 𝟖 
Ordem das operações 
Em uma expressão numérica sem os símbolos 
gráficos, como é o caso da primeira, devemos 
seguir a seguinte ordem: 
 
1º Resolver as potências e raízes 
 
2º Resolver as multiplicações e divisões 
 
3º Resolver as somas e subtrações 
Ordem das operações 
Vamos resolver a 1ª expressão. 
 
𝒙 = 𝟐 + 𝟔 ÷ 𝟐 + 𝟐. 𝟒𝟑 − 𝟏𝟔 
 
𝒙 = 𝟐 + 𝟔 ÷ 𝟐 + 𝟐. 𝟔𝟒 − 𝟒 
 
𝒙 = 𝟐 + 𝟑 + 𝟏𝟐𝟖 − 𝟒 
 
𝒙 = 𝟏𝟐𝟗 
Ordem das operações 
Em uma expressão numérica com símbolos 
gráficos, como é o caso da segunda expressão, 
devemos seguir a seguinte ordem: 
 
1º Resolver as operações dentro de parênteses 
 
2º Resolver as operações dentro de colchetes 
 
3º Resolver as operações dentro de chaves 
 
 
Ordem das operações 
Vamos resolver a 2ª expressão. 
 
𝒙 = 𝟐. 𝟐𝟑 − 𝟐 𝟒𝟖 + 𝟐 𝟓−𝟐.𝟐 − 𝟖 
 
𝒙 = 𝟐. 𝟐𝟑 − 𝟐 𝟒𝟖 + 𝟐𝟏 − 𝟖 
 
𝒙 = 𝟐. 𝟐𝟑 − 𝟐. 𝟓𝟎 − 𝟖 
 
𝒙 = 𝟐. 𝟐𝟑 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟖 
 
𝒙 = 𝟐. {−𝟕𝟕} − 𝟖 
 
𝒙 = −𝟏𝟔𝟐 
Aplicações 
Exemplos: 
1) Pedro tinha 7 caixas de CDs, com 16 CDs 
em cada uma, após vender um oitavo dos 
CDs, de duas de suas caixas, ele ficou com 
quantos CDs? 
Vamos denotar por 𝒙 a quantidade de CDs. 
 
𝒙 = 𝟕. 𝟏𝟔 −
𝟏
𝟖
. (𝟐. 𝟏𝟔) 
 
Aplicações 
𝒙 = 𝟕. 𝟏𝟔 −
𝟏
𝟖
. (𝟐. 𝟏𝟔) 
 
𝒙 = 𝟕. 𝟏𝟔 −
𝟏
𝟖
. 𝟑𝟐 
 
𝒙 = 𝟏𝟏𝟐 − 𝟒 
 
𝒙 = 𝟏𝟎𝟖 
 
Aplicações 
2) Determine o valor numérico do polinômio 
𝒑 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑, para 𝒙 = −𝟐 
 
𝒑 −𝟐 = 𝟑. (−𝟐)𝟒+𝟒. (−𝟐)𝟑−𝟐. −𝟐 𝟐 − 𝟑 
 
𝒑 −𝟐 = 𝟑. 𝟏𝟔 + 𝟒. (−𝟖) − 𝟐. 𝟒 − 𝟑 
 
𝒑 −𝟐 = 𝟒𝟖 − 𝟑𝟐 − 𝟖 − 𝟑 
 
𝒑 −𝟐 = 𝟓 
 
 
Aplicações 
3) Para 𝒙 = 𝟒, qual é o valor da função 𝒇 𝒙 =
𝒙𝟐+𝟗−𝟑
𝟐𝒙+𝟒
 
 
𝒇 𝟒 =
𝟒𝟐 + 𝟗 − 𝟑
𝟐. 𝟒 + 𝟒
 
 
𝒇 𝟒 =
𝟐𝟓 − 𝟑
𝟖 + 𝟒
 
 
𝒇 𝟒 =
𝟐
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟔
 
Aplicações 
4) Na produção de um determinado produto, uma empresa 
utiliza 2 placas de circuitos, 6 metros de fio, 25 pontos de 
solda, 16 parafusos e 1 console. Custos dos componentes: 
Placa de circuito – R$ 25,00 cada uma 
Fio – R$ 120,00 o rolo com 100m 
Solda – R$ 3,00 cada ponto 
Parafuso – R$ 10,00 o cento 
Console - R$ 15,00 
Qual o custo na fabricação de 200 produtos 
Aplicações 
𝒙 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟐. 𝟐𝟓 + 𝟔.
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
+ 𝟐𝟓. 𝟑 + 𝟏𝟔.
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
+ 𝟏𝟓 
 
𝒙 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟓𝟎 + 𝟔. 𝟏, 𝟐 + 𝟐𝟓. 𝟑 + 𝟏𝟔. 𝟎, 𝟏 + 𝟏𝟓 
 
𝒙 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟓𝟎 + 𝟕, 𝟐 + 𝟕𝟓 + 𝟏, 𝟔 + 𝟏𝟓 
 
𝒙 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟏𝟒𝟖, 𝟖 
 
𝒙 = 𝟐𝟗𝟕𝟔𝟎 
 
O custo é de R$ 29.760,00 
Importância da ordenação 
Resolva as seguintes expressões numéricas. 
 
a) 𝒙 = 𝟑. 𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 − 𝟐 
 
b) 𝒙 = 𝟑. (𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 − 𝟐) 
 
c) 𝒙 = (𝟑. 𝟓 + 𝟓) ÷ (𝟓 − 𝟐) 
 
d) 𝒙 = 𝟑. [𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 ] − 𝟐 
 
e) 𝒙 = 𝟑. {[(𝟓 + 𝟓) ÷ 𝟓] − 𝟐} 
Importância da ordenação 
a) 𝒙 = 𝟑. 𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 − 𝟐 
𝒙 = 𝟑. 𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 − 𝟐 
 
𝒙 = 𝟏𝟓 + 𝟏 − 𝟐 
 
𝒙 = 𝟏𝟒 
 
b) 𝒙 = 𝟑. (𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 − 𝟐) 
𝒙 = 𝟑. (𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 − 𝟐) 
 
𝒙 = 𝟑. (𝟓 + 𝟏 − 𝟐) 
 
𝒙 = 𝟑. 𝟒 
 
𝒙 = 𝟏𝟐 
 
 
 
Importância da ordenação 
c) 𝒙 = (𝟑. 𝟓 + 𝟓) ÷ (𝟓 − 𝟐) 
𝒙 = (𝟑. 𝟓 + 𝟓) ÷ (𝟓 − 𝟐) 
 
𝒙 = (𝟐𝟎) ÷ (𝟑) 
 
𝒙 =
𝟐𝟎
𝟑
 
3 d) 𝒙 = 𝟑. [𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 ] − 𝟐 
𝒙 = 𝟑. [𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 ] − 𝟐 
 
𝒙 = 𝟑. [𝟓 + 𝟏] − 𝟐 
 
𝒙 = 𝟑. 𝟔 − 𝟐 
 
𝒙 = 𝟏𝟔 
 
 
 
 
Importância da ordenação 
e) 𝒙 = 𝟑. 𝟓 + 𝟓 ÷ 𝟓 − 𝟐 
 
𝒙 = 𝟑. {[(𝟏𝟎 ÷ 𝟓] − 𝟐} 
 
𝒙 = 𝟑. {𝟐 − 𝟐} 
 
𝒙 = 𝟎 
a) 14 
b) 12 
c) 20/3 
d) 16 
e) 0 
 
 
Cuidado com Potenciação 
Qual é o valor da expressão 𝒙 = 𝟐𝟑
𝟐
? 
 
𝟐𝟑
𝟐
= 𝟐𝟑
𝟐
𝐨𝐮 𝟐𝟑
𝟐
= 𝟐 𝟑
𝟐
 
 
𝟐𝟑
𝟐
= 𝟖𝟐 = 𝟔𝟒 
 
𝟐 𝟑
𝟐
= 𝟐𝟗 = 𝟓𝟏𝟐 
Logo 
𝟐𝟑
𝟐
= 𝟐 𝟑
𝟐
= 𝟐𝟗 = 𝟓𝟏𝟐 
 
Cuidado com Simplificação 
Qual é o valor da expressão 𝒙 =
𝟖+𝟓
𝟐
? 
Erro comum: 
𝒙 =
𝟖 + 𝟓
𝟐
= 𝟗 
Correto é efetuar a soma primeiro. 
 
𝒙 =
𝟖 + 𝟓
𝟐
=
𝟏𝟑
𝟐
= 𝟔, 𝟓 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Expressões Numéricas 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Problemas Matemáticos 
Problemas Matemáticos 
Um problema é uma situação que necessita 
uma maneira matemática de pensar e também 
de conhecimentos específicos para que possa 
ser resolvida. 
Alguns autores classificam os problemas em: 
Problemas Matemáticos 
Exercícios de reconhecimento: onde o 
objetivo é identificar ou lembrar um conceito; 
Exercícios de algoritmos: servem para treinar 
a habilidade em executar um algoritmo e 
reforçar conhecimentos anteriores; 
Problemas-padrão: a solução do problema 
está contida no enunciado, a tarefa básica é 
transformar a linguagem usual em linguagem 
matemática; 
 
Problemas Matemáticos 
Problemas heurísticos: sua solução envolve 
as operações que não estão contidas de forma 
explícita no enunciado, exigem um tempo para 
pensar e arquitetar uma estratégia; 
Problemas de aplicação (contextualizados): 
são aqueles que retratam situações reais do 
dia a dia e exigem o uso da linguagem 
matemática para serem resolvidos. 
 
Problemas Matemáticos 
 
 Problema 
 Real 
 
 
 
Problemas Matemáticos 
 
 Problema 
 Real 
 
 
 Modelo 
 Matemático 
 
Problemas Matemáticos 
 
 Problema 
 Real 
 
 
 Modelo 
 Matemático 
 
Problemas Matemáticos 
 
 Problema 
 Real 
 
 
 Modelo Solução 
 Matemático Matemática 
 
Problemas Matemáticos 
 
 Problema Verificação 
 Real Real 
 
 
 ModeloSolução 
 Matemático Matemática 
 
Problemas Matemáticos 
1) Para fazer a calçada em frente de minha 
casa, tenho disponibilizado apenas R$ 1.000,00 
para a compra de pedra e areia. O metro cúbico 
de areia custa R$ 80,00, enquanto que o metro 
cúbico de pedras custa R$ 70,00. Obtenha uma 
expressão matemática que relacione os valores 
e possíveis quantidades de areia e pedra que 
posso comprar. 
Sejam 𝒙 𝐞 𝒚 as quantidades de areia e pedra em 
metros cúbicos, respectivamente, então 
𝟖𝟎𝒙 + 𝟕𝟎𝒚 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎 
 
Problemas Matemáticos 
Sabendo que, para cada metro cúbico de pedra 
são necessários três metros cúbicos de areia, 
ou seja, 
𝒙 = 𝟑𝒚 
determine a quantidade máxima de areia e 
pedra que posso comprar. 
Temos um sistema: 
 
 
𝟖𝟎𝒙 + 𝟕𝟎𝒚 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒙 = 𝟑𝒚
 
Problemas Matemáticos 
 
𝟖𝟎𝒙 + 𝟕𝟎𝒚 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒙 = 𝟑𝒚
 
Substituindo a 2ª equação na 1ª equação vem: 
𝟖𝟎(𝟑𝒚) + 𝟕𝟎𝒚 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⇔ 
⇔ 𝟐𝟒𝟎𝒚 + 𝟕𝟎𝒚 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⇔ 
⇔ 𝟑𝟏𝟎𝒚 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⇒ 𝒚 ≤
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟏𝟎
=
𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟏
= 𝟑, 𝟐𝟐… 
Como a casa de material de construção só 
vende por metro cúbico, o total de pedra que 
posso comprar é de 𝟑𝒎𝟑. 
Problemas Matemáticos 
Da relação 𝒙 = 𝟑𝒚, com 𝒚 = 𝟑 obtemos 𝒙 = 𝟗, 
logo a quantidade de areia que eu posso 
comprar é de 𝟗𝒎𝟑. 
Quanto gastei se comprei o máximo possível 
de areia e pedra? 
 
𝑪 = 𝟖𝟎𝒙 + 𝟕𝟎𝒚 = 𝟖𝟎. 𝟗 + 𝟕𝟎. 𝟑 = 
= 𝟕𝟐𝟎 + 𝟐𝟏𝟎 = 𝟗𝟑𝟎 
 
Gastei R$ 930,00 
Problemas Matemáticos 
2) Um vendedor de planos de saúde recebe de 
salário R$ 3.000,00 mais R$ 50,00 por plano 
vendido. 
a) Determine uma expressão matemática que 
relacione o seu salário 𝑺 em função da 
quantidade 𝒙 de planos vendidos. 
b) Sabendo que em Janeiro o seu salário foi 
de R$ 3850,00; quantos planos ele vendeu 
neste mês? 
 
Problemas Matemáticos 
a) Como o salário depende da quantidade de 
planos vendidos 𝒙, usaremos a notação 𝑺 𝒙 
para indicar seu salário. 
 
𝑺 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 + 𝟓𝟎. 𝒙 
b) Vamos usar a expressão obtida em a) 
 
𝑺 𝒙 = 𝟑𝟖𝟓𝟎 ⇔ 
 
⇔ 𝟑𝟎𝟎𝟎 + 𝟓𝟎. 𝒙 = 𝟑𝟖𝟓𝟎 ⇔ 
 
⇔ 𝟓𝟎𝒙 = 𝟖𝟓𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟕 
Ele vendeu 17 planos de saúde em Janeiro 
Problemas Matemáticos 
3) Um camelô compra alguns produtos ao 
preço de R$ 2,50 cada um. Ele gasta de 
condução um valor total de R$ 40,00 por dia 
trabalhado e R$ 15,00 pelo almoço. Ele 
revende cada produto por R$ 4,00. 
Qual é a quantidade de produtos que ele 
precisa vender em um dia, apenas para cobrir 
seus gastos? 
 
Problemas Matemáticos 
Seja 𝒙 a quantidade de produtos comprados 
em um dia. 
Gastos: Vamos denotar por 𝑮(𝒙) seus gastos 
diários em função de 𝒙. 
 
𝑮 𝒙 = 𝟐, 𝟓. 𝒙 + 𝟒𝟎 + 𝟏𝟓 
Vendas: Vamos denotar por 𝑽(𝒙) suas vendas 
diárias em função de 𝒙. 
 
𝑽 𝒙 = 𝟒. 𝒙 
Problemas Matemáticos 
Resultado: Vamos denotar por 𝑳(𝒙) seu lucro 
diário em função de 𝒙. 
 
𝑳 𝒙 = 𝑽 𝒙 − 𝑮 𝒙 = 𝟒. 𝒙 − (𝟐, 𝟓. 𝒙 + 𝟒𝟎 + 𝟏𝟓) 
Só para cobrir seus gastos, queremos 
encontrar 𝒙 para o qual 𝑳 𝒙 = 𝟎 
 
𝑳 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝟒. 𝒙 − 𝟐, 𝟓. 𝒙 + 𝟒𝟎 + 𝟏𝟓 = 𝟎 ⇔ 
⇔ 𝟏, 𝟓. 𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝟎 ⇔ 𝟏, 𝟓. 𝒙 = 𝟓𝟓 ⇔ 
 
⇔ 𝒙 =
𝟓𝟓
𝟏, 𝟓
= 𝟑𝟔, 𝟔𝟔𝟔 
 
Ele precisa vender 37 produtos. 
 
Problemas Matemáticos 
4) Hoje eu tenho o dobro da idade que tinha há 
10 anos. Qual é a minha idade hoje? 
Sol. 
Vamos denotar por 𝒙 a minha idade atual, 
então o problema diz que 𝒙 = 𝟐(𝒙 − 𝟏𝟎) 
𝒙 = 𝟐 𝒙 − 𝟏𝟎 ⟺ 
⟺ 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟐𝟎 ⟺ 
⟺ −𝒙 = −𝟐𝟎 ⟺ 
⟺ 𝒙 = 𝟐𝟎 
Hoje tenho 20 anos 
 
 
Problemas Matemáticos 
5) Hoje a minha idade é o dobro da sua, há 15 
anos era o triplo. Quanto somam nossas 
idades hoje? 
Sol. Denotaremos por 𝒙 a minha idade hoje e 
por 𝒚 a sua idade hoje. O problema nos diz 
que: 
𝒙 = 𝟐𝒚 𝐞 𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟑(𝒚 − 𝟏𝟓) 
Temos um sistema com duas equações: 
 
𝒙 = 𝟐𝒚
𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟑(𝒚 − 𝟏𝟓)
 
Problemas Matemáticos 
 
𝒙 = 𝟐𝒚
𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟑(𝒚 − 𝟏𝟓)
 
Substituindo o valor de 𝒙 na segunda equação 
obtemos: 
𝟐𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟑 𝒚 − 𝟏𝟓 ⟺ 
⟺ 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟑𝒚 − 𝟒𝟓 ⟺ 
⟺ −𝒚 = −𝟒𝟓 + 𝟏𝟓 ⟺ 
⟺ 𝒚 = 𝟑𝟎 
Logo 𝒙 = 𝟐𝒚 ⟹ 𝒙 = 𝟔𝟎 
Assim a soma de nossas idades é 𝟑𝟎 + 𝟔𝟎 = 𝟗𝟎 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Problemas Matemáticos 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
Exercícios 
1) O valor da expressão 
𝟐. 𝟐 + 𝟑 − 𝟔𝟒
𝟑
÷ (𝟏 + 𝟐𝟓𝟎) + 𝟖 − 𝟎𝟑𝟐 − 𝟓 é: 
 
a) 11 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 17 
 
Exercícios 
Temos: 
 
𝟐. 𝟐 + 𝟑 − 𝟔𝟒
𝟑
÷ 𝟏 + 𝟐𝟓𝟎 + 𝟖 − 𝟎𝟑𝟐 − 𝟓 = 
 
= 𝟐. 𝟐 + 𝟑 − 𝟔𝟒
𝟑
÷ 𝟏 + 𝟏 + 𝟖 − 𝟓 = 
 
= 𝟐. 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 ÷ 𝟐 + 𝟖 − 𝟓 = 
 
= 𝟐. 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 + 𝟖 − 𝟓 = 
 
= 𝟐. 𝟏𝟏 − 𝟓 = 𝟏𝟕 
 
Alternativa e) 
 
Exercícios 
2) A diferença entre as idades do meu 1º filho 
e do 3º filho é de 4 anos. Se a soma das 
idades de meus três filhos for de 12 anos, e 
nenhum deles é gêmeo, determine as suas 
idades. 
Sol. 
Sejam 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒛 as idades de meu 1º, 2º e 3º 
filhos respectivamente. Temos: 
𝒙 − 𝒛 = 𝟒 𝒆 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐 
 
 
Exercícios 
Da 1ª equação temos 𝒙 = 𝒛 + 𝟒, substituindo 
na 2ª equação obtemos 
𝒛 + 𝟒 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐 ⇔ 𝟐𝒛 + 𝒚 = 𝟖 
A diferença entre as idades de meus 2º e 3º 
filhos pode ser de 1, 2 ou 3 anos. 
Se 𝒚 − 𝒛 = 𝟏 ⇒ 𝒚 = 𝟏 + 𝒛, substituindo na 3ª 
equação temos 
𝟐𝒛 + 𝟏 + 𝒛 = 𝟖 ⇔ 𝟑𝒛 = 𝟕, cuja solução não é 
natural. 
 
 
Exercícios 
Se 𝒚 − 𝒛 = 𝟐 ⇒ 𝒚 = 𝟐 + 𝒛, substituindo na 3ª 
equação temos 
𝟐𝒛 + 𝟐 + 𝒛 = 𝟖 ⇔ 𝟑𝒛 = 𝟔 ⇒ 𝒛 = 𝟐 
Se 𝒚 − 𝒛 = 𝟑 ⇒ 𝒚 = 𝟑 + 𝒛, substituindo na 3ª 
equação temos 
𝟐𝒛 + 𝟑 + 𝒛 = 𝟖 ⇔ 𝟑𝒛 = 𝟓, cuja solução não é 
natural. 
Logo as idades são 6 anos, 4 anos e 2 anos 
 
 
Exercícios 
3) Pedro pensou em um número e, a seguir, 
fez as seguintes operações: 
1 – Adicionou 30 ao número pensado. 
2 – Multiplicou o resultado obtido por 7. 
3 – Dividiu o novo resultado por 2. 
Ao término dessas operações, Pedro obteve 
210 como resultado. 
Determine o número em que Pedro pensou. 
 
 
Exercícios 
Sol. Seja 𝒙 o número pensado por Pedro, do 
enunciado temos: 
Na 1ª etapa, 𝒙 + 𝟑𝟎 
Na 2ª etapa, 𝒙 + 𝟑𝟎 . 𝟕 
Na 3ª etapa, [ 𝒙 + 𝟑𝟎 . 𝟕] ÷ 𝟐 
Assim obtemos a equação: 
 
𝟕. (𝒙 + 𝟑𝟎)
𝟐
= 𝟐𝟏𝟎 
 
Exercícios 
 
𝟕. (𝒙 + 𝟑𝟎)
𝟐
= 𝟐𝟏𝟎 ⟺ 
 
⟺ 𝟕 𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝟒𝟐𝟎 ⟺ 
 
⟺ 𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝟔𝟎 ⟹ 
 
⟹ 𝒙 = 𝟑𝟎 
 
Logo, Pedro pensou no número 30 
 
Exercícios 
4) Do total de pessoas que visitaram uma 
exposição, de segunda a sexta-feira, durante a 
semana passada, 
𝟏
𝟓
 o fizeram na terça-feira e 
𝟏
𝟒
 
na sexta-feira. Sabendo que o número de 
visitantes da segunda-feira correspondeu a 
𝟑
𝟒 
dos visitantes de terça-feira e que na quarta e 
quinta-feira 192 pessoas visitaram em cada 
dia, então o total de visitantes na semana foi 
de: 
Exercícios 
Sol. Seja 𝒙 o número de visitantes na semana, 
pelo enunciado temos: 
Na 2ª 
𝟑
𝟒
 dos visitantes de 3ª, ou seja, 
𝟑
𝟒
.
𝟏
𝟓
𝒙 
Na 3ª 
𝟏
𝟓
𝒙 
Na 4ª 192 e na 5ª 192 visitantes 
Na 6ª 
𝟏
𝟒
𝒙 
 
𝟑
𝟒
.
𝟏
𝟓
𝒙 +
𝟏
𝟓
𝒙 + 𝟏𝟗𝟐 + 𝟏𝟗𝟐 +
𝟏
𝟒
𝒙 = 𝒙 
Exercícios 
 
𝟑
𝟒
.
𝟏
𝟓
𝒙 +
𝟏
𝟓
𝒙 + 𝟏𝟗𝟐 + 𝟏𝟗𝟐 +
𝟏
𝟒
𝒙 = 𝒙 ⟺ 
 
⟺ 𝒙 −
𝟑
𝟐𝟎
𝒙 −
𝟏
𝟓
𝒙 −
𝟏
𝟒
𝒙 = 𝟑𝟖𝟒 ⟺ 
 
 
⟺ 𝟐𝟎𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟒𝒙 − 𝟓𝒙 = 𝟐𝟎. 𝟑𝟖𝟒 ⟺ 
 
⟺ 𝟖𝒙 = 𝟕𝟔𝟖𝟎 ⟺ 
 
⟺ 𝒙 =
𝟕𝟔𝟖𝟎
𝟖
= 𝟗𝟔𝟎 
Exercícios 
5) (OBMEP 2013) Janaina escreveu no quadro-
negro dois números cuja soma é 1357. Ela 
observou que um desses números poderia ser 
obtido apagando o algarismo das unidades do 
outro. Qual é esse algarismo? 
Sol. 
Sejam 𝒙 𝐞 𝒚 os dois números. Suponha que 𝒙 é 
o número que ao se retirar o algarismo das 
unidades resulta em 𝒚. 
Exercícios 
Do enunciado temos que 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟑𝟓𝟕. 
Vamos denotar por 𝒛 o algarismo das unidades 
do número 𝒙. 
Como 𝒚 pode ser obtido de 𝒙 se retirando um 
algarismo, 𝒚 possui um algarismo a menos que 
𝒙, logo 
𝒙 = 𝟏𝟎𝒚 + 𝒛 
Dessa forma,𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎𝒚 + 𝒛 + 𝒚 = 𝟏𝟑𝟓𝟕 ⟺ 
⟺ 𝟏𝟏𝒚 + 𝒃 = 𝟏𝟑𝟓𝟕 
Exercícios 
Sendo 𝒛 um algarismo, temos que 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟗 e 
da equação anterior 
𝒛 = 𝟏𝟑𝟓𝟕 − 𝟏𝟏𝒚 
Dividindo 𝟏𝟑𝟓𝟕 por 𝟏𝟏 obtemos 𝟏𝟐𝟑 e resto 𝟒, 
ou seja 
𝟏𝟑𝟓𝟕 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟐𝟑 + 𝟒 
Logo temos 𝒛 = 𝟒. 
Números: 
𝟏𝟐𝟑 𝐞 𝟏𝟐𝟑𝟒 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Razão e Proporção 
Razão 
Razão: 
Dados dois números reais 𝒂 e 𝒃, com 𝒃 ≠ 𝟎, 
chamamos de razão entre 𝒂 e 𝒃 ao quociente 
 Antecedente 
𝒒 =
𝒂
𝒃
 
 Consequente 
 
Lê-se “𝒂 está para 𝒃” 
Razão 
Exemplos: 
1) Numa escola de idiomas, estão matriculados 
280 alunos no curso e Inglês e 170 alunos no 
curso de Espanhol. Qual é a razão entre as 
matrículas em Inglês e Espanhol, nessa 
ordem? 
Sol. 
𝒒 =
𝟐𝟖𝟎
𝟏𝟕𝟎
=
𝟐𝟖
𝟏𝟕
 
Razão 
2) Na mesma escola do exemplo 1, foi criado 
um curso de Alemão que obteve 80 matrículas. 
Qual é a razão entre as matrículas nos cursos 
de Alemão e de Inglês, nessa ordem? 
Sol. 
𝒒 =
𝟖𝟎
𝟐𝟖𝟎
=
𝟐
𝟕
 
 
Razão 
3) Para uma determinada solução, devemos 
misturar os reagentes 1 e 2 a razão de 1 para 3. 
Se a quantidade de reagente 1 for de 8 litros, 
qual é a quantidade do reagente 2 que devemos 
misturar? 
Sol. Denotemos por 𝒓𝟏 𝐞 𝒓𝟐 as quantidades de 
reagentes 1 e 2 respectivamente. Do enunciado 
temos que: 
𝒓𝟏
𝒓𝟐
=
𝟏
𝟑
⟺
𝟖
𝒓𝟐
=
𝟏
𝟑
⟹ 𝒓𝟐 = 𝟐𝟒𝒍 
 
Razão 
4) Ao examinar a planta de uma casa, medi uma 
das paredes da sala e obtive 𝟒𝒄𝒎. Se a planta 
desta casa estava na escala 1:100, qual é a 
medida real desta parede? 
Sol. A escala 𝑬 é dada pela razão: 
 
𝑬 =
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒏𝒂 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒕𝒂
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍
 
 
sempre na mesma unidade de medida, assim 
 
𝟒
𝒙
=
𝟏
𝟏𝟎𝟎
⟹ 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝒄𝒎 = 𝟒𝒎 
Razão 
5) A distância entre São Paulo e Curitiba é de 
𝟒𝟎𝟖𝒌𝒎. Um motorista levou 𝟔 horas para 
completar o percurso, qual foi a velocidade 
média dele? 
Sol. 
𝒗 =
𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒂
𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒖𝒓𝒔𝒐
= 
 
=
𝟒𝟎𝟖
𝟔
= 𝟔𝟖𝒌𝒎 𝒉 
 
Razão 
6) A razão entre a idade do meu pai e a da 
minha mãe é 
𝟏𝟎
𝟗
. Se a soma de suas idades é 
114, qual é a idade de cada um? 
Sol. Vamos denotar por 𝑷 𝐞 𝑴 as idades do pai 
e da mãe respectivamente, temos: 
 
 
𝑷 + 𝑴 = 𝟏𝟏𝟒
𝑷
𝑴
=
𝟏𝟎
𝟗
 
Razão 
 
 
𝑷 + 𝑴 = 𝟏𝟏𝟒
𝑷
𝑴
=
𝟏𝟎
𝟗
 
Da 1ª equação temos que 𝑷 = 𝟏𝟏𝟒 − 𝑴, 
substituindo na 2ª equação vem, 
 
𝟏𝟏𝟒 − 𝑴
𝑴
=
𝟏𝟎
𝟗
⟺ 𝟏𝟎𝑴 = 𝟗 𝟏𝟏𝟒 − 𝑴 ⟺ 
 
⟺ 𝟏𝟎𝑴 = 𝟏𝟎𝟐𝟔 − 𝟗𝑴 ⟺ 𝟏𝟗𝑴 = 𝟏𝟎𝟐𝟔 ⟹ 𝑴 = 𝟓𝟒 
Logo, 𝑷 = 𝟏𝟏𝟒 − 𝟓𝟒 = 𝟔𝟎 
Proporção 
Proporção: 
É a igualdade entre duas razões. 
Sejam 𝒂, 𝒃, 𝒙 𝐞 𝒚 números reais com 𝒃 ≠ 𝟎 𝒆 𝒚 ≠ 𝟎 
 
𝒒 =
𝒂
𝒃
=
𝒙
𝒚
⟺ 𝒂. 𝒚 = 𝒃. 𝒙 
 
O valor 𝒒 é chamado constante de 
proporcionalidade entre as razões 
𝒂
𝒃
 𝐞 
𝒙
𝒚
. 
Também dizemos que os números 𝒂, 𝒃, 𝒙 𝐞 𝒚, 
nessa ordem, formam uma proporção. 
Proporção 
Exemplos: 
1) Determine o valor de 𝒙 para que os números 
𝟖, 𝟒, 𝒙 𝐞 𝟏𝟎 formem uma proporção. 
Sol. 
Queremos encontrar 𝒙 tal que: 
 
𝟖
𝟒
=
𝒙
𝟏𝟎
⟺ 𝟖𝟎 = 𝟒𝒙 ⟹ 
 
⟹ 𝒙 = 𝟐𝟎 
 
Proporção 
2) Determine o valor de 𝒙 para que os números 
𝟏𝟔, 𝒙, 𝒙 𝐞 𝟒 formem uma proporção. 
Sol. 
Queremos encontrar 𝒙 tal que: 
 
𝟏𝟔
𝒙
=
𝒙
𝟒
⟺ 𝟔𝟒 = 𝒙𝟐 ⟹ 
 
⟹ 𝒙 = ±𝟖 
 
Proporção 
3) Determine o valor de 𝒙 para que os números 
𝒙 − 𝟏, 𝟒, 𝒙 𝐞 𝟏𝟐 formem uma proporção. 
Sol. Queremos encontrar 𝒙 tal que: 
 
𝒙 − 𝟏
𝟒
=
𝒙
𝟏𝟐
⟺ 𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟒𝒙 ⟺ 
 
⟺ 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟒𝒙 ⟺ 𝟖𝒙 = 𝟏𝟐 ⟹ 
 
⟹ 𝒙 =
𝟏𝟐
𝟖
=
𝟑
𝟐
 
 
Proporção 
4) João recebeu um bônus de R$ 3.973,00 e vai 
dividi-lo para seus dois filhos. As quantias 
destinadas a cada um são proporcionais às 
suas idades, que são 12 e 17 anos. Quanto 
cada um irá receber? 
Proporção 
Sol. Denotemos por 𝒙 𝐞 𝒚 a quantia que cada 
um dos filhos irá receber, temos: 
 
𝒙 = 𝟏𝟐𝒌
𝒚 = 𝟏𝟕𝒌
 
𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟗𝟕𝟑 ⟺ 𝟐𝟗𝒌 = 𝟑𝟗𝟕𝟑 ⟹ 𝒌 = 𝟏𝟑𝟕 
Dessa forma temos, 
 
𝒙 = 𝟏𝟐. 𝟏𝟑𝟕 = 𝟏𝟔𝟒𝟒 
e 
𝒚 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟑𝟕 = 𝟐𝟑𝟐𝟗 
 
 
Propriedades da Proporção 
Se 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
, então: 
 
𝒂 + 𝒃
𝒂
=
𝒄 + 𝒅
𝒄
 𝐞 
𝒂 + 𝒃
𝒃
=
𝒄 + 𝒅
𝒅
 
 
𝒂 − 𝒃
𝒂
=
𝒄 − 𝒅
𝒄
 𝐞 
𝒂 − 𝒃
𝒃
=
𝒄 − 𝒅
𝒅
 
 
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
=
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 𝐞 
𝒂 − 𝒄
𝒃 − 𝒅
=
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 
 
𝒂. 𝒄
𝒃. 𝒅
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐
=
𝒄𝟐
𝒅𝟐
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Razão e Proporção 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Grandezas Diretamente e 
Inversamente Proporcionais 
Grandeza 
Grandeza: É tudo aquilo que pode ser medido. 
Exemplos: 
1) Tempo 
2) Distância 
3) Velocidade 
4) Volume 
5) Temperatura 
6) Corrente Elétrica 
7) .... 
 
 
Grandezas Diretamente 
Proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando uma aumenta e a outra 
também aumenta na mesma proporção. 
Ou seja, se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 são valores de uma grandeza 
𝒙, relacionadas com o valores 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 de outra 
grandeza 𝒚, então 
𝒙𝟏
𝒚𝟏
=
𝒙𝟐
𝒚𝟐
= 𝒌 
A constante 𝒌 é chamada, constante de 
proporcionalidade. 
Grandezas Diretamente 
Proporcionais 
Exemplos: 
1) Medida do lado de um quadrado e seu 
perímetro. 
Se o lado mede 𝟏 o perímetro mede 𝟒. 
Se o lado mede 𝟐 o perímetro mede 𝟖. 
Se o lado mede 𝟑 o perímetro mede 𝟏𝟐. 
Se o lado mede 𝒙 o perímetro mede 𝟒𝒙. 
 
𝟏
𝟒
=
𝟐
𝟖
=
𝟑
𝟏𝟐
= ⋯ =
𝒙
𝟒𝒙
=
𝟏
𝟒
= 𝒌 
Grandezas Diretamente 
Proporcionais 
2) Se (𝟑, 𝒙 + 𝟏, 𝟏𝟓, … ) e (𝟗, 𝟏𝟐, 𝒚, … ) forem 
grandezas diretamente proporcionais, então o 
valor de 𝒙 + 𝒚 é: 
𝟑
𝟗
=
𝒙 + 𝟏
𝟏𝟐
=
𝟏𝟓
𝒚
⟹ 
⟹
𝒙 + 𝟏
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟑
⟹ 𝟑𝒙 + 𝟑 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟑
𝟏𝟓
𝒚
=
𝟏
𝟑
⟹ 𝒚 = 𝟒𝟓
 
Logo 𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝟖 
 
Grandezas Diretamente 
Proporcionais 
3) Quando um automóvel é freado no 
momento em que sua velocidade é 27km/h, 
ele ainda percorre 9m até parar. Sabe-se que a 
distância de frenagem é proporcional ao 
quadrado da velocidade do momento da 
freada. Determine a distância que o 
automóvel percorrerá até parar, se freado a 
45km/h. 
 
Grandezas Diretamente 
Proporcionais 
Sol. Como a proporção é entre a distância de 
frenagem e o quadrado da velocidade, 
podemos encontrar a constante de 
proporcionalidade 𝒌 do seguinte modo: 
𝒌 =
𝟗
𝟐𝟕𝟐
=
𝟏
𝟖𝟏
 
Dessa forma, sendo 𝒙 a distância de frenagem 
𝒙
𝟒𝟓𝟐
=
𝟏
𝟖𝟏
⇔ 𝒙 =
𝟒𝟓𝟐
𝟗𝟐
= 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 
 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando uma aumenta e a outra 
diminui na mesma proporção. 
Ou seja, se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 são valores de uma grandeza 
𝒙, relacionadas com os valores 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 de outra 
grandeza 𝒚, então 
𝒙𝟏. 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐. 𝒚𝟐 = 𝒌 
A constante 𝒌 é chamada, constante de 
proporcionalidade. 
 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
Exemplos: 
1) Velocidade média e tempo para percorrer 
uma distância fixada. Suponha que você vai 
fazer uma viagem de 𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎. 
Se sua velocidade for de 𝟓𝟎𝒌𝒎/𝒉 o tempo de 
viagem será de 𝟐𝒉 = 𝟏𝟐𝟎𝒎𝒊𝒏. 
Se sua velocidade for de 𝟕𝟓𝒌𝒎/𝒉 o tempo de 
viagem será de 1𝒉𝟐𝟎𝒎𝒊𝒏 = 𝟖𝟎𝒎𝒊𝒏. 
 
 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
Se sua velocidade for de 𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎/𝒉 o tempo de 
viagem será de 1𝒉 = 𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏. 
Assim temos as sequencias numéricas: 
 
𝟓𝟎, 𝟕𝟓, 𝟏𝟎𝟎 𝐞 (𝟏𝟐𝟎, 𝟖𝟎, 𝟔𝟎) 
 
Que são inversamente proporcionais, pois 
 
𝟓𝟎. 𝟏𝟐𝟎 = 𝟕𝟓. 𝟖𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟔𝟎 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 = 𝒌 
 
 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
2) Ana quer dividir 228 pontos para compor a 
média final de suas três alunas em quantidades 
inversamente proporcionais a suas faltas. 
Sabendo que estas alunas tiveram 1, 3 e 4 
faltas, quantos pontos cada uma irá receber? 
Sol. Vamos denotar por𝒂𝟏, 𝒂𝟑 𝐞 𝒂𝟒, 
respectivamente, a quantidade de pontos que 
cada aluna irá receber. 
Temos: 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
𝒂𝟏 + 𝒂𝟑 + 𝒂𝟒 = 𝟐𝟐𝟖 
e 
𝒂𝟏. 𝟏 = 𝒂𝟑. 𝟑 = 𝒂𝟒. 𝟒 = 𝒌 
Assim temos, 
𝒂𝟑 =
𝟏
𝟑
𝒂𝟏 𝒆 𝒂𝟒 =
𝟏
𝟒
𝒂𝟏 
Substituindo na 1ª equação, 
 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
𝒂𝟏 +
𝟏
𝟑
𝒂𝟏 +
𝟏
𝟒
𝒂𝟏 = 𝟐𝟐𝟖 ⇔
𝟏𝟐𝒂𝟏 + 𝟒𝒂𝟏 + 𝟑𝒂𝟏
𝟏𝟐
= 𝟐𝟐𝟖 ⇔ 
 
⇔ 𝟏𝟗𝒂𝟏 = 𝟐𝟕𝟑𝟔 ⇒ 
 
⇒ 𝒂𝟏 = 𝟏𝟒𝟒 
Dessa forma. 
𝒂𝟑 =
𝟏
𝟑
𝒂𝟏 = 𝟒𝟖 
 
𝒂𝟒 =
𝟏
𝟒
𝒂𝟏 = 𝟑𝟔 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
Sejam (𝒂, 𝒃, 𝒄) e (𝒙, 𝒚, 𝒛) sequências inversamente 
proporcionais, então as sequências (𝒂, 𝒃, 𝒄) e 
𝟏
𝒙
,
𝟏
𝒚
,
𝟏
𝒛
 
são diretamente proporcionais. 
Dem. 
𝒂𝒙 = 𝒃𝒚 = 𝒄𝒛 = 𝒌 
 
𝒂
𝟏
𝒙
= 𝒂𝒙 = 𝒌,
𝒃
𝟏
𝒚
= 𝒃𝒚, = 𝒌 
𝒄
𝟏
𝒛
= 𝒄𝒛 = 𝒌 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
3) Reparta o número 52 em partes inversamente 
proporcionais aos números 2, 5 e 6. 
Sol. Basta repartir 52 em partes diretamente 
proporcionais aos números 
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟓
 𝐞 
𝟏
𝟔
 
Sejam 𝒙, 𝒚 𝐞 𝒛 os valores repartidos, temos: 
𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒌, 𝒚 =
𝟏
𝟓
𝒌 𝒆 𝒛 =
𝟏
𝟔
𝒌 
Como 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟓𝟐, temos: 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
𝟏
𝟐
𝒌 +
𝟏
𝟓
𝒌 +
𝟏
𝟔
𝒌 = 𝟓𝟐 ⇔
𝟏𝟓𝒌 + 𝟔𝒌 + 𝟓𝒌
𝟑𝟎
= 𝟓𝟐 ⇔ 
 
⇔ 𝟐𝟔𝒌 = 𝟏𝟓𝟔𝟎 ⇒ 𝒌 = 𝟔𝟎 
Assim, 
 
𝒙 =
𝟏
𝟐
. 𝟔𝟎 = 𝟑𝟎, 𝒚 =
𝟏
𝟓
. 𝟔𝟎 = 𝟏𝟐 𝐞 𝒛 =
𝟏
𝟔
. 𝟔𝟎 = 𝟏𝟎 
Várias Grandezas Proporcionais 
Se uma grandeza 𝒙 é diretamente proporcional 
às grandezas 𝒚𝟏, 𝒚𝟐, … 𝒚𝒏 e inversamente 
proporcional às grandezas 𝒛𝟏, 𝒛𝟐, … 𝒛𝒎, então 
estas grandezas juntas satisfazem uma relação 
da forma: 
𝒙 = 𝒌.
𝒚𝟏. 𝒚𝟐 … 𝒚𝒏
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 … 𝒛𝒎
 
 
Sendo 𝒌 uma constante. 
Várias Grandezas Proporcionais 
Exemplo: Em um gás a pressão 𝑷 é diretamente 
proporcional à temperatura 𝑻 e inversamente 
proporcional ao volume 𝑽. Sabendo isso: 
a) Escreva a relação que expressa este fato. 
b) Ache o valor da constante de 
proporcionalidade sabendo que à temperatura 
de 𝟑𝟎 o volume é 𝟔𝟎 e a pressão é 𝟐. 
Sol. 
Várias Grandezas Proporcionais 
a) 
𝑷 = 𝒌.
𝑻
𝑽
 
 
b) 
𝟐 = 𝒌.
𝟑𝟎
𝟔𝟎
⟹ 𝒌 =
𝟐. 𝟔𝟎
𝟑𝟎
= 𝟒 
Cuidado 
Existem grandezas que parecem ser 
diretamente proporcionais, mas não são. 
Exemplo: 
Medida do lado de um quadrado e sua área. 
Sabemos que, se a medida do lado de um 
quadrado for 𝒍, então o valor da área deste 
quadrado é 
𝑺 = 𝒍𝟐 
Cuidado 
Dessa forma, 
Se o lado mede 𝟏 sua área mede 𝟏. 
Se o lado mede 𝟐 sua área mede 𝟒. 
Se o lado mede 𝟑 sua área mede 𝟗. 
 
𝟏
𝟏
 
𝟐
𝟒
 
𝟑
𝟗
 
Logo, não são grandezas diretamente 
proporcionais 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Grandezas Diretamente e 
Inversamente Proporcionais 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
Exercícios 
1) Um automóvel percorre uma distância de 
𝟐𝟓𝟎𝒌𝒎 e consome 𝟏𝟕𝒍 de gasolina. Depois 
percorre um percurso de 𝟏𝟑𝟎𝒌𝒎 e consome 𝟏𝟑𝒍 
de álcool. Se o preço do litro de gasolina é de 
R$ 4,00 e do litro de álcool é de R$ 3,00; os 
gastos deste automóvel com gasolina e com 
álcool são proporcionais? Se não, qual 
combustível é mais vantajoso ele usar? 
Sol. 
 
Exercícios 
Vamos calcular as razões entre as distâncias 
percorridas e os gastos com gasolina e com 
álcool. Denotemos por 𝑹𝒈𝐞 𝑹𝒂 as razões com 
gasolina e álcool respectivamente. Temos 
 
𝑹𝒈 =
𝒌𝒎 𝒓𝒐𝒅𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒈𝒂𝒔𝒕𝒐
=
𝟐𝟓𝟎
𝟒. 𝟏𝟕
= 𝟑, 𝟔𝟖𝒌𝒎 𝑹$ 
 
𝑹𝒂 =
𝒌𝒎 𝒓𝒐𝒅𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒈𝒂𝒔𝒕𝒐
=
𝟏𝟑𝟎
𝟑. 𝟏𝟑
= 𝟑, 𝟑𝟑𝒌𝒎 𝑹$ 
 
Como 𝑹𝒈 > 𝑹𝒂, é mais vantajoso utilizar a 
gasolina como combustível neste automóvel. 
Exercícios 
2) As rodas dianteiras de um trator têm um 
perímetro de 1,80m e as traseiras têm 3m de 
perímetro. Enquanto a roda menor dá 90 voltas, 
quantas voltas dará a roda maior? 
Sol. Como a roda maior percorre uma maior 
distância a cada volta, se o trator percorre uma 
distância fixada, a sua roda maior deverá dar 
menos voltas que a roda menor. Dessa forma, 
as grandezas, perímetro da roda e número de 
voltas para percorrer uma determinada 
distância, são inversamente proporcionais. 
Exercícios 
Com uma volta a roda maior percorre 3m, para 
percorrer os mesmos 3m a roda menor precisa 
dar quase duas voltas. 
Temos que a distância percorrida é dada pelo 
produto do perímetro da roda pelo número de 
voltas, dessa forma chamando por 𝒙 o número 
de voltas da roda maior, temos: 
 
𝟏, 𝟖. 𝟗𝟎 = 𝟑. 𝒙 = 𝒅 ⇔ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟔𝟐 ⇒ 𝒙 = 𝟓𝟒 
 
Resposta 54 voltas 
Exercícios 
3) Um produto que custa R$ 36,00 para ser 
fabricado é vendido por R$ 54,00. Determine a 
razão entre: 
a) o preço de venda e o preço de custo. 
b) o lucro e o preço de venda. 
Sol. a) 
𝒓 =
𝟓𝟒
𝟑𝟔
=
𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟓 
b) 
𝒓 =
𝟓𝟒 − 𝟑𝟔
𝟓𝟒
=
𝟏𝟖
𝟓𝟒
=
𝟏
𝟑
 
Exercícios 
4) Em um retângulo a medida da base é 𝟔𝒄𝒎 
maior que a altura. Calcule a área desse 
retângulo sabendo que a razão entre a medida 
da base e a medida da altura é 𝟒. 
Sol. Temos: 
 
𝒃 = 𝒉 + 𝟔
𝒃
𝒉
= 𝟒 ⇔ 𝒃 = 𝟒. 𝒉
 
 
𝟒𝒉 = 𝒉 + 𝟔 ⇔ 𝟑𝒉 = 𝟔 ⇒ 𝒉 = 𝟐 ⇒ 𝒃 = 𝟖 
Logo, 𝑺 = 𝒃. 𝒉 = 𝟖. 𝟐 = 𝟏𝟔𝒄𝒎𝟐 
Exercícios 
5) A maquete de uma casa foi construída na 
escala 1:60. Se as dimensões da maquete são: 
comprimento 24,5cm e largura 14cm. Quais as 
dimensões reais do imóvel em metros? 
Sol. 
𝑬 =
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒆
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍
=
𝟐𝟒, 𝟓
𝒙
=
𝟏
𝟔𝟎
⇔ 
 
⇔ 𝒙 = 𝟔𝟎. 𝟐𝟒, 𝟓 = 𝟏𝟒𝟕𝟎𝒄𝒎 = 𝟏𝟒, 𝟕𝒎 
 
𝟏𝟒
𝒙
=
𝟏
𝟔𝟎
⇔ 𝒙 = 𝟏𝟒. 𝟔𝟎 = 𝟖𝟒𝟎𝒄𝒎 = 𝟖, 𝟒𝒎 
Exercícios 
6) A resistência elétrica 𝑹 de um fio condutor 
homogêneo e de seção transversal constante 
é diretamente proporcional ao seu 
comprimento 𝑳 e inversamente proporcional à 
área 𝑺 de sua seção transversal. 
a) Escreva a relação que expressa este fato. 
b) Se para um fio de comprimento 𝟐𝟎 e seção 
transversal 𝟓 a resistência é 𝟏, qual é o 
comprimento de um fio do mesmo material 
com seção 𝟑 e resistência 𝟔? 
Exercícios 
a) Como a resistência 𝑹 do fio é diretamente 
proporcional ao seu comprimento 𝑳 e 
inversamente proporcional a sua seção 
transversal 𝑺, temos que: 
𝑹 = 𝒌.
𝑳
𝑺
 
b) Temos que 𝑹 = 𝟏 para 𝒍 = 𝟐𝟎 𝐞 𝑺 = 𝟓, dessa 
forma, 
𝟏 = 𝒌.
𝟐𝟎
𝟓
⇒ 𝒌 =
𝟏
𝟒
 
 
𝟔 =
𝟏
𝟒
.
𝒙
𝟑
⇒ 𝒙 = 𝟕𝟐 
Exercícios 
7) A soma dos tempos (em horas) gastos por 
três maratonistas em uma mesma prova foi 
igual a 6,6 horas. Quanto tempo levou cada 
corredor, sabendo-se que suas velocidades 
médias foram, respectivamente, 17km/h, 
18km/h e 20km/h? 
Sol. Sejam 𝒙, 𝒚 𝐞 𝒛 os tempos de cada 
maratonista nesta prova, temos: 
 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔, 𝟔 
Exercícios 
As sequências 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝐞 𝟏𝟕, 𝟏𝟖 𝟐𝟎 , são 
inversamente proporcionais, pois quanto 
maior a velocidade, menor será o tempo de 
prova do maratonista. Assim, 
 
𝒙 =
𝒌
𝟏𝟕
, 𝒚 =
𝒌
𝟏𝟖
 𝒆 𝒛 =
𝒌
𝟐𝟎
 
Logo, 
𝒌
𝟏𝟕
+
𝒌
𝟏𝟖
+
𝒌
𝟐𝟎
= 𝟔, 𝟔 ⇔ 
Exercícios 
⇔
𝟏𝟖𝟎𝒌 + 𝟏𝟕𝟎𝒌 + 𝟏𝟓𝟑𝒌
𝟑𝟎𝟔𝟎
= 𝟔, 𝟔 ⇔ 
 
⇔ 𝟓𝟎𝟑𝒌 = 𝟐𝟎𝟏𝟗𝟔 ⇒ 𝒌 = 𝟒𝟎, 𝟏𝟓 
Logo 
𝒙 =
𝟒𝟎, 𝟏𝟓
𝟏𝟕
= 𝟐, 𝟑𝟔𝒉 
 
𝒚 =
𝟒𝟎, 𝟏𝟓
𝟏𝟖
= 𝟐, 𝟐𝟑𝒉 
 
𝒛 =
𝟒𝟎, 𝟏𝟓
𝟐𝟎
= 𝟐, 𝟎𝟏𝒉 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Regra de Três Simples 
Regra de Três Simples 
É um processo prático para resolver problemas 
que envolvem a relação de proporcionalidade 
entre duas grandezas, conhecendo três de seus 
valores e tendo, por objetivo, encontrar um 
quarto valor. 
São classificadas em dois tipos: 
- Direta, quando as grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais. 
- Inversa, quando as grandezas envolvidas são 
inversamente proporcionais. 
Passos da Resolução 
Para resolver uma regra de três simples 
devemos seguir os seguintes passos: 
1º - Organize os dados em um quadro de 
comparação das grandezas.Dados de uma 
mesma grandeza sempre na mesma unidade. 
2º - Analise a variação das grandezas. Indique 
se são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
3º - Estabeleça uma proporção com os dados e 
resolva. 
Regra de Três Simples 
Exemplos: 
1) Uma usina produz 300 litros de álcool com 
4.000 kg de cana-de-açúcar. Quantos litros de 
álcool serão produzidos com 7.000 kg de cana? 
 
𝟑𝟎𝟎
𝒙
=
𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟕𝟎𝟎𝟎
 
 
𝟒𝟎𝟎𝟎𝒙 = 𝟑𝟎𝟎. 𝟕𝟎𝟎𝟎 ⟹ 𝒙 =
𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟎𝟎𝟎
= 𝟓𝟐𝟓𝒍 
Álcool (l) Cana (Kg) 
300 4000 
x 7000 
Regra de Três Simples 
2) Se 8 operários levantam um muro em 12 dias, 
quantos operários serão necessários para 
levantar o mesmo muro em 5 dias? 
 
𝟏𝟐
𝟓
=
𝒙
𝟖
 
 
𝟓𝒙 = 𝟏𝟐. 𝟖 ⟹ 𝒙 =
𝟗𝟔
𝟓
= 𝟏𝟗, 𝟐 
Resposta: Serão necessários 20 operários. 
Dias Operários 
12 8 
5 x 
Cuidado 
No exemplo anterior, caso não tivéssemos 
verificado que as grandezas envolvidas eram 
inversamente proporcionais, poderíamos ter 
cometido o seguinte erro: 
 
𝟏𝟐
𝟓
=
𝟖
𝒙
 
 
𝟏𝟐𝒙 = 𝟓. 𝟖 ⟹ 𝒙 =
𝟒𝟎
𝟏𝟐
= 𝟑, 𝟑𝟑 
Dias Operários 
12 8 
5 x 
Regra de Três Simples 
3) Se uma máquina precisa de 2 horas para 
produzir 3000 canetas, quantas canetas ela 
consegue produzir em 40 minutos? 
 
𝟏𝟐𝟎
𝟒𝟎
=
𝟑𝟎𝟎𝟎
𝒙
 
 
𝟑𝒙 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 
Resposta: Consegue produzir 1000 canetas. 
Tempo Caneta 
2h 3000 
40min x 
Tempo (min) Canetas 
120 3000 
40 x 
Regra de Três Simples 
4) Em uma construção foram utilizados 21 caminhões 
com 𝟒𝒎𝟑 de areia. Quantos caminhões com 𝟕𝒎𝟑 seriam 
necessários para fazer o mesmo trabalho? 
 
 
𝟐𝟏
𝒙
=
𝟕
𝟒
 
 
𝟕𝒙 = 𝟖𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟐 
Seriam necessários 12 caminhões com 𝟕𝒎𝟑 de areia. 
 
Caminhão Areia 
21 4 
x 7 
Regra de Três Simples 
5) Uma máquina produz certa quantidade de parafusos em 
7𝟎𝒎𝒊𝒏. Se esta máquina trabalhar por 𝟐𝒉 a produção irá 
aumentar em 𝟑𝟎𝟎𝟎 parafusos. Qual é a quantidade 
produzida em 𝟐𝒉? 
 
 
𝟕𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝒙
𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝟎
 
 
𝟕𝟎𝒙 + 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟐𝟎𝒙 ⟺ 𝟓𝟎𝒙 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ⟹ 
 
⟹ 𝒙 = 𝟒𝟐𝟎𝟎 
Logo, a produção é de 𝟕𝟐𝟎𝟎 parafusos. 
 
Tempo Parafusos 
70 x 
120 x+3000 
Regra de Três Simples 
6) Um piloto, durante uma prova de rally, se manteve a 
uma certa velocidade média realizando a prova em 2 horas 
e 15 minutos. Se ele conseguir aumentar a sua velocidade 
média em 5 km/h ele teria feito a mesma prova em 2 horas. 
Qual foi a distância percorrida na prova? 
 
 
𝟏𝟑𝟓
𝟏𝟐𝟎
=
𝒗 + 𝟓
𝒗
 
 
 
𝟏𝟐𝟎𝒗 + 𝟔𝟎𝟎 = 𝟏𝟑𝟓𝒗 ⇔ 𝟏𝟓𝒗 = 𝟔𝟎𝟎 ⇒ 𝒗 = 𝟒𝟎 
Tempo Velocidade 
135 v 
120 v+5 
Regra de Três Simples 
A distância percorrida é dada por: 
 
𝒅 = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒎é𝒅𝒊𝒂 . 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 
Assim 
𝒅 =
𝟒𝟓𝒌𝒎
𝒉
. 𝟐𝒉 = 𝟗𝟎𝒌𝒎 
Cuidado 
7) Se a área de uma quadrado de lado 𝒍 = 𝟐𝒄𝒎 
é 𝑺 = 𝟒𝒄𝒎𝟐, então a área de uma quadrado de 
lado 𝟓𝒄𝒎 é: 
 
𝟐
𝟓
=
𝟒
𝒙
 
 
𝟐𝒙 = 𝟐𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟎 
Mas a área de uma quadrado de lado 𝒍 é 𝒍𝟐 
Logo, a resposta correta é 𝟏𝟔𝒄𝒎𝟐 
Não são grandezas proporcionais 
 
 
 
lado área 
2 4 
5 x 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Regra de Três Simples 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Regra de Três Composta 
1 
Regra de Três Composta 
É um processo prático para resolver problemas 
que envolvem a relação de proporcionalidade 
entre três ou mais grandezas, tendo por 
objetivo, encontrar um valor desconhecido de 
uma delas. 
2 
Passos da Resolução 
Para resolver uma regra de três composta 
devemos seguir os seguintes passos: 
1º - Organize os dados em um quadro de 
comparação das grandezas. Dados de uma 
mesma grandeza sempre na mesma unidade. 
2º - Analise a variação das grandezas. Indique 
se são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Cada uma em relação àquela da 
qual se desconhece um dos dados. 
3º - Estabeleça uma relação com os dados e 
resolva. 
3 
Regra de Três Composta 
Exemplos: 
1) Numa empresa, 18 operários trabalhando 8 
horas por dia conseguem fazer 9000 copos de 
vidro. Quantos copos serão produzidos por 20 
operários trabalhando 6 horas por dia? 
 
 
 
𝟗𝟎𝟎𝟎
𝒙
=
𝟏𝟖
𝟐𝟎
.
𝟖
𝟔
 
Copos Operários Jornada 
9000 18 8 
x 20 6 
4 
Regra de Três Composta 
𝟗𝟎𝟎𝟎
𝒙
=
𝟏𝟖
𝟐𝟎
.
𝟖
𝟔
=
𝟑
𝟓
.
𝟐
𝟏
=
𝟔
𝟓
⇔ 
 
⇔ 𝟔𝒙 = 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 = 𝟕𝟓𝟎𝟎 
 
Logo, produzirão 7500 copos. 
5 
Regra de Três Composta 
2) Dezoito mineiros extraem, em 25 dias, 3 
toneladas de minério de ferro. Quantos dias 
serão necessários para que 24 mineiros 
consigam extrair 5 toneladas? 
 
 
 
 
𝟐𝟓
𝒙
=
𝟐𝟒
𝟏𝟖
.
𝟑
𝟓
 
Dias Mineiros Ferro 
25 18 3 
x 24 5 
6 
Regra de Três Composta 
𝟐𝟓
𝒙
=
𝟐𝟒
𝟏𝟖
.
𝟑
𝟓
=
𝟒
𝟏
.
𝟏
𝟓
=
𝟒
𝟓
⇔ 
 
⇔ 𝟒𝒙 = 𝟏𝟐𝟓 ⇒ 𝒙 = 𝟑𝟏, 𝟐𝟓 
 
Logo, serão necessários 32 dias. 
7 
Regra de Três Composta 
3) Dez pedreiros, trabalhando 8 horas por 
dia, gastam 12 dias para construir um muro 
de 200 metros. Quantos dias serão 
necessários para 18 pedreiros, trabalhando 
7 horas por dia, construírem um muro de 
300 metros? 
 
 
 
 
 
Pedreiros Jornada Dias Muro 
10 8 12 200 
18 7 x 300 
8 
Regra de Três Composta 
 
 
 
 
𝟏𝟐
𝒙
=
𝟏𝟖
𝟏𝟎
.
𝟕
𝟖
.
𝟐𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎
⇔
𝟏𝟐
𝒙
=
𝟗
𝟓
.
𝟕
𝟖
.
𝟐
𝟑
=
𝟑
𝟓
.
𝟕
𝟒
.
𝟏
𝟏
=
𝟐𝟏
𝟐𝟎
 
 
𝟏𝟐
𝒙
=
𝟐𝟏
𝟐𝟎
⇔ 𝟐𝟏𝒙 = 𝟐𝟒𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟒𝟑 
 
Logo, serão necessários 12 dias 
 
 
 
 
Pedreiros Jornada Dias Muro 
10 8 12 200 
18 7 x 300 
9 
Regra de Três Composta 
4) Doze operários produzem 3200 camisetas em 
8 dias. E apenas 5 dias, quantas camisetas eles 
conseguem produzir. 
 
 
 
 
𝟑𝟐𝟎𝟎
𝒙
=
𝟖
𝟓
.
𝟏𝟐
𝟏𝟐
=
𝟖
𝟓
⇔ 
 
⇔ 𝟖𝒙 = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 
Dias Camisetas Operários 
8 3200 12 
5 X 12 
10 
Regra de Três Composta 
5) Com 200 litros de leite um fazendeiro produz 40 potes 
de requeijão de 200g e 25 queijos com 500g. Quantos 
litros de leite ele precisa para produzir 50 potes de 
requeijão com 250g e 35 queijos com 400g? 
 
 
 
 
𝟐𝟎𝟎
𝒙
=
𝟖𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
.
𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎
 
 
 
Leite Requeijão Queijo 
200 40.200=8000 25.500=12500 
x 50.250=12500 35.400=14000 
11 
Regra de Três Composta 
𝟐𝟎𝟎
𝒙
=
𝟖𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
.
𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎
=
𝟒
𝟕
⇔ 
 
⇔ 𝟒𝒙 = 𝟏𝟒𝟎𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 = 𝟑𝟓𝟎 
 
Irá precisar de 350 litros de leite. 
 
 
12 
Regra de Três Composta 
6) Para pintar um muro de 3m de largura e 2m de altura, 2 
pintores precisam de 3 dias. Para pintar um outro muro com 
4m de largura e 2,5m de altura, em apenas 2 dias, seriam 
necessários quantos pintores? 
 
 
 
 
𝟐
𝒙
=
𝟔
𝟏𝟎
.
𝟐
𝟑
 
Pintores Área pintada Dias 
2 3.2=6 3 
x 4.2,5=10 2 
13 
Regra de Três Composta 
𝟐
𝒙
=
𝟔
𝟏𝟎
.
𝟐
𝟑
=
𝟐
𝟓
⇒ 
 
⇒ 𝟐𝒙 = 𝟏𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟓 
 
Serão necessários 5 pintores 
 
14 
Regra de Três Composta 
7) Com um certo número de operários, uma empresa fabrica 
2000 embalagens em 8 dias. Se a empresa contratar mais 20 
operários, poderá fabricar 2500 embalagens em 6 dias. 
Quantos operários possui esta empresa? 
 
 
 
 
𝒙
𝒙 + 𝟐𝟎
=
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟓𝟎𝟎
.
𝟔
𝟖
 
Operários Embalagens Dias 
x 2000 8 
x+20 2500 6 
15 
Regra de Três Composta 
𝒙
𝒙 + 𝟐𝟎
=
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟓𝟎𝟎
.
𝟔
𝟖
=
𝟐𝟎
𝟐𝟓
.
𝟑
𝟒
=
𝟑
𝟓
⇔ 
 
⇔ 𝟓𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟔𝟎 ⇔ 𝟐𝒙 = 𝟔𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 = 𝟑𝟎 
 
A empresa possui 30 operários 
16 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Regra de Três Composta 
17 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
1 
Exercícios 
1) Em uma usina, com uma certa quantidade de 
cana-de-açúcar, são produzidos 2000 litros de 
álcool. Se a quantidade de cana-de-açúcar 
aumentar em 400 quilos, a usina produzirá 2800 
litros. A quantidade de cana-de-açúcar para 
essaprodução é: 
a) 1400kg 
b) 1200kg 
c) 1500kg 
d) 1300kg 
e) 1100kg 
 
2 
Exercícios 
Sol. Temos: 
 
 
 
𝒙
𝒙 + 𝟒𝟎𝟎
=
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟖𝟎𝟎
=
𝟓
𝟕
⟺ 𝟕𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝟎𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 
Logo, para produzir 2800 litros precisamos 
de 1400 quilos de cana-de-açúcar. 
Resposta Alternativa a) 
 
Álcool (l) Cana (Kg) 
2000 x 
2800 x+400 
3 
Exercícios 
2) Uma ONG de proteção animal gasta 100 kg de ração só 
para alimentar os cachorros por 7 dias. Um estudo mostrou 
que, se eles adotarem mais 22 cães, precisarão de 150 kg de 
ração para alimentar os cachorros por apenas 5 dias. A 
quantidade de cachorros hoje na ONG é: 
a) 30 cachorros 
b) 25 cachorros 
c) 20 cachorros 
d) 28 cachorros 
e) 23 cachorros 
 
4 
Exercícios 
Sol. 
 
 
 
𝒙
𝒙 + 𝟐𝟐
=
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎
.
𝟓
𝟕
=
𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟓𝟎
=
𝟏𝟎
𝟐𝟏
⇔ 𝟐𝟏𝒙 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝟎 
 
⇔ 𝟏𝟏𝒙 = 𝟐𝟐𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟐𝟎 
Hoje, a ONG possui 20 cachorros 
Alternativa c) 
 
Cachorros Ração Dias 
x 100 7 
x+22 150 5 
5 
Exercícios 
3) Um ciclista completa uma prova em 90 minutos com uma 
velocidade média de 40km/h. 
a) Para que consiga completar a mesma prova em 80 
minutos, quanto precisa aumentar sua velocidade média? 
b) Qual a distância percorrida na prova? 
Sol. a) 
 
 
𝟒𝟎
𝒙
=
𝟖𝟎
𝟗𝟎
 
Tempo Vel. Média 
90 40 
80 x 
6 
Exercícios 
 
𝟒𝟎
𝒙
=
𝟖𝟎
𝟗𝟎
⇔ 𝟖𝒙 = 𝟑𝟔𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟒𝟓 
Velocidade média 45 km/h 
b) 
 
 
 
𝟒𝟎
𝒙
=
𝟔𝟎
𝟗𝟎
⇔ 𝟔𝒙 = 𝟑𝟔𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟔𝟎 
O percurso é de 60 km. 
Vel. Média Tempo Distância 
40 60 40 
40 90 x 
7 
Exercícios 
4) Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros 
de um relógio quando ele marca 7h20min? 
 O ângulo entre dois números 
 consecutivos do é: 
 
 𝜶 =
𝟑𝟔𝟎°
𝟏𝟐
= 𝟑𝟎° 
 Assim, o ângulo entre os 
números 4 e 7 é 𝟑. 𝟑𝟎° = 𝟗𝟎° 
8 
Exercícios 
Enquanto o ponteiro grande se desloca do 
número 12 até o número 4, o ponteiro pequeno 
se deslocou do número 7 na direção do 
número 8, precisamos encontrar o valor deste 
novo ângulo para somar aos 𝟗𝟎° 
 
 
𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝟑𝟎
𝒙
 
 
𝟑𝟔𝒙 = 𝟑𝟔𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟎° 
Logo, o ângulo procurado é de 𝟏𝟎𝟎° 
Ponteiro G. Ponteiro P. 
360 30 
120 x 
9 
Exercícios 
5) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 140Kg 
de ração para cães e 25 gatos consomem 40kg 
da ração para gatos. Quantos quilos de ração 
serão necessários para alimentar 60 cães 35 
gatos por 15 dias? 
 
 
 
As grandezas cães e gatos não estão 
relacionadas. 
 
Dias Cães Ração Cães Gatos Ração Gatos 
7 40 140 25 40 
15 60 x 35 y 
10 
Exercícios 
 
 
 
 
𝟏𝟒𝟎
𝒙
=
𝟒𝟎
𝟔𝟎
.
𝟕
𝟏𝟓
=
𝟏𝟒
𝟒𝟓
⟹ 𝒙 = 𝟒𝟓𝟎 
 
𝟒𝟎
𝒚
=
𝟐𝟓
𝟑𝟓
.
𝟕
𝟏𝟓
=
𝟏
𝟑
⟹ 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎 
Serão necessários 450kg de ração para cães e 
120kg de ração para gatos. 
 
Dias Cães Ração Cães Gatos Ração Gatos 
7 40 140 25 40 
15 60 X 35 y 
11 
Exercícios 
6) Em 7 dias 40 cães e 25 gatos bebem 4500 L 
de água. Em 15 dias quantos litros de água 
serão necessários para 60 cães e 35 gatos? 
 
𝟒𝟓𝟎𝟎
𝒙
=
𝟔𝟓
𝟗𝟓
.
𝟕
𝟏𝟓
⟺ 
 
⟺ 𝟒𝟓𝟓𝒙 = 𝟔𝟒𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟒𝟎𝟗𝟑, 𝟒𝟏 
 
Irão consumir 14.094 litros 
 
 
Dias Animais Água 
7 40+25=65 4500 
15 60+35=95 x 
12 
Exercícios 
7) Qual é o valor de 28% de R$ 5.400,00? 
Sol. 
 
 
 
𝟓𝟒𝟎𝟎
𝒙
=
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟖
=
𝟐𝟓
𝟕
⟺ 
 
⟺ 𝟐𝟓𝒙 = 𝟑𝟕𝟖𝟎𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟏𝟓𝟏𝟐 
 
28% de R$ 5.400,00 corresponde a R$ 1.512,00 
Valor Porcentagem 
5400 100 
x 28 
13 
Exercícios 
8) R$ 360,00 corresponde a qual porcentagem 
de R$ 7.200,00? 
Sol. 
 
𝟕𝟐𝟎𝟎
𝟑𝟔𝟎
=
𝟏𝟎𝟎
𝒙
⟺ 
 
⟺ 𝟐𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟓 
 
R$ 360,00 corresponde a 5% de R$ 7.200,00 
 
Valor Porcentagem 
7200 100 
360 x 
14 
Exercícios 
9) Se 2.505 corresponde a 12% dos habitantes 
de uma cidade, qual população desta cidade? 
Sol. 
 
𝟐𝟓𝟎𝟓
𝒙
=
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟎
⟺ 
 
⟺ 𝟑𝒙 = 𝟔𝟐𝟔𝟐𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟐𝟎𝟖𝟕𝟓 
 
A cidade possui 20.875 habitantes 
População Porcentagem 
2505 12 
x 100 
15 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
16 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Porcentagem (parte 1) 
Porcentagem 
Quando vimos os números fracionários, a 
razão 
𝟏
𝟏𝟎𝟎
 foi denominada de “um centésimo”. 
Mas esta razão também é chamada de razão 
centesimal, ou razão porcentual. 
Ela representa uma parte de cem e 
costumamos ler como um por cento. 
Notação: 
𝟏% =
𝟏
𝟏𝟎𝟎
 
Porcentagem 
Exemplos: 
1) Determine 15% de 320. 
Sol. 
𝟏𝟓.
𝟏
𝟏𝟎𝟎
. 𝟑𝟐𝟎 =
𝟒𝟖𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟒𝟖. 
 
Por regra de três 
 
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓
=
𝟑𝟐𝟎
𝒙
⇒ 𝒙 = 𝟒𝟖 
 
Logo, 15% de 320 é 48 
Porcentagem 
2) Determine 132% de 826. 
Sol. 
𝟏𝟑𝟐.
𝟏
𝟏𝟎𝟎
. 𝟖𝟐𝟔 =
𝟏𝟎𝟗𝟎𝟑𝟐
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟎𝟗𝟎, 𝟑𝟐. 
 
Por regra de três 
 
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟑𝟐
=
𝟖𝟐𝟔
𝒙
⇒ 𝒙 = 𝟏𝟎𝟗𝟎, 𝟑𝟐 
 
Logo, 132% de 826 é 1090,32 
Porcentagem 
3) Determine 0,3% de 63. 
Sol. 
𝟎, 𝟑.
𝟏
𝟏𝟎𝟎
. 𝟔𝟑 =
𝟏𝟖, 𝟗
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟗. 
 
Por regra de três 
 
𝟏𝟎𝟎
𝟎, 𝟑
=
𝟔𝟑
𝒙
⇒ 𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟗 
 
Logo, 0,3% de 63 é 0,189 
Porcentagem 
Podemos entender uma fração como sendo 
uma porcentagem. Vejamos alguns exemplos: 
1) Qual é a porcentagem que corresponde a 
𝟑
𝟓
 
de um determinado valor? 
Sol. 
𝟑
𝟓
 
Porcentagem 
Podemos entender uma fração como sendo 
uma porcentagem. Vejamos alguns exemplos: 
1) Qual é a porcentagem que corresponde a 
𝟑
𝟓
 
de um determinado valor? 
Sol. 
𝟑
𝟓
.
𝟐𝟎
𝟐𝟎
 
Porcentagem 
Podemos entender uma fração como sendo 
uma porcentagem. Vejamos alguns exemplos: 
1) Qual é a porcentagem que corresponde a 
𝟑
𝟓
 
de um determinado valor? 
Sol. 
𝟑
𝟓
.
𝟐𝟎
𝟐𝟎
=
𝟔𝟎
𝟏𝟎𝟎
 
Porcentagem 
Podemos entender uma fração como sendo 
uma porcentagem. Vejamos alguns exemplos: 
1) Qual é a porcentagem que corresponde a 
𝟑
𝟓
 
de um determinado valor? 
 
𝟑
𝟓
.
𝟐𝟎
𝟐𝟎
=
𝟔𝟎
𝟏𝟎𝟎
, 𝐥𝐨𝐠𝐨 
𝟑
𝟓
↔ 𝟔𝟎% 
 
Por regra de três 
 
𝟏
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟎𝟎
𝒙
⇔
𝟓
𝟑
=
𝟏𝟎𝟎
𝒙
⇒ 𝒙 = 𝟔𝟎 
 
Porcentagem 
2) Qual é a porcentagem que corresponde a 
𝟑
𝟐𝟎
 
de um determinado valor? 
Por regra de três 
 
𝟏
𝟑
𝟐𝟎
=
𝟏𝟎𝟎
𝒙
⇔
𝟐𝟎
𝟑
=
𝟏𝟎𝟎
𝒙
⇒ 𝒙 = 𝟏𝟓 
 
Logo, 
𝟑
𝟐𝟎
 corresponde a 15% 
 
Aplicações 
1) Um determinado produto cujo valor é R$ 350,00 
teve um aumento de 15%. Qual é o novo valor 
deste produto? 
Sol. 
𝟏𝟓
𝟏𝟎𝟎
. 𝟑𝟓𝟎 = 𝟓𝟐, 𝟓𝟎 
 
Valor do produto após o aumento 
 
𝑽 = 𝟑𝟓𝟎, 𝟎𝟎 + 𝟓𝟐, 𝟓𝟎 = 𝟒𝟎𝟐, 𝟓𝟎 
 
Passou a custar R$ 402,50. 
Aplicações 
2) Uma passagem área em promoção teve um 
desconto de 9%, se o valor normal é de R$ 1.250,00, 
qual é o valor pago na promoção? 
Sol. 
𝟗
𝟏𝟎𝟎
. 𝟏𝟐𝟓𝟎 = 𝟏𝟏𝟐, 𝟓𝟎 
 
Valor do produto como desconto 
 
𝑽 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 − 𝟏𝟏𝟐, 𝟓𝟎 = 𝟏𝟏𝟑𝟕, 𝟓𝟎 
 
Pagou R$ 1.137,50. 
Aumento e Desconto 
Suponha que um determinado valor 𝑽 sofra um 
aumento de 𝒙%. Determine o valor 𝑽𝒏 após o 
aumento em função de 𝑽. 
Sol. 
 
𝑽𝒏 =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
. 𝑽 + 𝑽 =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
+ 𝟏 . 𝑽 ⇒ 
 
⇒ 𝑽𝒏 = 𝟏 +
𝒙
𝟏𝟎𝟎
𝑽 
Aumento e Desconto 
Exemplo: A mensalidade da escola de meu filho 
foi reajustada em 13%. Se o valor antes do 
reajuste era de R$ 850,00, qual é o novo valor 
das mensalidades? 
Sol. 
𝑽𝒏 = 𝟏 +
𝟏𝟑
𝟏𝟎𝟎
. 𝟖𝟓𝟎 = 𝟏, 𝟏𝟑. 𝟖𝟓𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝑽𝒏 = 𝟗𝟔𝟎, 𝟓𝟎 
 
A nova mensalidade é de R$ 960,50 
 
Aumento e Desconto 
Suponha que um determinado valor 𝑽 sofra um 
desconto de 𝒙%. Determine o valor 𝑽𝒏 após o 
desconto em função de 𝑽. 
Sol. 
 
𝑽𝒏 = 𝑽 −
𝒙
𝟏𝟎𝟎
. 𝑽 = 𝟏 −
𝒙
𝟏𝟎𝟎
. 𝑽 
Aumento e Desconto 
Exemplo: O valor do IPTU de minha casa, neste 
ano, é R$ 1.350,00. Se eu pagar a vista neste mês 
recebo 5% de desconto. Qual o valor a ser pago 
com o desconto? 
 Sol. 
𝑽𝒏 =𝟏 −
𝟓
𝟏𝟎𝟎
. 𝟏𝟑𝟓𝟎 = 𝟎, 𝟗𝟓. 𝟏𝟑𝟓𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝑽𝒏 = 𝟏𝟐𝟖𝟐, 𝟓𝟎 
 
O valor a vista é de R$ 1.282,50 
 
Aumento e Desconto 
Temos: 
Porcentagem Aumento Desconto 
5% 1,05 0,95 
15% 1,15 0,85 
38% 1,38 0,62 
49% 1,49 0,51 
68% 1,68 0,32 
91% 1,91 0,09 
Aumento e Desconto 
Exemplo: Paguei o valor de R$ 1.205,30 pelo IPVA 
de meu automóvel com desconto de 3%. Qual era 
o valor do IPVA sem o desconto? 
Sol. Vamos denotar por 𝒙 o valor do IPVA sem o 
desconto de 3%, assim temos: 
𝒙. 𝟎, 𝟗𝟕 = 𝟏𝟐𝟎𝟓, 𝟑𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 =
𝟏𝟐𝟎𝟓, 𝟑𝟎
𝟎, 𝟗𝟕
= 𝟏. 𝟐𝟒𝟐, 𝟓𝟖 
 
O valor sem desconto é de R$ 1,242,58 
Aumento e Desconto 
Exemplo: Após uma aumento de 12% no preço 
da gasolina, o litro passou a custar R$ 4,35. Qual 
era o preço antes do reajuste? 
Sol. Vamos denotar por 𝒙 o valor do litro da 
gasolina sem o reajuste de 12%, assim temos: 
𝒙. 𝟏, 𝟏𝟐 = 𝟒, 𝟑𝟓 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 =
𝟒, 𝟑𝟓
𝟏, 𝟏𝟐
= 𝟑, 𝟖𝟖 
 
O valor antes do reajuste era de R$ 3,88 o litro. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Porcentagem (parte 1) 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Porcentagem (parte 2) 
Porcentagem 
1) O número 476,48 é 32% de qual número? 
Sol. Seja 𝒙 o número procurado, então: 
𝒙. 𝟎, 𝟑𝟐 = 𝟒𝟕𝟔, 𝟒𝟖 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 =
𝟒𝟕𝟔, 𝟒𝟖
𝟎, 𝟑𝟐
= 𝟏𝟒𝟖𝟗 
Outro modo usando regra de três. 
 
𝒙
𝟏𝟎𝟎
=
𝟒𝟕𝟔, 𝟒𝟖
𝟑𝟐
⇒ 
 
⇒ 𝒙 =
𝟒𝟕𝟔𝟒𝟖
𝟑𝟐
= 𝟏𝟒𝟖𝟗 
Porcentagem 
2) Um cliente investiu R$ 2.000,00 em um 
banco por um mês e retirou R$ 2.012,50. Em 
relação ao valor investido, qual a porcentagem 
que rendeu esta aplicação? 
Sol. 
1º modo: Rendimento foi de R$ 12,50, por regra 
de três temos: 
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎
=
𝒙
𝟏𝟐, 𝟓
⇒ 𝒙 =
𝟏𝟐, 𝟓. 𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎
⇒ 
 
⇒ 𝒙 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 
O rendimento foi de 0,625% 
Porcentagem 
2º modo: Vamos encontrar 𝒙 tal que: 
 
𝟐𝟎𝟎𝟎. 𝒙 = 𝟐𝟎𝟏𝟐, 𝟓 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 =
𝟐𝟎𝟏𝟐, 𝟓
𝟐𝟎𝟎𝟎
⇒ 
 
⇒ 𝒙 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 
Logo, o rendimento 𝒓 foi de: 
 
𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 − 𝟏 . 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 
 
Assim, o rendimento foi de 0,625% 
Porcentagem 
3) Um produto sofreu um aumento de 10%, logo 
depois foi anunciado, em uma promoção, com 
10% de desconto. Qual é a relação entre os 
preços original e final deste produto? 
Sol. Vamos denotar por 𝑷𝒊 e 𝑷𝒇 os preços 
iniciais e finais deste produto. Temos: 
𝑷𝒇 = 𝟎, 𝟗𝟎. (𝟏, 𝟏𝟎𝑷𝒊) 
Logo, 𝑷𝒇 = 𝟎, 𝟗𝟗𝑷𝒊 
Assim, o preço final é o preço inicial com 
desconto de 1%. 
 
Porcentagem 
4) Uma concessionária anuncia um certo 
modelo em estoque, com desconto de 6% 
sobre a nova tabela de preços, a qual reajustou 
este modelo em 8%. Se o automóvel foi vendido 
por R$ 84.999,00, qual era o valor deste modelo 
na tabela antiga? 
Porcentagem 
Sol. 
Seja 𝒙 o valor na tabela antiga, temos: 
 
𝒙. 𝟏, 𝟎𝟖 . 𝟎, 𝟗𝟒 = 𝟖𝟒𝟗𝟗𝟗 ⇔ 
 
⇔ 𝒙. 𝟏, 𝟎𝟏𝟓𝟐 = 𝟖𝟒𝟗𝟗𝟗 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 =
𝟖𝟒𝟗𝟗𝟗
𝟏, 𝟎𝟏𝟓𝟐
= 𝟖𝟑𝟕𝟐𝟔, 𝟑𝟔 
 
O preço na tabela antiga era de R$ 83.726,36 
Porcentagem 
5) Qual é a porcentagem que equivale a 30% de 
75% de um valor V? 
Sol. 
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
.
𝟕𝟓
𝟏𝟎𝟎
. 𝑽 = 
 
=
𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
. 𝑽 = 
 
=
𝟐𝟐, 𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝑽 
 
 
Porcentagem 
5) Qual é a porcentagem que equivale a 30% de 
75% de um valor V? 
Sol. 
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
.
𝟕𝟓
𝟏𝟎𝟎
. 𝑽 = 𝟎, 𝟑. 𝟎, 𝟕𝟓𝑽 = 
 
=
𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
. 𝑽 = 
 
=
𝟐𝟐, 𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝑽 
 
 
Porcentagem 
5) Qual é a porcentagem que equivale a 30% de 
75% de um valor V? 
Sol. 
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
.
𝟕𝟓
𝟏𝟎𝟎
. 𝑽 = 𝟎, 𝟑. 𝟎, 𝟕𝟓𝑽 = 
 
=
𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
. 𝑽 = = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝑽 
 
=
𝟐𝟐, 𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝑽 
 
Logo, 30% de 75% corresponde a 22,5% 
Porcentagem 
6) Um levantamento com todos os funcionários 
de uma empresa mostrou que 45% utilizam o 
transporte coletivo para ir ao trabalho, destes 
80% utilizam o metrô. Se o número de 
funcionários que utilizam o metrô for de 252, 
quantos funcionários possui esta empresa? 
Sol. Seja 𝒙 o número total de funcionários da 
empresa, temos: 
𝟎, 𝟖𝟎. 𝟎, 𝟒𝟓. 𝒙 = 𝟐𝟓𝟐 ⇒ 
⇒ 𝒙 =
𝟐𝟓𝟐
𝟎, 𝟑𝟔
= 𝟕𝟎𝟎 
Porcentagem 
7) Um rapaz fez um empréstimo de R$ 5.100,00 
junto ao seu irmão, para pagar em 24 prestações, 
sendo a primeira em 30 dias, com uma taxa de 
juros de 2,1% ao mês. 
Supondo que cada parcela é corrigida no dia de 
seu vencimento, calcule o valor da 20ª parcela a 
ser paga. 
Porcentagem 
O valor inicial da parcela no dia do empréstimo é: 
 
𝟓𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟒
= 𝟐𝟏𝟐, 𝟓𝟎 
A parcela a vencer no 1º mês é: 
 
𝑷𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟏. 𝟐𝟏𝟐, 𝟓 = 𝟐𝟏𝟔, 𝟗𝟔 
A parcela a vencer no 2º mês é: 
 
𝑷𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟏. 𝑷𝟏 = 
 
= 𝟏, 𝟎𝟐𝟏. 𝟏, 𝟎𝟐𝟏 . 𝟐𝟏𝟐, 𝟓 = (𝟏, 𝟎𝟐𝟏)𝟐. 𝟐𝟏𝟐, 𝟓 = 
 
= 𝟐𝟐𝟏, 𝟓𝟐 
 
 
Porcentagem 
A parcela a vencer no 3º mês é: 
 
𝑷𝟑 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟏. 𝑷𝟐 = 
 
= (𝟏, 𝟎𝟐𝟏)𝟑. 𝟐𝟏𝟐, 𝟓 = 𝟐𝟐𝟔, 𝟏𝟕 
Dessa forma: 
A parcela a vencer no 20º mês é: 
 
𝑷𝟐𝟎 = (𝟏, 𝟎𝟐𝟏)
𝟐𝟎. 𝟐𝟏𝟐, 𝟓 = 
 
= 𝟑𝟐𝟐, 𝟎𝟏 
 
 
Juros Simples e Compostos 
Aplicando um capital 𝑪 a uma taxa de juros 
simples 𝒊 por um período de tempo 𝒕, o valor 
do juros 𝑱 obtido é dado por: 
 
𝑱 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 
Sendo que a taxa e o tempo devem estar na 
mesma unidade (dia, mês, ano...) 
O valor obtido pela soma do capital 𝑪 com o 
juros 𝑱 é denominado montante, 𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
 
𝑴 = 𝑪 + 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝑪(𝟏 + 𝒊. 𝒕) 
Juros Simples e Compostos 
Quais são os juros e o valor do montante 
obtidos para uma aplicação de R$ 10.000,00 a 
uma taxa de juros simples de 3% ao mês 
durante 2 anos? 
Sol. Primeiro igualamos as unidades do tempo 
e da taxa de juros, temos que 2 anos equivalem 
a 24 meses 
𝑱 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟑 × 𝟐𝟒 = 𝟕𝟐𝟎𝟎 
O montante retirado é: 
𝑴 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟕𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟕𝟐𝟎𝟎 
Juros Simples e Compostos 
Aplicando um capital 𝑪 a uma taxa de juros 
compostos 𝒊 por um período de tempo 𝒕, o valor 
do montante 𝑴 obtido é dado por: 
 
𝑴 = 𝑪. 𝟏 + 𝒊 𝒕 
Para calcular o juros 𝑱 basta fazer a diferença, 
𝑱 = 𝑴 − 𝑪 
Juros Simples e Compostos 
Quais são os juros e o valor do montante 
obtidos para uma aplicação de R$ 10.000,00 a 
uma taxa de juros simples de 3% ao mês 
durante 2 anos? 
Sol. Primeiro igualamos as unidades do tempo 
e da taxa de juros, temos que 2 anos equivalem 
a 24 meses 
𝑴 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑 𝟐𝟒 = 𝟐𝟎𝟑𝟐𝟕, 𝟐𝟒 
O juros é: 
𝑱 = 𝟐𝟎𝟑𝟐𝟕, 𝟗𝟒 − 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟑𝟐𝟕, 𝟗𝟒 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Porcentagem (parte 2) 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios 
Exercícios 
1) A mensalidade de um clube é de R$ 450,00 
para o associado que pagar no dia 10 de cada 
mês, com desconto de 9% caso pague antes 
desse dia. Caso pague depois do dia 10, o 
associado terá que pagar uma multa de 1% por 
dia de atraso. Se o associado pagar no dia 12, 
quanto ele pagará a mais do que teria pago no 
dia 9? 
Exercícios 
Sol. 
Se pagar no dia 9, tem um desconto de 9%. 
 
𝑽𝟗 = 𝟎, 𝟗𝟏. 𝟒𝟓𝟎 = 𝟒𝟎𝟗, 𝟓𝟎 
Se pagar no dia 12, tem uma multa de 1% ao 
dia, logo pagará com 2% de acréscimo. 
 
𝑽𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟐. 𝟒𝟓𝟎 = 𝟒𝟓𝟗 
Dessa forma o valor que pagou a mais foi de: 
 
𝑽 = 𝑽𝟏𝟐 − 𝑽𝟗 = 𝟒𝟓𝟗 − 𝟒𝟎𝟗, 𝟓 = 𝟒𝟗, 𝟓 
Pagará a mais o valor de R$ 49,50 
 
Exercícios 
2) O valor de um automóvel zero km, se 
deprecia 15% ao sair da agência, 6% após o 
primeiro ano de uso e 8% após o segundo ano 
de uso. Na negociação para adquirir um novo, 
o gerente da agência oferece 92% do valor 
deste automóvel após as depreciações. Se o 
valor pago pelo gerente na negociação foi de 
R$ 52.000,00, qual foi o preço pago pelo 
proprietário quando adquiriu este automóvel 
na agência há dois anos? 
Exercícios 
Vamos denotar por 𝒙 o preço deste automóvel 
quando era zero km, temos: 
 
𝒙. 𝟎, 𝟖𝟓 . 𝟎, 𝟗𝟒 . 𝟎, 𝟗𝟐 . 𝟎, 𝟗𝟐 = 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎 ⇔ 
 
⇔ 𝟎, 𝟔𝟕𝟔𝟑. 𝒙 = 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎 ⇒ 
 
⇒ 𝒙 = 𝟕𝟔𝟖𝟖𝟖, 𝟗𝟓 
 
O valor era de R$ 76.888,95 
Exercícios 
3) Uma empresa vai dividir todo seu lucro 
deste mês entre seus 3 sócios de acordo com 
assuas ações. O 1º sócio deve receber 2/5 
deste lucro, o 2º deve receber R$ 700.000,00 e 
o 3º, 25% do total. Cada sócio deve pagar ao 
governo um imposto de 5% do valor recebido. 
Determine o valor de imposto pago pelo 1º 
sócio. 
Exercícios 
Sol. Seja 𝒙 o valor a ser dividido entre os 3 
sócios, temos que: 
𝒙 =
𝟐
𝟓
𝒙 + 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 +
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝒙 ⇔ 
 
⇔ 𝒙−
𝟐
𝟓
𝒙 −
𝟏
𝟒
𝒙 = 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ⇔ 
 
⇔
𝟐𝟎𝒙 − 𝟖𝒙 − 𝟓𝒙
𝟐𝟎
= 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ⇔ 
 
⇔ 𝟕𝒙 = 𝟐𝟎. 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 
Exercícios 
O 1º sócio receberá, 
 
 
𝟐
𝟓
. 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 
 
Logo, o imposto paga pelo 1º sócio será de: 
 
𝟓
𝟏𝟎𝟎
. 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 
 
O imposto pago pelo 1º sócio é de R$ 40.000,00 
Exercícios 
4) Do total de funcionários de uma empresa, 
30% têm menos de 45 anos de idade, e 55% 
são homens. Sabe-se ainda que 40% das 
mulheres têm menos de 45 anos de idade. Qual 
é a porcentagem do total de funcionários dessa 
empresa que são homens e com 45 anos ou 
mais de idade? 
Sol. 
Vamos organizar os dados em uma tabela: 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
Como 55% são homens, temos que 45% são 
mulheres 
< 45 ≥45 Total 
Homens 55% 
Mulheres 
Total 30% 100% 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Como 55% são homens, temos que 45% são 
mulheres 
Como 40% das mulheres têm menos que 45 anos, 
temos que a porcentagem de mulheres com menos 
de 45 anos é 40% de 45% dos funcionários, isto é, 
𝟎, 𝟒. 𝟎, 𝟒𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟖, ou seja, 18%. 
< 45 ≥45 Total 
Homens 55% 
Mulheres 45% 
Total 30% 100% 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Como 55% são homens, temos que 45% são 
mulheres 
Como 40% das mulheres têm menos que 45 anos, 
temos que a porcentagem de mulheres com menos 
de 45 anos é 40% de 45% dos funcionários, isto é, 
𝟎, 𝟒. 𝟎, 𝟒𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟖, ou seja, 18%. 
< 45 ≥45 Total 
Homens 55% 
Mulheres 18% 45% 
Total 30% 100% 
Exercícios 
 
 
 
 
Completando a tabela obtemos 
< 45 ≥45 Total 
Homens 55% 
Mulheres 18% 45% 
Total 30% 100% 
Exercícios 
 
 
 
 
Completando a tabela obtemos 
< 45 ≥45 Total 
Homens 12% 55% 
Mulheres 18% 45% 
Total 30% 100% 
Exercícios 
 
 
 
 
Completando a tabela obtemos 
< 45 ≥45 Total 
Homens 12% 55% 
Mulheres 18% 45% 
Total 30% 70% 100% 
Exercícios 
 
 
 
 
Completando a tabela obtemos 
Logo temos que 12% são homens com menos 
de 45 anos e, portanto, a porcentagem de 
homens com 45 anos ou mais será de 43% 
< 45 ≥45 Total 
Homens 12% 55% 
Mulheres 18% 27% 45% 
Total 30% 70% 100% 
Exercícios 
 
 
 
 
Completando a tabela obtemos 
Logo temos que 12% são homens com menos 
de 45 anos e, portanto, a porcentagem de 
homens com 45 anos ou mais será de 43% 
< 45 ≥45 Total 
Homens 12% 43% 55% 
Mulheres 18% 27% 45% 
Total 30% 70% 100% 
Exercícios 
5) O preço da gasolina em um posto sofreu três 
aumentos consecutivos: o primeiro, de 12%; o 
segundo, de 10%; e o terceiro, de 5%. Para que 
o preço retorne ao seu valor inicial, ele deverá 
ser reduzido em, aproximadamente: 
a) 27% 
b) 25% 
c) 20,3% 
d) 22,7% 
e) 24,5% 
 
Exercícios 
Sol. 1º modo. 
Seja 𝒙 o preço da gasolina antes dos aumentos, 
e 𝒑 o seu preço após os aumentos. Temos: 
𝒑 = 𝒙. 𝟏, 𝟏𝟐 . 𝟏, 𝟏𝟎 . 𝟏, 𝟎𝟓 = 𝟏, 𝟐𝟗𝟑𝟔. 𝒙 
Precisamos encontrar 𝒚 tal que, 
𝒚. 𝒑 = 𝒙 ⇔ 𝒚. 𝟏, 𝟐𝟗𝟑𝟔. 𝒙 = 𝒙 ⇔ 
⇔ 𝒚 =
𝟏
𝟏, 𝟐𝟗𝟑𝟔
= 𝟎, 𝟕𝟕𝟑 
O fator de redução será 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟕𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟕 
Assim, devemos reduzir seu preço em 22,7% 
 
 
Exercícios 
Sol. 2º modo. 
Suponha o preço inicial igual a 100, com os 
aumentos temos: 
𝒑 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟏, 𝟏𝟐. 𝟏, 𝟏𝟎. 𝟏, 𝟎𝟓 = 𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔 
Quero encontrar 𝒚, tal que: 
𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔. 𝒚 = 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 𝒚 =
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔
= 𝟎, 𝟕𝟕𝟑 
O fator de redução será 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟕, 𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟕 
Assim, devemos reduzir seu preço em 22,7% 
 
 
Exercícios 
Sol. 3º modo. 
Suponha o preço inicial igual a 100, com os 
aumentos temos: 
𝒑 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟏, 𝟏𝟐. 𝟏, 𝟏𝟎. 𝟏, 𝟎𝟓 = 𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔 
Logo, quero reduzir em 𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟗, 𝟑𝟔 
que corresponde a que porcentagem de 129,36? 
 
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔
=
𝒙
𝟐𝟗, 𝟑𝟔
⇒ 𝒙 =
𝟐𝟗𝟑𝟔
𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔
= 𝟐𝟐, 𝟕 
Assim, devemos reduzir seu preço em 22,7% 
 
 
Exercícios 
6) Um investidor aplicou R$ 25.000,00 por 8 
meses a juros compostos. Ele resgatou no final 
a quantia de R$ 27.400,00. Supondo que a 
aplicação não tinha taxa de administração e 
nem recolhia impostos, qual foi o valor da taxa 
combinada? 
 
Exercícios 
𝑴 = 𝑪. 𝟏 + 𝒊 𝒕 ⇔ 
 
⇔ 𝟐𝟕𝟒𝟎𝟎 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎. 𝟏 + 𝒊 𝟖 ⇔ 
 
⇔ (𝟏 + 𝒊)𝟖=
𝟐𝟕𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
= 𝟏, 𝟎𝟗𝟔 ⇔ 
 
⇔ 𝟏+ 𝒊 = 𝟏, 𝟎𝟗𝟔
𝟖
= 𝟏, 𝟎𝟏𝟐 ⇒ 
 
⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 =
𝟏, 𝟐
𝟏𝟎𝟎
 
 
Logo, a taxa combinada foi de 1,2% ao mês. 
Exercícios 
7) Um investidor aplicou R$ 35.000,00 a juros 
compostos com taxa de 1% ao mês. Ele 
resgatou no final a quantia de R$ 38.300,00. 
Supondo que a aplicação não tinha taxa de 
administração e nem recolhia impostos, por 
quanto tempo ele deixou aplicado este valor? 
 
Exercícios 
𝑴 = 𝑪. 𝟏 + 𝒊 𝒕 ⇔ 
 
⇔ 𝟑𝟖𝟑𝟎𝟎 = 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎. 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏 𝒕 ⇔ 
 
⇔ (𝟏, 𝟎𝟏)𝒕=
𝟑𝟖𝟑𝟎𝟎
𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎
= 𝟏, 𝟎𝟗𝟒 ⇔ 
 
⇔ 𝑳𝒐𝒈(𝟏, 𝟎𝟏)𝒕= 𝑳𝒐𝒈 𝟏, 𝟎𝟗𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟗 ⇔ 
 
⇔ 𝒕. 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟗 ⇒ 𝒕 =
𝟎, 𝟎𝟑𝟗
𝟎, 𝟎𝟎𝟒
= 𝟗, 𝟕𝟓 
 
Logo, ele aplicou por 10 meses. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Exercícios